第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
NUAA材料力学课件_13章
(0 ≺ x ≺ l / 2) 弯矩方程 M ( x) = ( P / 2) x, (0 ≤ x ≤ l / 2) 2 3 l/2 1 P 2 Pl 弯曲变形能 U1 = 2 ∫ ( x) d x = 0 2 EI 2 96 EI
18
1 P 2 Pl 弯曲变形能 U1 = 2 ∫ ( x) d x = 0 2 EI 2 96 EI 2 l/2 k P 2 kP l 剪切变形能 U 2 = 2 ∫ ( ) dx = 0 2GA 2 8GA U 2 12 EIk 两种变形能之比 = 2 U1 GAl 2 对矩形截面 k = 6 / 5, I / A = h / 12 E G= 又： 2(1 + μ ) U 2 12 h 2 = (1 + μ )( ) 19 U1 5 l
记为 k
Q ( x) U2 = ∫ k dx l 2GA
2
其中的系数
A k= 2 I
(S ) ∫A b d A
* 2 z 2
薄壁 k =2 对矩形截面 k = 6 / 5, 圆截面 k = 10 / 9, 圆环 17
例 3 (书例10.3) 已知: 矩形截面简支 梁。 求：比较弯曲和剪切 变形能的大小。 解： 由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。 剪力方程 Q ( x) = P / 2,
4 弯曲 纯弯曲时 转角
T ( x) d x U =∫ l 2GI p
2
dθ m = d x EI
6
4 弯曲 纯弯曲时 转角
dθ m = d x EI m dθ = dx EI m θ =∫ dx 0 EI
l
纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。
变形能
ml θ= EI 2 1 ml U = W = mθ = 2 2EI
材料力学课后习题答案
材料⼒学课后习题答案8-1 试求图⽰各杆的轴⼒，并指出轴⼒的最⼤值。
(1) ⽤截⾯法求内⼒，取1-1、2-2截⾯；(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴⼒最⼤值： (b)(1) 求固定端的约束反⼒；(2) 取1-1(3)取2-2截⾯的右段；(4) 轴⼒最⼤值： (c)(1) ⽤截⾯法求内⼒，取1-1、2-2、3-3截⾯；(2) 取1-1(3) 取2-2截⾯的左段；(4) 取3-3截⾯的右段；(c)(d)N 1F RF N 1F RF N 2F N 1N 2(5) 轴⼒最⼤值： (d)(1) ⽤截⾯法求内⼒，取1-1、2-2截⾯；(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴⼒最⼤值：8-2 试画出8-1所⽰各杆的轴⼒图。
解：(a) (b)(c) (d)8-5段的直径分别为d 1=20 mm 和d 2=30 mm F 2之值。
解：(1) (2) 求1-1、2-2截⾯的正应⼒，利⽤正应⼒相同；8-6 题8-5图所⽰圆截⾯杆，已知载荷F 1=200 kN ，F 2=100 kN ，AB 段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截⾯上的正应⼒相同，试求BC 段的直径。
解：(1) ⽤截⾯法求出1-1、2-2截⾯的轴⼒；(2) 求1-1、2-2截⾯的正应⼒，利⽤正应⼒相同；8-7 图⽰⽊杆，承受轴向载荷F =10 kN 作⽤，杆的横截⾯⾯积A =1000 mm 2，粘接⾯的⽅位⾓θ= 450，试计算该截⾯上的正应⼒与切应⼒，并画出应⼒的⽅向。
F N 3F N 1F N 2解：(1)(2)8-14 图⽰桁架，杆1d 1=30 mm 与d 2=20 mm ，两杆材料相同，许⽤应⼒[σ]=160 MPa 。
该桁架在节点A 处承受铅直⽅向的载荷F =80 kN 作⽤，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡⽅程解得：(2) 所以桁架的强度⾜够。
8-15 图⽰桁架，杆1为圆截⾯钢杆，杆2为⽅截⾯⽊杆，在节点A 处承受铅直⽅向的载荷F 作⽤，试确定钢杆的直径d 与⽊杆截⾯的边宽b 。
北航材料力学实验考试题库及答案
