组合数学第四章习题解答

4.5 试证循环群的子群也是循环群。 显然。 4.6 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证： xH∩yH或为空，或xH=yH。 设a,b∈H,xa=yb,xH≠yH 存在m∈H,xm属于xH但不属于yH
x=yba-1,xm=yba-1m,由H是G的子群，因此 ba-1m∈H, yba-1m∈yH
4.20 图4.5用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜 色使之一致的方案属于同一类，问有多少种不同 的方案
(1)不换色 不动：p1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)…(13)(14)(15)(16) 逆时针转90 :p2=(1)(2)(3456)(789 10)(11 12)(13 14 15 16) 顺时针转90 :p3=(1)(2)(6543)(10 987)(11 12)(16 15 14 13) 转180 :p4=(1)(2)(35)(46)(79)(8 10)(11 12)(13 15)(14 16) (2)换色 不动：p5=(12)(37)(48)(59)(6 10)(11 12)(13 14)(15 16) 逆时针转90 :p6=(12)(385 10)(6749)(11)(12)(16 15 14 13) 顺时针转90 :p7=(12)(10 583)(9476)(11)(12)(13 14 15 16) 转180 :p8=(12)(39)(4 10)(57)(68)(11 12)(13)(14)(15)(16) (16+2+2+4+0+2+2+4)/8=4(种方案)
求g2y2br的系数 C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)/24 =8
4.15 对一个正六面体的8个顶点用y和r两种颜色 染色，使其中有5个顶点用色y，其余三个顶点用 色r，求其方案数。
4.16 用b,r,g这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环， 共有几种不同的方案？
1
构造群G共有如下几种置换
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2. 设aij为与顶点vi， 面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数， 给定Sj则∑aij=(ej－2)π 欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑ ∑aij =2|V|π－∑ ∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π
4.21 在正四面体的每个面上都引一条高，有多少 种方案？
解：除了绕顶点-对面的中心轴旋转均不会 产生不变的图象外, 绕其他轴的旋转相当于正 4面体的面3着色。参照讲义4.6例3可得不同的 方案数为 M=[34+3·2]/12=9 3
4.22一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大， 6幅相同的肖像贴在立方体的6个面上，有多少种 贴法？ 解：除了绕面心—面心轴旋转任何度数 均不会产生不变的图象外，绕其他轴的旋转 都相当于正六面体的面4着色。 参照讲义4.6例4可得不同的方案数为 M=[4 +0· 4 +0· 4 +8· +6· ]/24=192 6· 3· 4 4
证明：如果k与n互素，则ak的阶为n, 显然ak的阶不能大于n,现证明ak的阶不能小于n即可, 如果ak的阶为m<n,则akm=e,则km=hn,n=km/h,这与n 与k互素矛盾， 因此ak的阶等于n,
证明：如果ak的阶为n, 则k与n互素， 证明：akn=e,且不存在m<n,使akm=e,则k与n互 素, 设k与n不互素，存在h>1,k=hb,n=hc, kn=(hb)(hc),则(hb)c=kc=bn 因此akc=abn=e,c<n矛盾
4.24 足球由正五边形与正六边形相嵌而成 (a)一个足球由多少正五边形与正六边形组成 (b)把一个足球所有的正六边形都着以黑色，正五 边形则着以其它各色，每个正五边形着色各不相 同，有多少种方案？
4.25 若G和G是两个群
G G' {( g , g ' ) g G, g ' G'}, ( g1 , g1 ' )( g 2 , g 2 ' ) ( g1 g 2 , g1 ' g 2 ' ),
用4.2和4.8的结论
4.10 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所 属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有|Ex|=|Ey|。 显然
4.11 有一个3×3的正方形棋盘，若用红蓝色对这9 个格进行染色，要求两个格着红色，其余染蓝色， 问有多少种着色方案。
1 P( x) [(1 x)9 4 (1 x)3 (1 x 2 )3 8 2 (1 x)(1 x 4 ) 2 (1 x)(1 x 2 ) 4 ]
4.12 试用贝恩塞特引理解n个人围一圆桌坐下的 方案问题。 只考虑围中以旋转变化。 共有n!种方案。 旋转0度(1)(2)…(n!) 旋转360/n度(12…n!)
