应用数学 课件 第14章 保角变换法-兰州大学信息院
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【8A版】保角映射
§4保角映射的物理应用拉普拉斯方程式02=∇φ为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题．本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为022222=∂∂+∂∂=∇=∆yx φφφφ（1）称曲线=),(y x φ常数为等位线．定义1对于区域G 内的实值函数),(y x φ（或)(z φ），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称φ在G 内调和或φ是区域G 的调和函数．注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。
可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若)(ζz z =是区域D 到G 的共性映射，记))(()(ζζz u U =，不难验证：)()()(2z u z U ∆'=∆ζζ．因此，若)(z u 在G 内调和，必有)(ζU 在D 内调和．定义2设)(z u 和)(z v 在区域G 内调和，如果x y y x v u v u -==,，则称)(z v 是)(z u 的共轭调和函数．称dy u dx u du x y +-=*为dy u dx u du y x +=的共轭微分．理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的．定理1若)(z u 是单连通区域G 内的调和函数，则其共轭调和函数)(z v 一定存在，因此为)()()(z iv z u z f +=G 内的解析函数． 证明例2已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+.解利用C-R 方程，(2)2v u y x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.因此，2()vx g y y ∂'=+∂2u x y x∂==+∂， 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2y g y ydy C ==+⎰.因此，22222x y v xy C =-++。
保角变换法
R R i c ln 2 wm t 1 R 1 R
式中
1 wm w1 w2 ， c 2
平板叶栅的一般绕流
为绕一个翼型的环量。
2.3.P9
（五）平板叶栅一般流动中环量的确定
环量的确定依据是弧立翼型绕流中的库塔 —— 恰普雷金条件。而栅中翼型尾缘点 B 必然 是后驻点，此外速度是一有限值。 经换算得
a) b)
2.3.P6
其复势为
t W 2 i R 1 R i ie ln ie ln R 1 R
流动奇点强度为
q1 q2 t sin
1 2 t cos
（三）平板叶栅纯环量绕流 b) 图示，栅前后只有 列线方向速度 w1、w2 。
可见 L L t b , ，具体 数值见图示曲线。 由上述已解得的平板叶栅 流动，可以求解由任何翼型组 成的等价平面直列叶栅流动。
平板叶栅环量修正曲线
三、平面环列叶栅流动的解法
2.3.P11
设图示环列叶栅由 n 个翼型组成，流动自中心 向外。可见，只要确定一个扇形区域内的流动即可。
平板叶栅无环量平行绕流
2
2.3.P4
q t cos
t sin
Z 平面复势
W z zei
表示速度为 1 的均匀流复势。 变换为 平面为 R 处相应放置点源、点汇
q 和点涡 的绕圆流动。
其复势
t W 2 i R i 1 R e ln e ln R 1 R
变换为 平面绕单位圆流动，且有
R R i W ln 1 1 4 R R
保角映射PPT课件
0
ad
bc
0
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2.把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射
(z) y
l
v i (w)
-1 O 1 x -1 O 1 u
边界Imz=0对边界|w|=1 上半平面Imz>0对单位圆内部边界|w|<1 上半平面总有一点z=a要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0
第35页/共58页
关于实轴 的对称点
并且这样的保角映射是唯一的。
f (z0 ) 0 , arg f (z0 ) 0 ,
定理 4(边界对应原理） 设有两个单连通区域D和G的边界分别为简单闭曲线C 和 。若能找到一个在D内解析、在C上连续的函数，它将一一对应地映射成 ，
G 且当原像点z和像点w在边界上绕行方向一致时,D和G在边界的同一侧，则w=f (z)
伸缩率为3，旋转角为 。
第9页/共58页
9
例2 设w= f(z)=z2 +2z,试阐明在平面上哪一部分被放大了,哪一部分被压缩了。
解： w= f(z)= z2 +2z在全平面解析， f '(z)=2z+2。
f z 1 2z 2 1 z 1 1 被缩小；
2 同理，z 1 1 被放大。
第28页/共58页
28
复常数k1
复常数k2
若f zi
=
wi
i=1,2
,则
w-w1 w-w2
=k
z-z1 z-z2
(k-待定复常数)
进一步
,若f
z1
=0,f
z2
=,
则
w=k
z-z1 z-z2
.