北航材料力学实验考试题库及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 在材料力学实验中，下列哪种材料最适合用于拉伸实验？A. 钢材B. 塑料C. 木材D. 玻璃答案：A2. 以下哪种实验方法可以测量材料的弹性模量？A. 拉伸实验B. 压缩实验C. 扭转实验D. all of the above（以上都对）答案：D3. 在材料力学实验中，以下哪个因素对实验结果影响最小？A. 环境温度B. 试样尺寸B. 试样形状C. 试样材料答案：C4. 以下哪个实验可以用来测量材料的泊松比？A. 拉伸实验B. 压缩实验C. 扭转实验D. 弯曲实验答案：A5. 在材料力学实验中，以下哪种情况不需要进行实验误差分析？A. 实验数据波动较大B. 实验结果与理论值相差较大C. 实验过程中出现异常现象D. 实验结果与预期一致答案：D二、填空题（每题10分，共40分）6. 在拉伸实验中，试样断口附近的应力称为______。
答案：断口应力7. 材料的弹性模量E与泊松比μ之间的关系为：E =____________。
答案：2(1 + μ)8. 在扭转实验中，扭转角φ与扭矩T和长度l的关系为：φ = ____________。
答案：Tl/GI_p9. 在材料力学实验中，以下哪个参数表示材料的强度？__________。
答案：屈服强度或抗拉强度10. 在弯曲实验中，中性轴是指______。
答案：弯曲轴线三、判断题（每题10分，共30分）11. 在材料力学实验中，实验数据波动较大，说明实验结果可信度较低。
（对/错）答案：错12. 在拉伸实验中，试样断口形状对实验结果有较大影响。
（对/错）答案：对13. 在扭转实验中，扭矩与扭转角成正比。
（对/错）答案：对四、简答题（每题15分，共45分）14. 请简述拉伸实验的步骤。
答案：（1）准备试样：根据实验要求，选用适当尺寸和形状的试样；（2）安装试样：将试样安装在拉伸实验机上；（3）加载：按照预定的加载速率对试样进行拉伸；（4）记录数据：观察并记录试样的变形和载荷；（5）卸载：卸载后，观察试样的断口形状和位置；（6）分析数据：计算材料的屈服强度、抗拉强度、弹性模量等参数。
《材料力学》课后习题答案详细
《材料力学》课后习题答案详细在学习《材料力学》这门课程时，课后习题是巩固知识、检验理解程度的重要环节。
一份详细准确的课后习题答案不仅能够帮助我们确认自己的解题思路是否正确，还能进一步加深对知识点的理解和掌握。
材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
它对于工程领域的学生来说至关重要，无论是机械工程、土木工程还是航空航天工程等，都离不开材料力学的知识支撑。
对于课后习题的解答，我们首先要明确每个问题所涉及的核心概念和原理。
比如，在研究杆件的拉伸和压缩问题时，需要清楚胡克定律的应用条件和计算公式。
胡克定律指出，在弹性限度内，杆件的伸长或缩短量与所受的拉力或压力成正比。
以一道常见的拉伸习题为例：一根直径为 20mm 的圆杆，受到100kN 的拉力，材料的弹性模量为 200GPa，求杆的伸长量。
解题思路如下：首先，根据圆杆的直径计算出横截面积 A ＝π×（d/2)＾2 ，其中 d 为直径。
然后，根据胡克定律ΔL ＝ FL/EA ，其中F 为拉力，L 为杆长，E 为弹性模量，A 为横截面积，代入已知数据进行计算。
在计算过程中，要注意单位的统一。
拉力的单位通常为牛顿（N），长度的单位要与弹性模量的单位相匹配，面积的单位要为平方米（m²）。
再来看一个关于梁的弯曲问题。
梁在受到横向载荷作用时，会产生弯曲变形。
在解答这类习题时，需要运用到弯矩方程、挠曲线方程等知识。
例如：一简支梁，跨度为 L，承受均布载荷 q，求梁的最大弯矩和最大挠度。
解题时，首先要根据梁的支座情况列出弯矩方程。
然后，通过积分求出挠曲线方程，再根据边界条件确定积分常数。
最后，求出最大弯矩和最大挠度的位置及数值。
在求解过程中，要理解弯矩和挠度的物理意义，以及它们与载荷、梁的几何形状和材料性质之间的关系。
对于扭转问题，要掌握扭矩的计算、切应力的分布规律以及扭转角的计算方法。
比如，一根轴受到扭矩 T 的作用，已知轴的直径和材料的剪切模量，求轴表面的最大切应力和扭转角。
13简明材料力学习题_答案_第十三章
13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆的变形能。
