工程力学范钦珊第二版7、8复习弯曲强度与弯曲变形

例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M
(x)
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
w 写出微分方程的积分并积分
EIw' '
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIw'
1 2
P(a
x)2
C1
D1
2020/11/3
EIw
1 6
19
例 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
FAx
0, FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2）弯矩方程
A
qA
FAy x1
DC
B qB x
wm ax
FBy
AC 段：
x2
M x1 FAy x1
Fb l x1,0
x1 a
x3 1
C1x1
D1
CB 段：
a x2 l
F
A
qA
DC
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
EI
d 2w2 dx22
M (x2 )
Fb l
x2
F (x2
a)
EI dw2 dx2
EIw2
EIq (x2 )
Fb 2l
x2 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
F 2
( x2
a)2
C2 x2 D2
2020/11/3
4
2、物理关系：
x
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
FN x
dA
A
Ey dA E
A
ydA ESz 0
A
Sz 0 z (中性)轴过形心
M z
(dA) y
A
Ey 2
E
dA
A
y 2dA EI z M
A
M y
(dA)z
A
Eyz dA E
P(a
x)3
C1x
C2
D1x D2
18
应用位移边界条件求积分常数
EIw(0)
1 6
Pa3
C2
0
EIq
(0)
1 2
Pa2
C1
0
q (a ) q (a ) C1 D1
w(a ) w(a )
a
P
L
x
w
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
2020/11/3
M W
FN A
2020/11/3
bcmax
M W
FN A
13
四、弯曲变形
1、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与
w
同向为正，反之为负。 q
转角
挠度
w
x
x
w
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用q 表示，顺时针
转动为正，反之为负。
2020/11/3
一、弯曲应力的公式推导
aP
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
A
B
FQ
某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。
x
x
M
2020/11/3
2
由纯弯曲推导梁横截面上的正应力
平面假设：横截面
纵向对称面 中性层
变形后仍为平面，只 中性轴 是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变
D1 D2 0
2020/11/3
F
A
qA
DC
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
B qB x
FBy
22
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
F
EIq1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
A
qA
DC
EIw1
Fb 6l
x3 1
Fb 6l
(l 2
b2 )x1
CB 段： a x2 l
(
)
令 dy 0 dx
得，
F
A
qA
DC
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
B qB x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 wmax 9 3EIl
2020/11/3
24
五、叠加原理求梁的挠度与转角
1、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
MPa，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
解：画弯矩图并求危面内力 RA 2.5kN ; RB 10.5kN M C 2.5kNm (下拉、上压 ) M B 4kNm（上拉、下压）
画危面应力分布图，找危1险0 点
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN
图2
B
C
a C
P2
图3
A
D
2020/11/3
P2 M
B
C
叠加求复杂载荷下的变形
q
B
P1L2 16 EI
P2 La 3EI
wC
P1L2a 16 EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
I (D4d 4 )
校核强度
Lmax 28.2 L
ymax 46.2 y
T字头在上面合理。
11
三、斜弯曲
2020/11/3
bmax
My Wy
Mz Wz
bcmax
My Wy
Mz Wz
12
对于圆截面
bmax
M W
M
2 y
M
2 z
W
bc max
M W
M
2 y
M
2 z
W
拉(压)弯组合
bmax
2020/11/3
Wz
Iz ymax
D3
32
(1 4)
b
矩形截面： I z
bh3 12
6
二、梁的强度设计
1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边 缘上.
