两角和与差的余弦公式经典习题课教学提纲
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温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
答案：cosβ
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
6＋ 4
2 .
答案：C
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 wenku.baidu.com 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
答案：21
由三角函数值求角问题 【例 3】 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
两角和与差的余弦公式精讲精练
目标简述
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
23＋
2 2
×12＝
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
答案：cosβ
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
6＋ 4
2 .
答案：C
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 wenku.baidu.com 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
答案：21
由三角函数值求角问题 【例 3】 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
两角和与差的余弦公式精讲精练
目标简述
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
23＋
2 2
×12＝
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.