高数76高阶线性微分方程

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第-节高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】

其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中为常数,
分析：设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2

常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节高阶线性微分方程二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9）定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则

高阶线性微分方程

3x
例题. 例题设为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理定理叠加原理) 叠加原理如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解步骤三求方程的特解 y* 定理设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出

高阶线性微分方程

令 y = ue x 是非齐次方程的解， y ′′ = u ′′e x + 2 u ′e x + ue
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数都是线性的。

高阶线性微分方程

u 21 a1 u 12 a11 a2 u 0,
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简，将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题：以上解的线性组合是否是方程的通解？
6

《高阶微分方程》PPT课件

y yc y .
16

2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中为实数.
解特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.

A-76-12高阶微分方程

可分离变量
(y,C 1)(dy,yC1)
ห้องสมุดไป่ตู้
dx
xC2.
7
例题讨论
例1：求y 2 y20的通解。
1y
解：令 yP (y) y P ( y ) y P P ,
8
课外作业（可降阶）
7 — 6 (A) (P. 161 ) 1（2，4，6，8 ( 4 改成 x )） 2（2，4），3（2，3，5）
高等数学电子教案
高等数学
A
1
§6. 可降阶的高阶微分方程
2
二阶及二阶以上的微分方程称为
高阶微分方程。二阶微分方程的一般形式：
F ( x , y , y , y ) 0 或 y f ( x , y , y ) 主要介绍： (1) 可降阶的二阶微分方程； (2) 二阶线性微分方程； (3) 二阶欧拉（Euler）方程。
(*) 称为 (1) 的特征方程。 21
微分方程 y p y q y 0(1)
特征方程 r2prq0 (*)
特点： ① (*) 中 r 2 , r, r 0 的系数就是 (1)
②一元二中次y方,程y,(y*)的的根系r1,数 2。 p
p24q .
2
p p p2 2 2 4 4 4q q q 0 0 0,,, r1r r1 1 ,,r r r2 2 2 是是两一2 p个对是不共两相轭个等复相的根等实，的根实；根；
r1,22 pi
4qp2i.
2
22
二、特征方程的根与微分方程解的关系
设yerx是齐次线性微分方程(1)的解，
(1) 当 r1 r2, y 1 e r1 x ,y 2 e r2 x ,

微分方程第四节高阶线性方程

高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法具有重要意义。
微分方程第四节高阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经济等领域的问题时具有广泛应用，如描述人口增长、信号传输等。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常出现，如求解波动方程、热传导方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用的物理量时出现，如弹性力学、流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶微分方程组。

高阶线性微分方程

"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「、「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o

高等数学7-6高阶线性微分方程—解的结构

1，cos 2 x , sin 2 x 线性相关
y1 ( x ) 常数，特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
例如 y y 0,
y1 cos x , y 2 sin x ,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
为通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
( 2)
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( D)
C1 ( e x e 2 ) C 2 ( e x e x )
*三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设 y1是方程 (1)的一个非零特解，
令 y2 u( x ) y1
代入(1)式, 得
y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u ( y1 P ( x ) y1 Q ( x ) y1 ) u 0, 即 y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u 0,
xc1 ( x ) e x c ( x ) 0 2 c1 ( x ) e x c ( x ) x 1 2
c1 ( x ) x C 1，
c1 ( x ) 1 解得 c ( x ) xe x 2
x
c 2 ( x ) xe

§4 高阶线性微分方程

问题 y1 (x) 与 y2 (x) 是(4.2)的解，由定理 1， y C1 y1 (x) C2 y2 (x) 也是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。

下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。

形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。

111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。

高阶线性微分方程

分析物体表面向外界辐射热量的过程，通过高阶线性微分方程可以求解出物体的辐射强度、辐射功率等。
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值解法
对于难以找到解析解的非线性微分方程，数值方法成为求解的主要手段，如有限元法、有限差分法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。高阶线性微分方程作为微分方程的一种特殊类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应齐次方程的通解加上一个特解。

高等数学高阶线性微分方程

x
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学理学院数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根一个k阶重根一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项

