2021版新高考数学人教B版一轮课件：11.1 基本计数原理
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.1计数原理
高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。
解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。
当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。
当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。
……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。
当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。
……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。
（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。
某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
最新-2021版高考数学理一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 111 精品
(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数 有多少？
【解析】 每个冠军只能有一个获得，而每人可获得多个冠 军，所以“冠军”相当于“客”，“学生”相当于店，3人住5间 店，共有53种可能的情况．
【答案】 125种
(3)三封信投入到4个不同的信箱中，共有多少种不同的投 法．
【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完 成，故分三步：
④若位置二与三相同，则信息为1 111； ⑤若位置二与四相同，则信息为1 100； ⑥若位置三与四相同，则信息为1 010.共6个． 故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个 数为1＋4＋6＝11.
方法二：若0个相同，共有1个； 若1个相同，共有C41＝4(个)； 若2个相同，共有C42＝6(个)． 故共有1＋4＋6＝11(个)． 【答案】 11个
答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层 到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的
集合 X 共有( )
A．2 个
B．6 个
C．4 个
D．8 个
答案 D
解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5
6．(2017·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁， 俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求 甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 ________．
答案 182 解析 甲、乙中裁一人的方案有C21C83种，甲、乙都不裁的方 案有C84种，故不同的裁员方案共有C21C83＋C84＝182种．
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
计数原理-完整版课件
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
2021高考人教B版数学一轮复习课件：第11章第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(3)现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，
每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班
表共有________种不同的排法．
答案 1280 解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数
原理，分步进行：
第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4
A．40
B．16
C．13
D．10
解析 分两类情况讨论：
第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第
2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．根据分类
加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面．
解析 答案
5．高三某班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那 么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)
解析 答案
考向二 分步乘法计数原理
例 2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
答案
解析 分两步，第一步，从 E→F，有 6 条可以选择的最短路径；第二 步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3 ＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
() A．56
B．54
C．53
D．52
解析 在 8 个数字中任取 2 个不同的数字共可产生 8×7＝56 个对数值，
在这 56 个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 则满足条件的对数值共有 56－4＝52 个．
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【易错点索引】
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
D.45
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取,
所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类,
当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种,
D.5种
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
高考数学人教版理科第一轮复习：第十一章 计数原理 pptx89
(1)C (2)A
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
关闭
答11 案
考点1
考点2
考点3
解析 (1)由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为
Tr+1=C5������ (x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当 r=2 时,T3=C52(x2+x)3y2 中才能含有 x5y2 项.设(x2+x)3 的展开式的通项 为 Ti+1=C3������ (x2)3-i·xi=C3������ x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则(x2+x)3 的 展开式中 x5 项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系 数是C52 ·3=10×3=30.
当 n 为奇数时,中间的两项 得最大值
������-1
C������2
和 ������+1 取
C������ 2
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
3
知识梳理 双基自测
123
3.常用结论
(1)C���0��� + C���1��� + C���2��� +…+C������������ = 2n . (2)C���0��� + C���2��� + C���4��� +…=C���1��� + C���3��� + C���5��� +…= 2n-1 . (3)C���1��� +2C���2��� +3C���3��� +…+nC������������ =n2n-1.
高考数学一轮总复习 专题11 计数原理 11.1 排列、组合
n!
A
m n
=③
(n m)!
.规定0!=1.
4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合
的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用④ Cmn 表示.
.
解析 解法一: ∵a<b<c,2≤c-b≤6,∴c≥4. 当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为 C22 =1; 当c=5时,a,b∈{1,2,3},则集合A的个数为 C32 =3; 当c=6时,a,b∈{1,2,3,4},则集合A的个数为 C24 =6; 当c=7时,a,b∈{1,2,3,4,5},则集合A的个数为 C52 =10; 当c=8时,a,b∈{1,2,3,4,5,6},则集合A的个数为 C62 =15; 当c=9时,a,b∈{1,2,3,4,5,6,7},且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为 C72 1=20. 故总共有1+3+6+10+15+20=55. 解法二:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的数组成集合A,共有 C39 =84个.
考向三 排列组合综合问题
例3 (2018浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老
师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的
班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的
班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班
主任,则共有
高考数学（浙江专用）
11.1 排列、组合
考点清单
考点 排列、组合
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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【常用结论】 1.(a+b)n的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为n+1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按 升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
(4) kCkn＝nCkn－ 11 . (
)
(5) C
r an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.
n
(
)
(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同. ( )
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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提示:(1)√.