当横截面不对称，或是压缩许用应力与拉伸许用应力不同，或 是弯矩出现正号负号时应两者都取。要特别注意符号
M
2、正应力和剪应力强度条件：
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
EIq2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
B qB x
FBy
EIw2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
2020/11/3
23
6）确定最大转角和最大挠度
令 dq 0
dx
得，
l a x
l,qmax
qB
Fab 6EIl
max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
9
6.25MPa 7MPa [ ]
P1=9kN
A
Hale Waihona Puke Baidu
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m -4kNm
x
M 2.5kNm
A1
A3
y1 G
y2
A 2020/11/3 2
A4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60
A
yzdA EI yz 0
A
1 Mz
EI z
… …(3)
（对称面） EIz 杆的抗弯刚度。
2020/11/3
x
M y Iz
...... (4)
5
4、最大正应力：
max
M Wz
… …(5)
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
5、惯性矩
Iz
y 2 dA
A
圆截面：I z
D4
64
y z
圆环
L2
P 等价
B
L2 C
L2
P 等价
w L1
P L2
B
刚化BC段
A w
C
M
P Bx
w1
Bx
29
w2
六、梁的刚度设计
刚度条件： 应用：
wmax w
qmax q
、校核刚度：
、设计截面尺寸；
、设计载荷。
2020/11/3
30
例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的q]=0.001
C2
2020/11/3
B qB x
FBy
21
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, q1(a) q2 (a)
x1 x2 a, w1(a) w2 (a) 代入求解，得
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
4b3 )
叠加
qb2 (3L2 4b3 )db 24 EI
wqC
wdPC
0.5L qb2 (3L2 4b3 )db qL4
0
24 EIL
240 EI
2020/11/3
28
例结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
2020/11/3
+
=
L2
P
Bx w
w w1 w2
M max
W n 2020/11/3
max
s
t
s
max
M max Wt
b
nb
7
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
、校校核核强强度度：： max [ ]
设计截面尺寸：
Wz
M max
[ ]
设计载荷： M max Wz[ ]; [P] f (M max)
w
a
b
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
2020/11/3
20
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EIq (x1)
Fb 2l
x2 1
C1
EIw1
Fb 6l
叠加 B
q A q PAq qA
a2 (3P4qa) 12 EI
q
B
5qa4 Pa3
wC 24 EI 6EI 27
例 按叠加原理求C点挠度。
q0
b
C
x
dx
解：载荷无限分解如图
dPq(x)dx2bq0 db L
x
由梁的简单载荷变形表，
0.5L
0.5L
f
查简单载荷引起的变形。
wdPC
(dP)b(3L2 48 EI
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
A
D
B
C
P1=1kN
P2
a
B
C
P2
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
2020/11/3
P2=2kN
C
31
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
2f00mm P1=1kN
Cx P2=2kN
=+ +
A
形相等。
a
c
bd
M
a
c
横截面上只有正应力。
两个概念：
M 中性层：不伸长和缩短 中性轴： 与横截面的交线
b 2020/11/3
d
3
1. 几何方程：
dq
a
b
A c
B d
O A1
) ))
)
x
A1B1 AB AB
A1B1 OO1 OO1
( y)dq dq y
O1 B1
x
dq
y
x
y
...... (1)
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
2020/11/3
图3
解：结构变换，查表求简单 载荷变形。
q1B
P1L2 16 EI
w1C
q1Ba
P1L2a 16 EI
q2B 0
w2C
P2a3 3EI
q
3B
ML 3EI
LaP2 3EI
w3C
q3Ba
P2 La 2 3EI
32
L=400mm a=0.1mP
dx
w''(x) 0 w
x
在小变形条件下， ddx2w2
2
1，故忽略。
w
M<0 w''(x) 0
2020/11/3
1
d 2w dx 2
d 2w(x) M (x)
dx
EI 16
积分一次得转角方程为：
EI
dw dx
EIq
M (x)dx
C
再积分一次得挠度方程为：
EIw M (x)dxdx Cx D
B
挠度。
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表，
B
查简单载荷引起的变形。
q
PA
Pa 2 4EI
wPC
Pa 3 6EI
q
B
q
qA
qa3 3EI
wqC
5qL4 24 EI
26
A C
a
a
P
A
A
2020/11/3
+
=
q B
q
PA
Pa 2 4EI
wPC
Pa 3 6EI
q
qA
qa3 3EI
5qL4 wqC 24 EI
q (P1P2 Pn ) q1(P1 ) q 2(P2 ) q n (Pn )
w(P1P2 Pn ) w1(P1) w2 (P2 ) wn (Pn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）：
2020/11/3
25
P
A C
a
a
P
A
A
2020/11/3
+
=
q 例 按叠加原理求A点转角和C点
2020/11/3
8
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
2020/11/3
+ qL2 8
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
B 木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M
Pa，试求最大正应力和最大剪应力
之比,并校核梁的强度。
–x
qL 2
x
解：画内力图求危面内力
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 Nm 求最大应力并校核强度
14
转角与挠曲线的关系：
q 转角
w
挠度
w
x
x
dw tanq
dx
tanq q
挠度ω和转角θ之间的微分方程
dw(x) q
dx
20挠20/1度1/3 方程(deflection equation)
15
推导弯曲正应力时，得到：
1 M (x)
(x) EI
x M>0
1
d 2w dx 2 [1 ( dw)2 ]3
积分常数C、D 的确定：
位移边界条件
光滑连续条件
~
~
~
~
AA
A AA A A A AAA A
~ ~~ ~~
~ ~~~ ~ ~
~
~
A AAAA A AAA A
A A AA A
~~
~
wA 0 2020/11/3
wA 0
qA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
q AL q AR
wAL wAR
17
-4kNm
x
M 2.5kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
y2 G y 2020/11/3 1
A4 A3
A4
A2L
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.2MPa
A3L
MB Iz
y1
4 52 763108
27.2MPa
A4 y
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa