行星运动、万有力定律

行星运动、万有力定律

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第一讲 行星的运动 万有引力定律

课时1行星的运动

【知识要点】

一、地心说与日心说

古希腊天文学家托勒密在公元2世纪，提出了地心说宇宙体系。在这个体系里，地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。

5世纪，以波兰天文学家哥白尼为代表的日心说学派则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 二、行星的运行轨道

1、第谷的匀速圆周运动模型

丹麦天文学家第谷通过长期天文观测，提出太阳系中所有行星绕太阳的运动是匀速圆周运动。

2、开普勒的计算

德国天文学家开普勒仔细整理了丹麦天文学家第谷留下的长期观测资料，并在匀速圆周运动模型下进行了计算，发现计算结果与第谷的观测数据间有8’差异，他摒弃了行星做匀速圆周运动的假设，提出了行星的运动轨道是椭圆的新观点。经过10多年的悉心研究，终于发现了后来以他的名字命名的行星运动定律：

3、开普勒三大定律

（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2）开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太

阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

表达式：

32

a k T

=（比值k 是一个与行星无关，仅与中心天体——太阳的质量有关的常

数）。

【典例剖析】

【例1】木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍。那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道半长轴的多少倍？

【解析】设木星、地球绕太阳运动的周期分别为T 1、T 2，它们椭圆轨道的半长轴分别为a 1、

a 2，根据开普勒第三定律有22

3

2

2131T a T a =，

则232

113222

12 5.24a T a T ==≈。 可见，木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道半长轴的5.24倍。 【例2】天文学家观测到哈雷彗星绕太阳运转的周期是76年，彗星离太阳最近的距离是

8.9×1010m ，但它离太阳最远的距离不能测出。试根据开普勒定律计算这个最远距离。（太阳

a

F F

太阳 地球

系的开普勒恒量k=3.354×1018m 3/s 2）

【解析】设彗星离太阳的最近距离为R 1，最远距离为R 2，则轨道半长轴为2

2

1l l a +=

。 根据开普勒第三定律，有：k T

a =23

所以彗星离太阳最远的距离是32218l kT l =-

m

10225.5m 109.8m )36002436576(10354.3812103218⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=。

【例3】飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T 。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图7－1所示。如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。

【解析】设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’，椭圆轨道的半长轴为

2

R R +，根据开普勒第三定律，有： 2

3

0232T

R R T R '⎪⎭

⎫ ⎝⎛+= 解得：R

R R R T R R R R R T T 22)(20

03

0++=

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=' 所以，飞船由A 点到B 点所需要的时间为：R

R R R

T R R T t 24)(20

0++='=

【例4】月球环绕地球运动的半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。试用开普勒定律计算出：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在空中一样？（地球半径约为6.4×103km ） 【解析】设人造地球卫星和月球的轨道半径分别为R 1、R 2，周期分别为T 1、T 2，根据开普

勒第三定律有22

3

2

2131T R T R =，解得：

2223

41133312222

22(243600)6060 6.410km 4.2710km (27243600)

T T R R R T T ⨯==⋅=⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯地。 A

R R 0

B

所以，人造地球卫星离地面的高度为

4341 4.2710km 6.410km 3.6310km H R R =-=⨯-⨯=⨯地。

【例5】某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，它的近日点A 到太阳的距离为r ，远日点B 到太阳的距离为R 。若行星经过近日点时的速度为v A ，求该行星经过远日点时的速度v B 的大小。 【解析】根据开普勒第二定律，行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。如图所示，分别以近日点A 和远日点B 为中

心，取一个很短的时间△t ，在该时间内扫过的面积如图中的两个曲边三角形所示。由于时间极短，可把这段时间内的运动看成匀速率运动，则

11

22

A B rv t Rv t ∆=∆。 所以，该行星经过远日点时的速度大小为B A r

v v R

=。

课时2 太阳对行星的引力 万有引力定律

【知识要点】

一、太阳对行星的引力

为简单起见，我们可以建立如下的简化模型：把行星轨道当作圆来处理。太阳对行星的引力可以由开普勒运动定律和牛顿第二定律推得：

根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。

设行星的质量为m ，速度为v ，行星到太阳的距离为r ，公转周期为T ，根据牛顿第二定律可得：

太阳对行星的引力为：2

22

2

214v r mr

F m m r T r T ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

将开普勒行星运动第三定律k T

r =23变形为k r T 32

=，代入上式可得：

2224m m

F k r r

π=⋅

∝ 二、“月—地”检验

牛顿进行了著名的月—地检验，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

假设地面的重力21G R ∝

，月球受到的引力2

1F r ∝

A B

R

v A

v B