初中奥数讲义_一元一次方程
(完整)一元一次方程复习讲义
一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
初中七年级奥数课件：一元一次方程
• 解： 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
• 要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
• 看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
• 因为 k2≥0，
• 所以，只要 k＞5 或 k＜2且k≠0时，上式大于零，
• 所以，当 k＜2且k≠0 或 k＞5 时，原方程的解是正 数，所以 k＞5 或 0＜k＜2 即为所求．
• 于是有：
• 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，
•即
-2x=-21，
x = 21 2
• 例 4、 解关于 x 的方程
•
(mx-n)(m+n)=0．
• 分析：这个方程中未知数是x，m，n是可以 取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取 不同值时，方程解的情况．
• 解 ：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
x = - 22 9
• 例 2、 已知下面两个方程3(x+2)=5x， • ①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) • ② 有相同的解，试求 a 的值 。
• 分析： 本题解题思路是从方程①中求出 x 的 值，代入方程②，求出 a 的值．
• 解：由方程①可求得 3x-5x=-6，
• 所以 x=3．由已知，x=3 也是方程②的解， 根据方程解的定义，把 x=3 代入方程②时， 应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
• 分析 ：当方程ax=b有唯一解 由不得a、b来确定：
x = b 时，此解的正负
a
• (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立．
• (2)若 ab＞0 时，则方程的解是正数；反之，若方 程 ax=b 的解是正数，则 ab＞0 成立．
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
奥数辅导资料一元一次方程
奥数辅导资料一元一次方程【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。
本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。
只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。
【要点讲解】§1 含参量的一元一次方程含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。
因为未注明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。
★例1解关于χ的方程。
思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。
解：把原方程变形为即当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。
★★例2若a，b，c是正数，解方程。
解法一：原方程两边乘以abc，得到方程,移项合并同类项得即由，，知,即。
解法2：对原方程左端的每一项减去1，得即∵由，，知∴∴说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。
★★例3k为何正数时，方程的解是正数？思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。
（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。
（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。
解：按未知数χ整理方程得要使方程的解为正数，需要不等式的左端因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。
§2 含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。
第10讲_一元一次方程___奥数,学而思,超常班
第10讲_一元一次方程___奥数,学而思,超常班第十讲一元一次方程一、一元一次方程的解法相关概念：等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。
方程：含有未知数的等式。
（两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。
）元：未知数的个数（几种未知数就是几元）；次：未知数最高次项的次数。
解一元一次方程步骤：（1）去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号）（2）移项（过桥变号）（3）合并（4）求解前两步易错。
例1：①2X+12=4X‐12解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并）X=12（求解；最后一步建议把X写左边）②10（X+2）=4（2X+7）解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律）10X‐8X=28‐20（移项，注意变号）2X=8X=4超常学案1：①8X‐2（7+X）=4解：8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号8X‐2X=4+146X=18X=3补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】二、列方程解应用题步骤：设、列、解、（检验）、答。
我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。
直接根据题意列方程求解即可。
设未知数有直接设未知数和间接设未知数。
（一）直接设未知数例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。
解：设小李今年X岁，爷爷今年5X今年的年龄 12年后的年龄小李 X X+12爷爷 5X 5X+12根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，”列得方程：5X+12=3（X+12）解得X=12答：小李今年12岁。
注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。
例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。
一元一次方程 讲义
【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。
那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。
一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。
例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将同类项进行合并。
5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。
基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。
返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。
2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。
两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。
初一奥数知识点：一元一次方程
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命 题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入 学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比 普通数学要深奥一些。
