圆的知识点总结

圆的知识点总结

（一）圆的有关性质

［知识归纳]

1。圆的有关概念：

圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角.

2. 圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性。

3。圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4。垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就

可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦;③平分弦(不是直径）；

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心

角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6。圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7. 圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

※8. 轨迹

轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。

（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；

（2）平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；(3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

［例题分析]

例1. 已知：如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。

图1

①若AB＝，ON＝1,求MN的长；

②若半径OM＝R，∠AOB＝120°,求MN的长。

解：①∵AB＝，半径OM⊥AB, ∴AN＝BN＝

∵ON＝1,由勾股定理得OA＝2

∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1

②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°

∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

∴

说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R,ON＝h，则AB＝2Rsin n°＝2htan n°＝

例2。已知：如图2,在△ABC中，∠ACB＝90°,∠B＝25°,以点C为圆心、AC为半径作⊙C,交AB于点D，求的度数。

图2

分析：因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。

解法一:（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。

图2－1

∴

又∵∠ACB＝90°,∠B＝25°，∴∠FCA＝25°

∴的度数为25°，∴的度数为50°。

解法二：（用圆周角求)如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED

图2－2

∵AE是直径，∴∠ADE＝90°

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°

∴的度数为50°。

解法三：（用圆心角求)如图2－3，连结CD

图2－3

∵∠ACB＝90°,∠B＝25°，∴∠A＝65°

∵CA＝CD,∴∠ADC＝∠A＝65°

∴∠ACD＝50°,∴的度数为50°。

例3。已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm,求AB的长。

析:因为不知道∠A是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论.

略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形.如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧

的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO ∵BO＝6，OD＝2

∴

在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8

∴

图3 图3－1

（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4

∴AB

综上所述AB＝

小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

例4. 已知：如图4,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O 于E。求证：AE·EF＝EC·ED

图4

分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中,有两条线段EF、ED在△EDF中,另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA 即可.

证明：连结AC

∵四边形DEAC内接于圆

∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA

∵直径AB⊥CD,∴

∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA

∴△FED∽△CEA

∴，∴AE·EF＝EC·ED

小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的,而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。

例5. 已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。

图5

（1)如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；

(2）如果弦CD交AB于点F,且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；

（3)如果弦CD绕点C旋转,并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2)的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

证明：（1)连结BM（如图5－1）