计算方法复习题
计算能力训练复习题
计算能力训练复习题一、整数运算1. 求解下列整数之和：(-15) + 27 + (-8) + 12 + (-5) + 20 = ?解：(-15) + 27 + (-8) + 12 + (-5) + 20 = -92. 简化下列整数的加法：-38 + 25 + (-12) + 17 + 10 + (-5)解：-38 + 25 + (-12) + 17 + 10 + (-5) = -33. 计算下列整数之差：45 - 27 + (-19) - 34 + (-15) + 50 = ?解：45 - 27 + (-19) - 34 + (-15) + 50 = 0二、小数运算1. 求解下列小数的加法：2.36 + 1.8 + (-3.45) +4.67 + (-0.89) = ?解：2.36 + 1.8 + (-3.45) + 4.67 + (-0.89) = 4.492. 简化下列小数的减法：3.25 - 1.5 + (-2.8) + 1.9 +4.6解：3.25 - 1.5 + (-2.8) + 1.9 + 4.6 = 6.453. 计算下列小数之积：2.5 × (-0.3) × 1.2 × (-2.1) = ?解：2.5 × (-0.3) × 1.2 × (-2.1) = 3.15三、分数运算1. 求解下列分数之和：1/4 + (-3/5) + 2/3 + (-1/2) + 3/8 + (-7/6) = ?解：1/4 + (-3/5) + 2/3 + (-1/2) + 3/8 + (-7/6) = -7/122. 简化下列分数的减法：2/3 - 1/4 + (-5/8) + 3/7 + 4/5解：2/3 - 1/4 + (-5/8) + 3/7 + 4/5 = 2/153. 计算下列分数之积：(-1/2) × 1/3 × (-3/4) × 2/5 = ?解：(-1/2) × 1/3 × (-3/4) × 2/5 = 1/20四、百分数运算1. 求解下列百分数之和：20% + (-25%) + 15% + (-10%) + 30% + (-8%) = ?解：20% + (-25%) + 15% + (-10%) + 30% + (-8%) = 22%2. 简化下列百分数的减法：12% - 7% + (-18%) + 9% + 15%解：12% - 7% + (-18%) + 9% + 15% = 11%3. 计算下列百分数之积：(-20%) × 30% × (-0.5%) × 5% = ?解：(-20%) × 30% × (-0.5%) × 5% = 0.003%五、综合运算1. 求解下列混合数之和：(-3.25) + 1/2 + (-2%) + 6 + (-5/8) + 12.5% = ?解：(-3.25) + 1/2 + (-2%) + 6 + (-5/8) + 12.5% = 2.482. 简化下列混合数的减法：4.5 - 3/8 + (-1.2) + 1/5 + 6.25%解：4.5 - 3/8 + (-1.2) + 1/5 + 6.25% = 3.653. 计算下列混合数之积：(-2) × 1.5 × (-3/4) × 0.2 × (-15%) = ?解：(-2) × 1.5 × (-3/4) × 0.2 × (-15%) = 0.09六、应用题1. 某家商店原价为680元的商品，在打折促销时降价20%，请问现在价格是多少元？解：680元 × (1 - 20%) = 544元2. 甲、乙两个人参加某项竞赛，比赛结束后甲得分为85分，乙得分为120分，如果总分为200分，则甲、乙两人的得分分别占总分的多少百分比？解：甲的得分百分比为 85分 / 200分 × 100% = 42.5%乙的得分百分比为 120分 / 200分 × 100% = 60%3. 小明一共溜了10圈冰场，每圈距离为400米。
计算方法复习题
《计算方法》复习题一 选 择（每题3分,合计42分)1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1。
7320，则x 具有 位有效数字。
A 、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取73.13≈（三位有效数字），则≤-73.13 。
A 、30.510-⨯B 、20.510-⨯C 、10.510-⨯D 、0。
5 3. 下面 不是数值计算应注意的问题。
A 、注意简化计算步骤，减少运算次数B 、要避免相近两数相减C 、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ，迭代过程g x B xk k+=+)()1(收敛的充分必要条件是 。
A 、11<B B 、1<∞BC 、1)(<B ρD 、21B <5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步,选列主元)1(-k rka ，使得)1(-k rk a ＝ 。
A 、 )1(1max -≤≤k ikni a B 、 )1(max -≤≤k ikni k a C 、 )1(max -≤≤k kjnj k a D 、 )1(1max -≤≤k kjnj a6. 设ƒ(x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6,取x 1=0，x 2=0。
3，x 3=0。
6，x 4=0.8，在这些点上关于ƒ（x ）的插值多项式为3()P x ，则ƒ(0.9)—3(0.9)P =__________。
A 、0 B 、0.001 C 、0。
002 D 、0.0037. 用简单迭代法求方程f （x )=0的实根，把方程f （x )=0转化为x =ϕ(x )，则f （x ）=0的根是： .A 、y =x 与y =ϕ(x ）的交点B 、 y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标D 、 y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标8. 已知x 0＝2，f （x 0）=46，x 1＝4，f (x 1)=88,则一阶差商f ［x 0， x 1］为 。
计算方法复习题
计算方法复习题一、判断题1．四舍五入得到的最后一位数字是有效数字。
（ ）2．运算量是衡量一个算法好坏的唯一指标。
