两角和与差的余弦公式经典习题课教学提纲
数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)
第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1。
(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2。
（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＋错误!。
答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。
2．证明下列各式:（1）sin α＋βcos α－β＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．推进新课错误!错误!①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．讨论结果：略．错误!思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)错误!。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式复习教案
2.
3. ，
4.
.
三、解答题
1.解：
.
2.解：原式
检查时间： 检查人：
本备课改进：
本备课改进：
（一）、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ， ， ， 等）.
如（1）已知 ， ，那么 的值是_____（答： ）；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值（答： ）；
（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为______（答： ）
(二)、三角函数名互化(切化弦)
（2）函数 的单调递增区间为___________（答： ）
(五)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
如（1） （答： ）；
（2）求证： ；
（3）化简： （答： ）
(6)常值变换主要指“1”的变换（ 等）;
如已知 ，求 （答： ）.
(7)正余弦“三兄妹— ”的存联系――“知一求二”：
如（1）若 ，则 __（答： )，特别提醒：这里 ；
（2）若 ，求 的值。（答： ）；
（3）已知 ，试用 表示 的值（答： ）。
3、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由a, b的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。
如（1）若方程 有实数解，则 的取值围是___________.（答：[－2,2]）；
（2）当函数 取得最大值时， 的值是______(答： )；
（3）如果 是奇函数，则 =(答：－2)；
（4）求值： ________(答：32)
巩固练习
一、选择题
1.已知 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.函数 的最小正周期是（ ）
15.1(1)两角和与差的正弦、余弦公式教案
(3)
例4、化简，求值（公Leabharlann 逆用）(1) ；(2)
（3）cos215°-sin215°，
（4）cos80°cos35°+cos10°cos55°
巩固转化方法学生交流探讨
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
课堂练习
课堂小结
课后作业
课本P4练习
1、掌握两角和与差的余弦公式
两角和的余弦公式：
由图可知： () , ( )则
问题1：
问题2：由 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？
问题3：两角差的余弦公式推导
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边分别作角 ， ，其终边分别与单位圆交于 则
所以
引入法
学生思索，
讲述法
举例说明
学生记录交流
启发
观察
引导学生互动交流
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
新授
如果 ，那么
两角差的余弦公式：
实际上，当 为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化 ，使 。
综上所述， ，对于任意的角 都成立。
将上述公式中的 用— 替代，得
两角和的余弦公式：
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
教学重点
两角差角的余弦公式的掌握与简单应用
教学难点
两角差角的余弦公式的推导
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
预习
课外作业
教材P8 习题，练习册
板
书
设
计
3.1.1-2两角和与差的余弦(二)
§3.1.1两角和与差的余弦（二）
