江苏省无锡市2020届高三数学第一次模拟考试试题

江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数 学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则PA →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面PAD；(2) 求证：平面PAD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2020年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2020年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2020年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x－a 2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n＋12t 为等比数列？请说明理由； (3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学附加题 注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4­2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab 12·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34cd ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4­4: 坐标系与参数方程 自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP＝12，若Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .(这是边文，请据需要手工删加)江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. {x|0<x<1} 2. －1 3. 36 4. 315. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x 9. 3π 10. 21 11. 142 12. －2 13. 19－12 14. 21315. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )， 得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a 2R b －(b ＋c )2R b＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－21，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝32π.(7分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以a 2＋b 2－2ab cos 32π＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分) 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤2a ＋b ，所以43（a ＋b ）2≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤2，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤2＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋2， 所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋2]．(14分)16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面， 所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ， 所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×20x≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分) 因为y ＝20x在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6， 所以20x≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1001[5x x 1＋20x(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分)所以－315≤x －5≤315.(11分)因为3<<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2020年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得a2＝b2＋c2，2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为4x2＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－21<k<0，所以C(0，2k)，由＋y2＝1，x2消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝1＋4k216k2－4，由x A ＝－2得x P ＝1＋4k22－8k2，故y P ＝k(x P ＋2)＝1＋4k24k，所以P1＋4k24k，(8分)设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故－x01＝1＋4k22－8k2，解得x D ＝1－2k 2（1＋2k ），得D ，02（1＋2k ），(10分)所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝21×AD ×|y P －y C |＝21＋22（1＋2k ）－2k 4k ＝1＋4k24|k （1＋2k ）|，(12分) 因为－21<k<0，所以S △PCD ＝1＋4k2－8k2－4k ＝－2＋2×1＋4k21－2k，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋1＋（1－t ）22t ＝－2＋t2－2t ＋22t ＝－2＋－22≤－2＋－22＝－1，(14分) 当且仅当t ＝时取等号，此时k ＝22，所以△PCD 面积的最大值为－1.(16分) 19. (1) 由f(x)＝e x －21x 2－x ，则f′(x)＝e x－x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x－1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分) 进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)(2) f′(x)＝e x－ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点， 所以f ′（x2）＝0，f ′（x1）＝0，即ex2－ax2－a ＝0.ex1－ax1－a ＝0， 两式相减，得a ＝x1－x2ex1－ex2，(8分)则所证不等式等价于2x1＋x2<ln x1－x2ex1－ex2，即e 2x1＋x2<x1－x2ex1－ex2，(10分) 不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：e 2x1－x2<x1－x2ex1－x2－1，(12分)令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e 2t <t et －1⇔t e 2t－e t ＋1<0.(14分)设φ(t)＝t e 2t －e t ＋1，则φ′(t)＝－e 2t ·＋1t ，因为e x ≥x ＋1，令x ＝2t ，可得e 2t －＋1t ≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以2x1＋x2<ln a ．(16分)20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝2q ，所以a n ＝2q q n －1＝21q n .(2分)因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝1－q （1－qn ），所以S n ＋2t 1＝1－q （1－qn ）＋2t 1＝2（q －1）qn ＋t ＋2（1－q ）q ＋2t 1，要使得2t 1为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即2（1－q ）q ＋2t 1＝0，解得t ＝q q －1.(9分)此时2t 1＝2（q －1）qn ＋1＝q ，所以存在t ＝q q －1，使得2t 1为等比数列．(10分)(3) c n ＝bn ＋41＝2n ＋11，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以2l ＋12＝2k ＋11＋2m ＋11.所以2m ＋11＝2l ＋12－2k ＋11＝（2l ＋1）（2k ＋1）4k －2l ＋1.所以m ＝4k －2l ＋12kl －k ＋2l＝4k －2l ＋1（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）2＝－k －1＋4k －2l ＋1（2k ＋1）2.所以m ＋k ＋1＝4k －2l ＋1（2k ＋1）2.因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝0，所以20＝d ，得－1＝d ，2＝c ，(6分)即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分)所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以ρ12cos θ＝3，即ρ＝4cos θ，(3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由2(t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分)所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝2|2－0＋3|－2＝22－2.(10分)23. (1) 由题意得－|x ＋1|＝1，(2分)即＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立y ＝kx ＋2，y2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分)由k FA ＋k FB ＝x1－2y1＋x2－2y2＝x1－2k （x1＋2）＋x2－2k （x2＋2）＝（x1－2）（x2－2）k （x1＋2）（x2－2）＋k （x1－2）（x2＋2）＝（x1－2）（x2－2）2k （x1x2－4）.(8分)将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由an －11＝an －1－12－an －1，得an －11＝an －1－11－an －1＋an －1－11，所以an －11－an －1－11＝－1，(1分)所以an －11是首项为－3，公差为－1的等差数列，且an －11＝－n －2，所以a n ＝n ＋2n ＋1.(3分)(2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln 2n ＋3＋21.①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝32，右边＝23－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<43，23－ln 2>23－43＝43>32，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln 2k ＋3＋21，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln 2k ＋3＋21＋k ＋3k ＋2，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln 2（k ＋1）＋3＋21，只要证k －ln 2k ＋3＋21＋k ＋3k ＋2<(k ＋1)－ln 2（k ＋1）＋3＋21，只要证lnk ＋3k ＋4<k ＋31，即证lnk ＋31<k ＋31.(8分)考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝1＋x 1－1＝1＋x －x <0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以lnk ＋31<k ＋31，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln 2n ＋3＋21.(10分)。