（ ）3．从计算方法近似解角度考虑，方程组都有解。
（ ）4．最小二乘拟合本质是解矛盾方程组。
（ ）5．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛速度快。
（ ）6．数值积分中求积系数与被积函数f (x )有关。
（ ）7．同一组数据采用拉格朗日插值与牛顿插值的结果不同。
（ ）8．迭代法求非线性方程f (x )=0收敛的条件是|f ’(x)|<1。
（ ）9．常微分方程数值解中龙格库塔法的系数可由Taylor 公式展开求取。
（ ）10．线性方程组的迭代法不适合用于求解大型稀疏矩阵。
（ ）11．加减计算量是衡量一个算法好坏的最重要的指标。
（ ）12．计算方法应考虑各种误差的影响。
（ ）13．插值法是函数逼近的唯一方法。
（ ）14．求解同一个问题时，结果的有效数字位数越多说明的近似解精度越高。
（ ）15．高斯—塞德尔迭代法不一定比雅可比迭代法求解精度高。
（ ）16．所有插值法都是只要求构造的φ(x )与f (x )在给定点的函数值相等。
（ ）17．f(x)没有解析表达式，只有数表形式时，可以对f (x )进行积分。
（ ）18．线性方程组的直接解法适合用于求解小型稠密矩阵。
（ ）19．可以用代数精确度度量数值积分的精度。
（ ）20．计算方法中各种算法只考虑舍入误差。
（ ）21．计算方法考虑数学问题的近似解，信息量越少近似解越准确。
（ ）22．所有插值法只要求构造的φ(x )与f (x )在给定点的函数值相等。
（ ）23．线性方程组迭代收敛与矩阵A 的特征值有关。
（ ）24．可以用代数精确度度量数值积分的精度。
（ ）二、填空题1．微分方程离散化的方法有：数值积分、差商和_________________。
2．你学习或知道的线性方程组求解方法，除了简单迭代法（雅克比）外，还有____________等。
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
计算方法复习资料
第一章 引论一、判断题1.*x =–12.0326作为x 的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
( )2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )4. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
( ) 二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，绝对误差限为 ，相对误差限为 ；3. 用四舍五入得到的近似数0.550，有 位有效数字，其相对误差是 。
三、选择题1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用221gt s =表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，t s 是在时间t 内的实际距离，则s *是（ ）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1. 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？ 2. 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？3. 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？4. 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？5. 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
《计算方法》复习题
ZH 计0520 九州0520《计算方法》复习题f (x^x3x -1 =0在区间［0，1］内的根，进行一步后根所在区1计算积分.xdx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值为0.55x2=1.Ax? = °的高斯—赛德尔迭代格式为以迭代格式是收敛的5 4 3 216x 17x 18x -14x "XT 改写为((((16x 17)x 18)x —14)x —13)x -1 ((x216)x 8)x -1 ，为了减少舍入误差的影响，应将、填空1、为了使计算y =103+ ----x -1乙63的乘法运算次数尽量地少，应将(x-1)2(x-1)3表达式改写为t ，八10 (3 (4-6t)t)tx「1用辛卜生公式求得的近似值为公式的代数精度为30.4309，梯形公式的代数精度为，辛卜生x1k 1)x2k 1)=(1 -5x2k))/31 (k 1)=(x1/45，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径T(G)二1—，所12用二分法求方程间为［0.5，1］，进行二步后区间为［0.5，0.75］。
设A，_-22Tx h 3，Ax肿15。
[0.4268 ]，求解线性代数方程组为了减少运算次数，应将表达式x416x28x -1表达式 200^ 1999改写为 一37、 用二分法求方程f(x)=2x -5x-1=0在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为[1，2 ]，进行二步后所在区间为 [1.5，2 ]b — a b8、 记h,X i 二a ，ih,i =0,1，…，n.计算 f(x)dx 的复化梯形公式为 n an 二[f(x 。
)-27 f(x i ) f(X n )] /2，他是 2 阶，代数精度为 1| 5x 1 - 3x 2 - 0.1X 3 —159、求解线性方程组《-2x 1 +6x 2 +0.7x 3 = 0的高斯一塞德尔迭代格式为、_ 捲 +2x 2 +3.5x 3 =1x 严珂1 +3x 2k)+O.1x 3k)]/5x 2k 1)[2x ；k° -O.7x 3k)]/6x 3k 1)二[1 -x ；k 1)-22k 1)]/3.5-0.38,-0.2 4 3,30.5 3 3 310、 设 f (0) =0, f(1) -16, f (2) =46,则 f[0,1,2] = 16， f[0,1,2] = 7f (x)的二次牛顿插入值多项式为0 16(x-0) 7(x-0)(x-1)、计算和证明x 1 x 2 x 3 = 61、用列主元高斯消去法解线性代数方程组$洛+ 3X 2 - 2X 3 = 12% _2x 2 +x 3 =1-211〕 1 1 rH^-)r1,r^^-)r13 -2 1 2 1 1 6 一 2-2 1 10 4 -5/2 1/2 ]0 0 7/4 21/4 一■111 61■2解： 1 3-2 112 —2 1 1 一1 _2 -2 1 1 〕1 r34(」.)r20 4 —5/2 1/2 --------------2一-'021/211/2 一2x 1 -2x 2 x 3 = 1回代得 x 3 = 3, x 2 = 2, x 1 = 12、 设有一个长方形水池，由测量知长为50_0.01米，宽为25 _ 0.01，深为20一0.01，试按所给数据求出该水池的容积， 并分析所得近似值的绝对误差和相对误差给出绝对误差限和相对误差限。
计算方法复习题-试题卷
一计算题
1. 能不能用迭代法求解以下方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。
2. 用矩阵的LU分解算法求解线性方程组
X1+2X2+3X3 = 0
2X1+2X2+8X3 = -4
-3X1-10X2-2X3 = -11
3. 用高斯消去法求解线性方程组
解：消元过程
4. 给定常微分初值问题试构造一个求解常微分初值问题的两步差分格式。
5. 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组
2X1+X2+X3 = 4
6X1+4X2+5X3 =15
4X1+3X2+6X3 = 13
6. 利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组
解：用公式
7. 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1
2X1– X2+9X3 = 0
-3X1+ 4X2+9X3 = 1
解：
8. 用Doolittle分解法解方程组
解：方程组的系数矩阵为
根据分解公式得
9. 方程将其改写为
10. 用高斯消元法解方程组
解：方程组的扩大矩阵为
11. 方程将其改写为
解：注意到迭代公式的形式，
12. 用Doolittle三角分解法求解线性代数方程组：
解：由公式
13. 用高斯消去法求解线性方程组
2X1- X2+3X3 = 2
4X1+2X2+5X3 = 4
-3X1+4X2-3X3 = -3
解：方程组的扩大矩阵为
14. 给定方程
〔1〕分析该方程存在几个根；
〔2〕构造迭代公式，说明迭代公式是收敛的。
15. 用Euler方法求解
(取h=0.2)。
计算方法试题集及答案复习试题精选
复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰10d )(x x f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
计算方法复习题
计算方法复习题一、单项选择题1. 以下误差公式不正确的是（ ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 辛卜生公式的余项为（ ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--3. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–24. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，将方程表示为同解方程()x x ϕ=的，则()0f x = 的根是（ ）A ． y x =与()y x ϕ=的交点B ． y x =与与x 轴的交点的横坐标的交点的横坐标C ． y x =与()y x ϕ=的交点的横坐标D ． ()y x ϕ=与x 轴的交点的横坐标5. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4二、 填空题1、乘幂法可求出实方阵A 的 特征值及其相应的特征向量.2、欧拉法的绝对稳定实区间为 。
3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是＿＿＿4、消元法的步骤包括 .5、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.6、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿7、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿8、若则矩阵A的谱半径(A)= ＿＿＿9、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法10.欧拉法的局部截断误差阶为＿＿＿。
计算方法复习思考题五及答案
计算方法复习思考题五及答案一、选择题（每题2分，共20分）1、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。
A 、控制舍入误差 B 、减小方法误差 C 、防止计算时溢出 D 、简化计算2、舍入误差是( A )产生的误差。
A 、只取有限位数B 、模型准确值与用数值方法求得的准确值C 、观察与测量D 、数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A 、 6 B 、 5 C 、 4 D 、 74、 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=ϕ(x)，则f(x)=0的根是( B )。
