22.2第5课时 直角三角形相似的判定-2020秋沪科版九年级数学上册教案

第5课时直角三角形相似的判定

◇教学目标◇

【知识与技能】

了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.

【过程与方法】

类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.【情感、态度与价值观】

培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.

◇教学重难点◇

【教学重点】

直角三角形相似定理的应用.

【教学难点】

了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.

◇教学过程◇

一、情境导入

判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢? 二、合作探究

探究点1两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理

典例1如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF.

(1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程;

(2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程;

(3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由.

[解析](1)△ABE∽△ECF.

理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,

∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF.

(2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.

理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,

∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF,

∵∠B=∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF,

同理:△AEF∽△ECF.

∴当BE=CE=2,即E是BC中点时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.

(3)△ABE不相似于△ADF,△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.

∵∠AEF=90°,∴AF>AE,

∵∠B=∠D=90°,AB=AD,∴AB∶AD≠AE∶AF,∴△ABE不相似于△ADF.

同理:△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.

探究点2直角相似三角形的其他判定和性质综合应用

典例2如图,已知△ACB与△DEF分别是以∠ACB与∠D为直角的等腰直角三角形,且点E在边AB上,DE刚好过点C,EF交CB于点G,求证:

△ACE∽△BEG.

[解析]∵△CAB与△DEF都是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=45°,而∠CEB=∠DEF+∠FEB=∠A+∠ACE,∴∠ACE=∠FEB,∴△ACE∽△BEG.

典例3如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ 与△QCP是否相似?为什么?

[解析]∵BP=3PC,Q是CD的中点,

∴QD AD =PC

CQ

=1

2

,

又∵四边形ABCD是正方形, ∴∠C=∠D=90°.

在△ADQ与△QCP中,{∠C=∠D, QD

AD

=PC

CQ

=1

2

,

∴△ADQ∽△QCP.

三、板书设计

直角三角形相似的判定

1.“HL”定理的内容

2.“HL”定理的应用

◇教学反思◇

本节课教学,主要是让学生在回顾相似三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形相似的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.