【解析】选C. (x 1 )12 的展开式的第4项
3x
T4=
C
新人教B版学高中数学选修计数原理基本计数原理基本计数原理的应用讲义
学习目标：１．熟练应用两个计数原理．（重点）２．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题．（难点）教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P４～P５，完成下列问题．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一完成一件事共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法都是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互关联的、互相依存的１．由１,２,３,４组成没有重复数字的三位数的个数为________．【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为４×３×２＝２４．【答案】２４２．（a１＋a２＋a３）（b１＋b２＋b３）（c１＋c２＋c３＋c４）展开后共有________项．【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a１＋a２＋a３，b１＋b２＋b３，c１＋c２＋c３＋c４中的各一项．由a１，a２，a３中取一项共３种取法，从b１，b２，b３中取一项有３种不同取法，从c１，c２，c ３，c４中任取一项共４种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共３×３×４＝３6（项）．【答案】３6３．５名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有１种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有３种安排方法，剩余的３人担任剩余的工作，有３×２×１＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有１×３×6＝１8种分工方案．【答案】１8４．用１,２,３三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个．【解析】分三步完成，第１步，确定哪一个数字被使用２次，有３种方法；第２步，把这２个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有３种方法；第３步，将余下的２个数字排在四位数余下的两个位置上，有２种方法．故有３×３×２＝１8个不同的四位数．【答案】１8抽取（分配）问题【例１】（１）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）Ａ．１6种Ｂ．１8种Ｃ．３7种Ｄ．４8种（２）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种．【精彩点拨】（１）由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．（２）先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．【解】（１）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有４３种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有３３种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有４３—３３＝３7（种）．故选Ｃ．（２）不妨由甲先来取，共３种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共３种取法，余下来的人，都只有１种选择，所以不同取法共有３×３×１×１＝9（种）．【答案】（１）C （２）9求解抽取（分配）问题的方法１．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．２．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：１直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．２间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．１．３个不同的小球放入５个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一：（以小球为研究对象）分三步来完成：第一步：放第一个小球有５种选择；第二步：放第二个小球有４种选择；第三步：放第三个小球有３种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝５×４×３＝60（种）．法二：（以盒子为研究对象）盒子标上序号１,２,３,４,５，分成以下１0类：第一类：空盒子标号为（１,２）：选法有３×２×１＝6（种）；第二类：空盒子标号为（１,３）：选法有３×２×１＝6（种）；第三类：空盒子标号为（１,４）：选法有３×２×１＝6（种）；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60（种）.组数问题【例２】用0,１,２,３,４,５可以组成多少个无重复数字的：（１）银行存折的四位密码？（２）四位整数？（３）比２000大的四位偶数？【精彩点拨】（１）用分步乘法计数原理求解（１）问；（２）0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；（３）可以按个位是0,２,４分三类，也可以按首位是２,３,４,５分四类解决，也可以用间接法求解．【解】（１）分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有５种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有４种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有３种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×５×４×３＝３60（个）．（２）分步解决．第一步：首位数字有５种选取方法；第二步：百位数字有５种选取方法；第三步：十位数字有４种选取方法；第四步：个位数字有３种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有５×５×４×３＝３00（个）．（３）法一：按末位是0,２,４分为三类：第一类：末位是0的有４×４×３＝４8个；第二类：末位是２的有３×４×３＝３6个；第三类：末位是４的有３×４×３＝３6个．则由分类加法计数原理有N＝４8＋３6＋３6＝１２0（个）．法二：按千位是２,３,４,５分四类：第一类：千位是２的有２×４×３＝２４（个）；第二类：千位是３的有３×４×３＝３6（个）；第三类：千位是４的有２×４×３＝２４（个）；第四类：千位是５的有３×４×３＝３6（个）．则由分类加法计数原理有N＝２４＋３6＋２４＋３6＝１２0（个）．法三：间接法．用0,１,２,３,４,５可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有５×４×３＝60（个）；第二类：末位是２或４的有２×４×４×３＝96（个）．共有60＋96＝１５6（个）．其中比２000小的有：千位是１的共有３×４×３＝３6（个），所以符合条件的四位偶数共有１５6—３6＝１２0（个）．１．对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．２．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．２．由0,１,２,３这四个数字，可组成多少个：（１）无重复数字的三位数？（２）可以有重复数字的三位数？【解】（１）0不能做百位数字，所以百位数字有３种选择，十位数字有３种选择，个位数字有２种选择，所以无重复数字的三位数共有３×３×２＝１8（个）．（２）百位数字有３种选择，十位数字有４种选择，个位数字也有４种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有３×４×４＝４8（个）.涂色问题[探究问题]１．用３种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区A B C D【提示】涂A区有３种涂法，B，C，D区域各有２种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有３×２×２×２＝２４（种）不同方案．２．在探究１中，若恰好用３种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用３种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用３种不同颜色涂四个区域共３×２×１＋３×２×１＋３×２×１＝１8（种）不同的方案．３．在探究１中，若恰好用２种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用２种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从３种不同颜色中任取两种颜色，共３种不同的取法，然后用所取的２种颜色涂四个区域共２种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用２种不同颜色涂四个区域共有３×２＝6（种）不同的涂色方案．【例３】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有４种不同的涂色方法，B区域有３种，C区域有２种，D区域有２种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有２种，如果不相同，那么只有１种．因此应先分类后分步．【解】法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．１当B与D同色时，有４×３×２×１×２＝４8种．２当B与D不同色时，有４×３×２×１×１＝２４种．故共有４8＋２４＝7２种不同的涂色方法．