A 、 y=ϕ(x)与x 轴交点的横坐标B 、 y=x 与y=ϕ(x)交点的横坐标C 、 y=x 与x 轴的交点的横坐标D 、 y=x 与y=ϕ(x)的交点 5、求积公式)2(31)1(34)0(31)(20f f f dx x f ++≈⎰的代数精确度为（ C ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 46计算，下列方法中哪种最好？（ C ）A.7、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量D. 数学模型准确值与实际值 8、解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 （ C ）A. B. C. D.9、函数表示线性插值( A )点的基函数.A.B.C. D.1732.≈41)x =28-24(-10<<ω10<≤ω20<<ω20≤≤ω101x x x x --0x 0y 1x 1y10、对于次数不超过n 的多项式( C ). A. 任意n 次多项式 B. 任意不超过n 次的多项式 C. 本身 D. 无法确定二、判断题（每题2分，共10分）1、在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。
( )√2、向前差分与向后差分不存在等量关系。
( )⨯3、数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。
计算方法复习题
一、判断1、0.026900x *=-作为x 的近似值，它的有效数字位数为5位。
（ × ）2、迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
（ × ）3、牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
（ √ ）4、已知观察值()(),0,1,i i x y i n =，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。
（ × ）5、改进欧拉公式是一种隐式的方法。
（ × ）6、一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（ √ ） 6、求方程310x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。
（ × ）7、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--521253113是主对角占优矩阵。
（ × ）8、在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
（ × ） 9、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。
( × ） 二、填空题1、误差来源： 舍入误差 ， 截断误差 ， 观测误差 ， 模型误差 。
2、古代数学家祖冲之曾以113355作为圆周率π的近似值，此近似值有 7 位有效数字。
3、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0，1]内的根，进行一步二分后根所在区间为，进行二步二分后根所在区间为。
4、方程求根中牛顿迭代公式，收敛速度是。
5、求线性解方程组 5x1-3x2-0.1x3=1-2x1+6x2+0.7x3=0x1+2x2+3.5x3=0的高斯—赛德尔迭代格式为，取迭代初值x 1（0）=1，x 2（0）=-1，x 3（0）=1，则x 1（1）= -0.38 ，x2（1）= -0.24， x3（1）= 351。
6、Gauss 求积公式⎰baf(x )dx≈∑=Nn n)Anf(x 具有 2N+1 次代数精度。
7、n+1个插值节点构造的拉格朗日插值公式Ln(x)= 1 余项Rn(x)= 1 。
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案1. 单选题1. 数值3.1416的有效位数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。
A. 零B. 一C. 二D. 三正确答案：A3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A. 超线性B. 平方C. 线性D. 三次正确答案：C4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（）A. 使残差的最大绝对值为最小B. 使残差的绝对值之和为最小C. 使残差的平方和为最小D. 是残差的绝对值之差为最小正确答案：D5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。
A. AB. BC.CD. D正确答案：B6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（）A. xB. x+1C. x-1D. x+2正确答案：B7. 题面如下，正确的是（）A. 2B. 3C. -2D. 1正确答案：B8. 题面如下图所示，正确的是（）A. AB. BC. CD. D正确答案：D9. 用列主元消去法解线性方程组,A. 3B. 4C. -4D. 9正确答案：C10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。
A. nB. n+1C. n-1D. n*n正确答案：C11. 线性方程组的解法大致可以分为（）A. 直接法和间接法B. 直接法和替代法C. 直接法和迭代法D. 间接法和迭代法正确答案：C12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。
A. 牛顿法B. 下山法C. 弦截法D. 迭代法正确答案：A13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D14. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：C15. 所谓松弛法，实质上是（）的一种加速方法。
《计算方法》复习题参考答案
《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2πＢ．3πＣ．4π Ｄ．6π4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x ，并估计误差。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x ）。
计算方法复习题