（一）教学目标
1、知识目标
（1）利用两角差的余弦得到两角和的余弦
（2）灵活正反运用两角和与差的余弦
2、能力目标
（1）通过两角差的余弦会转化成两角和的余弦，发现区别，转化区别，培养学生化未知为已知的能力。
（2）培养学生灵活应用公式的能力。
3、情感目标：通过对公式的灵活应用，培养学生融会贯通的能力。
（二）教学重点、难点
重点：两角和与差的余弦公式的灵活应用
难点：（1）两角差的余弦过渡成两角和的余弦
（2）两角和与差的灵活应用
（三）教学方法
练习讲解法
（四）教学内容安排
本组成员：王琪、李路军、李晓峰、李淑清、时秋英、韩英、周跃辉、何春梅、李云丽、李宁、苗佳、刘振刚、韩斌。
两角和与差的余弦公式教案
教学过程一、教学准备.本节课的学习是在任意上角三角函数的基本概念、向量内积等知识的基础上进行的。
1． 正弦函数、余弦函数的定义 设P （x , y ）为角终边上任意一点，，则， .在单位圆中，x= ，y= . (注：单位圆指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度1的圆) 由此可知，在单位圆上任意一点的坐标P （，）即为角终边上的坐标。
2． 如图15-1所示，正弦函数y=、余弦函数x=在各象限内的符号分别与y,x 的正负号相同.yxyx+-+-+--+OO3． 角的终边与角—的终边关于x 轴对称，根据正弦、余弦函数的定义得到下列诱导公式： ，.4.特殊角的正弦函数、余弦函数值表15-10 11 05.向量的内积若向量a=()，b=()，则a·b=或a·b=|a|b|=·，为向量a=() 与b=() 的夹角.二、新课讲授在实际问题中，为了对复杂的含有三角函数的式子进行推导和化简，常常要用到两角和与差的三角函数的计算。
¤两角和与差的余弦公式※探究：已知下列各式是否成立？（1）=（2）=※分析概括1.请同学们通过小组合作的形式，应用计算器探讨下列等式是否成立：+-+-通过直接用计算器求值或根据余弦函数的性质（单调性，最大值、最小值，正负号的判定）可分析得出两角和（差）的余弦值不等于两角余弦值的和（差）.2.如图15-2所示，在单位圆中，的函数值是角的终边与单位圆交点的横坐标x，与的函数值分别是角，的终边与单位圆的横坐标，.显然，x与，不一定存在等量关系，即两角和（差）的余弦值不等于两角余弦值的和（差）.图15-2※验证推理通过前面的探究及分析分析我们知道“两角和（差）的余弦值不等于两角的和（差）”并不正确，那么就有新的问题摆在我们面前，“对于两个一般角的和与差的余弦究竟怎样计算它的值?”.根据向量内积的定义，角终边所在的向量a与角终边所在的向量b的夹角为.因此可用向量内积来研究与，之间的关系.如图15-3，设角的终边与单位圆的交点为P()，角的终边与单位圆的交点为Q().xyO记向量 a = OP =() ，b =OQ =()，则a ·b =|a ||b |=应用向量数量积的坐标公式，可得到 a ·b =+因此，有=+（15-1）我们把（15-1）叫做两角差的余弦公式. 由于角的终边与角的终边关于x 轴对称，由公式（15-1）可得==+=—故有=—. (15-2)我们把(15-2)叫做两角和的余弦公式.小贴士：两角和与差的余弦公式记忆 “余弦同名加减异” 即 =（具有任意性，即可以是任意角.）三、例题分析例1不用计算器，求的值.分析：在运用两角和与差的余弦公式求非特殊角的余弦函数值时，讲非特殊角转化为角的和与差的形式，然后再运用式求解.如本题可化为或求解.解：×注：我们自己可以把能用特殊角的和与差表示出来的角称为“半特殊角”。
导学提纲--3.1.2两角和与差的正弦、余弦公式
其中sin
b a 2 b2
, cos
b , tan ， a a 2 b2
a
二. 基础感知
两角和与差的正弦、余弦公式：
C ( ) C ( )
S ( ) S ( )
三.探究未知
例 1.化简、求值
(1) cos11 sin 49 sin11 cos 49 (2) sin( 30 ) sin( 30 ) (3) sin( ) cos cos( ) sin
姓名：
小组：
【重点难点】 重点：能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并能利用公式进行化简求值 难点：推导辅助角公式及能逆用公式化简、求值 【导学流程】 一. 知识链接
1.两角差的余弦公式： C ( ) : cos( ) cos cos sin sin 2.辅助角公式： a sin x b cos x = a 2 b2 sin( x )
3.(1) sin15 3 cos15 (2)sin15 cos15
高一年级数学
第 2 页（共 2 页）
青岛为明学校中学生课堂导学提纲（高一年级）
编号：SXTG-必修 4-3.1.2
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
班级： 【学习目标】
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并能利用公式进行化简求值； 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征； 3.根据两角和与差的正弦公式推导出辅助角公式，并能熟练应用； 4.能逆用公式化简、求值.
