初中数学实数与二次根式的基本概念进阶(含解析)
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质:① 二次根式的概念:一般地,形如 √a (a≥0)的式子叫作二次根式,其中“ √ ” 称为二次根号,a称为被开方数。
例如,√2 ,√(x^2+1) ,√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质:当 a ≥ 0 时,√a 表示 a 的算术平方根,所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0),即对于式子 √a 来说,不但 a ≥ 0,而且 √a ≥ 0,因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式:1、被开方数中不含有分母 ;2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注:对于商的算术平方根,最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化:化去分母中根号的变形叫作分母有理化,分母有理化的方法是根据分数的基本性质,将分子和分母分别乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式)化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法:1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方;2、若被开方数含分母,先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形,再根据分母有理化的方法化简二次根式;3、若分母中含二次根式,根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式,要紧扣最简二次根式的特点:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和(或差)的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积(或一个数)的形式,则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减:(1)先把每个二次根式都化成最简二次根式;(2)把被开方数相同的二次根式合并,注意合并时只把“系数”相加减,根号部分不动,不是同类二次根式的不能合并,即二、知识点讲解:1、二次根式的概念及有意义的条件:例题1、下列式子中,是二次根式的有 ( B )例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念:如果一个数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个数x 就叫作a 的平方根(或二次方根)。
2.平方根的表示方法:正数a 的平方根可记作a ±,读作:正负根号a ,读作根号,a 是被开方数。
3.平方根的性质:若a x =2,那么a x =-2)(,则x -也是a 的平方根,所以正数a 的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0;因为相同的两个数的乘积为正,所以任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根(即0≥±a a ,)。
二、算数平方根1.算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法:正数a 的算术平方根可记作a ,读作:根号a 。
3.算术平方根的性质:正数有一个正的算术平方根;0的算术平方根是0,负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a (0≥a )的平方根的运算叫作开平方,其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算,所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算,且平方的结果只有一个;但开平方只有正数和0可以,负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念:一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即a x =3,那么这个数x 就叫作a的立方根(或三次方根)。
2.立方根的表示方法:a 的立方根可记作3a ,读作:三次根号a ,其中“3”是根指数,a 是被开方数,注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质:(1)一个正数有一个正的立方根;(2)一个负数有一个负的立方根;(3)0的立方根是0;4.开立方:求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,;开立方运算与立方运算互为逆运算;求一个带分数的立方根时,必须把带分数化成假分数,再求它的立方根。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式(组):尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数,不等号方向改变。
如:-2x>4,不等式两边同除以-2得x<-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如{3、分式有意义的条件:分母≠04、绝对值:|a|=a (a≥0);|a|= - a (a<0)一、二次根式的概念一般地,我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念,要把握以下五点:(1)二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号“”,“”的根指数为2,即“2”,我们一般省略根指数2,写作“”。
如25 可以写作 5 。
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子。
(3)式子 a 表示非负数a的算术平方根,因此a≥0, a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
(4)在具体问题中,如果已知二次根式 a ,就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
(5)形如b a (a≥0)的式子也是二次根式,b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数,例如832 可写成8 23,但不能写成 2232 。
练习:一、判断下列各式,哪些是二次根式?(1) 6 ;(2)-18 ;(3)x2+1 ;(4)3-8 ;(5)x2+2x+1 ;(6)3|x|;(7)1+2x (x<-12)X≥-2X<5的解集为-2≤x<5。
二、当x 取什么实数时,下列各式有意义?(1)2-5x ;(2)4x 2+4x+1二、二次根式的性质:二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a (a ≥0)的性质a ≥0 (a ≥0)一个非负数的算术平方根是非负数。
(1)二次根式的非负性(a ≥0,a ≥0)应用较多,如:a+1 +b-3 =0,则a+1=0,b-3=0,即a= -1,b=3;又如x-a +a-x ,则x 的取值范围是x-a ≥0,a-x ≥0,解得x=a 。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念,它与根式和平方根密切相关。
在本文中,我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题,帮助读者更好地理解和运用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式,其中a是一个非负实数。