29
第29页/共58页
射情况. 根据前面的讨论可知:
应用数学 课件 第五章-兰州大学信息院
原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像
函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A
中所求的解，而且是显式解．
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，
就得到不同名称的积分变换:
（1）特别当核函数
变量 改写为变量 ），当
（注意已将积分参 ，则
称函数 简称 为
为函数 为函数
1、为设计放大器提供依据
电路上常常使用矩形波，其傅里叶展开中其中 系数和1/k成正比。随着谐波次数增高，振幅 迅速减小。在10次谐波以后，就可以略去不计。 一般在设计矩形波放大器时，要求它的通频带 宽度约为矩形脉冲的10倍。 2、频谱分析 3、计算无穷级数的和 4、求解常微分方程
不同频率信号的时域图和频域图
第五章 傅里叶变换
绪论
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的． 例子一：在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变 换化为较简单的加法和减法运算． 例子二：在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、 积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得 它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一． 积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的 应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、 现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研 究工具发挥着十分重要的作用．
5.4 广义傅里叶变换
前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件，那么对 一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数，正、余弦函 数等都无法确定其傅氏变换．这无疑限制了傅氏变换的应用． 所以我们引入广义傅氏变换概念系指 的傅氏变换． 在后面我们将看到， 函数的傅氏变换在求解数理方程中有 这里先介绍其有关基本定义和性质． 着特殊的作用． 函数及其相关函数
保角变换在求解曲面边界Green函数中的应用
—
下镜像 电荷的 Ｇｅ ｒ ｎ函数满足 Ａ 。 Ｏ 变换后仍为 ： ｅ Ｇ＝ ， Ａ 。 ０ 不 影 响源 强 。对 于原 电荷 ｑ Ｇ＝ ， 。及 △Ｇ ＝ ｒ ｏ （
—
ｒ） 贝 变 为 ９ ０ ， ∞＝ｑ ｏ・
０ ，Ｉ Ｓ＼
。
， ＝ ｒ—ｒ）－ △ （ ０
。
因此 ， 仅用保角变换无法求得镜像电荷的
文章 编号 ：６ １ ４ ６ （ ０ １ ０ ０ ６ ０ １７ — ０ ７ ２ １ ） １— ０ ５— ２
保 角 变 换 在 求 解 曲面 边 界 Ｇｅｎ函数 中 的应 用 ｒｅ
尤 晓玲
（ 兰州石化职业技术学院 电子电气工程系， 甘肃 兰州 ７０６ ） ３００
摘 要 ： 绍 了用保 角变换 ， 曲面化 为平 面 ， 而根 据 对 称 性 方便 地 求 出镜像 电荷 Ｇ ｅｎ 介 将 从 ｒｅ
‘ Ｓ＼二， ０
强度 ， 需借助于边界条件 Ｇ ＝ 。 Ｉ ０
２ 特 例
例 １ 圆或 柱 面 ， 半径 为 ａ 。
１
１
１ 二 维 Ｇｅｎ函数 ： ’＝ 一 ｈ ） ｒｅ Ｇ
Ｚ＇ Ｉ Ｉ ＂
Ｉ —Ｐｏ０ ｐ
。
２ 叠加原理。当有多个像点时 ， ） 最终的势函数
ｉ １
） 后变为平面 ， 抛物线
（ ）０ ｌ ｐ
对 于球坐标系 ， 问题与 无关 ， 选取任意切面 ， 化 为圆． 同理可以求得 ： ＝（ ）ｒ； ｒ ０ ，
变为 戈 轴。考虑一个特殊点 一 焦点 Ｆ ００ 的镜像 ： （ ，） 在平面内 Ｆ （ ， ， Ｏ ｉ 对应像点 （ ， ｉ ； ） ０ 一 ） 因而在原 空间内的像点 （一 ｃ（ ｎ １ ０ ， ４ ２ ＋ ） ，）ｎ为整数。实 际问题中可作近似处理 ， 忽略 Ｉ Ｉ ｎ 较大的点。最后有
下镜像 电荷的 Ｇｅ ｒ ｎ函数满足 Ａ 。 Ｏ 变换后仍为 ： ｅ Ｇ＝ ， Ａ 。 ０ 不 影 响源 强 。对 于原 电荷 ｑ Ｇ＝ ， 。及 △Ｇ ＝ ｒ ｏ （
—
ｒ） 贝 变 为 ９ ０ ， ∞＝ｑ ｏ・
０ ，Ｉ Ｓ＼
。
， ＝ ｒ—ｒ）－ △ （ ０
。
因此 ， 仅用保角变换无法求得镜像电荷的
文章 编号 ：６ １ ４ ６ （ ０ １ ０ ０ ６ ０ １７ — ０ ７ ２ １ ） １— ０ ５— ２
保 角 变 换 在 求 解 曲面 边 界 Ｇｅｎ函数 中 的应 用 ｒｅ
尤 晓玲
（ 兰州石化职业技术学院 电子电气工程系， 甘肃 兰州 ７０６ ） ３００
摘 要 ： 绍 了用保 角变换 ， 曲面化 为平 面 ， 而根 据 对 称 性 方便 地 求 出镜像 电荷 Ｇ ｅｎ 介 将 从 ｒｅ
‘ Ｓ＼二， ０
强度 ， 需借助于边界条件 Ｇ ＝ 。 Ｉ ０
