一次函数与方程、不等式的综合问题

一次函数与方程、不等式的综合问题
二、方法剖析与提炼
例1.如图，是一次函数123+-=x y 的图象，观察图象思考：当0=y 时，=x ，由此可知方程
0123=+-x 的解为 ．
【解答】（1）当0=y 时，=x ； （2）解为 ．
【解析】（1）y=0即寻找在一次函数图象上纵坐标为0的点，它的横坐标为4，则=x 4；（2）0123=+-x 的解即一次函数123+-=x y 中当y =0时x 的值． 【解法】解一元一次方程.
【解释】一次函数图象与x 轴交点的横坐标即一次方程的解.
例2．若直线42-=x y 与直线m x y +-=【解答】
解得m 的取值范围是2>m ．
【解析】（1）两条直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立方程组的解； （2）利用交点在第一象限，横坐标、纵坐标都大于0列不等式组求解m 的取值范围．
【解法】用方程思想求交点坐标，解不等式组
【解释】需要学生理解求两直线的交点坐标的方法就是联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的横纵坐标.
例3.（2020长沙）如图，直线l ：y =﹣x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°． （1）求∆AOB 的周长；
（2）设AQ=t>0试用含t 的代数式表示点P 的坐标．
O
y
x
4
8
124812函数与方程的关系
直线的交点问题转化为求方程组的解
G
H
【解答】（1）
∴△AOB 周长为22+．
（2）
∴1PB t
=
在Rt △PBH 中，45PBO ∠=︒， ∴PH=
、BH=
；∴222(,)22t P t t
+-
． 【解析】（1）求三角形的周长即求边长，在函数图象中一般可利用点的坐标求得线段的长；（2）求点的坐标可转化为求某些特殊线段的长．本题中可尝试过P 点作x 轴、y 轴的垂线,利用直角三角形求解．由题意可得，AQ 、OA 、OB 的长，联想到可利用△P BO ∽△OAQ 求出PB 的长． 【解法】利用勾股定理、三角形相似求线段长.
【解释】求点的坐标转化为求垂线段的长，利用相似三角形的对应边成比例求线段需要学生仔细观察几何图形和已知条件找到解决问题的方法.
例4.（1）如图1，直线y kx b =+经过(21)A ，， (12)B --，两点，求不等式
1
22
x kx b >+>-的解集．
（2）如图2，直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），求不等式组mx >kx +b>mx －2的解集．
利用线段长与点的坐标之间的关系求解
图2
y
O A
B
图1
【解答】（1）令121
,22
y x y =
=-，则不等式122x kx b >+>-即为12y y y >>；在
图中画出121
,22y x y ==-的图象，观察得到不等式122x kx b >+>-的解集为
12x -<<．
（2）在图中画出32y mx =-的图象，∵3y 的图象是由2y 向下平移2个单位得到，∴P 是线段AB 的中点，∴点B 的横坐标为2；观察得到不等式mx >kx +b>mx －2的解集为12x <<．
【解析】（1）先把不等式的问题转化成函数值的比较问题，从不等式组
122x kx b >+>-得到三个函数121
,,22y x y kx b y ==+=-；
要比较函数值得大小先要找到函数值相等的情况，即求函数图象的交点，12y y y y 和，和的函数图象的交点分别为A 和B ；要得到12y y y >>观察图象得到是点A 、点B 之间的部分，所
以不等式1
22
x kx b >+>-的解集为12x -<<．
（2）本题中3y 的图象没有给出，与1y 的交点也是未知，需要我们自己求得．
3y 的图象是由2y 向下平移2个单位得到，OA=OC ，可得OP 是△ABC 的中位线，
由P 是AB 的中点，求得点B 的横坐标为2；这样第2题的解答也可用类似第一题的办法解决．
【解法】利用一次函数的图象求不等式的解.
【解释】某些求不等式解的问题一般可把不等式的问题转化成函数值的比较问题，此类问题比较抽象。