在二次根式中,√称为根号,a称为被开方数。
二次根式有以下几个基本特点:1. 当被开方数a为非负实数时,二次根式有意义,结果为一个实数;2. 当被开方数a为负实数时,二次根式无意义,即不存在实数解。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则:对于两个二次根式,若它们的被开方数相同,则它们可以直接相加或相减。
例如:√2 + √2 = 2√2;5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则:对于两个二次根式,可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算,并将结果相乘。
例如:√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则:对于两个二次根式,可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算,并将结果相除。
例如:√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中,我们常常需要对二次根式进行化简,使得结果更简洁。
在化简二次根式时,可以利用以下的方法:1. 因式分解法:将被开方数进行因式分解,然后利用乘法法则将二次根式化简。
例如:√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法:对于具有相同根号下的数的二次根式,可以合并为同一个二次根式。
例如:5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题,帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。
例题一:计算下列各式的值,并化简结果:√12 + 2√3解:首先对被开方数进行因式分解:√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式:2√3 + 2√3 = 4√3例题二:化简下列各式:5√6 - √24解:对被开方数进行因式分解:√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式:5√6 - 2√6 = 3√6总结:本文介绍了二次根式的定义、运算法则,以及二次根式的化简方法。
初三上册数学二次根式的知识点总结
初三上册数学二次根式的知识点总结除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径,本文为大家提供了初三上册数学二次根式的知识点总结,希望对大家的学习有一定帮助。
知识点一:二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以a0是a为二次根式的前提条件,如5,(x2+1),(x-1) (x1)等是二次根式,而(-2),(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二:取值范围1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0时a有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,a没有意义。
知识点三:二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根,也就是说,a(a0)是一个非负数,即0(a0)。
注:因为二次根式a表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数(a0)的算术平方根是非负数,即0(a0),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若a+b=0,则a=0,b=0;若a+|b|=0,则a=0,b=0;若a+b2=0,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式(a) 的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:若a0,则a=(a)2,如:2=(2)2,1/2=(1/2)2.知识点五:二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:1、化简a2时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即a2=|a|=a (a若a 是负数,则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a (a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,a2一定有意义;3、化简a2时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义来进行化简。
初三数学二次根式知识点学习讲解
初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式;2.二次根式的运算。
二、知识点讲解二次根式定义一般地,形如√a的代数式叫做二次根式,其中,a 叫做被开方数。
当a≥0时,√a表示a的算术平方根;当a小于0时,√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中,若根号下为负数,则方程有两个共轭虚根)。
注意被开方数可以是数,也可以是代数式。
被开方数为正或0的,其平方根为实数;被开方数为负的,其平方根为虚数。
二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
性质1. 任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是,则a的另一个平方根为﹣;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零;3. 负数的平方根也有两个,它们是共轭的。
如负数a的平方根是±i。
4. 有理化根式:如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示。
6. 当a≥0时,()22;()2与2中a取值范围是整个复平面。
7. ()2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根,用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根,0的算术平方根为0。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘,如果他们的积不含有二次根式,那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式;④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