计算⽅法复习题第⼀章误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有⼏位有效数字？分析利⽤有效数字的概念可直接得出。
解π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--?<-≤? 因⽽x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--?≤-因⽽x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--?≤-因⽽x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析本题显然应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解利⽤有效数字与相对误差的关系。
这⾥n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=??≤?≤-=+-+-n ra x x x x ε 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*⾄少有⼏位有效数字？分析本题利⽤有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--?+≤?+?=?<=a x r ε设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从⽽x*⾄少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取⼏位有效数字才能保证相对误差限不⼤于0.01%。
分析本题应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤?≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤?n a 知取n=4即可满⾜要求。
5 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解设.))64(3(10,11t t t y x t -++=-=在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能⼩。
计算方法练习题与答案
计算方法练习题与答案一、加减乘除练习1. 计算下列数的和并简化：a) 2 + 3 + 4 + 5b) 10 + 20 + 30 + 402.计算下列数的差：a) 100 - 50b) 75 - 253.计算下列数的积：a) 6 × 8b) 12 × 54.计算下列数的商：a) 100 ÷ 10b) 36 ÷ 6二、百分数计算练习1.计算以下百分数的值：a) 50% × 200b) 25% × 802.将以下分数转换为百分数：a) 1/4b) 3/53.将以下小数转换为百分数：a) 0.6b) 0.75三、比例计算练习1.解决以下比例问题：a) 如果一个长方形的长度为8cm，宽度为4cm，求其长宽比。
b) 假设一辆汽车每小时行驶50千米，行驶3小时，求行驶的总距离。
2.解决以下反比例问题：a) 如果一个鸟笼里有24只鸟，如果再加入6只鸟，那么所有鸟将平均得到多少空间？b) 一个机器能够在10小时内完成一项工作，那么如果再增加一倍的机器，需要多少小时才能完成同样的工作？四、平均值计算练习1.计算以下一组数的平均值：a) 5, 7, 9, 11, 13b) 16, 20, 24, 28, 322.已知某商品的销售数据如下，计算其平均销售量：月份销售量一月 120二月 150三月 170四月 140答案：一、加减乘除练习1.a) 2 + 3 + 4 + 5 = 14b) 10 + 20 + 30 + 40 = 1002.a) 100 - 50 = 50b) 75 - 25 = 503.a) 6 × 8 = 48b) 12 × 5 = 604.a) 100 ÷ 10 = 10b) 36 ÷ 6 = 6二、百分数计算练习1.a) 50% × 200 = 100b) 25% × 80 = 202.a) 1/4 = 25%b) 3/5 = 60%3.a) 0.6 = 60%b) 0.75 = 75%三、比例计算练习1.a) 长宽比为 8:4，简化为 2:1b) 汽车行驶总距离为 50km/h × 3h = 150km2.a) 初始鸟笼中每只鸟占据空间为 1/24，加入鸟后每只鸟占据空间为 1/30，所以平均空间为 30 / (24 + 6) = 1/2b) 原机器完成工作速率为 1/10，加入一倍机器后速率变为 1/20，完成工作所需时间为 10 × 2 = 20小时四、平均值计算练习1.a) 平均值 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 9b) 平均值 = (16 + 20 + 24 + 28 + 32) / 5 = 242. 平均销售量 = (120 + 150 + 170 + 140) / 4 = 145以上是本篇计算方法练习题与答案的内容。
大学计算方法复习题
大学计算方法复习题一、选择题1. 在数值分析中，下列哪个算法是用于求解线性方程组的？A. 欧几里得算法B. 高斯消元法C. 快速傅里叶变换D. 牛顿迭代法2. 插值法中，拉格朗日插值法与牛顿插值法的主要区别是什么？A. 计算复杂度B. 误差大小C. 插值点的选取D. 适用的函数类型3. 下列哪个不是数值积分的方法？A. 辛普森法则B. 梯形法则C. 牛顿法D. 复合梯形法则4. 求解常微分方程的数值方法中，欧拉法和改进欧拉法的主要区别是什么？A. 计算精度B. 计算速度C. 稳定性D. 适用的方程类型5. 在数值优化问题中，梯度下降法和牛顿法的主要区别是什么？A. 收敛速度B. 计算复杂度C. 需要的初始点D. 适用的问题类型二、简答题1. 简述数值稳定性和数值误差的概念，并举例说明它们在数值计算中的重要性。
2. 解释什么是病态问题，并举例说明在实际问题求解中如何避免或减少病态问题的影响。
3. 描述牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）的基本思想，并简述其优缺点。
三、计算题1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}3x + 2y &= 5 \\6x - y &= 8\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