解：方法1:两杆的变形()()()()()222213/8/447 2/442/4a b P L P L PL PL PLl l EA E d E d E d E d ππππ∆==∆=⨯+= 外力的功22()()()()221217 228a a b b P L P LW P l W P l E d E d ππ=∆==∆= 功能原理22()()()()2227 8a a b b P L P L U W U W E d E d ππ==== 方法2:两杆的内力()() a b N P N P ==变形能()()()222()22222()222222/43/8/4722/4822/4a b N L P L P LU EA E d E d P L P L P L U E d E d E d πππππ====⨯+=13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P 力作用下，试求桁架的变形能。
解：(1) 求约束力/8/8(a) (b)上海理工大学 力学教研室10 0 0 20 20 0 2AA AB B B A A X P X X PP MR l P l R P Y R Y Y =-===⨯-⨯===-==∑∑∑ (2) 分析铰B2BD B BC B P N R N ====(3) 分析铰D02DA DB BD DC PN N N N ==== (4) 分析铰CCA CB BC N N N ===(5) 桁架的变形能())22222222212211220.95722222i i BC BC AC AC BD BD DA DA N l U N l N l N l N l EA EAP P l P l l EA EA EA ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦∑ 13.3. 计算图示各杆的变形能。
工程力学材料力学(北京科大东北大学版)第4版13章习题答案
第一章参考答案1-1： 解：(a):N 1=0,N 2=N 3=P (b):N 1=N 2=2kN (c):N 1=P,N 2=2P,N 3= -P (d):N 1=-2P,N 2=P (e):N 1= -50N,N 2= -90N (f):N 1=0.896P,N 2=-0.732P 注（轴向拉伸为正，压缩为负）1-2： 解： σ1= 2118504P kN S d π==35.3Mpa σ2=2228504P kNS d π==30.4MPa∴σmax =35.3Mpa 1-3：解：下端螺孔截面：σ1=19020.065*0.045P S ==15.4Mpa上端单螺孔截面：σ2=2PS =8.72MPa上端双螺孔截面：σ3= 3PS =9.15Mpa∴σmax =15.4Mpa 1-4：解： 受力分析得： F 1*sin15=F 2*sin45 F 1*cos15=P+F 2*sin45∴σAB = 11F S =-47.7MPa σBC =22F S =103.5 MPa1-5：解: F=6PS 1=h*t=40*4.5=180mm 2S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm 2∴σmax=2FS =38.1MPa1-6:解: (1)σAC =-20MPa,σCD =0,σDB =-20MPa;△ l AC =NL EA =AC LEA σ=-0.01mm△ l CD =CD LEA σ=0△ L DB =DB LEA σ=-0.01mm (2) ∴AB l ∆=-0.02mm 1-7:解:AC AC AC LNL EA EA σε===1.59*104, CB CB CB LNL EA EA σε===6.36*1041-8:解: 1-9：解： 1-10：解：[][]max 59.5MPa σσ=<1-11：解：（1）当45oα=，[]11.2σσ=>强度不够（2）当60oα=，[]9.17σσ=< 强度够1-12：解：1-13：解：[]max 200213MPa MPa σ=< 1-14：解： 1.78, 1.26d cm d cm==拉杆链环1-15 解：22BC F Q ==70.7 kN查表得： 45*45*3 1-16解：(1)[]2401601.5ssn σσ===MPa(2)1-17 解：（1）'61544014.521542390F n F ===≈1-18 解：P=119kN 1-19 解：所以最大载荷 84kN 1-20 解： P=33.3 kN 1-21 解： 1-22 解： 1-23 解：第二章习题2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN ， =2 cm ，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa ，试求螺栓的直径。