分母有理化在分母含有根号的式子中,把分母的根号化去,叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母,因式是整式;②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论: a ≥0,(a ≥0),(a ≥0),(a ≥0),并利用它们进行计算和化简.【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释:二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0,(a ≥0); 2.(a ≥0);3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即(a ≥0,b ≥0).5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商, 即()a a a b a b b b=÷=÷或(a ≥0,b >0).要点诠释: (1)二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式,即2()(0a a a =≥).(22a 2()a 要注意区别与联系:①a 的取值范围不同,2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时,2()a 2a a ;a <0时,2()a 2a a -.要点三、最简二次根式(1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释:二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况: (1) 被开放数是分数或分式; (2)含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 是__________时,+在实数范围内有意义?【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意,得由①得:x ≥-由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三:【变式】方程480x x y m -+--=,当0y >时,m 的取值范围是( )A .01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件,求字母x 的取值范围:(1); (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三:【变式】问题探究:因为,所以,因为,所以请你根据以上规律,结合你的以验化简下列各式:(1);(2).【答案】解:(1)==;(2)==.3.我们可以计算出①=2=;=3而且还可以计算=2==3(1)根据计算的结果,可以得到:①当a>0时=a;②当a<0时=.(2)应用所得的结论解决:如图,已知a,b在数轴上的位置,化简﹣﹣.【思路点拨】(1)直接利用a 的取值范围化简求出答案;(2)利用a ,b 的取值范围,进而化简二次根式即可.【答案与解析】解:(1)由题意可得:①当a >0时=a ;②当a <0时=﹣a ;故答案为:a ,﹣a ;(2)如图所示:﹣2<a <﹣1,0<b <1, 则﹣﹣=﹣a ﹣b +(a +b )=0.【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴,正确化简二次根式是解题关键.类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型,应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-()(89)()2132...9891 =2【总结升华】找出规律,是这一类型题的特点,要总结此类题型并加以记忆.举一反三: 2323+-a ,小数部分是b ,求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式()又因为整数部分是a ,小数部分是b 则a =13,b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
(完整)九年级上册数学《二次根式》知识点整理,推荐文档
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图1
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图2
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图3
图5
四 垂径定理: 垂径定理:垂直于
弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
二次根式
一、本节学习指导
学习二次根式时,我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习,这样学习 的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点 1、二次根式的概念:形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
注意:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但
x b 1 9 1 3
2a
4
4
x1
1,
x2
1 2
4、 因式分解法
方法:将式子左边进行因式分解,右边为 0
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例: 2x2 10x x 10
解 : 2x(x 10) (x 10) 0
(x 10)(2x 1) 0
x 10 0或2x 1 0
x1
10,
x2
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都
相等的一条直线
三 位置关系:
1 点与圆的位置关系:
点在圆内
d<r
点 C 在圆内
点在圆上
d=r
点 B 在圆上
点在此圆外
d>r
点 A 在圆外
实数和二次根式的基本概念
知识点睛.实数的基本概念1.无理数的概念:(1) 定义:无限不循环小数叫做无理数. (2) 解读:1) 无理数的两个重要特征:①无限小数;②不循环 2) 无理数的常见类型:① 具有特定意义的数。
如 n 等;② ……(每相邻两个1之间依次多一个2)等;③ 开方开不尽的数,如72, V 4等.那么,是否所有带根号的数都是无理数呢3) 有理数与无理数的区别:有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数,反之,有限小数 和无限循环小数也必定是有理数;而无理数是无限不循环小数,无限不循环小数也必定是无理2.实数的概念及分类:(1) 定义:有理数和无理数统称为实数. (2) 分类:①按定义分:实数有理数整数---有限小数或无限循环小数无理数——无限不循环小数oC n 匚k 、/ri fi n次根式的基本概念(3) 实数的性质:(4) 实数和数轴上的点是——对应的.n 是一个超越数,用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的;可以用物理方法来表示:用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动,正好转一圈的那个点就是 n 因为直径为1的圆的周长为n(5) 实数的运算顺序:先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减,同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里的。
(6) 实数中非负数的四种形式及其性质:形式:①a 0 :②a 20 :③需0 ( a 0「④掐中a 0.性质:①非负数有最小值0;②有限个非负数之和仍然是非负数;③几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于0.(7) 实数中无理数的常见类型:①所有开丕尽的方根都是无理数,且不可认为带根号的数都是无理数; ②圆周率n 及含有n 的数是无理数,例如:2 n 1等; ③ ... .(一)根据实数的定义解题:【例1】下列各数,哪些是有理数,哪些是无理数哪些是正实数131 …,n —廂,23,呵,…(相邻两个2之间0的个数逐次加1), 循,旷05.【例2】在实数0,1,血,0.1235中无理数的个数是(正实数正有理数 正无理数②按性质分:实数0负实数负有理数 负无理数①相反数:a 与b 互为相反数b 0. ②绝对值:a, a 00,a 0 或|a a,a 0a,a a,aa, a 0 a,a 0C. 242,79,3.14,0.61414,0.1001000100001L 这 7 个实数中,无理数的个数A . 0【拓展】n,227是(C. 2A . 0B . 1 【例3】下面有四个命题:① 有理数与无理数之和是无理数. ② 有理数与无理数之积是无理数.③ 无理数与无理数之和是无理数. ④ 无理数与无理数之积是无理数. 请你判断哪些是正确的,哪些是不正确的, 【例4】判断正误,在后面的括号里对的用(1) 无理数都是开方开不尽的数.() (2) 无理数都是无限小数.((3) 无限小数都是无理数.( (4) 无理数包括正无理数、零、(5) 不带根号的数都是有理数 (6) 带根号的数都是无理数.( (7) 有理数都是有限小数.( ) ) 负无理数 .( 并说明理由。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义形如\(\sqrt{a}(a\geq0)\)的式子叫做二次根式。
