24.1.2垂直于弦的直径解析
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可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活 动 二 思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2
·
在Rt △ AOE 中
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径 所在的直线对折, 重复做几次, 你发现了 什么? 由此你能得到什么结论?
A M└ ●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，
D
并且平分弦对的两条弧。
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA,OB,则OA=OB.
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
E
A
B
推论：
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B
C
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
① ②
③ ④ ⑤
① ③
② ④ ⑤
① ④
③②
②③ ⑤
① ④ ⑤
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A表B 示主桥拱，设 AB A所B在圆的圆心为O，半径为 R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，ACB 是 的中点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2wk.baidu.com2
R O
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（弧2）：Ａ线⌒Ｃ段＝：Ｂ⌒AＣE=B，EＡ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
A
C
·O
E B
D
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
方法：
• 在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，常作的辅助线是 过圆心作弦的垂线（垂线段），连接半径。构造直角三角形将垂径定理和勾 股定理结合起来。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活 动 二 思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2
·
在Rt △ AOE 中
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径 所在的直线对折, 重复做几次, 你发现了 什么? 由此你能得到什么结论?
A M└ ●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，
D
并且平分弦对的两条弧。
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA,OB,则OA=OB.
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
E
A
B
推论：
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B
C
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
① ②
③ ④ ⑤
① ③
② ④ ⑤
① ④
③②
②③ ⑤
① ④ ⑤
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A表B 示主桥拱，设 AB A所B在圆的圆心为O，半径为 R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，ACB 是 的中点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2wk.baidu.com2
R O
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（弧2）：Ａ线⌒Ｃ段＝：Ｂ⌒AＣE=B，EＡ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
A
C
·O
E B
D
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
方法：
• 在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，常作的辅助线是 过圆心作弦的垂线（垂线段），连接半径。构造直角三角形将垂径定理和勾 股定理结合起来。