北航材料力学课后习题答案
σ max = 117MPa （在圆孔边缘处）
2-15 图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为[σ ]。若在节点 B 和 C 的
位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α 值（即确定节点 A 的最佳位置）。
解：1.求各杆轴力
题 2-15 图
设杆 AB 和 BC 的轴力分别为 FN1 和 FN2 ，由节点 B 的平衡条件求得
分别为
FN
=
1 2
σmax A
=
1 2
× (100 ×106 Pa) × (0.100m × 0.040m)
=
2.00 ×105 N
=
200kN
Mz
=
FN
(
h 2
−
h )
3
=பைடு நூலகம்
1 6
FN h
=
1 × (200 ×103 N) × (0.100m) 6
= 3.33×103 N ⋅ m
=
3.33kN ⋅ m
2-5 .........................................................................................................................................................2
= 0.2 ×10−3 m 0.100m
= 2.00 ×10−3
rad
α AB
= 0.1×10−3 m = 1.00 ×10−3 0.100m
rad
得 A 点处直角 BAD 的切应变为
γ A = γ BAD = α AD − α AB = 1.00 ×10−3 rad
第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。
已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。
题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε(a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。
已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。
题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。
设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。
由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B 022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EAlF F ΔDy 91022=由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。
材料力学_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
材料力学_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
1.一直杆轴向受拉压，横截面上只有轴力没有剪力，故横截面上只有正应力没
有切应力。
答案:
错误
2.一空心圆截面直杆，轴向受拉，其横截面内径变小。
答案:
正确
3.静不定结构中的压杆失稳之后，若外载荷继续增加，该压杆的轴向压力保持
不变（按照小挠度理论），但是压杆两端相对位移增加，可能导致其压弯组合破坏。
答案:
正确
4.利用对称性简化结构受力与变形分析，本质是直接确定结构对称面上的某些
内力与位移。
答案:
正确
5.如图所示两端固定阶梯型钢杆AC，左右两段长度相等，横截面面积
，当环境温度升高时，判断中间截面B的移动方向。
答案:
向右移动
6.组合梁的两种受载情况(1)和(2)如图所示。
下列结论中正确的是。
答案:
两者的Q图、M图均不同。
7.如图所示两端铰支等截面梁受均布荷载q作用，中央截面C处有弹簧支座，
其弹性系数为K。
以下4项判断中，正确的是。
(1) 该梁为一度静不定梁。
(2) 若解除中央截面C处的弹簧支座，则相应的变形协调条件是C截面向下
的挠度等于弹簧的压缩量。