其中,\(a\)叫做被开方数。
需要注意的是,二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
例如,\(\sqrt{5}\),\(\sqrt{16}\),\(\sqrt{x^2 +1}\)(其中\(x\)为任意实数)都是二次根式。
而\(\sqrt{-5}\)就不是二次根式,因为被开方数\(-5\)是负数,不符合定义。
二、二次根式的性质1、\(\sqrt{a^2} =|a|\)当\(a\geq0\)时,\(\sqrt{a^2} = a\);当\(a<0\)时,\(\sqrt{a^2} = a\)。
例如,\(\sqrt{3^2} = 3\),\(\sqrt{(-5)^2} = 5\)。
2、\((\sqrt{a})^2 = a\)(\(a\geq0\))这一性质表明,先开方再平方,结果就是被开方数本身,但前提是被开方数必须是非负的。
比如,\((\sqrt{7})^2 = 7\)。
3、\(\sqrt{ab} =\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)(\(a\geq0\),\(b\geq0\))这意味着,两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。
例如,\(\sqrt{12} =\sqrt{4 \times 3} =\sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)4、\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)(\(a\geq0\),\(b>0\))这表示,非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。
比如,\(\sqrt{\frac{8}{2}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= 2\)三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数,将能开得尽方的因数移到根号外。
九年级数学二次根式全章
易错难点剖析及注意事项提醒
01
易错点一:忽视被开方数的非负性
02
在解决二次根式问题时,要确保被开方数是非负数,否则 二次根式无意义。
03
易错点二:忽视二次根式的化简
04
在进行二次根式运算时,要先将二次根式化为最简形式, 再进行运算,否则可能导致结果错误。
05
易错点三:忽视运算过程中的符号问题
06
在进行二次根式运算时,要注意符号问题,特别是在进行 加减运算时,要确保同类二次根式的符号一致。
应用场景
适用于含有公因式的二次根式化简。
示例
$sqrt{18a^3b^4c^5}=sqrt{9a^2b^4c^4
times
2ac}=sqrt{9a^2b^4c^4}
times
sqrt{2ac}=3ab^2c^2sqrt{2ac}$
典型例题解析与思路拓展
01
典型例题
$sqrt{75}-sqrt{54}+sqrt{96}-sqrt{108}$
03 二次根式化简技巧与方法
完全平方公式在化简中应用
完全平方公式
01
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
应用场景
02
当二次根式中含有完全平方项时,可以直接应用完全平方公式
进行化简。
示例
03
$sqrt{4+4sqrt{3}+3}=sqrt{(2+sqrt{3})^2}=2+sqrt{3}$
九年级数学二次根式全章
目 录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式四则运算规则 • 二次根式化简技巧与方法 • 二次根式在生活实际问题中应用 • 复杂二次根式处理和转换策略 • 总结回顾与拓展延伸
(完整word版)二次根式的基本定义
知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义: 形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.注意理解:1、定义是从结构形式上定义的,必须含有二次根号。
根指数省略不写.不能从化简结果上判断,如,都是二次根式。
2、被开方数是一个数,也可以是含有字母的式子.但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子,就是有意义的.、4、形如b (a 的式子也是二次根式,b 与是相乘关系,当b 是分数时,写成假分数。
5、式子(a表示的是非负数。
6、+b (a 和形式是含有二次根式的式子,不能叫二次根式。
二次根式定义: 【例1】下列各式22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+,其中是二次根式的是_________(填序号). 变式练习:1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是( ) A .B .C .D .4、式子:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ⑧ 中是二次根式的代号为( ) A .①②④⑥ B .②④⑧C .②③⑦⑧D .①②⑦⑧【例2】若是正整数,最小的整数n 是( )A .6B .3C .48D .2变式练习: 1、已知: 是整数,则满足条件的最小正整数n 的值是( )A .0B .1C .2D .52、二次根式 是一个整数,那么正整数a 最小值是 .注意掌握:1、二次根式具有双重非负性。
(a,2、如果式子中既含有二次根式又含有分式,那么它有意义的条件是:二次根式中的被开方数是非负数,分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂,有意义的条件是,度数不为0。
【例3】来式子有意义的x 的取值范围是 源:学*科*网Z*X *X*K]变式练习:1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是( )A 、x 〉3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42221x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=变式练习:1、若11x x ---2()x y =+,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .32、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值3、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
例知6识化点简: (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3-讲
导引:若被开方数是小数,则先将其化为分数,再化简.
解:(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是.理由:因为x2+2x+2=x2+2x+1+1=(x+1)2+1>0,且
x 2 2 x 2 的根指数为2,所以 x 2 2 x 2 是二次根式. (7)是.理由:因为|x|≥0,且 x 的根指数为2,所以 x 是二次根
式.
(来自《点拨》)
总结
知1-讲