２ 特 例
例 １ 圆或 柱 面 ， 半径 为 ａ 。
１
１
１ 二 维 Ｇｅｎ函数 ： ’＝ 一 ｈ ） ｒｅ Ｇ
Ｚ＇ Ｉ Ｉ ＂
Ｉ —Ｐｏ０ ｐ
。
２ 叠加原理。当有多个像点时 ， ） 最终的势函数
ｉ １
） 后变为平面 ， 抛物线
（ ）０ ｌ ｐ
对 于球坐标系 ， 问题与 无关 ， 选取任意切面 ， 化 为圆． 同理可以求得 ： ＝（ ）ｒ； ｒ ０ ，
变为 戈 轴。考虑一个特殊点 一 焦点 Ｆ ００ 的镜像 ： （ ，） 在平面内 Ｆ （ ， ， Ｏ ｉ 对应像点 （ ， ｉ ； ） ０ 一 ） 因而在原 空间内的像点 （一 ｃ（ ｎ １ ０ ， ４ ２ ＋ ） ，）ｎ为整数。实 际问题中可作近似处理 ， 忽略 Ｉ Ｉ ｎ 较大的点。最后有
144《高等渗流力学》—保角变换及应用
从上面对于关系可以看出，w平面上半径为1的单位圆，对 应z平面上长度为2c的裂缝井。 再看w平面上任一圆（等势线）ρ=R，对应Z平面长轴为 c⎛ 1⎞ c 1 a = ⎜ R + ⎟ 短轴为： = ⎛ R − ⎞ 的椭圆。 b ⎜ ⎟ R⎠ 2⎝ R⎠ 2⎝
井径无穷小线段：rw = 假设： L ——
dz dw rw ρw ⇒ ρw = dw dz
z 平面上绕井封闭曲线； dn, dL —— z 平面上L的法线及切线单元； λ —— w平面对应封闭的曲线。 dv, d λ —— w平面上 λ 的法线及切线单元； Q —— z 平面上井产量；
Q =
∫
dφ dn
z
一个点
判断条件
z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值 z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值
根据以上对应关系，有以下逻辑判断成立： 如果单值 在一个平面上完成确定的流动网络（流场图）— —流线和等势线对应于另一个平面流动网络。此时 Φ ， Ψ 值本身是相同的 单值对应
z
w平面等势线 ρ = C2' 圆 w平面流线 θ = C2' 射线
7
保角变换及应用
寻求一个适当变换，把较复杂物平面问题变换为像平面问题，而像平面 复势，产量容易求出。待求出像平面产量公式后，再变换到物平面上。
例二：
直线供给边缘附近一口井。
8
保角变换及应用
取变换：w = ρ e
z 平面井心 w = 0 w平面原点 平面 z 点 x 上总有： = 0 y
w 平面上偏心井产量： Q =
q= 2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ πL ⎛ ρa ρ e ln ⎢ e ⋅ e a ⋅ ⎜1 − e 2 ⎢ πρ r ⎜ ρe e w ⎜ ⎢ ⎝ ⎣
第十六保角变换法求解定解问题共37页文档
w f (z)，可以将它转化为wuiv平面上
(u ,v)的拉普拉斯方程边值问题．
w = 同理可以证明，在单叶解析函数 f (z)
变换下，泊松方程
22(x,y)
x2 y2
(16.1.7a)
仍然变为泊松方程
2 u 2+ 2 v 2 |f(z)|2(x,y) （16.1.7b）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2x2 2y2 k20 (16.1.8a)
经变换后仍然变为亥姆霍兹方程
22k2|f(z)|20 (16.1.8b) u2 v2
容易注意到方程要比原先复杂，且
能不是常系数．
前的系数可
下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将 复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
（16.2.1）
作如下的保角变换．
（1）作分式线性变换
1
1
i1
za za
(16.2.2)
y
z 平面
1
1 平面
平面
πi
a
0
1
x
图图181.16.1
可以验证，考虑实轴 zx,(y0)的对应关系：
| (i)若 x | a ，则 axa，故
1
x x
a a
0 ，即有
1
0
(ii)若 | x | a 则 xa 或 xa
问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边 界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，
例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换
(u ,v)的拉普拉斯方程边值问题．
w = 同理可以证明，在单叶解析函数 f (z)
变换下，泊松方程
22(x,y)
x2 y2
(16.1.7a)
仍然变为泊松方程
2 u 2+ 2 v 2 |f(z)|2(x,y) （16.1.7b）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2x2 2y2 k20 (16.1.8a)
经变换后仍然变为亥姆霍兹方程
22k2|f(z)|20 (16.1.8b) u2 v2
容易注意到方程要比原先复杂，且
能不是常系数．
前的系数可
下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将 复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
（16.2.1）
