习题课：内心与外心

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三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案

三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

圆的内心与外心专题训练

序号 72 设计者：设计时间： 2015、 11、 17课题三角形心里与外心课型习题课教知识目标掌握基本图形的常用协助线做法，会运用有关知识解决问题学能力目标会从已知条件下找到问题解决思路。

目标一、目标导学，引入新课1、学会心里的应用，以加深对三角形内切圆的理解。

2、复习三角形的心里、外心的定义、性质。

二、自主学习，合作沟通1、如图，⊙ O 内切于△ ABC ，切点为 D ，E ， F ．已知∠ B=50 °，∠ C=60 °， ?连接 OE ， OF ，DE ， DF ，那么∠ EDF 等于AAFOEIOB C BCD2、如图，⊙ O 是△ ABC 的内切圆， D ， E ， F 是切点，∠ A=50 °，∠ C=60°， ?则∠ DOE=3、如图，△ ABC 中，∠ BOC=140 °， I 是心里， O 是外心，则∠ BIC= 。

4、如图．在△ ABC 中， AC=b ， AB=c ， BC=a 它的内切圆与 AB 、 BC 、 AC 分别相切与 E 、 D 、 F ，则 AE=AF=， BE=BD=， CD=CF=三、疑难点拨，因势利导例题：如图，⊿ ABC 内接于⊙ O ，I 为△ ABC 的心里，求证：① BD=CD=ID ；②∠ AIB =90°+ 1∠ACB ;2AOIBECD图 1AD变式 1：如图 2，若∠ BAC=60 °，则： BD+CE=BC.OIEBC图 2变式 2：如图 3，若∠ BAC=90 °， AB=8 ， AC=6 ，求 DI 、OI 的长。

AIBCOD图3变式 3、如图 3，若∠ BAC=90 °， DI= 4 2 ，求⊙O的半径。

AIB COD图3A变式 4、如图 4，若∠ BAC=90 °， IE ⊥ AC 于 E， OB=R ， IE= r，EIB C求证： R r2AD O 2D图4四、练习检测，自我反省1、如图 3，点 O是△ ABC的心里，过点O作 EF∥AB，与 AC、 BC分别交于点E、F。

三角形的内心和外心

三角形的内心和外心一、提出问题问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（）A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOBC. 2∠AIB−12∠AOB=180°D. 2∠AOB−12∠AIB=180°二、分析与解决问题三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心）问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为⌒AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在⌒AD上运动时，r的值满足（）A. 0<r<3B. r=3C. 3<r<3√2D. r=3√2小结：AQ三角形的内心和外心第1页，共2页五、巩固练习（线段关系运用）1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论：①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心；③AB+AC=BC+√；④AB⋅AC=2BK⋅CK.正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为⌒AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA①求证：I为△ABC内心.②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值.3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为⌒BD上一点.①求证：AC−BC=√2CD.②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1时，求S△ABC.CBA三角形的内心和外心第2页，共2页。