下面是 1．等式与等量用"="号连接而成的式子叫等式注意"等量就能代 入"！ 2．等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得 结果仍是等式； 等式性质 2 等式两边都乘以或除以同一个不为零的数，所得结果 仍是等式 3．方程含未知数的等式，叫方程 4．方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注 意"方程的解就能代入"！ 5．移项改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项移项 的依据是等式性质 1 6．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7．一元一次方程的标准形式+=0 是未知数，、是已知数，且≠0 8．一元一次方程的最简形式=是未知数，、是已知数，且≠0 9．一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为 1……检验方程的解 10．列一元一次方程解应用题 1 读题分析法…………多用于"和，差，倍，分问题" 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如"大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----"，利用这些关键字 列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程2 画图分析法…………多用于"行程问题" 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图 形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系可把未知数看做已知量，填入有关的代数式是获 得方程的基础 11．列方程解应用题的常用公式 1 行程问题距离=速度·时间； 2 工程问题工作量=工效·工时； 3 比率问题部分=全体·比率； 4 顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5 商品价格问题售价=定价·折·，利润=售价-成本，； 6 周长、面积、体积问题圆=2π，圆=π2，长方形=2+，长方形=，正方形=4， 正方形=2，环形=π2-2,长方体=，正方体=3，圆柱=π2，圆锥=π2【初一奥数知识点一元一次方程】。
初一数学竞赛讲义(一元一次方程)
第1讲 一元一次方程一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬套，往往需要我们活用所学方法，灵活解决问题。
例1、解方程200620072005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯xxxx x二、一元一次方程根的存在性一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然当a ≠0时，方程有唯一的根a b；当a=0且b=0时，方程有无数根；当a=0且b ≠0时，方程无根；例2、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。
例3、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。
例4、 解关于x 的方程a b a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。
例5、已知3=--+--+--b ac x a cb xc ba x ，且0111≠++c b a ，求x-a-b-c 的值。
三、一元一次方程的整数解例6、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？例7、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。
四、含绝对值的一元一次方程例8、解方程312=+-x x例9、解方程532=+++x x练习1、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？2、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），求m 。
3、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数是什么？4、求自然数n a a a 21，使得122121122121n n a a a a a a ⨯=⨯。
5、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解（2）有无数解（3）无解6、方程1-x+x的解有哪些？2=-37、已知关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b有无数多解，试求a、b的值。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们经常会遇到的一个重要概念。
那什么是一元一次方程呢？简单来说，一元一次方程就是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
例如：3x ＋ 5 ＝ 17 ， 2y 8 ＝ 10 ，这些都是一元一次方程。
它的一般形式可以表示为：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a、b 为常数，且a ≠0 ）。
二、为什么要学习一元一次方程的解法学习一元一次方程的解法有着非常重要的意义。
首先，它是解决实际问题的有力工具。
在我们的日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来解决。
比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等。
其次，它为我们后续学习更复杂的数学知识打下了坚实的基础。
像二元一次方程、一元二次方程等，如果我们能够熟练掌握一元一次方程的解法，那么在学习这些新知识时就会更加轻松。
三、一元一次方程的解法步骤接下来，让我们详细了解一下一元一次方程的解法步骤。
1、去分母如果方程中存在分数，我们需要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以分母的最小公倍数。
例如，方程：（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x ＋ 2) ／ 3 ＝ 5 。
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以方程两边同时乘以 6 ，得到：3(x ＋ 1) ＋ 2(x ＋ 2) ＝ 302、去括号去掉方程中的括号，运用乘法分配律将括号外的数乘以括号内的每一项。
对于上面的例子，去括号后得到：3x ＋ 3 ＋ 2x ＋ 4 ＝ 303、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
继续上面的例子，移项后得到：3x ＋ 2x ＝ 30 3 44、合并同类项将方程中相同类型的项进行合并。
上式合并同类项后得到：5x ＝ 235、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
继续上面的例子，方程两边同时除以 5 ，得到：x ＝ 23 ／ 5四、例题讲解为了让大家更好地掌握一元一次方程的解法，我们来看几个具体的例题。
一元一次方程优质讲义
区别
举例联系Βιβλιοθήκη 等式用等号连接的式子。
3+2=5，x+1=0
都是用等号连接的式子
方程
含有未知数的等式。
X+1=0，x+y=2
一元一次方程
方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
X+1=0， y+1= y
方程的解的概念：
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
(3)a=0，b≠0时，方程无解。
知识点五：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用
题型一：方程有唯一解
例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
题型二：方程有无数解
例17、关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a. b的值应是( )
A. a=4, b=－3 =－4, b=－3 C. a=4 , b=3 .b可取任意数
(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.