法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用４种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有２×４×３×２×１＝４8种不同涂法．第二类，用３种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从４种颜色中取３种，再涂色，共４×３×２×１＝２４种不同涂法．由分类加法计数原理共４8＋２４＝7２种不同涂法．求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：１按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；２以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；３对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.３．如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA１B１C１组合而成的，现用３种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A１B１C１不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有３×２×１×２＝１２种不同的涂法．【答案】１２１．已知x∈{１,２,３,４}，y∈{５,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．8 Ｄ．１５【解析】x的取值共有４个，y的取值也有４个，则xy共有４×４＝１6个积，但是由于３×8＝４×6，所以xy共有１6—１＝１５（个）不同值，故选Ｄ．【答案】D２．某年级要从３名男生，２名女生中选派３人参加某次社区服务，如果要求至少有１名女生，那么不同的选派方案有（）Ａ．6种Ｂ．7种Ｃ．8种Ｄ．9种【解析】可按女生人数分类：若选派一名女生，有２×３＝6种；若选派２名女生，则有３种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．【答案】D３．３名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．【解析】每名同学都有４种不同的报名方案，共有４×４×４＝6４种不同的报名方案．【答案】6４４．圆周上有２n个等分点（n大于２），任取３点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．【解析】先在圆周上找一点，因为有２n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n—１条，这n—１条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成n—１个直角三角形，而这样的点有２n个，所以一共有２n（n—１）个符合题意的直角三角形．【答案】２n（n—１）５．用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？【解】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有５种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有４种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有５种不同的选法，共有6×５×４×５＝600种不同的书写方案．。
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提示：(1)×.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，如果方 法相同，则是同一类. (2)√.根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确. (3)×.在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件事. (4)×.分类加法计数原理和分步乘法计数原理可能单独使用，也可能交叉使用.
【易错点索引】
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有6+5+4+3+2+1
=21(个).
形如
的此时共有21+5+4=30(个).
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359. 答案:1 359
2.(选修2-3P7习题1-1BT1改编)设集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8},a∈A,b∈B,
则直线ax+by=2 021有______条. ( )
A.4
B.5
C.20
D.9
【解析】选C.分两个步骤:第一步确定a,有5种方法,第二步确定b,有4种方法,所 以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20(条).
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步 乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了 才算完成这件事.
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
第十一章 计数原理、 概率、随机变量及其分布 第一节 基本计数原理
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件 事共有N=____m_1_+_m_2+_…__+_m_n__种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二 个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这 件事共有N=____m_1_×__m_2×__…__×__m_n__种不同的方法.
D.5种
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
考点一 分类加法计数原理及其应用
【题组练透】
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取
法的种数有 ( )
A.30
B.20
C.10
D.6
2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4
3.(选修2-3P7习题1-1AT1改编)五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文 明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如 图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中 任选2类元素,则2类元素相生的选取方案共有( )
A.10种 B.15种 C.4种
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
考点三、角度1
考点三、角度2，3
【教材·基础自测】
1.(选修2-3P8习题1-1BT3改编)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分步乘法计数原理中，不同的步骤中完成各自步骤的方法是各不相同的. () (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都 能完成这件事. ( ) (4)在计算完成一件事的所有方法时，分类加法计数原理和分步乘法计数原理不 能同时使用.( )
次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有
()
A.4种
B.6种
C.10种
D.16种
3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位
“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________. 世纪
金榜导学号
【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类 两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法. 2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时, 满足条件有3种方法(如图),
位数有______个 ( )
A.36
B.90
C.72
D.45
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取, 所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类, 当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种, 当十位数字为7时,个位数字是8,9,有2种, 当十位数字为6时,个位数字是7,8,9,有3种, 当十位数字为5时,个位数字是6,7,8,9,有4种, 当十位数字为4时,个位数字是5,6,7,8,9,有5种, 当十位数字为3时,个位数字是4,5,6,7,8,9,有6种,
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种, 当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种, 所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(种).
方法二:所有的两位数从10,到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三 类: (1)个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个, (2)个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个, (3)个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两 位数有x个, 所以列得方程9+x+9+x=90,解得x=36.