第5课时三角形的外心和内心

第5课时三角形的外心和内心【知识概述】三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等；三角形内心是三角形三个内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,内心与各顶点的连线平分各个内角,内心到三角形三边的距离相等. 【例题精选】例1 如图，将△ABC 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是___________. 思路点拨：关键是确定△ABC 的外接圆的圆心位置.例2 如图，△ABC 中，AB=7cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则△CEF 的周长为___________.例3 如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，AD 与BC相交于点F ，连结BE ，DC ，已知EF=2，CD=5，求AD 的长.思路点拨：根据三角形的内心的定义可推得BD=CD ，△BDF ∽△ADB ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．(例3)(例1)(例2)【配套练习】1. 如图为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是（）A ．△ACD 的外心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心2. 九个相同的等边三角形如图所示，已知点O 是一个三角形的外心，则这个三角形是（） A ．△ABC B ．△ABE C ．△ABD D ．△ACE3. 已知△ABC 的边BC=，且△ABC内接于半径为2cm 的⊙O ，则∠A=___________.4. 如图，点O 和点I 分别是△ABC 的外心和内心，若∠BOC=130°，则∠BIC=________.5. 如图，P 是△ABC 的内心，连结PA 、PB 、PC ，△PAB 、△PBC 、△PAC 的面积分别为S 1、S 2、S 3．则S 1________S 2+S 3．（填“＜”或“=”或“＞”）6. 在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为___________.7.已知I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，连BD ．（1）在图1中，求证：DB=DI ；（2）如图2，若AB 为直径，且OI ⊥AD 于I 点，DE 切圆于D 点，求sin ∠ADE 的值．(第7题)(第5题)(第4题)(第1题)(第2题)B8. 定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若其中至少有一个图形是等腰三角形，则把这条线段叫做这个三角形的“内等线”.如图1，I 是△ABC 的内心，过I 的直线DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，若△ADE 是等腰三角形，则DE 就是△ABC 的一条“内等线”.(1)边长是2的等边三角形的“内等线”长度是_______.(2)如图2，⊙O 是△ABC 的外接圆，,I 是△ABC 的内心，连结AI ，过I 作DE ⊥AI 分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证：DE 是△ABC 的“内等线”.(3)在(2)的条件下，若∠B +∠C=120°，BD =9，CE =4，求弓形BC 的面积.(第8题)图1图2第5课时三角形的外心和内心参考答案例1 如图所示：点O 为△ABC 外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是例2如图，连结OA 、OB．∵点O 是△ABC 的内心，∴AO 、BO分别是∠CAB 和∠CBA 的角平分线．∴∠EAO=∠BAO ，∠FBO=∠ABO ．∵EF ∥BA ，∴∠EOA=∠OAB ，∠FOB=∠OBA ．∴∠EAO=∠EOA ，∠FOB=∠FBO ．∴EO=EA ，OF=FB ．∴EF=AE +BF ，∴△CEF 的周长=CE +CF +EF=CE +EA +CF +FB=CA +CB=14cm ．1．B 2．C 3．45°或135° 4．122．5° 5．＜ 6．2 7．(1) 连结BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠CAB ，BI 平分∠ABC ，∴∠CAD=∠BAD ，∠ABI=∠CBI ，∵∠CAD=∠DBC ，∴∠DAB=∠CBD ， ∵∠DBI=∠DBC +∠CBI ，∠DIB=∠DAB +∠IBA ，∴∠DIB=∠DBI ，∴BD=DI ． (2) 连结BD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∵OI ⊥AD ，∴AD=2DI ，又∵BD=DI ，∴AD=2BD ，AB =．∵DE 切圆于D 点，∴∠ABD=∠ADE ，∴sin ADE sin ABD ∠=∠=AD AB ＝255． 8． (1) 43(2)∵I 是△ABC 的内心，∴AI 平分∠DAE ，即∠DAI=∠EAI ．∵DE ⊥AI ， ∴∠AID=∠AIE=90°．又∵AI=AI ， ∴△ADI ≌△AEI ．∴AD=AE ．又∵I 是△ABC 的内心，∴DE 是△ABC 的“内等线”．(3)连结BI 、CI ．由⑵可得DI=EI ．由题意，得△BDI ∽△IEC ，∴BD IE ＝DIEC ，∴DI=IE=6．∵∠B +∠C=120°，∴∠BAC=60°，∴AD=AE=12，∴AB=21，AC=16．过点C 作CH ⊥AB 于H ，由勾股定理，可得BC=19．连结BO 、CO ，由∠BOC=120°，可得OB ＝1933．作OF ⊥BC 于F ，则OF ＝1936，∴弓形BC 的面积为21136119329ππ⨯⨯－－例1 例2例3 第7题A练8。