4、已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解 (2)方程有无数解 (3)方程没有解
总结升华：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况
(1)a≠0时，方程有唯一解x= ；
(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；
如方程： － =，将其化为：－=。方程的右边没有变化，
这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是( )
A.若 ,则 B. 若 ,则
C.若 ,则 D. 若 ,则
举一反三：
1、若 ,下列变形不一定正确的是( )
第四讲一元一次方程奥数
第四讲 一元一次方程一 重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)． 2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解． 3） 一元一次方程ax=b 的解由a ，b 的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b ，则方程无解．解方程预习练习题(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d 3.关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程,且x 有唯一解,求这个解.当k 取何值时，关于x 的方程3(x+1)=5-kx ，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．解关于x 的方程(mx-n)(m+n)=0．已知(m 2-1)x 2-(m+1)x+8=0是关于x 的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值．已知关于x 的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a 的值．已知关于x 的方程 且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值． 经典例题讲解【例1】 (1)已知关于I 的方程和有相同的解，那么这个解是 x a x x 43(23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1851123=--+x a x ． （2）如果，那么n ＝ ．20042003)1(11216121=+++++n n【例2】 当b=1时，关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a 等于()．A ．2B ．一2C ．D ．不存在32-【例3】 是否存在整数k ，使关于k 的方程(k 一5)x+6=1—5x ；在整数范围内有解?并求出各个解． 【例4】 解下列关于x 的方程． (1)4x+b=ax-8； (a ≠4) (2)mx-1＝nx ；(3)． )2(41)(31m x n x m +=- 【例5】已知都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p 十q p 、101q+4的值．练习1．已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解，则k 3+2k 2-11k-85= ．(“信利杯”竞赛题)2．方程的解为 ；解方程，0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 0333)321(212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x 得x= ．3．已知关于x 的方程2a(x 一1)＝(5一a)x+3b 有无数多个解，那么a ＝ ．(“希望杯”邀请赛试题)4．和方程x 一3＝3x+4不同解的方程是( )．A ．79—4＝59—11B ．0231=++x C ．(a 2+1)(x 一3)＝(3x+4)(a 2+1)D ．(7x 一4)(x —1)＝(5x 一11)(x 一1)5．已知a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax=1的解是x ＝(4)方程的解是x ＝±1a1a x a = 结论正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ． 2 D ．36．方程的解是（ ）231)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x A ．B ．C ．D ．14151415-14451445-7．已知关于x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0无解，则ab=( ) ．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．解关于x 的方程：（1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)9．A 为何值时，方程有无数个解？无解？)12(6123--=+x x a x 10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 ．11．已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ．12．已知，那么代数式的值为 ．431)119991(441=++x 19991999(481872xx+⋅+13．若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，则x =．14．有4个关于x 方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0(4)111112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（1）与（4）D ．（2）与（4）15．方程的解是（ ） 1995199619953221=⨯++⨯+⨯xx x A ．1995B ．（1996C ．1997D ． 199816．已知，且，那么的值为（ ）．2001222==-=+cb a kc b a 2001=++k A ． B ．4 C ． D ．－44141-17．若k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有A ．4个 B ．8个 C ．12个 D ．16个关于绝对值方程【例1】方程的解是．5665-=+x x 【例2】 适合的整数a 的值的个数有()．81272=-++a aA ．5B ．4C ． 3D ．2．【例3】解方程：；413=+-x x 【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (2)．451=-+-x x 【例5】已知关于x 的方程，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．a x x =-+-32 练习21．方程的解是；方程的解是．15)1(3+=-xx 1213+=-x x 2．已知，那么x ＝．199519953990=+x 3．已知，，那么19x 99+3x+27的值为．2+=x x 4．关于x 的方程的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程的解是x=1，则x a x a -+=1x a x a -+=1有理数a 的取值范围是．5．使方程成立的未知数x 的值是()．