2. 假设有一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5)，使用拉格朗日插值法求一个三次多项式 \( P(x) \)，使其通过这些点，并计算\( P(2.5) \) 的值。
3. 给定函数 \( f(x) = x^2 \)，使用复合梯形法则计算在区间 [0, 1] 上的积分近似值，取子区间数 \( n = 4 \)。
四、论述题1. 论述数值分析在现代科学技术中的重要性，并举例说明其在不同领域的应用。
2. 讨论数值方法在解决实际问题时可能遇到的困难和挑战，并提出可能的解决方案。
五、附加题1. 给定一个函数 \( f(x) \)，讨论如何选择合适的数值方法来求解其零点，并比较不同方法的优缺点。
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软工13计算方法复习题1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。
（1）)ln()1ln(x x -+，其中x 较大（2）x x -+12，其中x 较大222、已知函数方程0)ln(3)(=--=x x x f 有一正根，请完成以下几方面的工作：（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a 0 , b 0]，以便于用二分法求解；（2）验证在[a 0 , b 0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。
解： （1）把方程的根看成y=3-x 和y=ln(x)的交点，经分析可取含根区间[1.0 , 3.0] （2）经验算可得f(1.0)*f(3.0)<0，另f ’(x)在[1.0 , 3.0]上不变号，f(x)单调，二分法可行 （3）迭代式)ln(31k k x x -=+从迭代收敛定理两方面作完整讨论，知迭代式能保证收敛3、用Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡564221231112321x x x （要求写明求解过程）。
解：（1）先对系数矩阵A 作LU 分解得A=LU=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5/32/32/511215/32/112/11（2）由L Y=B 解出Y=(4,4,3/5)T ，由UX=Y 解出X=(1,1,1)T4、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f (0.75)的近似值；（3）若用bxae y =来拟合这一批数据，试求出系数a 和b （提示：两边取自然对数得ln y =ln a +bx ，令u =ln y ，问题转化为求拟合直线u =ln a +bx ）；（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算⎰20)(dx x f 的近似值。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.75ln 5.7555b a 得a=1，b=1，故有xe xf =)( （4）分别用复化梯形积分公式和复化辛普森积分公式计算5、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=+-341182105z y x z y x z y x ：（1）能否从系数矩阵判定Jacobi 迭代求解是收敛的？请说明原因； （2）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1；（3）求出迭代矩阵B 的行范数∞B和列范数1B ，并说明B 能否保证收敛。
6、用规范化幂法求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1403A 的按模最大特征值，使误差不超过1105.0-⨯。
初始向量取为V (0) =( 1 , 1 )T 。
（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。
） 7、用改进欧拉法求初值问题⎩⎨⎧==0.1)0.0(/y xydx dy 在区间[0.0 , 1.0]上的解，取步长h =0.2。
计算结果保留到小数点后面3位。
8、）对于函数)1()(x x x x f -+=，按下面两种方法计算)1000(f 的近似值，分别讨论两个结果的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。
（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。
例如2103162.01000⨯≈，2103164.01001⨯≈）（1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式)1/()(x x x x f ++=计算。
8、答题要点精确值f(1000)=0.1580743 (102)（1）f 1(1000)≈1000*(0.3164-0.3162)*102=0.2*102，与精确值比较得绝对误差限ε1=0.5*101，得有效数字位数为1位；（2）f 2(1000)≈1000/(0.3164*102+0.3162*102)≈0.1581*102，与精确值比较得绝对误差限为ε2=0.5*10*10-2,得有效数字的位数为4位。
原因在于直接按表达式计算时两个相近的数相减导致有效数字位数减少而误差增大9、已知函数方程052)(3=-+=x x x f 在区间[2，3]上有根（令a 0=2，b 0=3）： （1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]； （2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。
（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并自己取初值x 0，完成第1次迭代计算。