(3) 若弹性系数，则中央支座相当于可动铰支座。
(4) 若，则梁AB相当于简支梁。
答案:
全部正确。
8.如图所示为T字形截面梁AD的横截面与弯矩图，z轴为形心轴，B截面和
C截面的弯矩大小相等、符号相反，则有。
答案:
最大拉应力位于截面C，最大压应力位于截面B。
北航材料力学-第十三章1-静不定问题分析
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 外力静不定问题： 存在多余的外部约束
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
建立补充方程
M
A
l
BA
l
B
l
B
l
l
A RClCFra bibliotekHCRC
C 0 fC 0
C
A 0
fA 0
Page13
MECHANICS OF MATERIALS
3EI kAB l 3
3EI kCD l 3
Ql3 Q
3EI k
Q k
2 ( f ) 2 2 f 2 f 2
f 2
2
Page3
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 讨论：
1、若 2Ql 3
3EI
2Ql 3 2Q
3EI k
Q k
2
B点与CD梁 刚好接触
( f ) 2 2 f 2 f 2
x1
M
l
A
B
以相当系统为真实载荷状态 将单位载荷加在基本系统上
l x2
M
1
HC C
M ( x1 ) ( l HC )x1 M ( x1 ) l x1 1
f 0 f (舍去)
2
2、若
Ql 3
EI
Ql 3 3Q
EI k
Q k
3
B点与CD梁 没有接触
2 ( f ) 3（ 2 2 f 2 f 2） 方程无解
Page4
MECHANICS OF MATERIALS
第十三章 静不定问题分析 §13-1 引言
材料力学参考答案三版单辉祖北航教材
由图可知， 及 的形心位置（竖向）依次为
由
可得 的形心位置为
曲边三角形截面对 轴的惯性矩为
于是得
A-9试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-9图
(a)解：1.确定形心位置（到顶边之距为 ）
2．计算惯性矩
(b)解：根据教材附录 第4行的公式，可直接计算惯性矩，
(c)解：1.确定形心位置（到大圆水平直径之距为 ）
根据转轴公式，
将相关表达式代入上式，得
A-12图示矩形截面，试确定A点的主轴方位及截面对该主轴的惯性矩。
题A-12图
解：坐标取如图A-12，并设边长 ， ，于是有
图A-12
依据主轴方位与主惯性矩公式，得
A-13试求图示各截面的主形心轴位置及主形心惯性矩。
题A-13图
(a)解：坐标示如图A-13a， 为截面形心。
图A-13a
由
得
最后得到
(b)解：坐标示如图A-13b，有
图A-13b
由
得
从而得
于是得
图A-2b
且 在 与 之间变化，而
由此可得
A-4试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-4图
解：显然，
A-5试计算图a所示正六边形截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-5图
解：由图b可以看出，
所以，ADB对z轴的惯性矩为
中部矩形截面对z轴的的惯性矩为
于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为
A-6试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
结果为负值，表示形心 在大圆水平直径上方。
2．计算惯性矩
A-10试证明下列截面的形心轴均为主形心轴，且截面对这些主形心轴的惯性矩均相同。
北航 材料力学 全部课件 习题答案
0.100
0.020 0.038182
2
0.010 0.1203 12
2 0.010 0.120 0.031822 ]m4 8.292106 m4
S z,max
0.09182 0.020 0.09182m3 2
8.431105 m3
Sz 0.100 0.020 0.03818m3 7.636105 m3
AB
b
bM EWz
0.29 0.094 20103 200109 185106
m
1.474105 m 0.01474mm
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量
