平稳过程的谱密度优秀课件
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平稳过程的谱密度
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
2018/11/27 14
14
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是 下列矩形波的极限，记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
2018/11/27
10
例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0
2 e
0
a
cos d
2a 2 2 a
2018/11/27
4
通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列， X n , n 0、 1、 2，…… （自）谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m
i n
, .
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
2018/11/27
8
定理3.5（谱密度的性质） 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度， RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数，即 （i）
S X () 0且S X () S X ()
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
2018/11/27
1
谱密度的概念
第3章-平稳性与功率谱密度.讲课讲稿
• 语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30 ms时段 内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处 理问题。
• 将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平 稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由 于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。
2020/6/28
F(x1,x2;t1,t2)= F(x1,x2;t1+u,t2+u)= F(x1,x2;τ,0)= F(x1,x2;τ)
f(x1,x2;t1,t2)= f(x1,x2;t1+u,t2+u)= f(x1,x2;τ,0)= f(x1,x2;τ)
R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)= R(τ)
2020/6/28
5
广义平稳信号的定义
2020/6/28
6
非平稳信号
• 不是广义平稳的信号 • 统计量随时间变化的信号（时变信号）
2020/6/28
7
平稳信号和非平稳信号举例
• 接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间 进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在 稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。 但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未 达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。
= xiP(xi) cost yiP( yi)sin t 0
i
i
RZ t1,t2 =EZ(t1)Z(t2)
=E X2 cost1 cost2 Y 2 sin t1 sin t2
2cos
式中τ=t1-t2，可见Z(t)是广义平稳过程。
X 1 X 2 L X n ( v 1 ,v 2 ,L ,v n ;t 1 ,t 2 ,L ,t n ) e x p jk n 1 m v k 1 2 i n 1 k n 1 C ( t i,t k ) v iv k
• 将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平 稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由 于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。
2020/6/28
F(x1,x2;t1,t2)= F(x1,x2;t1+u,t2+u)= F(x1,x2;τ,0)= F(x1,x2;τ)
f(x1,x2;t1,t2)= f(x1,x2;t1+u,t2+u)= f(x1,x2;τ,0)= f(x1,x2;τ)
R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)= R(τ)
2020/6/28
5
广义平稳信号的定义
2020/6/28
6
非平稳信号
• 不是广义平稳的信号 • 统计量随时间变化的信号（时变信号）
2020/6/28
7
平稳信号和非平稳信号举例
• 接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间 进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在 稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。 但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未 达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。
= xiP(xi) cost yiP( yi)sin t 0
i
i
RZ t1,t2 =EZ(t1)Z(t2)
=E X2 cost1 cost2 Y 2 sin t1 sin t2
2cos
式中τ=t1-t2，可见Z(t)是广义平稳过程。
X 1 X 2 L X n ( v 1 ,v 2 ,L ,v n ;t 1 ,t 2 ,L ,t n ) e x p jk n 1 m v k 1 2 i n 1 k n 1 C ( t i,t k ) v iv k
谱密度PPT
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
|u | 2T
)e
ju
R
X
(u
)du
e
ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
随机过程的功率谱密度 ppt课件
GX ( ) GX (cos )ppt课件
17
三、互功率谱密度及其性质
GXY ()
E{lim T
1 2T
XT ()YT()}
其中： XT ()
T X (t)e jt dt
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
GXY ()
GX
( )e
j
d
物理谱定义：
FX () 2GX0()
0 0
ppt课件
12
5
0
-5
0
200
400
600
800
1000
1200
30
频谱
20
10
0 0
40 20
0 -20 -40
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
功率谱
200
400
广义联合平稳的定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , R (t , XpYpt课件1 t2 ) RXY ( ), t1 t221
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
2 0
RX ( ) cos d
实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。
RX
(0 )
1
2
GX
随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2
X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
0 0
2018/10/2220例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中 a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度S X ( ) 的平稳随 为常数， 机过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) cos0e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
0 0
，
A
e
( j ) 0
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2
X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
0 0
2018/10/2220例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中 a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度S X ( ) 的平稳随 为常数， 机过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) cos0e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
0 0
，
A
e
( j ) 0
平稳随机过程的功率谱密度-精品文档
二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值