例 3.已知 , 均为锐角，且 sin
5 10 , cos , 求 -的值. 5 10
两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案【三维目标】1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。
【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，流体智力的高度发展的同时并有一定的晶体智力，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【教学过程】一创设情境，引入课题问题1 ：我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习。
θb a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 2121b a y y x x +=⋅练习 已知)45sin ,45(cos ︒︒=a ，)30sin ,30(cos ︒︒=b ，则=⋅二 自主探究，引发思考问题2 ：由︒︒-︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？三 层层深入，得出结论问题3 ：βαβαθsin sin cos cos cos +=∴（一）两角差的余弦公式 设),sin ,cos αα（=),sin ,cos b ββ（=βαβαsin sin cos cos +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。
故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-实际上，当βα-任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。
高中数学必修四3.1.1两角差的余弦公式(教、学案)公开课教案课件课时训练练习教案课件
2
，求
cos(
)
的值.
下课啦，咱们来听个小故事吧:
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每 个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答： “愿意！” 主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处 可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能 为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
（2） 过点 P 作 PM⊥X 轴于点 M，那么 OM 就是 的余弦线。
（3） 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B，过点 P 作 PC⊥AB 于 C
那么
OA 表示 cos ，AP 表示 sin ，并且 PAC P1Ox .
于是
OM=OB+BM
高中数学3.1.1 两角和与差的余弦 二 教案1 新人教B版必修4
3.1.1两角和与差的余弦（二）
（一）教学目标
1、知识目标：会用公式求值和证明。
2、能力目标：培养学生分析问题解决问题的能力，推理，联想能力。
3、情感目标：发展学生的正向，逆向思维能力，前后知识灌溉和呼应的能力，培养良好、严谨的数学思维品质。
（二）教学重点，难点
重点是运用公式求值，证明，并建立与原有知识（诱导公式），方法（旋转变换）的联系。
难点是公式的变形和逆向应用。
（三）教学方法
教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题，通过提问，讨论等形式来促使学生自己思考，自发学习，获得解决问题的途径，同时构建基于旧有知识的更新结构体系。
同时，通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升，以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。
（四）教学过程
提是只要知道其正，余弦值。
看教材中的例2。
提问：
)sin(cos )βαββα+++上看是βα,两个角，但
备注：
（1）在教学安排上，注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用，可以布置较为开放性的题目，使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网；
（2）在题目的设计上，如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系的理解。
在这个问题上似乎还需要更深入的探索。
(完整版)两角和与差的余弦公式教案
课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝01cos αcos β＋sin αsin β．(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝02cos αcos β－sin αsin β．(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝03sin αcos β－cos αsin β．(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝04sin αcos β＋cos αsin β．(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝05tan α－tan β1＋tan αtan β．(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝06tan α＋tan β1－tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin2α＝072sin αcos α．(2)公式C 2α：cos2α＝08cos 2α－sin 2α＝092cos 2α－1＝101－2sin 2α．(3)公式T 2α：tan2α＝112tan α1－tan 2α．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.1．两角和与差正切公式的变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.2．降幂公式：sin αcos α＝12sin2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α.3．升幂公式：1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2，1±sin αsin α2±cos .4．