距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
该处的横向应变为
σ( y1)
My1 Iz
（ y1 以向上为正）
由此可得线段 CD 的伸长量为
5
由附录 F 表 4 查得
并从而得
图 6-10
h 180mm， b 94mm, t 10.7mm I z 1660cm4， Wz 185cm3
h1 h/2 t 79.3mm。
2．计算顶边 AB 的长度改变量
顶边处有
由此可得 AB 边的伸长量为
σ
max
M Wz
ε μ ε μ σ max E
max
3F 2bh
在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为
c,max
6Fl bh2
在纵截面 AC 上，作用有均匀分布的切应力，其值为
3F 2bh
在横截面 CD 上，作用有合力为 F1=F/2 的剪切分布力。 2. 单元体的受力分析
根据上述分析，画单元体的受力如图 c 所示。图中，F2 代表横截面 AB 上由切应力构成的 剪切力，F3 代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4 则代表纵截面 AC 上由切应力构 成的剪切合力。
《材料力学》课后习题答案详细
《材料力学》课后习题答案详细在学习《材料力学》这门课程时，课后习题是巩固知识、加深理解的重要环节。
一份详细准确的课后习题答案，不仅能够帮助我们检验自己的学习成果，还能在遇到困惑时提供清晰的思路和正确的解法。
首先，让我们来谈谈材料力学中一些常见的概念和原理。
材料力学主要研究物体在受力作用下的变形、内力以及应力等情况。
例如，拉伸和压缩是常见的受力形式。
当一根杆件受到轴向拉力时，它会沿轴向伸长，同时横截面积会减小；而受到轴向压力时，则会沿轴向缩短，横截面积可能增大。
在这个过程中，我们需要计算内力、应力和应变，以评估杆件的强度和稳定性。
以一道典型的拉伸习题为例。
假设有一根圆截面的直杆，直径为d，长度为 L，受到轴向拉力 F 的作用。
我们首先需要计算横截面上的正应力。
根据公式，正应力等于内力除以横截面积。
内力就是所受的拉力 F，横截面积为πd²/4。
所以，正应力σ ＝ 4F ／（πd²) 。
接下来，计算杆的伸长量。
根据胡克定律，伸长量ΔL ＝ FL ／（EA) ，其中 E是材料的弹性模量，A 是横截面积。
再来看一道关于弯曲的习题。
有一矩形截面的梁，宽度为 b，高度为 h，承受一个集中力 P 作用在梁的中点。
这时候，我们需要计算梁横截面上的最大正应力。
通过分析可以知道，最大正应力出现在梁的上边缘或下边缘。
根据弯曲正应力公式，最大正应力σmax ＝ Mymax ／I ，其中 M 是弯矩，ymax 是离中性轴最远的距离，I 是惯性矩。
对于矩形截面，惯性矩 I ＝ bh³/12 。
在解答扭转习题时，也有相应的方法和公式。
例如，对于一个圆轴扭转的问题，我们要计算切应力和扭转角。
切应力的分布规律是沿半径线性分布，最大切应力在圆轴的外表面。
扭转角则可以通过公式计算得出。
在处理组合变形的习题时，情况会稍微复杂一些。
可能同时存在拉伸（压缩）、弯曲和扭转等多种变形。
这时候，需要分别计算每种变形引起的应力和应变，然后根据叠加原理进行综合分析。
材料力学习题解答91 48页PPT文档
q
解： 危险截面为固定端截面。
Mqa 3a1q2 a2q2 a
b
22
F N qsa i n qsa i n 2 qsa in
A
B
a
si n b 300 300 0.6
a2b2 402 03020500
q
C
a
ma xF A NW M z 4 F dN 2 3dM 23 8qads2in64dq3a2
[t ]
bFc6F(ab2cc)/2[t]
43a b[t ]
c c2 F
4 c
6c203102
c14m 7 m c14m 7 m
木噱头的最大压应力为:
c
F M bc Wz
[c]
33a b[c]
c c2 F
bFc6F(ab2cc)/2[c]
显然c： 14m 7 m 故取c： 14m 7 m
32．如图所示直径为 d 的曲杆受均布载荷 q 作用，材料的
弹性模量为 E ，泊松比 0.25。
（1）求危险点的第三强度理论的等效应力。
（2）求自由端的竖向位移。
qL
C
q
（1）危险截面在固定端处。 A
TA
1 2
qL2
MA1 2q2 LqL L2 3q2 L
用应变片测量杆件上表面的轴向应变，（1）若要测得最大
拉应变，则偏心距e = ? 最大拉应变是多大？（2）若应变片
的读数为零，则偏心距e = ?