2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T
S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:
平稳过程的功率谱密度
T
T
X t dt 1 2
2
1 E F , T 2 d lim X T 2T
等式左边称为平稳过程 X t 的平均功率 lim E 1 T 2T
T
T
X t dt lim 1 T 2T
由例1
2a 2a 1 2 2 2 a 2 2 a 0 0
1 1 a 2 2 2 2 a 0 a 0
。
2 4 例3：已知谱密度为： S X 4 ，求平稳过程 X t 2 10 9
1 =t1 t 2 2 =t 2 t1
T
T T
X t1 e
i t1
dt1
T
T
X t 2 e i t2 dt 2
i t 2 t1
T T
T
T T
E X t1 X t 2 e R X t 2 t1 e
f ( z ) dz 2 i Re s[ f ( z ), z
C k 1 z z0
n
k
]
Res( f, z 0 ) lim ( z z 0 ) f(z), 当 z 0为一阶极点 d k 1 (z z 0 )k f(z) 1 , 当 z 为 k 阶极点 Res( f, z 0 ) lim 0 ( k 1)! z z 0 dz k 1 形如
明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。在频率域中， x 2 f F
2
2
表示
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4
RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
4
4 2 2
,
(, )
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
且满足 E[Xt -Xs ]2 t s , 令 Yt Xt -Xt1,
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ckm
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
Y的谱密度
又称
lim E[ 1
T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
T
X
e
jwu
CH3平稳性与功率谱密度PPT
河南理工大学计算机学院
11/104
3.1 平稳性与联合平稳性
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12/104
3.1 平稳性与联合平稳性
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3.1 平稳性与联合平稳性
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3.1 平稳性与联合平稳性
解：根据各个信号的均值、相关函数与概率特性,容易得出： (1)伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号； (2)随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号； (3)半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。
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3.5 白噪声与热噪声
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82/104
3.5 白噪声与热噪声
理论分析中，常用双边功率谱，则噪声电压功率 谱为，
GV
电子热骚动的物理特性使得这种噪声的统 计特性具有平稳性并呈高斯分布，因此， 它的基本模型：平稳高斯白噪声作为其基 本模型，(双边) 电压功率谱值，
随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t 保持不变的特性。 包括严格平稳性与广义平稳性。
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3.1 平稳性与联合平稳性
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5/104
3.1 平稳性与联合平稳性
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3.1 平稳性与联合平稳性
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3.6 应用举例
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3.6 应用举例
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3.6 应用举例
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随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
3.4平稳过程的谱密度全解
S0ei 0 S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零 均值的平稳过程称为白噪声过程。这是一个 连续白噪声，不同于3.5中给出的离散白噪声。 白噪声过程是一种理想化的数学模型。
2018/10/23 19
{X t , t } 例3.16 设平稳过程
的谱密度
X t 的相关函数
定义3.6 如果函数 x 满足
, x 0 x 且 0, x 0
x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
2018/10/23 14
引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密 度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分 解成若干部分分式之和。
2018/10/23 24
例3.19 设平稳过程 X t 的谱密度
+6 S X ( )= 4 +10 2 +9
2
求其相关函数
2018/10/23
25
由于实际频率不取负值，因此给出单边谱密度 的定义：
2018/10/23 3
一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X () = RX ( )e
i
d
存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
2S X ( ) , 0 GX ( ) , 0 0
利用只有正频率部分的单边功率谱，定理3.5（ii）可 以写成：
GX ( ) 4 RX ( ) cos d
第四章 平稳随机过程的谱分析
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
107507-概率统计随机过程课件-第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度
第十二章第五节 平稳过程的相关函数与谱密度一、 相关函数的性质平稳过程)(t X 的自相关函数)(τX R 是仅依赖于参数间距τ的函数。
它有如下性质：性质1 )(τX R 是偶函数，即)(τ-X R )(τX R =；（事实上)]()([)(ττ+=t X t X E R X ，)]()([)(ττ-=-t X t X E R X)()]()([ττττX R t X t X E =+--= ）性质2 2)0(|)(|X X X R R ψ=≤τ ，2)0(|)(|X X X C C στ=≤，就是说，自相关函数)(τX R 和自协方差函数 )(τX C 都在 0=τ 处达到最大值。
事实上（利用不等式|)(|XY E 212212][][EY EX⋅≤） |)]()([||)(|ττ+=t X t X E R X )0()]([)]([212212X R t EX t EX =+≤τ，|))]()(())()([(||)(|τττ+-+•-=t EX t X t EX t X E C X212212]))()(([]))()(([ττ+-+•-≤t EX t X E t EX t X E 2)0(X X C σ== 。
性质3 )(τX R 非负定。
即对任意实数n τττ,,,21 和任意函数)(τg 有0)()()(1,≥-∑=j i j i nj i X g g R ττττ 。
事实上)()()(1,j i j i nj i X g g R ττττ-∑= )()()]()([1,j i j i n j i g g X X E ττττ∑==0)]()([21≥=∑=i i ni g X E ττ。
性质4 如果)(t X 是以T 为周期的周期平稳过程，即满足 )()(t X T t X =+，那么，)(τX R 也是以 T 为周期的函数。
事实上)]()([)(T t X t X E T R X ++=+ττ)()]()([ττX R t X t X E =+=。
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
7-1平稳的谱密度及其性质(主讲内容)
2 1 lim E F ( , T ) d x T 2T
设X(t)是均方连续的平稳过程，称
1 lim T 2T
2
T
T
E{ X (t ) }dt
各种频率成 分所具有的 能量大小
2
为X(t) 的平均功率. 称
1 2 S X ( ) lim E[ FX (, T ) ]， T 2T
x(t)在R上 的总能量
F () 称为能谱密度，
1 x(t ) y (t )dt 2
| Fx ( ) || Fy ( | d
卢
解放军电子技术学院
x( t ), 若令 xT ( t ) 0,
t T; t T.
