期权和期权定价

​
定理 8.1 假设对任意未定权益 D(T ) 存在 一 个 可允 许的 复 制策 略 x(t) , y(t) , 其 价 值
V T DT ，那么未定权益在时间 0 的价值
一定等于复制策略在时间 0 的价值，即
V 0 D0。
​
8.1 二叉树模型中的欧式期权
8.1.1 单期二叉树模型
涨期权和看跌期权价格之间的关系式成立：
C E PE S 0 XerT
假设这两个期权的施权价都是 X ；施权日都 是T 。
​
定理应用：假设股票不支付红利，以每股15.6美元 交易；在3个月后施权的施权价为15美元的看涨期权 以2.83美元交易。连续复合利率为6.72%。则具有相 同施权价和施权日的看跌期权的价格为________. (列出表达式)
以引例为例：
step1. 复制
构造x股股票、y份债券的投资，使得在时
间1,不论股票价格上涨到120美元还是下跌
到120美元，资产组合与期权具有同样的价
值。即
120x110 y20 80 x110 y0
​
根据看涨期权和看跌期权构成的远期 多头的回报，可以把看跌期权—看涨期权平 价写成如下形式：
C E P E VX 0， VX 0 S 0 XerT
式中，VX 0为远期合约多头的价值。 如果 X 等于资产的远期理论价格 S0erT ,
那么远期合约的价值为零，即VX 0 0 ，于
​
在时间 T
● 以价格 X 卖出股票，当 S T X 时，行使看跌期权； 当 ST X 时，结清看涨期权空头头寸；
● 归还贷款本息和 (S (0) PE C E )erT 。此时余额为
X (S(0) PE C E )erT erT [C E PE S(0) XerT ] 0.
(两种方法计算：一是复制、定价；二是直 接运用风险中性概率和期望)
​
x 1,y 4 .
2
11
以引例为例：
step1. 复制 构造x股股票、y份债券的投资，使得在时间1,不论股票价格
上涨到120美元还是下跌到120美元，资产组合与期权具有同样 的价值。即
120x110 y20 80 x110 y0
引例：投资者A在时间0买入一份欧式看涨期权(标的
物为股票),施权价X=100元，在时间1施权。若在时间1，
该股票的价格为
S(1)
， 120，如果股票上涨
80，如果股票下跌
1.不考虑期权费时回报如何？
C(1)
， 20，如果股票上涨
0，如果股票下跌
2.考虑期权费时，期权费应定为多少是合理的？
0 CE CA,0 PE PA
因为美式期权至少给出了与欧式期权同样 的权利。
​
下图显示的是股票价 格状况，在这个状况下， 在时间T 施权，欧式看涨 期权的回报是零，而美式 期权在股票价格高于 X 时 的时间 t T 执行，回报是 正的。
​
四.不支付红利的股票的欧式和美式看涨期权 定理(P135) 当两个期权的施权价 X 和
​
证明 假设 C E PE S 0 XerT
可以构造如下的套利策略: 在时间 0
●源自文库价格 S0买入 1 股股票；
●以价格 PE 买入一份看跌期权，支付 PE ； ●以价格 C E 卖出一份看涨期权，获得 C E ；
●以利率 r 借入金额 S 0 PE CE 。
此时 V(0)=0.
到期时间T 相同时，不支付红利的股票的欧 式看涨期权和美式看涨期权的价格是相等 的，即 C A C E .
​
小结：
1.基本概念； 2.欧式看涨-看跌之间的平价关系(定理条件，结论)； 3.美式看涨-看跌之间的价格关系(定理条件，结论)； 4.欧式和美式之间的关系(一般情况、无红利支付)
​
期权定价
是CE PE.
​
如果股票在时间 0 和时间T 之间支付红
利，那么VX 0 S0 div0 Xe rT ,这里 div0 是
红利的现值，由此可以得出
C E P E S 0 div0 Xe rT
如果红利是以支付率 rdiv 连续支付，那么
VX 0 S 0 e rDIVT Xe eT ,于是 C E P E S 0 e rdivT Xe rT
与无套利原则矛盾。
思考：若 C E PE S (0) XerT ，如何套利？
​
作业: 施权价为24美元；6个月以后施权的 欧式看涨期权和看跌期权以5.13美元和7.86 美元交易；标的股票价格为20.14美元；利 率为7.48%,计算套利机会。
​
－
＝
由一份看涨期权多头和一份看跌期权空头构成的一份远 期多头的回报
1.看涨多头：支付期权费，到期享有买入的权利； 2.看涨空头：获得期权费，到期享有卖出的义务； 3.看跌多头：支付期权费，到期享有卖出的权利； 4.看跌空头：获得期权费，到期享有买入的义务。
5.期权费(期权价格)：C E, PE;C A, P A.
​
​
二.欧式看跌期权—看涨期权平价关系 定理（P129.看跌期权—看涨期权平价） 对于不支付红利的股票，如下的欧式看
​
二.美式看跌期权—看涨期权平价关估计 定理（P131.看跌期权—看涨期权平价估计）
具有相同的施权价 X 和相同的施权日T 不支付红利的美式股票看跌期权和看涨期 权的价格满足
S 0 XerT CA PA S 0 X
​
三.期权价格的边界 欧式期权与美式期权价格的关系
对于具有相同施权价 X 和到期时间T 的 欧式期权和美式期权有
第八章 期权和期权定价
​
本章主要讨论期权和期权的定价问题. 主要包括： 不支付红利的欧式看涨和看跌期权的平价 关系；不支付红利的美式看涨和看跌期权 的价格关系；欧式和美式期权之间的关系； 用二叉树模型对离散状况的期权定价(单 期、二期及N期)； 用B-S公式对连续状况的期权定价。
​
一、基本概念