作如下的保角变换．
（1）作分式线性变换
1
1
i1
za za
(16.2.2)
y
z 平面
1
1 平面
平面
πi
a
0
1
x
图图181.16.1
可以验证，考虑实轴 zx,(y0)的对应关系：
| (i)若 x | a ，则 axa，故
1
x x
a a
0 ，即有
1
0
(ii)若 | x | a 则 xa 或 xa
问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边 界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，
例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换
应用数学 课件 第二章 第2讲-兰州大学信息院
z0 其中 C f (的解析区域 内并包含 的任一简单正向闭 为 z) D D 曲线，而且它的内部全属于 ．
z
d
z 0
D
z
C
图 2.11
【证明】如图2.11所示. 我们先证 n 1 的情况. 为了理解方便，不妨设 在边界C上取值. 设区域D内的 z 0 点的微小变化量为 z z，其中 在区 z0 域D内部取值. 1 f ( ) f ( z0 ) C ( z0 )2 d 根据定义 2πi 由柯西积分公式得到
C1 C2 z0
z1 和 z 0 分别称为积分的上限和下限，当下限 z0固定，而上 z1 z 在D 内变动时，积分 z f ( )d 可以看作是上 限
限的函数，记为
z0
F ( z ) f ( )d
z0
z
对F ( z ) ，有以下的定理：
定理 2.3.1 如果 f ( z ) u( x, y) iv ( x, y) 在单连 通域 D 内处处解析，则 F ( z ) 在D内也解析，并 且
1 【解法 1】 显然被积函数 f ( z ) z2 3a2 在积分区域 L z a 内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ， l2 仅含
奇点 z 2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西 积分公式有
1 1 dz ( z a )( z 3a ) ( z a )( z 3a ) I 2 dz dz L ( z a 2 )( z 3a) l1 l2 za za 1 1 2πi |z a 2πi |z a ( z a )( z 3a ) ( z a )( z 3a) 1 1 πi 2πi 2πi 2 2a (2a) ( 2a)( 4a) 4a
保角变换-数学物理方法
在处理波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波等。保 角变换在处理波动方程中具有广泛应用。
通过保角变换，可以将波动方程转化为更容易求解的形式， 如分离变量法或积分变换法等。这有助于我们更深入地理解 波动现象的本质，并为实际工程问题提供解决方案。
在研究几何光学问题中的应用
几何光学是研究光线传播规律的科学。保角变换在几何光 学中有重要应用，尤其是在处理光线折射和反射问题时。
02
常见的保角变换方法
极坐标变换
01
02
03
极坐标变换是一种常见 的保角变换方法，它将 平面上的点从直角坐标
系变换到极坐标系。
极坐标变换公式为：$x = rcostheta, y =
rsintheta$，其中$r$是 点到原点的距离，
$theta$是点与x轴的夹角。
极坐标变换在处理与圆 和极坐标相关的问题时 非常有用，例如电场、 磁场和流体力学中的问
发展高维空间的保角变换
将保角变换从二维平面扩展到高维空间，探索其在高维几何处理和 计算几何等领域的应用。
保角变换的算法优化与改进
算法效率提升
针对现有保角变换算法的瓶颈，研究优化算法结构和计算 过程，提高算法执行效率。
并行化与分布式计算
利用并行化和分布式计算技术，实现大规模保角变换任务 的快速处理和实时响应。
弹性力学中的保角变换在结构分析、地震工程和材料科学等领
03
域有广泛应用。
03
保角变换在数学物理问题 中的应用
在求解偏微分方程中的应用
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，而保角变换可以用来求解某些偏微分方 程。通过保角变换，可以将复杂的偏微分方程转化为更容易求解的形式，从而得 到物理现象的解。
4.6 保角变换解法
1
()
1
() ()
1
()
1
2πi
−
+ 2πi
− ( ) + 2πi
−
= 2πi
−
l ( )=∑
在圆外域是解析的
l 位于圆内域
l ( )在圆内域是解析的 l 位于圆内域
1()2πi−源自= (∞) = +
∞ =0
1
()
2πi
−
= ()
(
)
=
−
1 2πi
() ()
1
− ( ) + 2πi
−
上表中的 ( )和 ( )的表达式的右端第一项与变换函数 ( )（即孔的形状）有关，称几何项。第二项与孔边和远 方的外力有关，称为载荷项。
B. 复杂情况求数值解 方法 1
→ →
(如：上面 4 种级数形式的映射关系就没办法逆映射)：
(1) 先把应力组合转到像空间，
⎧ + = 2 ( ) + ( ) = 4Re[ ( )]
⎪ − +2
= ( ) 2[ ̅ ( ) + ( )]
(5)
⎨
⎪ ⎩
2
[
+
]＝
( )−
() ()
( )− ( )
并利用像平面中解得的 ( ), ( )求解应力和位移分量，即分别得到了 (ξ, η)~