（T 0 ）
xT ( t )的付氏变换记为
2 T
T
2
dt
F ( , T ) d
1 lim T 2T
T
T
1 X (t ) dt 2
2
1 2 Fx ( , T ) d Tlim 2T
被积函数
1 2 Fx ( , T ) T 2T lim
称为功率密度
卢
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随机过程功率谱密度
为X(t)的平均功率谱密度(功率谱, 谱密度). 若X(t)是平稳过程
1 RX (0) 2
2
S X d
平均功率等 于过程的 均方值
称为平稳过程的平均功率谱展开式.
解放军电子技术学院
卢
平稳过程相关函数的谱分解
定理 设有平稳过程{X (t ), t } ，若
电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度
电子科大随机信号分 析教学课件ppt平稳
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{Xt,t}是一个平稳
过程，如果含参变量的广义积分
SX()= RX()eid
存在，那么，称 S X ( ) 为平稳过程 X t 的
（自）谱密度
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维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数
R X ( ) 绝对可积，即 且相关函数
RX()
d
时，S X
(
)
存在，
RX()21 SX()eid
这表明谱函数 S X ( )是相关函数R X ( )的傅立叶 变换，而 R X ( ) 是 S X ( ) 的傅立叶逆变换.
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5
通常记作 FRX () SX () F1 SX () RX ()
对于平稳序列， X n,n0 、 1 、 2 ， … …
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例3.11 设 X n ,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n
是一个平稳序列，且相关函数
RX
(m)
｛2，m0
0, m 0
于是，谱密度
SX( ) R X(m )einR X(0)2.
m
这个谱密度 各个频率
S
X
( ) 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在
的相关
SX() RX()eid S0()eid
S0ei0S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零
平稳过程的谱密度优秀课件
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质 三、谱密度与相关函数的关系 四、傅立叶变换的性质
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2
谱密度的概念
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以
一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
RX ()=ea
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱
密度
S X ( ) 2 0 R X ( ) cos Hale Waihona Puke d2 e a cos d 0
2a
a2 2
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数
PX()=ea cos0 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， R X ( )
定义3.6 如果函数 x 满足
x 0,,xx 0 0且 xdx1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为
函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ()
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无 限值用 函数表示。
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15
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是
即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
SX () 2 0 RX ( )cos d
2
ea
0
cos0
cos d
ea
0
cos 0
d
ea
0
cos
0
d
a
a
a2 +0 2 a2 0 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。
R2X()d21 SX()2d
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谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
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下面对这个公式作一个直观解释：设 x 0 0
由积分中值定理推得：
f
xxdx
f
x
laim0 fax
dx
lim a0
f
x
fa
xdx
lim a0
a a
f
x 1 dx
2a
lim2af • 1 limf f 0,aa.
a0
2a a0
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今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱 密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以
上具有相同的分量，由于物X理n 上白光的谱
为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。
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例3.12 设 Y n,n 0 、 1 、 2 ， … …
是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了
Y n 是一个平稳序列。为了方便，我们记
0(k0或 kN ) k
求 Y n 的谱密度。
取作 函数。必要时，还可以有形如
k 1 x x 1 k 2 x x 1 … … k m x x 1
的相关函数与谱密度，容易看出，它是m 个 函数的线性组合。
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例3.15 设平稳过程 {Xt,t}
函数RX()S0() ，其中常数S 0 0
X t 的谱密度
（自）谱密度定义为
SX() RX(m )ein,. m
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 R X ( m ) 满
足 RX (m) 时， S X ( ) m
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
R X (m )2 1 S X ( )ei n d ,m 0 , 1 , 2 ,… … .
下列矩形波的极限，记
fa
x
1
2a
,
x
a
0 , x a
其中a>0。不妨认为
xlai m 0 fax
通常把 x 用长度为1的有向线段来表示（见表 3.1）。 函数的一般形式是 x-x0
，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函
数 f x ， x-x0 必定满足
fxx-x0dxfx0
Ry (w)
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定理3.5（谱密度的性质） 设S X ( )是平稳
过程 {Xt,t}的谱密度，RX()d
（i）S X ( ) 是取非负实数值的偶函数，即
S X ( ) 0 且 S X ( )S X ( )
（ii）SX
()
20
RX
()cosd
RX
()
1
0
SX
()cosd
（iii）巴塞伐等式