0223=++x A ．一2B ．0C ．D ．不存在326．方程的解的个数为()．055=-+-x xA ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足，则m 的值是( )0121=--x A ． B ． C ． D ．5210或5210-或5210或-5210--或8．若，则x 等于()．20002020002000⨯=+x A ．20或一21 B ．一20或21 C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程： (1)； (2)；8453=+-x 43234+=--x x (3)；(4)．312=+-x x 1212++-+-x x x 10．讨论方程的解的情况．k x =-+2311．方程的解是．212=--x 12．若有理数x 满足方程，则化简的结果是．x x +=-111-x 13．若，则使成立的x 取值范围是 ．0,0<>b a b a b x a x -=-+-14．若，则满足条件的整数a 的值共有个，它们的和是．100<<x a x =-315．若m 是方程的解，则等于()．x x +=-200020002001-m A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程无解，只有一个解，有两个解，则032=+-m x 043=+-n x 054==-k x m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>nD ． m>k>n17．适合关系式的整数x 的值有()个．62343=++-x x A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程的解有()．1735=--+x x A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且，方程有三个不相等的解，求b 的值．0>a 3=--b a x 20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程有一解?有无数多个解?无解?a x x =---5221．已知，求x+y 的最大值与最小值．y y x x +---=-++1591222． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使?x x x =-++31(3)是否存在整数x ，使?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明144334=++++-+-x x x x 理由．列方程解应用题1．（全国初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁2．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
一元一次方程专题--讲义
内容基本要求略高要求较高要求一元一次方程的解法及应用题掌握一元一次方程的解法掌握利用一元一次方程解应用题第一节 基础巩固 1、分数方程解法：原则：第一步就要去掉分母，方法：如果有括号，一定先去括号；如果没有括号，或者已经去掉括号了，那么（1）分母是整数的每一个项乘以所有分母的最小公倍数。
例：y -21y -=3-52+y例：25（3x -2x +52）-2=53（x -72）+94（此题必须先去掉括号，才能再去分母）（2）分母中含有小数或者全部是小数的一般用所有分母相乘后，做-去分母的公倍数，来去掉分母；例题精讲中考要求一元一次方程专题例：5.03-x -2.04+x =1.62、相遇问题应用题：总的等量关系式：路程=速度×时间，可能在一个题目中反复应用多次。
（1）普通相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程例：A 、B 两站间的路程为448 km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80km ，问：两车同时开出相向而行，出发后多少小时相遇?（2）追赶问题（追及问题）： 一定是同向而行；总的关系式：追及时间×速度差 = 需要追及的距离①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程例：A 、B 两站间的路程为448 km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80km ，问：两车沿BA 方向相向而行，快车开出后多少小时两车相遇?②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程 例：甲乙两人同住一处，一天乙骑自行车到县城，速度为20 km/h ，出发3小时后，甲骑摩托车也去县城，速度为60 km/h ；如果路程足够远，问：甲经过多长时间能追上乙?③环形跑道上的相遇和追及问题： 这种问题有两种类型：同向和异向。
当同向出发时，相当于追及问题； 当异向出发时，相当于相遇问题．假设甲、乙两人同时从A 地出发，同向而行，则快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑一圈路程，即S 甲-S 乙=1圈长假设甲、乙两人同时从A 地出发，异向而行，则两人第一次相遇时，两人所走路程之和等于一圈长，即S 甲+S 乙=1圈长例：甲、己两人环湖散步，环湖一周是400m ，甲每分钟走80m ，乙速是甲速的45。
初一年级奥数知识点：解一元一次方程重点讲解
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：解⼀元⼀次⽅程重点讲解，欢迎⼤家阅读。
1.⼀元⼀次⽅程：只含有⼀个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式⽅程是⼀元⼀次⽅程。
2.⼀元⼀次⽅程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。
3.条件：⼀元⼀次⽅程必须同时满⾜4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减去同⼀个数或同⼀个整式，等式仍然成⽴。
等式的性质⼆：等式两边同时扩⼤或缩⼩相同的倍数(0除外)，等式仍然成⽴。
等式的性质三：等式两边同时乘⽅(或开⽅)，等式仍然成⽴。
解⽅程都是依据等式的这三个性质等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减同⼀个数，等式仍然成⽴。
5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成⼀项;常数计算后合并成⼀项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。
6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到⽅程左边，把不含未知数的项移到右边。
(2)依据：等式的性质(3)把⽅程⼀边某项移到另⼀边时，⼀定要变号。
7.⼀元⼀次⽅程解法的⼀般步骤：使⽅程左右两边相等的未知数的值叫做⽅程的解。
⼀般解法：(1)去分母：在⽅程两边都乘以各分母的最⼩公倍数;(2)去括号：先去⼩括号，再去中括号，最后去⼤括号;(记住如括号外有减号的话⼀定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到⽅程的⼀边，其他项都移到⽅程的另⼀边;移项要变号(4)合并同类项：把⽅程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在⽅程两边都除以未知数的系数a，得到⽅程的解x=b/a.8.同解⽅程如果两个⽅程的解相同，那么这两个⽅程叫做同解⽅程。