接下来就可以利用 4.5 节介绍的复数级数方法，来求解单位圆域的 ( )和 ( )。我们只需要用将 平面 K-M 函数的 级数代入(2)式左边，并把右边已知外力也在 平面展开成 F 级数，比较左右两边的系数就可求解。
2/5
Email:onexf@
保角变换计算波导的截止频率
目录1 保角变换的基本理论 (1)1.1 保角变换的定义 (1)1.2 保角变换的性质 (1)2 波导截止频率的计算 (2)2.1 分析方法 (3)2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率 (3)3 总结 (5)参考文献 (6)保角变换法在波导截止频率计算中的应用保角变换法使用复变函数将复杂的边界变换为简单的容易求解的边界。
特别是对于二维有势场，由于其力线与等位线总是正交的，因而可以采用保角变换的方法将一个复杂的甚至是解析法无法描述的区域变换到一个易于用解析法描述的区域进行求解，同时，其边界可以与常用的坐标面重合，从而使边界条件变得较为简单直观。
比如将复杂的区域变换到矩形区域，且力线和等位线分别和坐标轴平行，以方便求解。
1 保角变换的基本理论1.1 保角变换的定义定义1 0arg '()f z 称为变换w=f(z)在点0z 的旋转角；0|'()|f z 称为变换w=f(z)在点0z 的伸缩率。
定义2 若对区域D 内任一点z ，变换w=f(z)具有性质：（1）保持角度不变，且旋转方向也不变；（2）保持伸缩率不变。
则称此变换w=f(z)在区域D 内为保角变换，也称变换w=f(z)在区域D 内保形。
如果在区域D 内点0z 的某一个邻域内变换w=f(z)具有性质（1）、（2），则称变换w=f(z)在点0z 的邻域内保形。
定理1 正则变换w=f(z)，在每一个使'()0f z ≠的点z 的邻域内保形。
保形变换是正则变换的主要特征。
值得注意的是使'()0f z =的点0z ，也必然是变换w=f(z)在0z 处不保形。
但在保形变换中这种使变换w=f(z) 不保形的点，能帮助我们实现许多特殊区域的转化。
后面我们将会看到任何一个扇形区域到上半平面的变换恰好是利用幂变换在原点的不保形性来实现的。
1.2 保角变换的性质所谓保角变换或者叫做保形映照，是指通过一个解析函数w=f(z)将z 平面上的点变换为w 平面上的点。
保角变换法求解定解问题
2 u2
2 v 2
k2
|
f
( z )
|2
0
14.2 保角变换法求解定解问题
例14.2.1 设有半无限平板y>0，在边界y=0上，
|x|<a (a>0)范围内保持温度u=u0， |x|>a范围内保 持温度u=0。求平板上的稳定温度分布。
解：根据题意可得描述上述问题的定解问题
2u
x
2
2u y 2
0
ln1 ln | 1 | i arg1
ln z a za
把ζ1平面的上半平面变成ζ平面上平行于实轴，宽 为π的一个带型区域， ζ1平面的正实轴变换为ζ平 面的实轴(正实轴辐角为0，故对应于η=0，温度 u|y=0=0)， ζ1平面的负实轴变换为ζ平面的平行于 实轴的直线(负实轴辐角为π，故对应于η=π，温度 u|y=0=u0)。
y u2 x
y v 2
+( 2u 2u ) ( 2v 2v ) x2 y2 u x2 y2 v
+2( u v + u v ) 2 x x y y uv
解析函数ω=f(z)=u+iv的C—R条件：
u v , v u x y x y
u v v u 0 x x y y
解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程：
1
x x
a a
0
② 对于x>a (a>0)，则x+a>2a>0、 x-a>0，因 此
1
x x
a a
0
如图所示，原定解问题中的边界条件中对应
于|x|<a范围温度为u0，变换后对应到ζ1平面的负 实轴(ξ1<0)温度为u0；而|x|>a温度为0则对应于变 换后的ζ1平面的正实轴温度保持为0。
复保角变换与权函数法
复保角变换与权函数法
• 引言 • 复保角变换的基本理论 • 权函数法的基本理论 • 复保角变换与权函数法的结合 • 结论与展望
01
引言
主题简介
复保角变换
通过保持角度不变的映射，将一个复 平面上的区域映射到另一个区域，同 时保持形状和大小的比例。
权函数法
在数学和工程领域中，权函数法是一 种常用的方法，用于处理具有不同权 重或优先级的数据和问题。
权函数法的应用
在求解偏微分方程中的应用
01
通过选取适当的权函数，可以将偏微分方程转化为一
系列易于求解的常微分方程或差分方程。
在数值分析中的应用
02 权函数法可以用于求解各种数值问题，如插值、拟合
、数值积分等。
在图像处理和计算机图形学中的应用
03
通过选取特定的权函数，可以对图像进行滤波、增强
、压缩等处理，以达到特定的视觉效果或信息表达。
02
复保角变换的基本理论
复保角变换的定义
复保角变换是指保持复平面上的点之间的角度关系不变的映 射。
它将一个区域映射到另一个区域，并保持相邻点之间的角度 不变。
复保角变换的性质
保角性
01
复保角变换保持角度不变，因此可以保持流线的方向和曲线的
形状。
连续性
02
复保角变换是连续的，这意味着当输入点逐渐变化时，输出点
也会逐渐变化。
可逆性
03
大多数复保角变换都是可逆的，这意味着存在一个逆变换将输
出点映射回输入点。
复保角变换的应用
01
02
03
流体动力学
复保角变换可用于描述流 体流动的几何形状，特别 是在处理涡旋和流动结构 时。