旋转[360/n]×2度(135…n!2)
……………………………… 旋转[360/n]×(n-1)度(n!(n!-1)…21)
1 l [c1 (a1 ) c1 (a2 ) ... c1 (a g )] n 1 [n!] (n 1)! n
旋转 12345
12345 13524 14253 15432
5Hale Waihona Puke Baidu
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
3 (61)(25)(34), (12)(36)(54), (23)(14)(56),
4
1 6 2 3 4 N [5 2 5 4 5 2 5 3 5 ] 12
1505
4.14 一个正方体的六个面用g,r,b,y四种颜色涂染， 求其中两个面用色g,两个面用色y，其余一面用b， 一面用r的方案数。 解：使正六面体重合的刚体运动群如下：
4.3 设G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不 超过n 单位元e显然，对非单位元a，显然
4.4 若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目， 即G的元素可表示成a的幂：a,a2,…,an的元素a的数目。 若a是母元素，则an=e 若ak(1<0<n)也是G的母元素，当且仅当ak的阶为n,
即当且仅当k与n互素，与n互素的元素个数为(n),
4.2 若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m， 使xm=e，则称m为x的阶，试证： C={e,x,x2,…,xm-1} 是G的一个子群 证明：显然C中元素都是G中元素，只需证C满中 群的四个性质即可 (1)封闭性,对任意的xm,xnC, 由结合性，设m+n=r(mod m-1) xmxn=xr, (2)结合律显然 (3)单位元显然 (4)逆元素为原群逆元素
也就是xm∈yH，矛盾
4.7 若H是G的子群，|H|=k,试证： |xH|=k, 其中x∈G。
只需证：对任意a,b∈H,a≠b,有a≠b即 可 设a,b∈H,a≠b,有xa=xb则左乘x的逆得 a=b矛盾
4.8 有限群G的阶为n,H是G的子群，则H的阶必除 尽G的阶。
用4.6的结论
4.9 有限群G的阶为n,x是G的元素，则x的阶必除 尽G的阶。
习
题
4.1 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即 a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成 立，即a,bG满足ab=ba,则称这个群为阿贝尔群， 试证明所有的循环群为阿贝尔群 证明：设G是一循环群，对任意的a,bG, 按定义a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba, 因此，循环群都是阿贝尔群。
1 4 7
2 5 8
3 6 9
(1+x)9中x2项的系数是c(9,2)=36
4(1+x)3(1+x2)3中x2项的系数是 4[c(3,2)c(3,0)+c(3,0)c(3,1)]=24
2(1+x) (1+x4)2中x2项的系数是0 (1+x) (1+x2)4中x2项的系数是c(4,1)=4
P(x)中x5项的系数是(36+24+4)/8=8
4.19 试说明S5群的不同格式及其个数， • 9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023, 00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4 节定理1可得S5中： (1)5共轭类有5!/5!=1个置换； (1)1(4)1共轭类有5!/4=30个置换； (2)1(3)1共轭类有5!/(2· 3)=20个置换； (1)2(3)1共轭类有5!/(2!3)=20个置换； (1)1(2)2共轭类有5!/(2!2 )=15个置换； (1)3(2)1共轭类有5!/(3!2)=10个置换； (5)1共轭类有5!/5=24个置换； ∴共有不同格式7种，如上所示。
4.13 对正六角形的六个顶点用5种颜色进行染色， 试问有多少种不同的方案，旋转使之重合的算一 种方案。 1 6 G (1)(2)(3)(4)(5)(6),(123456) (135)(246),(14)(25)(36), (153)(264),(165432) 2 5
(1)(4)(26)(35), (2)(5)(13)(46), (3)(6)(15)(24),
以对角线±120度位置
(345)(152) (643)(251) 这种形式的置换有8个 1 6 2 4 4 4 4 P(G ) [( g r b y ) 6 ( g r b y ) ( g r b y )] 24 3 ( g r b y ) 2 ( g 2 r 2 b 2 y 2 ) 2 6( g 2 r 2 b 2 y 2 )3
1 5 [3 4 3 5 33 ] 39 10
4.17 一个圆圈上有n个珠子，用n种颜色对这n个 珠子着色，要求颜色数目不少于n的方案数是多少？
项链排列：n!/2n
4.18 若已给两个r色的球，两个b色的球，用它装 在正六面体的顶点，试问有多少不同的方案？ 正六面体顶点的置换群见4.7例2 ，本题相当于用2个 r,两个b,4个g色的球装在正六面体的8个顶点上。 其中r2b2g4 的系数为 [C(8,2)C(6,2)+9C(4,2)C(2,1)]/24=22
不动置换(1)(2)(3)(4)(5)(6)
以上下的中心为轴线左旋90度，右旋90度： (1)(2345)(6),(1)(5432)(6) 正六面体有3对对面，这种置换有6个 以上下的中心为轴线左旋180度，
(1)(24)(35)(6), 正六面体有3对对面，这种置换有3个
以对角线位置的平行棱的中以线为轴线旋转180 度， (16)(25(34) 这种形式的置换有6种
8( g r b y ) ]
3 3 3 3 2
1 P(G ) [( g r b y ) 6 6 ( g r b y ) 2 ( g 4 r 4 b 4 y 4 )] 24 3 ( g r b y ) 2 ( g 2 r 2 b 2 y 2 ) 2 6( g 2 r 2 b 2 y 2 )3 8( g 3 r 3 b3 y 3 ) 2 ]
G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群 (1)封闭性显然 (2)结合律显然 (3)逆元素显然
(4)单位元显然
4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠 子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少 种装饰方案，试列举之。
1
G (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (1234567),(1357246), (1473625),(1526374), (1642753),(1765432)