平稳过程的谱密度优秀课件
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RX ()=ea
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱
密度
S X ( ) 2 0 R X ( ) cos d
2 e a cos d 0
2a
a2 2
2020/11/6
12
例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数
PX()=ea cos0 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， R X ( )
下列矩形波的极限，记
fa
x
1
2a
,
x
a
0 , x a
其中a>0。不妨认为
பைடு நூலகம்
xlai m 0 fax
通常把 x 用长度为1的有向线段来表示（见表 3.1）。 函数的一般形式是 x-x0
，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函
数 f x ， x-x0 必定满足
fxx-x0dxfx0
2020/11/6
16
下面对这个公式作一个直观解释：设 x 0 0
由积分中值定理推得：
f
xxdx
f
x
laim0 fax
dx
lim a0
f
x
fa
xdx
lim a0
a a
f
x 1 dx
2a
lim2af • 1 limf f 0,aa.
a0
2a a0
2020/11/6
17
今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱 密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以
2020/11/6
3
一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{Xt,t}是一个平稳
过程，如果含参变量的广义积分
SX()= RX()eid
存在，那么，称 S X ( ) 为平稳过程 X t 的
（自）谱密度
2020/11/6
4
维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数
R X ( ) 绝对可积，即 且相关函数
（自）谱密度定义为
SX() RX(m )ein,. m
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
2020/11/6
6
赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 R X ( m ) 满
足 RX (m) 时， S X ( ) m
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
R X (m )2 1 S X ( )ei n d ,m 0 , 1 , 2 ,… … .
的相关
SX() RX()eid S0()eid
S0ei0S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零
Ry (w)
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定理3.5（谱密度的性质） 设S X ( )是平稳
过程 {Xt,t}的谱密度，RX()d
（i）S X ( ) 是取非负实数值的偶函数，即
S X ( ) 0 且 S X ( )S X ( )
（ii）SX
()
20
RX
()cosd
RX
()
1
0
SX
()cosd
（iii）巴塞伐等式
定义3.6 如果函数 x 满足
x 0,,xx 0 0且 xdx1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为
函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ()
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无 限值用 函数表示。
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15
15
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是
上具有相同的分量，由于物X理n 上白光的谱
为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。
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8
例3.12 设 Y n,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了
Y n 是一个平稳序列。为了方便，我们记
0(k0或 kN ) k
求 Y n 的谱密度。
2020/11/6
7
例3.11 设 X n ,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n
是一个平稳序列，且相关函数
RX
(m)
｛2，m0
0, m 0
于是，谱密度
SX( ) R X(m )einR X(0)2.
m
这个谱密度 各个频率
S
X
( ) 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在
R2X()d21 SX()2d
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10
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
SX () 2 0 RX ( )cos d
2
ea
0
cos0
cos d
ea
0
cos 0
d
ea
0
cos
0
d
a
a
a2 +0 2 a2 0 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。
取作 函数。必要时，还可以有形如
k 1 x x 1 k 2 x x 1 … … k m x x 1
的相关函数与谱密度，容易看出，它是m 个 函数的线性组合。
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例3.15 设平稳过程 {Xt,t}
函数RX()S0() ，其中常数S 0 0
X t 的谱密度
平稳过程的谱密度优秀课件
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质 三、谱密度与相关函数的关系 四、傅立叶变换的性质
2020/11/6
2
谱密度的概念
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以
一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
RX()
d
时，S X
(
)
存在，
RX()21 SX()eid
这表明谱函数 S X ( )是相关函数R X ( )的傅立叶 变换，而 R X ( ) 是 S X ( ) 的傅立叶逆变换.
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通常记作 FRX () SX () F1 SX () RX ()
对于平稳序列， X n,n0 、 1 、 2 ， … …
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱
密度
S X ( ) 2 0 R X ( ) cos d
2 e a cos d 0
2a
a2 2
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数
PX()=ea cos0 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， R X ( )
下列矩形波的极限，记
fa
x
1
2a
,
x
a
0 , x a
其中a>0。不妨认为
பைடு நூலகம்
xlai m 0 fax
通常把 x 用长度为1的有向线段来表示（见表 3.1）。 函数的一般形式是 x-x0
，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函
数 f x ， x-x0 必定满足
fxx-x0dxfx0
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下面对这个公式作一个直观解释：设 x 0 0
由积分中值定理推得：
f
xxdx
f
x
laim0 fax
dx
lim a0
f
x
fa
xdx
lim a0
a a
f
x 1 dx
2a
lim2af • 1 limf f 0,aa.
a0
2a a0
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今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱 密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以
2020/11/6
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{Xt,t}是一个平稳
过程，如果含参变量的广义积分
SX()= RX()eid
存在，那么，称 S X ( ) 为平稳过程 X t 的
（自）谱密度
2020/11/6
4
维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数
R X ( ) 绝对可积，即 且相关函数
（自）谱密度定义为
SX() RX(m )ein,. m
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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6
赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 R X ( m ) 满
足 RX (m) 时， S X ( ) m
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
R X (m )2 1 S X ( )ei n d ,m 0 , 1 , 2 ,… … .
的相关
SX() RX()eid S0()eid
S0ei0S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零
Ry (w)
2020/11/6
9
定理3.5（谱密度的性质） 设S X ( )是平稳
过程 {Xt,t}的谱密度，RX()d
（i）S X ( ) 是取非负实数值的偶函数，即
S X ( ) 0 且 S X ( )S X ( )
（ii）SX
()
20
RX
()cosd
RX
()
1
0
SX
()cosd
（iii）巴塞伐等式
定义3.6 如果函数 x 满足
x 0,,xx 0 0且 xdx1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为
函数。
2020/11/6
14
引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ()
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无 限值用 函数表示。
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15
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是
上具有相同的分量，由于物X理n 上白光的谱
为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。
2020/11/6
8
例3.12 设 Y n,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了
Y n 是一个平稳序列。为了方便，我们记
0(k0或 kN ) k
求 Y n 的谱密度。
2020/11/6
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例3.11 设 X n ,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n
是一个平稳序列，且相关函数
RX
(m)
｛2，m0
0, m 0
于是，谱密度
SX( ) R X(m )einR X(0)2.
m
这个谱密度 各个频率
S
X
( ) 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在
R2X()d21 SX()2d
2020/11/6
10
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
2020/11/6
11
例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
SX () 2 0 RX ( )cos d
2
ea
0
cos0
cos d
ea
0
cos 0
d
ea
0
cos
0
d
a
a
a2 +0 2 a2 0 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。
取作 函数。必要时，还可以有形如
k 1 x x 1 k 2 x x 1 … … k m x x 1
的相关函数与谱密度，容易看出，它是m 个 函数的线性组合。
2020/11/6
18
例3.15 设平稳过程 {Xt,t}
函数RX()S0() ，其中常数S 0 0
X t 的谱密度
平稳过程的谱密度优秀课件
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质 三、谱密度与相关函数的关系 四、傅立叶变换的性质
2020/11/6
2
谱密度的概念
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以
一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
RX()
d
时，S X
(
)
存在，
RX()21 SX()eid
这表明谱函数 S X ( )是相关函数R X ( )的傅立叶 变换，而 R X ( ) 是 S X ( ) 的傅立叶逆变换.
2020/11/6
5
通常记作 FRX () SX () F1 SX () RX ()
对于平稳序列， X n,n0 、 1 、 2 ， … …