第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案

第十三章 能量法

13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端

的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。

题13-2图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

x x b E F x x EA F V l

l

d )(2d )

(202N

02N

⎰

⎰

=

=δε

(a)

由图可知，截面x 的宽度为

x l

b b b x b 1

21)(-+

= 代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得

1

21221212 0 ln )(2d 21b b b b E δl

F x x l b b b δF E V l

ε-=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+=⎰

设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，

1

2122ln )(22Δb b b b E δl

F l F -= 由此得

1

212ln )(Δb b b b E δFl

l -=

13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，

且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。

题13-4图

解： 1. 轴力计算

未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。 由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B 022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G

得

34N1F F =

， 3

2N2F

F -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为

EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222

N 21N =

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为

2

Dy

F ΔW =

根据能量守恒定律，于是有

EA

l

F F ΔDy 91022=

由此得节点D 的铅垂位移为

()

↓=

920EA

Fl

ΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。试用能量法证明弹簧的轴向

变形为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=αααλcos sin 2cos 8243E G Gd n FD 式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数，α为螺旋升角，E 为弹性模量，G 为切变模量。

题13-5图

解：由图b 可知，s 截面的弯矩与扭矩分别为

()()ααααcos 2

cos ,sin 2sin FD

M s T FD M s M F F ==== （a ） 据能量守恒定律，有

εV W =

（b ）

其中，

2

λ

F W =

（c ）

而

()

()

s EI

s M s GI s T V l l εd 2d 2

2

P

2⎰

⎰

+

= （d ）

式中，l 为簧丝总长，其值为

α

cos πDn

l =

（e ）

将式（a ）代入式（d ），并注意到式（e ），得

)c o s

s i n c o s (8π

2

P P 32αααEI GI GI n D F V ε+=

（f ）

最后，将式（c ）和（f ）代入式（b ），于是得

)cos sin 2cos (824

3αααλE G Gd n FD +=

13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F 的横向力作用。设截面宽度为b 、

拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

EA

bF l μ=

∆

题13-6图

解：设该杆两端承受轴向拉力1F 作用，杆的横向变形为

EA

b F b EA F b b 11μμ

με-=-=-=∆ 根据功的互等定理，于是有

⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅=⋅EA b F F l F 11Δμ

由此得

EA

bF

l μ=

Δ

13-8 图示桁架，在节点B 承受载荷F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用卡

氏定理计算该节点的铅垂位移B ∆。

题13-8图

解：根据卡氏定理，有

F

F l F EA Δi i i i B ∂∂=∑

=N 5

1N 1

各杆编号示如图13-8。

图13-8

求B Δ的运算过程示如下表：

由此得

()EA

Fa ΔB 2

223+=

（↓）

13-9 图示刚架，承受载荷F 作用。设弯曲刚度EI 为常数，试用卡氏定理计算截面C 的

转角。

题13-9图

解：在截面C 处假想附加一矩为C M 的力偶（见图13-9），由图可得

()a

x M x M x a M F x M C C 1

111)( , )(=∂∂+

= 1)

( , )(C

222=∂∂+=M x M M Fx x M C

图13-9

根据卡氏定理，得

EI

Fa x Fx x a

x

Fx EI

a

a

C 65]d )1)((d ))(([

12

0 0 22111=+=⎰

⎰

θ （ ） 13-10 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数，试用卡氏定理计算横截面A 的挠度∆A

与转角θA

。