需要学生熟练函数与不等式之间的转化.再通过观察对应函数图象的交点，得到函数值的大小关系，从而求得不等式的解.
例5.在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与B
y
x
O
A
B
图1
C
图2
B
港的距离分别为y 1、y 2（km ），y 1、y 2与x 的函数关系如图所示: （1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ，a= ；
（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围． 【解答】（2） （3）
【解析】（1）从图中可以看出A 、B 两港间距离30km ，B 、C 两港是90km ，利用一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口这个条件可求A 、C 两港口间的距离；根据路程÷时间求出甲的速度进而求出a 的值；
（2）利用待定系数法求出y 1，y 2，联立解方程组，即可求出点P 的坐标； （3）先用待定系数法求甲船前面一段/1y 的解析式，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行分类解答．
【解法】待定系数法求函数解析式，求方程组的解得到交点坐标，利用分类讨论思想分别求出甲乙两船能够相互望见的x 的取值范围。

【解释】解决此类问题最为关键的是把实际的行程图和函数图象对应研究分析，题中已知两船的距离不超过10km ，可转化为两船离B 地的距离只差为10km.甲船还没到B 地这种情况和甲船到达C 地而乙船没有到达的情况需要特别关注.
两船的距离不超过10km 理解为每一个过程中的函数值y 1、y 2相差10
三、能力训练与拓展
1．（优质试题巴中）已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为4
1x y =-⎧⎨=⎩，则在同一
平面直角坐标系中，直线l 1：y =x +5与直线l 2：1
12y x =--的交点坐标为 ．
2．（优质试题陕西）已知一次函数5y kx =+和'7y k x =+，假设k ＞0且k ＇＜0,则这两个一次函数的交点在（ ）．
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 3.关于x 的方程)2)(1(12--=-kx x x 恰有两个不同解，求实数k 的取值范围．
4.（优质试题岳阳）对于实数a ，b ，我们定义符号max {a ，b }的意义为：当a >b 时，max {a ，b }=a ；当a <b 时，max {a ，b ]=b ；如：max {4，﹣2}=4，max {3，3}=3 若关于x 的函数为y =max {x +3，﹣x +1}，则该函数的最小值是（ ）． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4
5.已知直线12314
,1,535
y x y x y x ==+=-+的图象如图所示，若无论x 取何值，y
总取123,,y y y 中的最小值，求y 的最大值．
6.平面直角坐标系中,正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为（-1,-1）（1,-1）（1,1）（-1,1）.设正方形ABCD 在y x a a =-+的图象以上部分的面积为S ,试求S 关于a 的函数关系式,并写出S 的最大值.
1.（﹣4，1）． ∵二元一次方程组
的解为
，
∴直线l 1：y=x+5与直线l 2：y=﹣x ﹣1的交点坐标为（﹣4，1）， 2. A ．
∵一次函数y=kx+5中k ＞0，∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限． 又∵一次函数y=k ′x+7中k ′＜0，∴一次函数y=k ′x+7的图象经过第一、二、四象限．
∵5＜7，∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限。

3. x =1恒为方程的解。

当1≠x 时⎪
⎩⎪
⎨⎧-<+<≤--->+=--=
1
,111,111
11
2x x x x x x x x y ，，作出函数的图象(蓝线)，要使上述函数图象与2-=kx y 图象有且只有一个交点，则要求实数的取值范围是
0,1,4k k k ≤=≥.
4. B.
当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min =2，当x+3＜﹣x+1，
即：x ＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x ＜﹣1，∴﹣x ＞1，∴﹣x+1＞2，∴y ＞2，∴y min =2， 5.从图象中观察得到无论x 取何值，y 总取123
,,y y y
中的最小值即图中的粗线部分.y 的最大值就是23y y 和图象的交点的纵坐标的值. y 的最大值是3717
6
.y x a a =-+的图象与a 的取值有关.
（1）当1a ≥时，{
()
2()
x x a x a x a y ≥-+<=
，此时图象与正方形ABCD 没有公共部分，s =0
（2）当01a ≤<时，此时正方形ABCD 在图象上方部分面积为：
21
(1)2(1)(1)2
S a a a =-⨯-=-
（3）当10a -≤<时，此时正方形ABCD 在图象上方部分面积为：
21
22(1)(1)2(1)2
S a a a =-⨯+⨯+=-+
（4）当1a <-时，此时正方形ABCD 在图象上方部分面积为2S =
∴S 与a 的关系式为
∴S 的最大值
0(1)
2(1)(01)
22(1)(10)
2(1)
a a a a a a s ≥-≤<-+-≤<<-⎧
=⎨⎩。