图像处理
• 引言 • 复保角变换的基本理论 • 权函数法的基本理论 • 复保角变换与权函数法的结合 • 结论与展望
01
引言
主题简介
复保角变换
通过保持角度不变的映射，将一个复 平面上的区域映射到另一个区域，同 时保持形状和大小的比例。
权函数法
在数学和工程领域中，权函数法是一 种常用的方法，用于处理具有不同权 重或优先级的数据和问题。
权函数法的应用
在求解偏微分方程中的应用
01
通过选取适当的权函数，可以将偏微分方程转化为一
系列易于求解的常微分方程或差分方程。
在数值分析中的应用
02 权函数法可以用于求解各种数值问题，如插值、拟合
、数值积分等。
在图像处理和计算机图形学中的应用
03
通过选取特定的权函数，可以对图像进行滤波、增强
、压缩等处理，以达到特定的视觉效果或信息表达。
02
复保角变换的基本理论
复保角变换的定义
复保角变换是指保持复平面上的点之间的角度关系不变的映 射。
它将一个区域映射到另一个区域，并保持相邻点之间的角度 不变。
复保角变换的性质
保角性
01
复保角变换保持角度不变，因此可以保持流线的方向和曲线的
形状。
连续性
02
复保角变换是连续的，这意味着当输入点逐渐变化时，输出点
也会逐渐变化。
可逆性
03
大多数复保角变换都是可逆的，这意味着存在一个逆变换将输
出点映射回输入点。
复保角变换的应用
01
02
03
流体动力学
复保角变换可用于描述流 体流动的几何形状，特别 是在处理涡旋和流动结构 时。
图像处理
保角变换数学物理方法课件
R z ) e x ,I (m z ) y ,(
因 w 为 e iz e y (c x o isx s i)n 所 u e 以 y cx o , v se y sx i,n
u 2 v 2 e 2 y , v u ta x ,n
27
第27页，幻灯片共31页
又 R z ) 因 x e C 1 ,I (z ) 为 m y C 2( u 2 v 2 e 2 C 2 ,v u ta C 1 .n
将所求映射设为 wei z A z , 1z 1z
因 z 1 为 i时 ,w , 所 1 以 (1 i) 0 ,
1 , 1 ,
1i
1i
故又 wz 1 时 i 1z,w 1 111 i,z 所 (iz1以 ()A 1zi11 1 ) 为所 i,.求
1 i
20
第20页，幻灯片共31页
1Rw e1) (0映射为水 0Im 平 w 2) (带 i 形
29
第29页，幻灯片共31页
取伸缩w3变 w换 2,将水平带形域 0Im w 2) (i映射为水 0Im 平 w 2) (带 i 形 取指数变 we换 w3,将水平带形域
0Im w 3)(i映射为I上 m w) 半 (0, 平面 从 w 而 e w 3 e w 2 e i1 w e iz z i i 为所求映射.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
第13页，幻灯片共31页
5. 几个初等函数所构成的映射
1)幂函 w zn数 (n2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
因 w 为 e iz e y (c x o isx s i)n 所 u e 以 y cx o , v se y sx i,n
u 2 v 2 e 2 y , v u ta x ,n
27
第27页，幻灯片共31页
又 R z ) 因 x e C 1 ,I (z ) 为 m y C 2( u 2 v 2 e 2 C 2 ,v u ta C 1 .n
将所求映射设为 wei z A z , 1z 1z
因 z 1 为 i时 ,w , 所 1 以 (1 i) 0 ,
1 , 1 ,
1i
1i
故又 wz 1 时 i 1z,w 1 111 i,z 所 (iz1以 ()A 1zi11 1 ) 为所 i,.求
1 i
20
第20页，幻灯片共31页
1Rw e1) (0映射为水 0Im 平 w 2) (带 i 形
29
第29页，幻灯片共31页
取伸缩w3变 w换 2,将水平带形域 0Im w 2) (i映射为水 0Im 平 w 2) (带 i 形 取指数变 we换 w3,将水平带形域
0Im w 3)(i映射为I上 m w) 半 (0, 平面 从 w 而 e w 3 e w 2 e i1 w e iz z i i 为所求映射.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
第13页，幻灯片共31页
5. 几个初等函数所构成的映射
1)幂函 w zn数 (n2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
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（11.1.3）
利用解析函数
的C-R条件
(11.1.4)
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
(11.1.5)
将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到
注意到上式已经使用了：
对于保角变换
满足拉普拉斯方程，则
因而只要 ）也满足拉
普拉斯方程，即为
（11.1.6）
(11.1.9) 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程 (11.1.10)