二次根式的识别方法:判断一个式子是否为二次根 式,一定要紧扣二次根式的定义,看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征: (1)含根号且根指数为2(通常省略不写); (2)被开方数(式)为非负数.
解:(1)不是.理由:因为 3 64 的根指数是3,所以 3 64不是二次根
式.
(2)是.理由:因为不论x为何值,都有x2+1>0,且 x 2 1 的根指数为2,所以 x 2 1 是二次根式.
知1-讲
(3) 5a
(3)不一定是.理由:当-5a≥0,即a≤0时, 5a 是二次
根式;当a>0时,-5a<0,则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
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教案
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二次: 根式的定义
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二次.1p根pt 式的性质
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子,一般形式为√a,其中a为非负实数。
下面将对二次根式的知识点进行归纳:1. 二次根式的定义:二次根式是指形如√a的式子,a为非负实数。
2. 简化二次根式:对于二次根式√a,如果a可以写成两个数的乘积,其中一个因数的平方是a,那么就可以将二次根式简化为这个因数。
3. 二次根式的运算:- 加减法:只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。
即√a ± √b = √a ±√b。
- 乘法:二次根式的乘法可以按照分配律进行计算,即√a * √b = √(a * b)。
- 除法:二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算,即√a / √b = √(a / b)。
4. 二次根式的合并:- 同根式的合并:当两个二次根式的根数相同且系数相同时,可以合并为一个二次根式。
例如:3√2 + 2√2 = 5√2。
- 合并同类项:当两个二次根式的根数和系数都相同时,可以合并为一个二次根式。
5. 化简含有二次根式的表达式:- 分解因式法:对于含有二次根式的表达式,可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。
- 有理化法:利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化,即将分母中的二次根式去除。
6. 二次根式的平方与立方:- 二次根式的平方:(√a)^2 = a。
- 二次根式的立方:(√a)^3 = a * √a。
7. 二次根式的应用:- 几何意义:二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积,例如表示一个正方形的对角线长度。
- 物理意义:在物理问题中,二次根式可以用来表示某些量的大小,例如速度的大小。
以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。
掌握这些知识点,可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念,它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成,常见的形式为√a,其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如,在几何学中,二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长;在物理学中,它可以表示物体的加速度、速度等;在代数学中,二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算,并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分,我们将首先介绍什么是二次根式,包括它的定义和一些基本性质。
然后,我们将进一步探讨二次根式的运算,包括加减乘除等操作。
最后,我们将总结二次根式的重要性,并深入思考二次根式在数学中的意义,以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解,我们可以更好地应用它们解决实际问题,提高数学能力,培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题,希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式,在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下:1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解:1. 引言:在本部分将对本文的主题进行概述,说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文:本部分将详细介绍二次根式的相关内容,包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说,将从以下几个方面进行阐述:2.1 什么是二次根式:本节将对二次根式的概念进行解释和说明,包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质:本节将介绍二次根式的一些重要性质,如二次根式的非负性、分离性、加减性等,通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算:本节将详细介绍二次根式的运算方法,包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
二次根式的定义和基本性质
二次根式的定义和基本性质二次根式,也称为平方根,是数学中常见的一种运算。
它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的定义,并探讨其基本性质。
在此之前,我们先来了解一下二次根式的定义。
二次根式的定义:二次根式是指一个数的平方根,如√x表示x的平方根,其中x为一个非负实数。
当x小于0时,√x是一个虚数。
在计算平方根时,我们通常提取其中的正根,即非负实数解。
基本性质:1. 非负数的平方根:对于非负实数a,它的平方根√a是一个非负实数。
例如,√9 = 3,因为3的平方等于9。
2. 平方根的乘法:对于非负实数a和b,有以下运算规则:√(a * b) = √a * √b例如,√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法:对于非负实数a和b(b不等于0),有以下运算规则:√(a / b) = √a / √b例如,√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法:对于非负实数a和b,有以下运算规则:√a ± √b 通常不能进行化简,可以合并成一个复合根。
例如,√2 + √3 无法化简,但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方:对于非负实数a和正整数n,有以下运算规则:(√a)^n = a^(1/n)例如,(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性:对于非负实数a和b,如果a小于b,则√a小于√b。
例如,√4小于√9,因为4小于9。
通过以上基本性质,我们可以在实际问题中用到二次根式。
例如,在几何学中,可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积;在代数学中,平方根可以用来求解方程的解等。
需要注意的是,对于负数的平方根,我们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1),它满足i^2 = -1。
负数的平方根被称为虚数,属于复数的一种。
虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。
初中数学中的二次根式
二次根式:从基本概念到应用解析概述:在数学中,二次根式是初中阶段的重要内容之一。
它不仅涉及数学基础知识,还有广泛的应用领域。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质以及解题方法,并探讨其在实际生活中的应用。
通过阅读本文,您将对二次根式有更深入的理解。
一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式,其中a是一个非负实数。
在二次根式中,根号下的数被称为被开方数。
二次根式的值是使得该值的平方等于被开方数的非负实数。
2. 二次根式的性质- 二次根式的值是非负实数。
- 二次根式的平方等于被开方数。
- 二次根式可以进行加减乘除运算。
二、二次根式的解题方法1. 化简二次根式当二次根式中的根号下含有可以分解的因子时,我们可以利用数的性质将其化简。
例如,√12可以化简为2√3。
2. 合并二次根式当二次根式中的根号下含有相同的因子时,我们可以将其合并。
例如,√7 + √7可以合并为2√7。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时,我们可以通过有理化分母的方法将其转化为有理数。
例如,1/√2可以有理化为√2/2。
4. 求解二次根式的值对于给定的二次根式,我们可以利用数的性质和运算法则求解其具体的数值。
例如,求解√9就是求解方程x²=9的解,得到x=±3。
三、二次根式的应用1. 几何应用二次根式在几何学中有广泛的应用。
例如,勾股定理中的斜边长度就是两个直角边平方和的二次根式表达。
2. 物理应用二次根式在物理学领域也有重要的应用。
例如,牛顿第二定律中的动能公式K=1/2mv²中,速度的平方根就是动能的二次根式。
3. 经济金融应用在经济金融领域,二次根式经常用于计算利率、复利等涉及到指数增长的问题。
总结归纳:本文通过对二次根式的定义、性质、解题方法以及应用的详细介绍,使读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为初中数学的重要内容,不仅能够帮助我们理解数学的基本概念,还可以应用于几何学、物理学以及经济金融等实际领域。
二次根式知识点总结及习题带答案
二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
二、取值范围1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
三、二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
四、二次根式()的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
()注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.五、二次根式的性质:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件(1)被开方数不含分母,即被开方的因式必须是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b(a≥0,b≥0);积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则:b ba a(b≥0,a>0);商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则:系数相加减,字母的指数不变.5、二次根式的加减(1)二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并。
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初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求:重难点:1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系;2.能进行实数的运算3.二次根式(0)a≥的内涵,(0)a≥是一个非负数;2a=(0)a≥;a=(0)a≥ 及其运用.4.二次根式乘除法的规定及其运用.5.二次根式的加减运算.例题精讲:实数模块一实数的概念及分类1.实数的概念实数:有理数和无理数的统称.2.实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意:(1)实数还可按正数,零,负数分类.(2)整数可分为奇数,偶数,零是偶数,偶数一般用2n (n 为整数)表示;奇数一般用2n 1- 或2n 1+ (n 为整数)表示. (3)正数和零常称为非负数.(4)带根号的数不一定是无理数,如9.【例1】 下列实数317,π-,3.1415921中无理数有( ). A .个B .个C .个D .个【难度】1星【解析】是不是有理数,要看化简之后的结果,所以无理数有π-【答案】A【巩固】有下列说法:(1)无理数就是开方开不尽的数; (2)无理数是无限不循环小数;(3)无理数包括正无理数、零、负无理数; (4)无理数都可以用数轴上的点来表示. 其中正确的说法的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 4【难度】1星 【解析】略. 【答案】C模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴:规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.(1)实数a 的相反数是a -.(2)实数a 和b 互为相反数,则a+b =0.(3)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数:乘积为1的两个有理数互为倒数;0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.(1)实数a (a ≠0)的倒数是1a. 2345(2)a 和b 互为倒数,则ab =1. 绝对值:(1)绝对值的含义与性质:(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)几何意义:实数的绝对值是一个非负数,在数轴上,表示数的点到原点的距离.注意:实数和数轴上的点一一对应,平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应,对二者要加以区分,不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A圆上这一点到达另一点B ,则B 点表示的实数是( ) A .2π B .4π C .2π D4π【难度】2星 【解析】略. 【答案】D【例3】2的相反数是 . 【难度】1星【解析】一个数a 的相反数是a -;同样一个式子A 的相反式是-A .【答案】2【例4】的倒数是 .【难度】1星 【解析】略.【答案】【例5】2的绝对值是 . 【难度】1星【解析】关键是判断原数(原式)的正负.2【巩固】的相反数是 ;倒数是 ;绝对值是 .【难度】1星 【解析】略.;.模块三 实数的大小比较1 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数,总是比左边的点表示的数大,所以负数小于0,0小于正数,负数小于正数. 2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小,绝对值大的较大;两个负数比较大小,绝对值大的反而小. 3 利用作差法比较大小设a 、b 是任意两实数,若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小设a 、b 是任意两同号实数,当a ,b 都为负数时,若1a b >,则a b <;若1ab<,则a b >.【例6】 如果a b a b -= . 【难度】2星【解析】91516<<,34∴<,3,3a b ∴==,33)6a b ∴-=-=-【答案】6-.)A .