高二数学椭圆的定义及其标准方程(供参考)

高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）

学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21

椭圆及其标准方程

第一部分：基础知识梳理 知识点一 椭圆的定义

平面内到两个定点21F F ，的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫做椭圆。两个定点21F F ，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合2a}MF MF {M 21=+=P ，c F F 221=，0,0>>c a 且c a 、都为常数。

当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。

当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。 当c a <即c a 22<时，集合P 为空集。 知识点二 椭圆的标准方程

（1）)0(122

22>>=+b a b y a x ，焦点在x 轴上时，焦点为)0,(c F ±，焦点c F F 221=。

（2）)0(122

22>>=+b a b

x a y ，焦点在y 轴上时，焦点为),0(c F ±，焦点c F F 221=。

知识点三 椭圆方程的一般式

这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：

C By Ax =+22（其中C B A 、、为同号且不为零的常数，B A ≠），它包含焦点在x 轴或y 轴上两

种情形。方程可变形为

12

2=+B

C y A C x 。 当

B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

一般式，通常也设为12

2

=+By Ax ，应特别注意B A 、均大于0，标准方程为1112

2=+B

y A x 。

知识点四 椭圆标准方程的求法 1. 定义法

椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、 在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为c b a 、、，且B （-1,0）C （1,0），求满足c a b >>，且c a b 、、成等差数列时，顶点A 的曲线方程。 变式练习 1.在△ABC 中，点B （-6,0）、C （0,8），且C A B sin sin sin 、、成等差数列。 （1）求证：顶点A 在一个椭圆上运动。 （2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2. 待定系数法

首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数b a 、表示出来，然后结合问题的条件，建立参数b a 、满足的等式，求得b a 、的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。 例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P （3,0），a =3b ，求椭圆的标准方程。 例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、，求椭圆方程。 变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）.

（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.

3.已知椭圆经过点

），（336和点），（13

2

2，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点），（），，（2

1-031

31Q P 的椭圆标准方程。 知识点五 共焦点的椭圆方程的求解

一般地，与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设其方程为)(1222

2

2b k k b y k a x ->=+++。 例4、 过点（-3,2）且与14

92

2=+y x 有相同焦点的椭圆的方程为（ ） A.

1101522=+y x B.110022522=+y x C.1151022=+y x D. 1225

1002

2=+y x 变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆36492

2

=+y x 有共同焦点的椭圆方程。

知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法

与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点),(y x P 和已知曲线上一点),(00y x M ，建立其关系，再代入。

例5、已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ,点M 在'

PP 上，并且→

→

='2MP PM ,求点M 的轨迹。

知识点七 与弦的中点有关问题的求解方法

直线与椭圆相交于两点),(11y x A 、),(22y x B ,称线段AB 为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特

点是巧代线段AB 的斜率。其方程具体是：设直线l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于B A 、两点，坐

标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，线段AB 的中点为),(00y x M ，则有

①式-②式，得22

22122221---b y y a x x =，即0

2

20202212122212122y a x b y a x b y y x x a b x x y y ⋅⋅-=⋅⋅-=++⋅-=-- ∴0

2

2y a x b k AB

⋅⋅-= 通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。

例6.已知：椭圆

14

162

2=+y x ，求： （1）以P （2，-1）为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的相交弦中点的轨迹方程；

（3）过Q （8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。 第二部分：巩固练习

1. 设21F F ，为椭圆116

22

=+y x 的焦点，P 为椭圆上一点，则21F PF ∆的周长是（ ） A. 16 B. 8 C. 8152+ D. 无法确定 2. 椭圆12432

2

=+y x 的两个焦点之间的距离为（ ） A. 12 B. 4 C. 3 D. 2 3. 椭圆552

2

=+ky x 的一个焦点是（0,2），那么k 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5

4. 已知椭圆的焦点是21F F ，，P 是椭圆上的一个动点，如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点

Q 的轨迹是（ ）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线的一支

D. 抛物线