内心和外心 - 学案

内心和外心复习学案1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是()2.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC 的内心．当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接．．写出m，n的值．3.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使某顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.24.如图13，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN ＝α.若△BPN的外心在该三角形的内部，写出α的取值范围．5.如图15，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B 重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD︵于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．6.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心7. 如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是．．点O 的是（） A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE8.如图,在△ABC 中,点O 是△ABC 的内心,连接OB,OC ,过点O 作EF △BC 分别交AB,AC 于点E,F .已知△ABC 的周长为8,BC=x ,△AEF 的周长为y ,则表示y 与x 的函数图象大致是( )A. B.C. .9.如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,又是等边△DEF 的外接圆,则EFBC 等于()练习1. 如图，在△ABC 中，BC ＝6，△B ＝90°，△A ＝60°，点O 为△ABC 的外心，则点O 到BC 边的距离是( )A. 3B. 2C. 3D. 2第1题图第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°， △A ＝30°，点I 是Rt△ABC 的内心，连接CI 并延长交AB 于点D ，若CD ＝2，则AC 的长为( )A. 3B. 2C. 3＋1D. 33. 如图，在4×4的网格中，点A ，B ，C ，D ，H 均在网格的格点上，下面结论：△点H 是△ABC 的内心；△点H 是△ABD 的外心；△点H 是△BCD 的外心；△点H 是△ADC 的外心，其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 沿EF 折叠，点C 的对应点为O ，连接AO ，使AO 平分△BAC ，若△BAC ＝△CFE ＝50°，则点O 是( )A. △ABC 的内心B. △ABC 的外心C. △ABF 的内心D. △ABF 的外心5. 如图，在Rt△ABC 中，点B 的坐标(1，5)，点C 的坐标(4，1)，若反比例函数y ＝kx图象经过△ABC 的内心，则k 的值为( )A. 3B. 6C. 2D. 46. 如图，等边△ABC 的边长为1, 点E 、F 分别是BC 、AB 的中点，连接AE 、CF 交于点G ，边BC 下方有一动点D ，连接BD 、CD , △BDC 始终保持120°，将△BCD 折叠，点D 的对应点为G ′，则下列结论正确的有( )△G 为△ABC 的内心；△BD ＝CD ；△CG ＞AG ；△点G 是△BCD 的外心；△G ′E 的最小值为36. A. △△△ B. △△△ C. △△△ D. △△△第6题图第7题图7. 如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，垂足分别为点D ，E .BD ＝4，CE ＝3，若点M 、N 分别是△ADB 、△ACE 的外心，则MN ＝________．8. 已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CD △AB ，△ACB ＝70°，点O 是△ACD 的内心，则△AOB ＝________．第8题图第9题图9. 如图，在锐角△ABC 中，△A ＝70°，F 是边BC 上一点，且四边形CDEF 是菱形，将菱形CDEF 绕点C 顺时针旋转，当旋转角最小为________度时，点F 是△ABE 的外心．10. 如图，在等边△ABC 的三边上，分别取点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ，连接DE ，EF ，DF ，得到△DEF .若点O 为△ABC 的外心，求证：点O 也是△DEF 的外心．。

中考数学圆内心外心

B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题内心、外心知多少【2013元调第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=o D 、121802AOB AIB ∠-∠=o 分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。

内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。

∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题）内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o（2）1()2S a b c r ABC =++V ，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

三角形内心和外心练习题

CEB 内心和外心一、选择题：1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）A.254cm2 B.5πcm2 C.254πcm2 D.25cm25、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（）527、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、三、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。

三角形内心和外心练习题上课讲义

CEB 内心和外心一、选择题：1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（）A.254cm 2B.5πcm 2C. 254πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙O 的半径为5，则BC 的长为（）527、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。