第3讲----《一元一次方程》复习讲义
《一元一次方程》复习讲义第一部分：知识导航要点一：方程、方程的解、解方程、一元一次方程的概念1. 方程：含有的等式叫做方程。
2. 方程的解：使方程的等号左右两边相等的叫做方程的解。
3. 解方程：求的过程叫做解方程。
4. 一元一次方程：只含有个未知数（元），未知数的最高次数是的方程叫做一元一次方程。
要点二：方程变形——解方程的重要依据1、等式的基本性质等式的性质1：即：如果a=b，那么等式的性质2：即：如果a=b，那么或如果a=b，那么（c≠0）要点四：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。
1、审：审题，分析题中已知什么？求什么？明确各个数量之间的关系；2、设：设（设未知数：一般直接问什么设什么，但有时也需要间接设未知数。
）3、找：找等量关系。
4、列：根据列出方程。
5、解：。
6、验：检验是否是方程的解和符合实际题意。
7、答：写出合理的答案。
要点五：几种常见的应用题类型。
1、数字问题：若a、b、c、分别表示一个三位数上个位数字、十位数字、百位数字，则这个位数可表示为2、行程问题：路程=3、利润问题：○1利润= －；②利润率= ×100 %③销售额= ×；④售价=打折数；4、 分段计费问题：在不同的时间、数量、阶段采用不同的计费方式。
5、 方案抉择问题：根据不同的方案选择最佳方案。
第三部分：考点突破考点一：一元一次方程的概念。
【应用举例】1．下列等式中是一元一次方程的是（ ）A ．S=21ab B. x －y=0 C.2x+1=0 D .321+x =1 2．已知方程 +3=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是变式①： 是关于x 的一元一次方程，则m 的值是②： 是关于x 的一元一次方程，则m 的值是③：（m+2） 是关于x 的一元一次方程，则m 的取值是考点二：等式的性质的运用。
【应用举例】1．下列变形中，正确的是（ ）A 、若ac=bc ，那么a=b 。
B 、若cb c a =，那么a=b C 、a ＝b ，那么a=b 。
初中奥数系列：.一元一次方程A级.第01讲.学生版
内容板块一 等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x +=需要1x =才成立． 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x +=-．等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．【例1】 下列各式中，哪些是等式⑴ 31x - ⑵523-= ⑶212x +< ⑷53x += ⑸()x y z xz yz -=- ⑹1x y +=☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
例题精讲中考要求一元一次方程的概念及解法☞关于方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如50x +=中(x 的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数．【例2】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -=【例3】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴ 3x =； ⑵1x =-【巩固】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴ 23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【例4】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是【巩固】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于。
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一元一次方程
一、重要知识点回顾
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．
1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3）一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
二、典型例题分析:
例1解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
例2：已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值．
例3：已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
例4已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
三、拓展练习
(一)填空题
1.若关于x的方程x+2=a和2x－4=3a有相同的解,则 a= .
2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是．
3．关于ｘ的方程19x－a=0的解为19－a,则a=__________.
4.若关于x的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________
5.若关于x的方程︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________.
(二)选择题
6.若2a与1－a互为相反数,则a等于( )
A. 0
B. －1
C. 1
D. －2
7.当3＜a ＜8时,关于x 的方程3x －8=a(x －1)的解是( )
A. 无解
B.正数
C. 零
D.负数
8.要使方程ax=a 的解为1,则( )
A.a 可取任何有理数
B.a ＞0
C. a ＜0
D.a ≠0
9.关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( )
A. 2
B. 3
C.1或2
D.2或3
10.关于x 的方程3x －4=a －bx 有无穷多个解,则a. b 的值应是( )
A. a=4, b=－3
B.a=－4, b=－3
C. a=4 , b=3
D.a .b 可取任意数
(三)解答题
11.解关于x 的方程
(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d
12.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.
13.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.
13
14.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
15．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：
(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
四、课后作业
1.解关于x的方程:ax=1+x
2.已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?
3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;
(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.。