其他常用变形sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．半角公式(1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.()(3)存在实数α，使tan2α＝2tan α.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)(多选)cos α－3sin α化简的结果可以是()A ．12cos B ．C ．12sin D ．答案BD解析cos α－3sin α＝α－32sin αcos π3－sin α故选BD.(2)(人教A 必修第一册习题5.5T4改编)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2＝()A ．2－5B ．2＋5C ．5－2D ．±(5－2)答案C 解析∵sin α＝55，cos α＝255，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.故选C.(3)(人教B 必修第三册习题8－2B T3改编)已知θsin θ＝45，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案－255－55解析∵θsin θ＝45，∴cos θ＝－35，θ2∈sin θ2＝－1＋352＝－255，cos θ2＝－1－352＝－55.(4)(人教A 必修第一册复习参考题5T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，则α＝________．答案80°解析因为(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，所以sin α＝－2cos40°tan10°－3＝－2cos40°cos10°sin10°－3cos10°＝＝－2cos40°cos10°－2sin50°＝cos10°＝sin80°，又α是锐角，所以α＝80°.第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式考点探究——提素养考点一和、差、倍角公式的简单应用例1(1)(2024·海南海口模拟)若tan αtan β＝2，则cos(α－β)cos(α＋β)的值为()A ．－3B ．－13C ．13D ．3答案A解析由题意，得cos(α－β)cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝1＋21－2＝－3.故选A.(2)(2024·九省联考)已知θtan2θ＝－，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝()A ．14B ．34C ．1D ．32答案A解析由θtan2θ＝－得2tan θ1－tan 2θ＝－4(tan θ＋1)1－tan θ，则－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－12，因为θ所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝tan 2θ＋1＋2tan θ2＋2tan θ＝14＋1－12＋(－1)＝14.故选A.【通性通法】直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略策略一记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”策略二注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用策略三注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用【巩固迁移】1．(2024·安徽亳州模拟)已知sinα＝35，α，若sin(α＋β)cosβ＝4，则tan(α＋β)＝()A．－167B．－78C．167D．23答案C解析因为sinα＝35，α所以cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，因为sin(α＋β) cosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosβ＝sinα＋cosαtanβ＝35－45tanβ＝4，所以tanβ＝－174，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－34－1741＝167.故选C.2．(2023·河北保定模拟)已知锐角θ满足2cos2θ＝1＋sin2θ，则tanθ＝()A．13B．12C．2D．3答案A解析∵2cos2θ＝1＋sin2θ，∴2(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2，即2(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2，又θ为锐角，∴sinθ＋cosθ>0，∴2(cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ，即cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝13.故选A.考点二和、差、倍角公式的逆用与变形用例2(1)(2023·湖北武汉模拟)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝()A．12B．22C．32D．1答案B解析sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝22.故选B.(2)(2024·广西梧州模拟)1＋tan7π121－tan7π12＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3答案A解析因为1＋tan7π121－tan 7π12＝tan π4＋tan7π121－tan π4tan7π12＝tan 10π12＝tan5π6＝tan π6＝－33.故选A.【通性通法】公式逆用与变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．【巩固迁移】3．(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案B解析由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.故选B.4．(2023·江苏常州二模)已知sin α－3cos α＝1，则sin2________．答案12解析已知sin α－3cos α＝1，则α－32cos1，所以＝12，令β＝α－π3，则α＝β＋π3，即sin β＝12，所以22β2cos2β＝1－2sin 2β＝12.5．tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝________．答案33解析tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33.考点三角的变换例3(1)(2024·四川绵阳模拟)已知＝23，则α()A ．－59B ．59C ．－13D ．13答案A解析απ＋2αα2＝－1－2sin－＝－59.故选A.(2)已知α，βsin(α＋β)＝－35，＝1213，则________．答案－5665解析因为α，β所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，1213，所以cos(α＋β)＝45，513，所以cos α＋βcos(α＋βsin(α＋β＝45××1213＝－5665.【通性通法】1．三角公式求值中变角的解题思路思路一当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式思路二当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2.常用的拆角、配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－．【巩固迁移】6．(2023·山东烟台模拟)已知tan(α＋β)＝12，tan(α－β)＝13，则tan(π－2α)＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故选B.7．已知0＜x ＜π4，＝513，则cos2x________．答案2413解析cos2x ＝cos 2x －sin 2x 22(cos x －sin x )＝2(cos x ＋sin x )＝由0＜x ＜π4得0＜π4－x ＜π4，∴＝1213，所以原式＝2×1213＝2413.课时作业一、单项选择题1．sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案A解析sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝cos(70°－10°)＝cos60°＝12.故选A.2．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝－35，则cos C 的值为()A．725B．1825C．2425D．－2425答案C解析在△ABC中，由cos A＝45，得sin A＝1－cos2A＝35，由cos B＝－35，得sin B＝1－cos2B＝45，∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－45×＋35×45＝2425.故选C.3．(2023·广东茂名模拟)tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝()A．－33B．33C．－3D．3答案B解析tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝1tan70°－tan10°1＋tan70°tan10°＝1tan60°＝33.故选B.4．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos2α，则sin α()A．－710B．710C．－7210D．7210答案D解析sin2α－2＝2cos2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sinα＝±255，因为α为第三象限角，所以sinα＝－255，cosα＝－1－sin 2α＝－55，所以sin2α＝2sinαcosα＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，所以α＝22(sin2α－cos2α)＝7210.故选D.5．(2023·保定模拟)已知＝223，则sin2θ的值为()A．79B．－79C．29D．－29答案B解析由＝223，得sin θcos π4－cos θsin π4＝22(sin θ－cos θ)＝223，即sin θ－cos θ＝43，等式两边同时平方，得1－sin2θ＝169，所以sin2θ＝－79.6．若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin2αcos β＝()A ．23B ．13C ．16D ．112答案B解析由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，得sin2αcos β－cos2αsin β＝16①，sin2αcos β＋cos2αsin β＝12②，由①＋②，得2sin2αcos β＝23，所以sin2αcos β＝13.7．已知α，β＝45，＝513，则sin(α－β)的值为()A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365答案A解析由题意可得α＋π6∈β－5π6∈－π2，所以＝－35，＝－1213，所以sin(α－β)＝－＝－45×513＋＝1665.8．(2023·重庆南开中学质检)已知α2，则sin αcos α＋32cos2α的值为()A ．15B ．25C ．35D ．45答案D解析由α且2，得sin αcos α＋32cos2α＝12sin2α＋32cos2α＝α＝sincostan 1＝2×222＋1＝45，所以sinαcos α＋32cos2α的值为45.故选D.二、多项选择题9．(2023·云南昆明模拟)已知α，β，γsin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是()A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案AD解析由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sinβsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，故A 正确，B 错误；∵α，β，γsin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3故C 错误，D正确．故选AD.10．设θ的终边在第二象限，则1－sin θcos θ2－sin θ2的值可能为()A ．1B ．－1C ．－2D ．