中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习

滚动小专题(八) 三角形的外心与内心类型1三角形外心1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D)A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B)A．D点B．E点C．F点D．G点3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C)A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C)A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C)A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA.(1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数．解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ，∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝12∠BAC＝35°.(2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO.∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°.类型2 三角形内心9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B )A ．△ACD 的外心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C )A ．点O 是△ADE 的内心B ．点O 是△ADE 的外心C ．点O 不是△ABE 的内心D ．点O 是△ABC 的外心提示：易知OA平分∠BAC，由于OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．11．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC.若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A) A．174° B．176° C．178° D．180°提示：连接CI，∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.12．如图，△ABC中，AB＝7 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则△CEF的周长为(A)A．14 cm B．15 cm C．13 cm D．10.5 cm提示：连接OA，OB.C△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14 cm.13．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC.下列说法中错误的一项是(D)A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合提示：根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，∠AB I ＝∠CBI.根据三角形外角的性质得到∠DBI＝∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD＝DI.14．(2018·娄底)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3.则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)15．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，在斜边AB 上分别截取AD ＝AC ，BE ＝BC ，DE ＝6，点O 是△CDE 的外心，则点O 到△ABC 的三边的距离之和是9．提示：由题意知：点O 是EC ，CD 垂直平分线的交点，∵AD＝AC ，BE ＝BC ，∴EC 的垂直平分线经过点B 且平分∠B，CD 的垂直平分线经过点A 且平分∠A.∴点O 是△ABC 的内心．∵∠ACB＝90°，∴r＝12(AC ＋BC －AB)＝12(AD ＋BE －AB)＝12DE ＝3.∴点O 到△ABC 的三边的距离之和是3r ＝9.16．三角形内角平分线的交点为三角形的内心．如图，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 是△BDE 的内心．若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少是113°．17．已知I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD.(1)在图1中，求证：DB ＝DI ；(2)如图2，若AB 为直径，且OI⊥AD 于点I ，DE 切圆于点D ，求sin ∠ADE 的值．解：(1)证明：连接BI. ∵I 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠CAB，BI 平分∠ABC. ∴∠CAD＝∠BAD，∠ABI＝∠CBI. ∵∠CAD＝∠DBC，∴∠DAB＝∠DBC. ∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∠DIB＝∠DAB＋∠ABI， ∴∠DIB＝∠DBI.∴DB＝DI. (2)连接BD ，DO.∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°. ∵OI⊥AD，∴AD＝2DI. ∵BD＝DI ，∴AD＝2BD.∴AB＝AD 2＋BD 2＝5BD.∵DE 切圆于点D ，∴∠ADE＋∠ADO＝90°.又∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∠ODB＝∠OBD， ∴∠ABD＝∠ADE.∴sin ∠ADE＝sin ∠ABD＝AD AB ＝2BD 5BD ＝255.。