高阶线性微分方程

高阶线性微分方程函数组的线性相关与线性无关线性微分方程的一般形式齐次线性微分方程的解的结构非齐次线性微分方程的解的结构函数组的线性相关与线性无关设)(1x y ,2()y x , ,()n y x 为定义在区间I 上的n 个如果存在n 个不全为零的常数1k ,2k , ,n k , 当x I ∈时有恒等式11220n n k y k y k y +++≡成立，那么称这n 个函数在区间I 上线性相关；否则称为线性无关.函数, 使得函数1，2cos x ，2sin x 在整个数轴上是线性相关的. 例如,取11k =，231k k ==-，就有恒等式 221cos sin 0x x --≡.函数1，x ，2x 在任何区间(,)a b 内是线性无关的. 如果1k ，2k ，3k 不全为零, 在该区间内至多只有两个x 值能使2123k k x k x ++为零. 要使21230k k x k x ++≡，必须1k ，2k ，3k 全为零.对于两个函数1()y x ,2()y x的情形:如果21() ()y x y xk=,k为常数，1()y x与2()y x线性相关；如果21()(() )y x y xxϕ=,1()y x与2()y x线性无关.线性微分方程的一般形式n 阶线性微分方程的一般形式是： ()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= 二阶线性微分方程的一般形式是： 22d d ()()()d d y y P x Q x y f x x x ++=当方程右端()0f x≡时，方程22d d()()0d dy yP x Q x yx x++=叫做齐次的；当方程右端()0f x≠时，方程22d d()()()d dy yP x Q x y f xx x++=叫做非齐次的.齐次线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++= (1) 定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解, 那么)()(2211x y C x y C y +=也是方程(1)的解,其中21,C C 是任意常数.证将y ,y ',y ''代入方程左端，得112211221122[]()[]()[]C y C y P x C y C y Q x C y C y ''''''+++++ 11112222[()()][()()]C y P x y Q x y C y P x y Q x y ''''''=+++++ 0= 0= 0=()()0y P x y Q x y '''++= , )()(2211x y C x y C y +=从形式上来看)()(2211x y C x y C y +=含有1C 与2C 两个任意常数，但它不一定是方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解. 例如,设1()y x 是该方程的一个解,则21()2()y x y x =也是该方程的解.1121()2()y C y x C y x =+ 1()Cy x =, 其中122C C C =+定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解， )()(2211x y C x y C y +=(1C ,2C 是任意常数）就是方程(1)的通解.()()0y P x y Q x y '''++= (1)那么例如，方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程，容易验证， 1cos y x =，2sin y x =是所给方程的两个解， 21sin tan cos y x x y x==≠常数，即1y 与2y 线性无关, 因此所给方程的通解为12cos sin y C x C x =+.推论如果)(1x y ,2()y x , ,()n y x 是n 阶齐次线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= 的n 个线性无关的解，那么此方程的通解为1122()()()n n y C y x C y x C y x =+++ 其中1C ，2C ，，n C 是任意常数.非齐次线性微分方程的解的结构二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)与非齐次方程对应的齐次方程.定理3 设*y 是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解, ()Y x 是与(1)对应的齐次方程(2)的通解,则 ()()y Y x y x *=+是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)证 ***()()()()()Y y P x Y y Q x Y y ''''''+++++ ***[()()][()()]Y P x Y Q x Y y P x y Q x y ''''''=+++++()f x =y Y y *=+中也含有两个任意常数，将y ,y ',y ''代入方程左端，得0= ()f x = 从而它就是二阶非齐次线性方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1)例如，齐次方程0y y ''+=的通解为 12cos sin Y C x C x =+, 容易验证方程2y y x ''+=是二阶非齐次线性微分方程. *22y x =-是所给方程的一个特解. 所给方程的通解为 212cos sin 2y C x C x x =++-.12,,,n y y y ()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x --'++++= ()(1)11()()()0n n n n y P x y P x y P x y --'++++= *1122n n y C y C y C y y =++++ 是非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程而*y 是非齐次线性微分方程的特解, 的n 个线性无关解，如果则就是非齐次线性微分方程的通解.定理4 设非齐次线性方程的右端()f x 是两个函数之和，即 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 1()y x *是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 2()y x *是方程)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则12()()y x y x **+就是原方程的特解. 解的叠加原理证将12y y y**=+代入原方程的左端，得 ******121212()()()()()y y P x y y Q x y y '''+++++******111222[()()][()()]y P x y Q x y y P x y Q x y ''''''=+++++ 12()()f x f x =+因此**12y y +是原方程的一个特解. 1()f x =2()f x = )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''。

第十四讲(1) 高阶线性微分方程

的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常微分方程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
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6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常微分方程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
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(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2

x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常微分方程

x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
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3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;

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微分方程第四节高阶线性方程

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高等数学7-6高阶线性微分方程—解的结构

§4 高阶线性微分方程

高阶线性微分方程常用解法介绍

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