2答案AB解析∵θ的终边在第二象限，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2k ∈Z ，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2|sin θ2－cos θ2|cos θ2－sinθ2，故当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2>0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin θ2－cos θ2cos θ2－sin θ2＝－1；当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2<0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2＝1.故选AB.11．(2023·海南海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝tan α2＝tan β2，则()A ．tan α＝3B ．cos α＝12C ．tan β＝43D ．cos β＝17答案BD解析因为sin α＝tan αcos α＝tan α2，所以cos α＝12，又α∈(π，2π)，所以sin α＝－32，tan α＝－3，故A 错误，B 正确；因为tan β2＝sin α＝－32，所以tan β＝2tanβ21－tan 2β2＝－43，cos β＝cos 2β2－sin 2β2sin 2β2＋cos 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝17，故C 错误，D 正确．故选BD.三、填空题12．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________．答案4解析(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.13．(2023·青岛模拟)已知tan2θ＝－22，π4<θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝________．答案－3＋22解析由tan2θ＝－22，即2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22.因为π4<θ<π2，所以tan θ＝2且cos θ≠0，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－21＋2＝－3＋2 2.14．(2023·邢台模拟)已知α，β均为锐角，35，＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________．答案3365204325解析因为＝－35，＝513，所以α＋π3为第二象限角，β－π3为第一象限角，所以＝45，＝1213，所以sin(α＋β)＝＝3365，cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－cos2＝－cos 2sin 2＝－1213cos 2513sin 2－12132cos 1－1013sin ＝204325.15．已知αβtan α＝cos2β1－sin2β，则()A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案B解析tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2β(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝∵αβ∈α＝π4＋β，即α－β＝π4.故选B.16．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为()A ．－18B ．－8C ．8D ．18答案A解析将π＝4sin52°代入1－2cos 27°π16－π2，可得1－2cos 27°π16－π2＝－cos14°4sin52°16－16sin 252°＝－cos14°16sin52°cos52°＝－cos14°8sin104°＝－cos14°8sin(90°＋14°)＝－cos14°8cos14°＝－18.17．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则()A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．＝6＋236D ．＝23－66答案AC解析∵sin α2＝33，α∈(0，π)，∴α2∈cos α2＝1－sin 2α2＝63，∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－＝13，故A 正确；sin α＝2sin α2cos α2＝2×33×63＝223，故B 错误；sin α2cosπ4＋cos α2sin π4＝33×22＋63×22＝6＋236，故C 正确；sin α2cos π4－cos α2sin π4＝33×22－63×22＝6－236，故D 错误．故选AC.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α、钝角β的终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解(1)由题意，知OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝12OA ·OM sin α＝55，所以sin α＝255，又α为锐角，所以cos α＝55.因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×＋255×210＝－1010.(2)因为sin α＝255，cos α＝55，sin β＝210，cos β＝－7210，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×－55×210＝－31010，又cos(α－β)＝－1010，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22，因为α为锐角，sin α＝255＞22，所以α所以2α又β所以2α－β－π2，所以2α－β＝－π4.。
两角和与差正弦公式与余弦公式