在4.5和5.0之间B .在5.0和5.5之间C .在5.5和6.0之间D .在6.0和6.5之间【难度】2星 【解析】同上. 【答案】B【巩固】已知a b ,为两个连续整数,且a b <,则a b +=_______. 【难度】2星【解析】由已知可知3,47a b a b ==∴+=. 【答案】7【例7】 若01b <<则2b ,b ,1b这四个数有下列关系( )A. 2b <b <<1bB. 2b <<1b <bC.1b<<b <2b D. <1b<2b <b 【难度】1星【解析】采用特殊值法,此题可令14b =. 【答案】A【巩固】15三个数的大小关系是()A. <15<B. <15<C. <<15D. <<15【难度】2星【解析】利用平方法比较大小,2224=,2226=,215225=224225226,15<<∴<【答案】A模块四实数的运算1.运算律加法交换律a+b=b+a加法结合律()()a b c a b c++=++乘法交换律ab=ba乘法结合律()()ab c a bc=分配律a(b+c)=ab+ac注意:关于有理数的运算律和运算性质,在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.【例8】化简:(1)21(2)34(3)12011+【难度】1星【解析】(1)2121)211=-==-;(2)34341=+=;(3)12011+1201211+=【答案】(1)1-;(2)1;(3)1.【例9】已知等腰三角形一边长为a,一边长b,且22(2)90a b b-+-=.求它的周长.【难度】2星【解析】a,b为三角形的边长,0,0a b∴>>,又22(2)90a b b-+-=,220,90a b b∴-=-=,33,2b a∴==,故三角形的三边长为3,3,32 或33,,322(舍去),故三角形的周长为3133722++=.【答案】172模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数:将一个数四舍五入所得到的数.2. 有效数字:一个近似数从左边第一个不是零的数字起,到精确的数位为止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字. 3. 科学记数法:把一个数表示成10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.注意:用科学计数法表示的数10n a ⨯,其有效数字只与a 有关,就是a 的有效数字;精确度却和a 、10n有关,是a 的精确度乘10n 所得的结果.如54.3010⨯有三个有效数字,分别是4,3,0;4.30精确到0.01,60.011010000⨯=,故54.3010⨯精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到665 575 306人,将665 575 306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( )A .B .C .D .【难度】1星 【解析】略 【答案】C【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位:(1)56.3;(2)5.630;(3) 65.6310⨯;(4) 5.630万【难度】1星 【解析】略 【答案】(1)十分位;(2)千分位;(3)万位;(4) 十位.【例12】 指出下列近似数有几个有效数字:(1)0.319;(2)0.0170;(3) 4.46万;(4) 85.2910⨯【难度】1星 【解析】略 【答案】(1)3个;(2)3个;(3) 3个;(4) 3个.模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a的平方根,记作766.610⨯80.66610⨯86.6610⨯76.6610⨯方根,负数没有平方根,0的平方根是0.算术平方根:正数a 的算术平方根为0.立方根:如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0.注意:(1)当被开方数扩大(或缩小)2n 倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥). (2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:若0a ≥,则2a =; 不管a (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩(3)若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间,即120a a a ≤<<时,它的算术平方根也之间,即:0≤<<算一个非负数的算术平方根的大致范围.【例13】 )A .81B .3±C .3D .3-【难度】2星 【解析】略 【答案】B 【例14】 若24m -与31m -是同一个正数的平方根,则m 为( )A .3-B .1C .-1D .3-或1【难度】2星【解析】由于一个正数的平方根有两个,且互为相反数,由此即可得到2m -4与3m -1相等或互为相反数,然后列方程即可解决问题. 24m -与31m -是同一个正数的平方根, ∴24m -=31m -或24(31)m m -=--, 解得:3m =-,或1m =. 故选D .【答案】D2,则(25)x +的平方根是 ;若5=,则x = .【难度】2星【解析】考察的是数的开方 【答案】3±;5±.【例15】 一个自然数的算术平方根为a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ).A .1a +B . 21a +C . 22a +D【难度】2星 【解析】首先根据算术平方根的定义求出自然数,然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数.一个自然数的算术平方根为a , ∴这个自然数是2a .∴和这个自然数相邻的下一个自然数是21a +. 故选B .【答案】B【巩固】设a a 的值是 . 【难度】3星【解析】201222503.503a =⨯⨯∴=. 【答案】503【例16】 1.22== _____.【难度】2星 【解析】略 【答案】122-【例17】 已知2a -的平方根是2±,27a b ++的立方根是3,求22a b +的算数平方根. 【难度】2星【解析】22(2),6a a -=±∴=;3273a b ++=且6a =,8b ∴=,10=. 【答案】10【巩固】已知A =是3n m -+的算术平方根,2m B -=7m n +的立方根,求B +A 的平方根.【难度】2星【解析】由题可知3233m n m n -=⎧⎨-+=⎩,解得63m n =⎧⎨=⎩,0A ∴==,3B ===,∴【答案】a =,2yb =(0y <)8(4b a >)18=,求xy 的值.【难度】2星 【解析】2(4)8,48,4,48a b a b b a b a -=∴-=>∴-=;又33()18,18a b a b +=∴+=,解得2,16a b == 8,4,32x y xy ∴=-=-=.【答案】32【例18】 若11a b ++=,求23ab c +-的值. 【难度】2星【解析】原式可变为(1)10a b -++=,2(1)10,1,1,1a b a b c -+++=∴==-=2312(1)314a b c ∴+-=+--⨯=-. 【答案】4-【例19】 已b ,求4321237620b b b b+++-. 【难度】3星【解析】本题采用了整体代入的数学思想.91416<<,34,<的整数部分为3,小数部分为3b =,3b =+,左右平方可得21496b b =++,256b b ∴=-, 4321237620b b b b +++-=22(56)12(56)37620b b b b b -+-++- 222225366060723762025620255662010b b b b b b b b b b =+-+-++-=++-=+-+-=【答案】10.模块七 二次根式的基本概念及化简二次根式概念0a ≥)的式子叫做二次根式. 