注意到方程要比原先复杂，且 能不是常系数．
前的系数可
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程
等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将
复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
保角变换的特点
角度不变； 方程形式不变； 电势不变； 总电荷不变； 电容不变；
角变换法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想：
通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中 已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的
边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换
就求得了原始定解问题的解． 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法，
z平面
x
y
z平面
x
x
（8）儒阔夫斯基变换 取 式中A、a均为常数，此式可改写为 得
＝常数，对应椭圆，焦点为 ＝常数，对应双曲线，焦点为 ，对应两条射线； ，对应一个线段。
将t和z分别写成实部和虚部的形式，便可以证 明，此变换能将t平面实轴上大于 和小于 部分变换为z平面的实轴；而t平面实轴上 一段 则变换到z平面上，成为圆心在z＝0， 半径为a的一个圆。
例题4
椭圆同轴线内导体的外表面与外导体的 内表面为共焦椭圆柱面。若内导体外表 面的半长、短轴分别为a1、b1，外导体内 表面的半长、短轴分别为a2、b2，两导体 间填充介电常数为ε的介质。试求此椭圆 同轴线单位长度的电容。
y b2 b1 a1 a2
x
例题4
保角变换法 由于等势面为椭圆，故可采用反正弦 或反余弦函数变换来进行计算。 y x
z平面
t平面
y B
a b
O
c
d
C
（9）许瓦兹－克利斯多菲变换
在平面的实轴上线段ab，bc，,cd， …分别和 平面上多角形的边界AB，BC，CD，…对应； 实轴上的点a，b，c，d…分别和多角形顶点A， B，C，D，…对应；上半平面与多角形内的 空间相对应。 实际计算时，是采取把平面的实轴变为平面 的多角形边界的方法。变换函数由积分下式 而得
令
， 得
可知：z平面上的直线x=常数变换到w平面上的圆周
常数，而直线y＝常数变换成射线
＝常数。
因此，指数变换的特点是：把水平的带形
城
变换成角形
w(z平面) z(W平面)
对于对数变换
取极坐标系 故 则
可见：在w平面上 常数的直线在 z 平面表示 一族圆；＝常数表示一族径向射线。
(7) 三角函数变换 现在研究三角函数变换
(4) 分式线性变换
上式可写成
其中：
保圆性；直线作为圆的特例；
保对称性；（对称点依然是对称点）
圆心的镜像点是无穷远处。
例题1
i
例题2
(5) 幂函数变换 令 则
该变换的特点是把z平面的圆周变换成w平面的 圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以 原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角 形域，但其张角为原来的的n倍。
例题4
将z平面上的椭圆变成t平面上的直线区域， 其宽度为 。其间的电势仍满足
所以，利用平行板电容器计算公式，得单 位长度的电容为
其中
第二次小测验
用保角变换法求解下列定解问题：
将其展开得
即 将两式平方相加、相减得
可见： ＝ 常数表出一族椭圆．其半焦距为c；半长 轴为 而 =常数表出一族共焦双曲线， 其半焦距也为c，半实轴为 。
因此，在t平面上任一平行于 轴的直线变 换为平面上的椭圆，任一平行于 轴的直 线变换为z平面上的一条双曲线。 t平面
y
z平面
x
反三角变换的延伸
y
现在讨论当t从一 变至 当 时，上式中 负实数，其辐角均等于
时，dz方向的变化 均为 ，因此
（9）许瓦兹－克利斯多菲变换
为常数，在z平面上给出一条直线。 当t 经过点a未到达点b时， 变为正实数，其 辐角为零，得
（9）许瓦兹－克利斯多菲变换
表示线段dz的倾角增加了 ，对应z平面上边界 旋转角 ，仍得一条直线。而当t经过b点时， 从负变正.，arg 从 变为0，此时 辐角为
保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适
合于分析平面场的问题。 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．
复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论， 本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。
11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系
平面的实轴，
平面的负半实轴变换为
平面的平行于实轴的直线
所以，在变换
之下，定解问题变换为
定解问题的解（仿上例）为
将变量回到
平面，则
化成极坐标形式，则上式又改写成