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式(一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值,让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα-=时,用到了换元的思想,培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体,这样才能应用公式πcos()2α-．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045︒=︒-︒求解,还可以利用154530︒=︒-︒求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法,通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．两课时【课时安排】2课时．（90分钟）【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间＊揭示课题1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式． *创设情境 兴趣导入问题 我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-． 介绍播放 课件 质疑 了解 观看 课件 思考 引导 启发学生得出结果 0 5 *动脑思考 探索新知在单位圆（如图11-)中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅-总结 归纳 仔细 分析思考 理解启发引导学生发现解决问题的方法。
数学第四册(综高)15.1.1两角和差的余弦公式
备注§15.1 两角和与差的余弦公式教学目标：1、了解两角和与差的余弦公式的推导过程；2、能利用两角和与差的余弦公式进行化简和求值；3、进一步渗透化归思想的教学,培养学生逻辑思维能力。
教学重点：两角和与差的余弦公式的熟练运用教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
新课讲授：一、复习导入:在三角函数1中我们已经研究过了任意角的三角函数、诱导公式、特殊角的三角函数值、正弦函数、余弦函数等问题。
请同学们回顾一下一些特殊角的三角函数值？在实际问题中，为了对复杂的含有三角函数的式子进行推导或化简，常常要用到两角和与差的三角函数的计算。
二、探究： 已知,2245cos ,2160cos ==︒︒下列各式是否成立？ .45cos 60cos )4560cos()2(;45cos 60cos )4560cos()1(︒︒︒︒︒︒︒︒-=-+=+三、知识链接：如图1-1，设角α的终边与单位圆的交点为).sin ,cos ),sin ,(cos βββαα（为的终边与单位圆的交点角Q P记向量).cos()cos(),sin ,(cos ),sin ,(cos βαβαββαα-=-∙=∙====→→→→→→→→b a b a OQ b OP a 则 应用向量数量积的坐标公式，可得到βαβαβαβαβαsin sin cos cos )cos(.sin sin cos cos +=-+=∙→→因此，有b a （1.1） 我们把（1.1）叫做两角差的余弦公式。
由公式（1.1),可得[])(cos )cos(βαβα--=+,sin sin cos cos )sin(sin )cos(cos βαβαβαβα-=-+-= 故有 .sin sin cos cos )cos(βαβαβα-=+ （1.2） 我们把（1.2）叫做两角和的余弦公式。
四、典型例题：例1 不用计算器，求︒︒15cos 75cos 和的值。
课内练习：不用计算器，求)15cos(105cos ︒︒-和的值。
两角和与差余弦公式教案1
②
③
④
例4．化简：①
②
例5．已知 都是锐角， ，求 的值
画图→在草稿上写出答案→订正
分析方法→填写图中各块的元素
课题
两角差与和的余弦公式（一）
顺序课时
1
教
学
目
标
知识与能力
两角差与和的余弦公式的应用
过程与方法
两角差与和的余弦公式的应用
情感态度与价值观
教学重点
两角差与和的余弦公式的应用
教学难点
两角差与和的余弦公式的逆用
教学方法
双案教学，预习、提问、讲授法
知 识 流 程
教师活动
学生活动
一、讲授新课：
差角的余弦公式：对于任意角 有
简记作
和角的余弦公式：对于任意角 有
简记作
例1．①利用差角余弦公式求 的值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②利用和角余弦公式求 的值
例2．已知 是第三象限角，求 的值。
（变式：如果去掉 是第三象限角的条件呢？）
训练学生思维的有序性，先认真分析条件，明确要求，在思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等
例3．计算下列各式的值
高一数学 两角和与差的正弦余弦正切(第六课时) 大纲
诚西郊市崇武区沿街学校●课题§4.6.6两角和与差的余弦、正弦、正切(六)●教学目的 (一)知识目的1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2.公式：asinθ＋bcosθ＝22b a +sin(θ＋ϕ)(其中cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +，θ为任意角);(二)才能目的1.纯熟掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用；2.理解公式：asinθ＋bcosθ＝22b a +sin(θ＋ϕ)(其中cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +，θ为任意角)；3.灵敏应用上述公式解决相关问题. (三)德育目的1.培养学生的创新意识；2.进步学生的思维素质. ●教学重点利用两角和与差的正、余弦公式将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式. ●教学难点使学生理解并掌握将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵敏应用其解决一些问题.●教学方法由特殊到一般，引导学生逐步发现一般规律，从而归纳总结，进一步得到一般结论.(启发诱导式) ●教具准备 幻灯片两张 第一张：(§4.6.6 A)cosθcos ϕ＋sinθsin ϕ＝cos(θ－ϕ) cosθcos ϕ－sinθsin ϕ＝cos(θ＋ϕ) sinθcos ϕ＋cosθsin ϕ＝sin(θ＋ϕ) sinθcos ϕ－cosθsin ϕ＝sin(θ－ϕ)第二张：(§4.6.6B)练习题： 1.求证：(1)23sinα＋21cosα＝sin(α＋6π)(2)cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋4π) (3)2(sinx ＋cosx)＝2cos(x －4π)2.利用和(差)角公式化简：(1)23sinx ＋21cosx(2)315sinx －35cosx (3)3sinx －cosx●教学过程 Ⅰ.复习回忆(打出幻灯片§4.6.6 A，学生观察)［师］同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来讨论一下它的运用.Ⅱ.