初中数学实数与二次根式的基本概念进阶(含解析)

初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求：

重难点：

1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；

2.能进行实数的运算

3.二次根式(0)

a≥的内涵，(0)

a≥是一个非负数；2a

=(0)

a≥；a

=

(0)

a≥ 及其运用．

4.二次根式乘除法的规定及其运用．

5.二次根式的加减运算．

例题精讲：

实数

模块一实数的概念及分类

1．实数的概念

实数：有理数和无理数的统称．

2．实数的分类

0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪

⎪⎪⎪

⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪

⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩

正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：

（1）实数还可按正数，零，负数分类．

（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般

用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数．

（4）带根号的数不一定是无理数，如9．

【例1】 下列实数

31

7

，π-，3.14159

21中无理数有（ ）． A ．个

B ．个

C ．个

D ．个

【难度】1星

【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π-

【答案】A

【巩固】有下列说法：

（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；

（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

【难度】1星 【解析】略． 【答案】C

模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

（1）实数a 的相反数是a -.

（2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0.

（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.

（1）实数a (a ≠0)的倒数是

1a

. 2345

（2）a 和b 互为倒数，则ab =1. 绝对值：

（1）绝对值的含义与性质：

(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.

注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二

者要加以区分，不能混淆.

【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A

圆上这

一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（ ） A ．

2π B ．

4π C ．

2π D

4π

【难度】2星 【解析】略． 【答案】D

【例3】

2的相反数是 ． 【难度】1星

【解析】一个数a 的相反数是a -；同样一个式子A 的相反式是-A ．

【答案】2

【例4】

的倒数是 ．

【难度】1星 【解析】略．

【答案】

【例5】

2的绝对值是 ． 【难度】1星

【解析】关键是判断原数（原式）的正负．

2

【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．

【难度】1星 【解析】略．

；．

模块三 实数的大小比较

1 利用数轴比较大小

因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数. 2 利用绝对值比较大小

两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3 利用作差法比较大小

设a 、b 是任意两实数，若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小

设a 、b 是任意两同号实数，当a ，b 都为负数时，若1a b >,则a b <；若1a

b

<,则a b >.

【例6】 如果a b a b -= ． 【难度】2星

【解析】91516<<,34∴<,3,3a b ∴==,33)6a b ∴-=-=-

【答案】6-.

）

A ．在4.5和5.0之间

B ．在5.0和5.5之间

C ．在5.5和6.0之间

D ．在6.0和6.5之间

【难度】2星 【解析】同上． 【答案】B

【巩固】已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______． 【难度】2星

【解析】由已知可知3,47a b a b ==∴+=． 【答案】7

【例7】 若01b <<则2b ，b ，1

b

这四个数有下列关系（ ）

A. 2b

B. 2b <<1

b

C.

1

b

<

1

b

<2b

【解析】采用特殊值法，此题可令14

b =． 【答案】A