从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，
不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界
所围成的区域变换成上半平面的带形域 问题就容易解决了．
例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径 分别为R1、R2，电势分别为 、 。求导体内 任一点的电势。
解：用保角变换法 由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。
y x
将z平面上的圆变成w平面上的直线区域， 其宽度为 。其间的电势满足
所以，利用平行板电容器计算公式，得单 位长度的电容为
其中 作业：p456，1，2， 6（1）、（2） 这是最后一次作业，全部作业务于下周四交齐， 过期不候！
即在z平面上边界旋转角 ，以后t在b、c之间所 对应平面上的线段就保持此方问不变。
（9）许瓦兹－克利斯多菲变换
依次类推，可将整个多角形描出。可见 决定在z平面上倾角发生变换的位置。 显然．变换函数不包括 点．此点虽然对 应平面上的某一顶点。 变换的模决定dt的“放大”倍数，也决定了由t平 面实轴上的线段变换到z平面上的线段长度。 须适当选择常数 的值，以使经变换所 得多角形与设定的多角形一致。
的无限长导体圆柱壳
【解】即求解定解问题
作如下的保角变换
(1) 作变换
把原图象缩小为
倍．即将任意的圆周变换为单位圆．
(2) 再作变换
把
变换为
，其边界的变换是将下
半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．
（3）再作变换
平面上平行于实轴，宽为
把
平面的上半平面变成
的一个带形区域，其边界的
变换是将
平面的正半实轴变换为
11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例 例1
试求平面静电场的电势分布 ，其中
【解】
变换
使上半
平面变成
平面上的带形域,
而在带形域上的解是显
然的，类似于上面定解问题的结果,则本定解问题可归
结为
而
所以 于是，作反变换便可求得所求问题的解为
例 2 若把柱面充电到
试用保角变换法求解一半径为 内的电场分布情况．
y
z平面 t平面
-a
a
x
更一般的变换式为
它可以将t平面实轴上大于 和小于 变为z平面的实轴；t平面实轴上一段 变换到z平面上椭圆 ，其方程为
的区域 则
（9）许瓦兹－克利斯多菲变换
用许瓦兹－克利斯多菲变换可将z平面上的多角 形区域边界变换为t平面上的实轴，将多角形内 域变换为平面的上半平面，如图所示。 A D x
y
Z平面
t平面
x
O O
定理11.1.1
如果将由
到 的由
的保角变换看成为二元（实变）函数 的变量代换，则
到
平面上的边界变成了
满足拉普拉斯方 也满足拉普拉斯方程．
平面上的边界．我们能证明，如果 程，则经过保角变换后得到的
【证明】 利用复合函数求导法则有
(11.1.1)
同理
(11.1.2)
两式相加得到
这样我们就有结论：如果在
平面上给定了
的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换 ，可以将它转化为 的拉普拉斯方程边值问题． 平面上
同理可以证明，在单叶解析函数
变换下，泊松方程
(11.1.7)
仍然满足泊松方程
（11.1.8）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度 发生了变化． 同理可以证明，亥姆霍兹方程
在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从Z平面到W 平面的变换在 的点具有保
角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一
对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是单值
函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶．
11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 如果函数u(x,y)在z平面上是拉普拉斯的解， 通过保角变换后变成 、 的函数，此函数 在t平面上仍满足拉普拉斯方程；
第十一章 求解定解问题的其它解法
求解数理方程，除了行波法、分离变量法 外，还有其他的常用解法： 格林函数法； 积分变换法； 保角变换法等一些解析法。
11.1 保角变换法求解定解问题
在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹 性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程 的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林 函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂 时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解 决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保