讲授新课［师］首先，我们一起来看这样一个题目. ［例1］求证cosα＋3sinα＝2sin(6π＋α)［师］大家可否先试证一下 ［生］(板书)证明：右边＝2sin(6π＋α)＝2(sin6πcosα＋cos6πsinα)＝2(21cosα＋23sinα)＝左边 ［师］(结合学生所证，展开讲解)由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.［师］也可这样考虑：左边＝cosα＋3sinα＝2(21cosα＋23sinα) ＝2(sin 6πcosα＋cos6πsinα)＝2sin(6π＋α)＝右边(其中令2＝sin 6，2＝cos 6) ［例2］求证cosα＋3sinα＝2cos(3π－α)分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式. 假设从左边推证，那么要仔细分析，构造形式即：左＝cosα＋3sinα＝2(21co sα＋23sinα)＝2(cos 3πcosα＋sin 3πsinα)＝2cos(3π－α)(其中令21＝cos 3π，23＝sin 3π) ［师］综合上两例可看出对于左式cosα＋3sinα可化为两种形式2sin(6π＋α)或者者2cos(3π－α)，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于asinα＋bcosα的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢［师］推导公式：asinα＋bcosα＝22b a +(22ba a +sinα＋22ba b +cosα)由于(22ba a +)2＋(22ba b +)2＝1sin2θ＋cos2θ＝1(1)假设令22ba a +＝sinθ，那么22ba b +＝cosθ∴asinα＋bcosα＝22b a +(sinθsinα＋cosθcosα)＝22b a +cos(θ－α)或者者原式＝22b a +cos(α－θ)(2)假设令22ba a+＝cos ϕ，那么22ba b +＝sin ϕ∴asinα＋bcosα＝22b a +(sinαcos ϕ＋cosαsin ϕ) ＝22b a +sin(α＋ϕ)例如：2sinθ＋cosθ＝2212+(552sinθ＋55cosθ) 假设令cos ϕ＝552，那么sin ϕ＝55∴2sinθ＋cosθ＝5(sinθcos ϕ＋cosθsin ϕ)＝5sin(θ＋ϕ)假设令552＝sinβ，那么55＝cosβ ∴2sinθ＋cosθ＝5(co sθcosβ＋sinθsinβ)＝5cos(θ－β)或者者原式＝5cos(β－θ)看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式. Ⅲ.课堂练习 (打出幻灯片§4.6.6B) ［生］(自练) 练习题：1.证明：(1)23sinα＋21cosα＝sin(α＋6π)证法一：左边＝sinαcos 6π＋cosαsin6π＝sin(α＋6π)＝右边证法二：右边＝sinαcos6π＋cosαsin6π＝23sinα＋21cosα＝左边(2)cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋4π)证法一：左边＝2(22cosθ＋22sinθ)＝2(sin4πcosθ＋cos4πsinθ)＝2sin(θ＋4π)＝右边证法二：右边＝2(sinθcos4π＋cosθsin4π)＝2(22sinθ＋22cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左边 (3)2(sinx+cosx)=2cos(x －4π)证法一：左边＝2(sinx ＋cosx)＝2(22sinx ＋22cosx)＝2(cosxcos 4π＋sinxsin4π)＝2cos(x －4π)＝右边证法二：右边＝2cos(x －4π) ＝2(cosxcos4π＋sinxsin4π)＝2(22cosx ＋22sinx)＝2(cosx ＋sinx)＝左边2.解：(1)23sinx ＋21cosx＝sinxcos 6π＋cosxsin 6π＝sin(x ＋6π)或者者：原式＝sinxsin3π＋cosxcos3π＝cos(x －3π)(2)315sinx －35cosx＝65(23sinx －21cosx)＝65(sinxcos 6π－cosxsin6π)＝65sin(x －6π)或者者：原式＝65(sin3πsinx －cos3π·cosx)＝－65cos(x ＋3π)(3)3sinx －cosx ＝2(23sinx －21cosx)＝2sin(x －6π)＝－2cos(x ＋3π)(4)62sin(3π－x)＋66cos(3π－x)＝32［21sin(3π－x)＋23cos(3π－x)］ ＝32［sin6πsin(3π－x)＋cos6πcos(3π－x)］＝32cos ［6π－(3π－x)］＝32cos(x －6π)或者者：原式＝32［sin(3π－x)cos3π＋cos(3π－x)sin3π］＝32sin ［(3π－x)＋3π］＝32sin(32π－x)Ⅳ.课时小结［师］通过本节的学习，要在纯熟掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的根底上，推导并理解公式：asinθ＋bcosθ＝22b a +sin(θ＋ϕ)(其中cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +)mcosα＋nsinα＝22n m +cos(α－β)(其中cosβ＝22nm m+，sinβ＝22nm n +)进而灵敏应用上述公式对三角函数式进展变形，解决一些问题. Ⅴ.课后作业(一)课本P417.(1)，(2)8.(1)~(5). (二)1.预习内容 课本P39例6 2.预习提纲怎样分析、解决一些综合性题目 ●板书设计§4.6.6两角和与差的余弦、正弦、正切(六) 公式及推导例题复习回忆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案：21
由三角函数值求角问题 【例 3】 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
答案：cosβ
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
两角和与差的余弦公式精讲精练
目标简述
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cocos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
23＋
2 2
×12＝
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
6＋ 4
2 .
答案：C
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 A 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.