10、分别用Gauss 消元法和Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡274613312111321x x x 。
11、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f (1.25)的近似值；（3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算⎰20)(dx x f 的近似值。
（4）若用y =a+bx 2来拟合这一批数据，试求出系数a 和b （提示：令v =x 2，问题转化为求拟合直线y =a +bv ）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题） 12、验算用辛普森积分公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab f S +++-=计算⎰=b a dx x f f I )()(时所能达到的代数精度是几阶。
13、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210z y x z y x z y x ：（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1； （2）求出迭代矩阵B 的行范数∞B和列范数1B ，并说明B 能否保证迭代收敛。
（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi 迭代法收敛？请说明理由。
14、写出用反幂法⎪⎩⎪⎨⎧===+∞),2,1,0(,/)()1()()()( k U AVVV U k k k k k 求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0235A 的按模最小特征值的前两步迭代计算过程与结果。
初始向量取V (0) =U (0)=( 1 , 1 )T 。
（提示：先对A 作LU 分解）15、用改进欧拉法求初值问题⎩⎨⎧==0.1)0.0(/2y y dx dy 在区间[0.0 , 0.4]上的解，取步长h =0.1。
计算结果保留到小数点后面3位。
16、设133)(23-+-=x x x x P ，用下面两种不同的方法计算)19.2(P 的值，并与真值685159.1)19.2(*=P 进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因： （1）直接按表达式计算；（2）按1)3)3(()(-+-=x x x x P 计算。
注意：中间数据和最后结果均按3位舍入法取值，如80.419.22≈，77.119.2)319.2(-≈⋅-。
17、用Jacobi 法求实对称矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4334的全部特征值和特征向量。
（另：任给一个实对称矩阵，你是否会构造Jacobi 法的第一个正交矩阵并完成第一次正交变换？）18、若取初值I 0=ln6-ln5，按式I n =(1/n )-5I n -1 (n =1 , 2 , 3 ，…)递推计算，试估算I 1和I 2的误差（取ln6≈1.79，ln5≈1.61），并说明此递推式的数值稳定性。
19、已知05.00.2,05.00.10,05.00.5±=±=±=z y x ，若计算z y x v -=2，求v 的绝对误差限和相对误差限。
19、参考答案：|dv|=|2xdx-d(y/z)|<=|2xdx|+(|ydz|+|zdy|)/z 2<=2*5*0.05+(10*0.05+2*0.05)/4=0.65=ε εr =ε/(x*x-y/z)=0.65/(5*5-10/2)=3.25%20、对于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=312143237A ，请完成规范化幂法的前两步迭代计算，即取初始向量为V (0) =U (0)=( 1 , 1 , 1 )T ，求出V (1)、U (1)和V (2)。
21、若用Jacobi 法求实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛893982321的特征值及对应特征向量，试确定第一个正交矩阵，并完成第一次正交变换。
旋转角θ 按02sin 2)(2cos =-+θθpp qq pq a a a 确定。
22、关于函数)(x f y =已知如下数据表：用柯特斯积分C ( f )计算⎰0.10.0)(dx x f 的近似值，要求从复化梯形积分外推到复化辛普森积分，再由复化辛普森积分外推计算C ( f )。
（如果给定8个等距点及函数值，龙贝格积分如何计算呢？）请用函数曲线bxa y +=拟合这一批节点（提示：先对拟合曲线做线性化处理）。
24、取初始向量V (0)=U (0)=(1 , 1 , 1)T ，用反审法求矩阵 错误！未找到引用源。
的按模最小特征值。
（只要求：完成LU 分解、求解V (1)、U (1)、V (2)。
） 25、用规范化幂法求解矩阵错误！未找到引用源。
的按模最大特征值时按指定精度要求迭代到第k=15次停止，得到的向量序列如下：（其中U 为规范化向量，V 为迭代向量）……………………………… k=12: v[0]=1.860465 v[1]=3.441860 v[2]=3.441861 u[0]=0.540541 u[1]=1.000000 u[2]=1.000000 k=13: v[0]=2.162162 v[1]=4.648649 v[2]=4.648649u[0]=0.465116 u[1]=1.000000 u[2]=1.000000 k=14: v[0]=1.860465 v[1]=3.441860 v[2]=3.441860u[0]=0.540541 u[1]=1.000000 u[2]=1.000000 k=15: v[0]=2.162162 v[1]=4.648649 v[2]=4.648649观察以上向量序列的变化规律并求解上述按模最大特征值及特征向量。
26、写出用Jacobi 法求实对称矩阵错误！未找到引用源。
特征值的第1个正交矩阵和第1次正交变换的计算式（不做详细计算）。
27、写出用Jacobi 迭代法求解线性方程组错误！未找到引用源。