解： (1) 要测得最大拉应变， F e = h/2
max0
e h
2e
FF
30
e
20
ma xF AW M z b Fh 6Fb(h2 h /2)
北航材料力学-习题集解-【全答案】(52页)
— 61 —
F Nx
dx
C
M dM
FNx dFNx
(b)
M C 0 ， M dM M pdx
h 0 2
∴
ph dM dx 2
2－7
| M | max 。
试作 2－6 题中梁的轴力图和弯矩图， 并确定 | FNx | max 和
FN
l
x
pl
解： | FNx | max pl （固定端）
习题 2-4 图
( ql )
C
A
B
M 5 4
Fy 0 ， FRA
M C FRB
1 ql （↓） ， 4
1 1 l ql l ql 2 （＋） 4 4
(a-1)
(b-1)
M A ql 2
A
M 2
C
D
E
M 2
B
M 2
M
A
C
1 4
B
M
3
— 59 —
| M | max
（d） M B 0
3 2 ql 2 1 ql l 0 2
( gl)
D
l
(c)
(d)
FRA 2l q 3l
FRA
FQ
FQ
( gl)
1.25
5 ql （↑） 4
A
B
1
C
A
(c-1)
D
B
0.75
C
1
3 Fy 0 ， FRB ql （↑） 4 q MB 0 ， MB l2 2 25 2 ql MD 0， MD 32 5 | FQ | max ql 4 25 2 | M | max ql 32 （e） Fy 0 ，FRC = 0 3 l M C 0 ， ql l ql M C 0 2 2
材料力学全部习题解答154页PPT
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。
已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。
题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε(a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。
已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。
题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。
设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。
由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B 022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EAlF F ΔDy 91022=由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。
试用能量法证明弹簧的轴向变形为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αααλcos sin 2cos 8243E G Gd n FD 式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数，α为螺旋升角，E 为弹性模量，G 为切变模量。
题13-5图解：由图b 可知，s 截面的弯矩与扭矩分别为()()ααααcos 2cos ,sin 2sin FDM s T FD M s M F F ==== （a ） 据能量守恒定律，有εV W =（b ）其中，2λF W =（c ）而()()s EIs M s GI s T V l l εd 2d 22P2⎰⎰+= （d ）式中，l 为簧丝总长，其值为αcos πDnl =（e ）将式（a ）代入式（d ），并注意到式（e ），得)c o ss i n c o s (8π2P P 32αααEI GI GI n D F V ε+=（f ）最后，将式（c ）和（f ）代入式（b ），于是得)cos sin 2cos (8243αααλE G Gd n FD +=13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F 的横向力作用。
设截面宽度为b 、拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ。
试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为EAbF l μ=∆题13-6图解：设该杆两端承受轴向拉力1F 作用，杆的横向变形为EAb F b EA F b b 11μμμε-=-=-=∆ 根据功的互等定理，于是有⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅EA b F F l F 11Δμ由此得EAbFl μ=Δ13-8 图示桁架，在节点B 承受载荷F 作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移B ∆。
题13-8图解：根据卡氏定理，有FF l F EA Δi i i i B ∂∂=∑=N 51N 1各杆编号示如图13-8。
图13-8求B Δ的运算过程示如下表：由此得()EAFa ΔB 2223+=（↓）13-9 图示刚架，承受载荷F 作用。
设弯曲刚度EI 为常数，试用卡氏定理计算截面C 的转角。
题13-9图解：在截面C 处假想附加一矩为C M 的力偶（见图13-9），由图可得()ax M x M x a M F x M C C 1111)( , )(=∂∂+= 1)( , )(C222=∂∂+=M x M M Fx x M C图13-9根据卡氏定理，得EIFa x Fx x axFx EIaaC 65]d )1)((d ))(([120 0 22111=+=⎰⎰θ （ ） 13-10 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数，试用卡氏定理计算横截面A 的挠度∆A与转角θA。
题13-10图（a ）解：令A M Fa =，由图13-10a 易得()Fx M x M A -=， ()x Fx M -=∂∂， ()1=∂∂AM x M图13-10(a)注意到左半段梁上0=M ，于是得EIFa x x Fx Fa EIΔaA 6d ))((130 -=--=⎰（↑） EIFa x Fx Fa EIaA 2d )1()(120 =-=⎰θ （✈） （b ）解：令F qa =，并在A 端附加一顺钟方向的力偶矩A M ，自A 向左取坐标x ，有()221qx Fx M x M A ---=， x F x M -=∂∂)(， 1)(-=∂∂A M x M 根据卡氏定理，得EIqa x x qx qax EIΔaA 2411d )()21(140 2=---=⎰（↓） EIqa x qx qax EI a A 32d )1)(21(13 0 2=---=⎰θ（ ） 13-12 图示圆截面轴，承受集度为m 的均布扭力矩作用。