2022年中考数学复习：圆的内心和外心综合解答题

2022年中考数学复习:圆的内心和外心综合解答题1．如图，已知点D在O的直径AB延长线上，点C为O上，过D作ED AD⊥，与AC的延长线相交于E，CD为O的切线，2AE=．AB=，3（1）求证：CD DE=；（2）求BD的长；（3）若ACB∠的平分线与O交于点F，P为ABC的内心，求PF的长．2．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD△BC，垂足为点F，△ABC的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC，△O是△ABC的外接圆，过点C作△BCD＝△ACB 交△O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是△O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．4．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D ．（1）求AD 的长；（2）试探究CA CB CD 、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE OD ⊥于点E ，设OPE ∆的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长5．如图1，在△ABC 中，I 是内心，AB ＝AC ，O 是AB 边上一点，以点O 为圆心，OB 为半径的△O 经过点I ．（1）求证：AI 是△O 的切线；（2）如图2，连接CI 交AB 于点E ，交△O 于点F ，若tan△IBC ＝12，求BE AE．6．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆△O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使△BDM=△DAC ．（1）求证：直线DM 是△O 的切线；（2）求证：DE 2=DF•DA ．7．如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD ，OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记,ODE CDE ∆∆的面积为12,S S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度．8．如图，在五边形ABCDE 中，90BCD EDC ∠=∠=︒，BC ED =，AC CD AD ==．（1）求证：ABC AED ∆∆≌；（2）当140B ∠=︒时，求BAE ∠的度数；（3）如果ABC ∆的外心与ACD ∆的内心重合，请直接写出B 的度数．9．如图，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC 边上，12∠=∠．()1求证：AEC △△BED ；()2若75C ∠=︒，求AEB ∠的度数；()3若90AEC ∠=︒，当AEC △的外心在直线DE 上时，2CE =，求AE 的长．10．如图，O 是△ABC 的外心，I 是△ABC 的内心，连接AI 并延长交BC 和△O 于D ，E ．(1)求证：EB =EI ；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．11．如图，四边形ABCD是△O的内接四边形，对角线AC是△O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，△ADB=45°．(1)求△O半径的长；(2)求证：BC＝BI．12．如图，AB是△O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交△O于点E，连接OE与AC相交于点D．BC(1)求证：OD=12(2)求证：EM=EA13．如图，△O为△ABC的外接圆，AC=BC，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且△EAC=△ABC．(1)求证：直线AE是△O的切线．(2)若D为AB的中点，CD=6，AB=16，求△O的半径；(3)在（2）的基础上，点F在△O上，且BC BF，△ACF的内心点G在AB边上，求BG的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，△BAC与△ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．(1)求证：△BAD＝△DBC；(2)证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；(3)若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．15．如图，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交ABC的外接圆O点D ．过D 作直线DM BC ∥．(1)求证：DM 是O 的切线；(2)求证：DE BD =；(3)若DE =8BC =，求O 的半径．16．如图1，在ABC 中，30,24cm A B AB ∠=∠=︒=，点D 和点E 分别从点A 、点B 同时出发，在线段AB 上以2cm /s 做等速运动，分别到达点B 、点A 后停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求证：ADC BEC ≌；(2)若AC AE =，求ADC ∠的度数；(3)当△ADC 的外心在其外部时，请直接写出t 的取值范围．17．如图，线段6AB =，以AB 为直径作O ，C 为O 上一点，过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，连接BC ．(1)求证：BCD ABD ∽(2)若50D ∠=︒，求BC 的长．(3)点P 在线段AC 上运动，直接写出PBD △的外心运动的路径长．18．如图，点O 为线段AB 的中点，点C 为线段OA 上一点（不与O ，A 重合），以点O 为圆心，OC 为半径作圆O 交线段OB 于点D 、△EAB ＝△FBA ＝60°，AE ＝BF ＝2，AB ＝10，连接EC ，FD ．(1)求证：EC ＝DF ；(2)当EC 与圆O 相切时，求OC 的长度；(3)直接写出△AEC 的外心在该三角形内部时，△E 的取值范围．19．如图，点A B 、分别在DPE ∠两边上，且PA PB =，以AB 为直径作半圆O ，点C 是半圆O 的中点(1)连接AC BC 、，求证： PAC PBC ≌；(2)若60APB ∠=︒， 4PA =，求阴影部分面积(3)若点O 是PAB △的外心，判断四边形APBC 的形状，并说明理由20．.如图所示,已知锐角△ABC 的外接圆半径R =1,△BAC =60°，△ABC 的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P(1)求凹四边形ABHC的面积；(2)求PO·OH的值．。