二次根式的基本性质:0≥(0a ≥)双重非负性; 2a =(0a ≥);(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩【例20】 设y =,求使y 有意义的x 的取值范围.【难度】2星【解析】对二次根式定义的考察20210x x -≥⎧⎨+>⎩,解得122x -<≤. 【答案】122x -<≤【巩固】当x 时,.【难度】2星【解析】对二次根式定义的考察,通过观察可以发现2223(1)220,x x x -+=-+≥>∴要使22023xx x -≥-+,20x -≥即可,2x ∴≤.【答案】2x ≤【例21在实数范围成立,那么x y z +的值是多少? 【难度】2星0a ≥)的考察.由题可知20110,20110,2011z z z -≥-≥∴=,0,260,20,3,2x y x y ∴-=+=∴==-321201*********x y z +-∴===.【答案】2011【巩固】若m =定m 的值. 【难度】3星0a ≥)的考察,但是如果能观察出199x y -+与199x y --互为相反数此题会更直接.1990,1990,1990,199x y x y x y x y -+≥--≥∴--=∴+=,0,3520230x y m x y m +--=⎧∴⎨+-=⎩,解得264x m y m=-⎧⎨=-⎩,2642x y m m m ∴+=-+-=-,2199m ∴-=201m ∴=.【答案】201总结: 0a ≥0≥重非负性.【例22】 化112a ≤≤) 【难度】2星a =,去绝对值时,一定要注意a 的正负.211a a =---, 112a ≤≤,∴原式=21(1)21132a a a a a ---=--+=-. 【答案】32a -【巩固】设012x y <<<<,则=__________.【难度】3星【解析】012x y <<<<, ∴原式=2122(1)(2)21221x y x y x y x y x y x yx ==-+----=-+----=-+-+-+=+【答案】21x +总结:a ,而不是直接化简成a ,因为去绝对值时,a 的正负不同结果是不同的.二次根式的乘除最简二次根式:0a ≥)中的a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式:被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.=0a ≥,0b ≥)=0a ≥,0b >) 利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围,=,a 、b 都非负,否则不成立,≠【例23】 已知0xy >,化简二次根式 ) ABC. D.【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号.由题可知20x >,且20,0y y x -≥∴≤,又0xy >,0x ∴<,∴原式=. 【答案】D【巩固】化简二次根式的结果是 . 【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号.【答案】【例24】) A . 1111n n +++ B . 1111n n-++ C . 1111n n +-+ D . 1111n n--+ 【难度】3星【解析】原式1111n n ===+-+.【答案】C22010的结果是 .【难度】3星【解析】解本题时注意完全平方公式的应用.原式2201022010=2222222201020102010200920093120102009201060271401960282009====+⨯+-=-++=-+=.【答案】2009【例25】 计算(1)02321(3)()(1)2π------ (2) (3)2(4+ (4)22⨯【难度】2星【解析】(1)02321(3)()(1)2π------11141222=-+-=- ; (2)=2212186-=-=- ;(3)2(4+164561=+++;(4)22⨯=22(52)9⨯=-=.【答案】(1)122-;(2)6-;(3)61+(4)9.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化.互为有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式.0.【例26】 若最简根式2m -是同类二次根式,则m = ,n= ..【难度】2星【解析】判断是同类二次根式首先必须是最简二次根式,然后被开方数完全相同即可.由题可知212252726m n m n m n -+=⎧⎨+-=+-⎩,解得94m n =⎧⎨=⎩. 【答案】9 , 4【例27】 =的整数解有 组.【难度】3星【解析】,,x y ,∴=, ∴=,m n 为0或正整数),2m n ∴+=,0,1,2m ∴=.【答案】3【例28】 当m =2422m m m +--的值是 . 【难度】1星【解析】2422m m m +--=22442222m m m m m m --==+---,m =2)2-=,原式=22+=.【答案】课堂检测:【练习1】若4m ,则估计m 的取值范围 .【难度】2星【解析】67,243<<∴<<【答案】243<<【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕:410915-=- 第二幕:等式两边同时加164,1410691564-+=-+14第三幕:上式变形,得22225555222()323()2222-⨯⨯+=-⨯⨯+ 第四幕:利用2222()a ab b a b -+=-,得到:2255(2)(3)22-=- 第五幕:两边开平方,得552322-=- 第六幕:两边加上52,得到等式23=! 【难度】2星【解析】荒谬.第五幕时出了错误.开方时,没有分类讨论. 第五幕:两边开平方,得552322-=-(舍去)或552322-=- 第六幕:移项得,5232,2+=⨯即55= . 【答案】荒谬.第五幕时出了错误.开方时,没有分类讨论.【练习3】b =,求a ,b 的值. 【难度】2星【解析】考察二次根式非负性.【答案】11,2a b =-=-.【练习4】阅读下列解题过程:(1=== (2== 请回答下列问题:(1)观察上面解题过程,的结果为__________________.(2)利用上面所提供的解法,请化简:2010+ 【难度】2星【解析】对原式的每一项进行分母有理化,原式12011+1.【答案】(1(21【练习5】当n是一个整数.【难度】3星231n n =====++n为整数,∴231n n ++为整数.=231n n ++.课后作业:1. 把根号外的因式移到根号内得 () AB .C . D【难度】2星【解析】略【答案】 C2. 已知整数x 、y=x ,y )的个数是( )A . 0B . 1C . 2D . 3【难度】2星【解析】略【答案】D3. 设a b ,都是实数,且0a a +=,ab ab =,0c c -=,那么化简b ac -为( )A .2c b -B .22b a -C .b - D.b【难度】2星 【解析】0,0,a a a +=∴≤,0.0.0.ab ab b c c c =∴≤-=∴≥∴原式=b a b c b c a b -++-++-=,故选D .【答案】D4.设a 、ba =,求222ab -++的值【难度】2星【解析】由已知可得2a b ==,∴222a b -++=222(224a -+=+=. 【答案】45. 化简下列各式(1)0x >,0y >) (2)(0a >,0b >) 【难度】2星【解析】(1(0x >,0y >)2x y ==(2(0a >,0b >)==【答案】(1(26. 请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;==== .【难度】2星=111111111.【答案】1111111117.计算:【难度】3星a b c ==,把二次根式转化成分式计算.原式=()()()()()()a b c a b a c b a b c c a c b ++------()()()()()()()()()0()()()0a b c b a c c a b a b a c b c ab ac ba bc ac bc a b a c b c a b a c b c ---+-=-----++-=---=---= 【答案】0。