设扭转刚度GI p为常数，试用卡氏定理计算杆端截面A 的扭转角。
题13-12图解：在A 端附加一扭力矩A M ，自A 向左取坐标1x ，自轴中间截面向左取坐标2x ，于是有()()ma M x T mx M x T A A +=+=211 ,及()()121=∂∂=∂∂AA M x T M x T 依据卡氏定理，得p20 0 211p 23d )1)((d )1)((1GI max ma x mx GI aaA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰ϕ13-14 图示简支梁，承受集度为q (x ) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移)(*x w ，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：⎰⎰=llx M x x q x w **d )()()(θd即证明外载荷q (x ) 在虚位移上所作之总虚功W e ，等于可能内力M (x )在相应虚变形上所作之总虚功W i 。
题13-14图解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此xw d d **=θ， 0)()0(**==l w w 可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即()() d d d d S S ,xM x F ,x F x q == 0)((0)==l M M于是有x x w F F w x x F x w x x q x w W l l l l d d d d d d )(d )()( 0 S 0S S 0 e ****⎰⎰⎰⋅-=⋅==i 0 0 0 d )(d )(d d d W x M x M M x xM l l l l ==+-=-=****⎰⎰⎰θθθθ13-15 图示阶梯形简支梁，承受载荷F 作用。
试用单位载荷法计算横截面C 的挠度C∆与横截面A 的转角A θ。
题13-15图解：设两种单位状态如下：1．令1=F ；2．在截面A 处假想加一顺钟向力偶矩1=A M ，坐标示如图13-15。
图13-15三种弯矩方程为()()()1111113 311~31x F x M ,x a x M ,x x M =-==()()()2222223 311~31x F x M ,x a x M ,x x M =-==()()()33333332 31~32x F x M ,x a x M ,x x M ===依据单位载荷法，有 )( 5413d )32)(32(21d )3)(3(21d )3)(31(133 0 332 2221 0 11↓=++=⎰⎰⎰EIFa x x F x EIx x F x EIx x F x EIaaaaC ∆ 及EIFa x x F a x EIx x F a x EIx x F a x EIaaaaA 10831)d 32)(3(21d )3)(31(21d )3)(31(120 3332 2221 0 11=+-+-=⎰⎰⎰θ（ ） 13-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q 作用。
设各梁各截面的弯曲刚度均为EI ，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角θ。
题13-16图解：求θ的单位状态及坐标取法示如图13-16。
图13-16两种弯矩方程为()()21112,0x q x M x M -==()()22222,1x qax M a x x M -=-=()()33332,1x qa x M a x x M =+= 由此得到EIqa x x qa a x EIx x qa a x EIaa3d )2)(1(1d )2)(1(133 0 332 0 22=++--=⎰⎰θ （ ） 13-17 图示桁架，在节点B 处承受载荷F 作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用单位载荷法计算该节点的水平位移B ∆与杆AB 的转角AB θ。
题13-17图(a) 解：求B Δ和AB θ的单位状态分别示如图13-17a （1）和a （2）。
图13-17a求B Δ的运算过程列表如下：故有EAFaEA l F F Δi i i i B 12331N N -==∑=（←）求AB θ的运算过程列表如下：故有∑===31N N 635i i i i AB EA FEA l F F θ（ ） (b) 解：求B Δ和AB θ的单位状态分别示如图13-17b （1）和b （2）。
图13-17b求B Δ的运算过程列表如下：故有EA FaEA lFFΔi i ii B)222(5 1NN+==∑=（→）求ABθ的运算过程列表如下：故有EA FEA lFFii ii AB)242(51NN+==∑=θ（ ）13-18图示刚架，弯曲刚度EI为常数。
试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的水平或铅垂位移。
题13-18图(a )解：求A θ及D Δ的单位状态分别示如图13-18a （1）和（2）。
图13-18a弯矩方程依次为()()()21111112,~,1 x q qax x M x x M x M -=== ()()()222222,~ ,1x qa x M a x M x a x M ===()()()0 ,~,03333===x M x x M x M依据单位载荷法，有EIqa x qax a x x x q qax EI aaA 2d )2)((d )2)(1(13 0 0 2221211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰θ（ ） 及EIqa x x qa a x x q qax x EI ΔaaD 2411d )2)((d )2)((14 0 0 2212111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰（→） (b)解：求A θ及D Δ的单位状态如图13-18b （1）和b （2）所示。