中考考点(8-4)：三角形的内心与外心【★★】

中考考点（8-4）：三角形的内心与外心【★★】说明：（1）本节知识点：三角形的内心、外心的性质与作图；（2）最大难度：☆☆☆一、选择题（共3小题；共15分）1 .边长分别等于6cm，8cm，10cm的三角形的内切圆的半径为( )A. 3cmB. 2cmC. 32cmD. 6cm√√2 .如图，若等边△퐴퐵퐶的边长为6，内切圆푂分别切三边于퐷，퐸，퐹，则阴影部分的面积是( )√31C. π4A. πB. π D. 3π√23 .点푂是△퐴퐵퐶的外心，若∠퐵푂퐶=80∘，则∠퐵퐴퐶的度数为( )A. 40∘B. 100∘C. 40∘或140∘D. 40∘或100∘二、填空题（共4小题；共20分）4 .如图，⊙푂是△퐴퐵퐶的内切圆，其切点分别为퐷，퐸，퐹，且퐵퐷=3，퐴퐸=2，则퐴퐵=．第4题图第5题图第7题图56. 如图，点푂是△퐴퐵퐶的内切圆的圆心，∠퐵퐴퐶=70∘，则∠퐵푂퐶=．. 直角三角形的外接圆半径为5cm，内切圆半径为1cm，则此三角形的周长是．푘7 .如图，在平面直角坐标系中有一正方形퐴푂퐵퐶，反比例函数푦=的图象经过正方形퐴푂퐵퐶对角푥线的交点，半径为(6−3√2)的圆内切于△퐴퐵퐶，则푘的值为三、解答题（共4小题；共52分）．8 .制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．9 1 1 . 如图，已知 △ 퐴퐵퐶，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作 △ 퐴퐵퐶 的外接圆；（2）若 △ 퐴퐵퐶 所在平面内有一点 퐷，满足 ∠퐶퐴퐵 = ∠퐶퐷퐵，퐵퐶 = 퐵퐷，求作点 퐷．0. 如图，点 퐼 是 △ 퐴퐵퐶 的内心，퐴퐼 交边 퐵퐶 于点 퐷，交 △ 퐴퐵퐶 外接圆于点 퐸．求证：퐼퐸 是 퐴퐸和 퐷퐸 的比例中项．1. 如图，△ 퐴퐵퐶 中，퐴퐵 = 퐴퐶，⊙ 푂 是 △ 퐴퐵퐶 的外接圆，퐵퐷 ⊥ 퐴퐶 于点 퐷，交 ⊙ 푂 于点 퐹，퐴푂的延长线交 퐵퐷 于点 퐸，连接 퐴퐹．（（ 1）求证：퐴퐸 = 퐴퐹；42）若 sin∠퐵퐴퐶 = ，퐴퐸 = 5，求 퐸퐹 的长．5∘ ∘ ∘．∴ ∠퐵푂퐶 = 180 − 55 = 125 答案6 7 . 22 cm . 9 第一部分 . B 【解析】∵ 62 + 82 = 36 + 64 = 100 =1第三部分. 作出三角形的角平分线 퐵퐷，퐶퐸，交于点 푂， 02，1 8∴ 此三角形为直角三角形．푂 就是所画的圆的圆心．设此直角三角形的内切圆的半径为 푟．过 푂 做 푂퐹 ⊥ 퐵퐶 于点 퐹，以 푂 为圆心，푂퐹长为半径作 ⊙ 푂．由直角三角形的面积公式，1111得 푆 = × 6 × 8 = × 6푟 + × 8푟 + × 10푟，2222如图，⊙ 푂 即为所求的圆．解得 푟 = 2．2 . A 【解析】连接 푂퐴，푂퐷，푂퐸，푂퐹，퐴퐷，9 . （1）如图 1 所示：则 퐴퐷 过 푂，依题意可得：三角形内接圆的圆心为角平分线的交点，∴ ∠푂퐵퐷 = 30∘，퐵퐷 = 퐶퐷 = 3，则푂퐷 = √3，1 3 20 602∠ 퐵푂퐶 = 120∘，푆阴影 . C = × π × (√3) = π ．3【解析】如图所示：∵ 푂 是 △ 퐴퐵퐶 的外心，∠퐵푂퐶 = 80∘，⊙ 푂 即为所求； 2）如图 2 所示：∴∠퐴 = 40∘，∠퐴′ = 140∘，（故 ∠퐵퐴퐶 的度数为：40∘ 或 140∘．点 퐷 即为所求．第二部分 10. 如图，连接 퐼퐵，4 5. 5. 125∘ 【∴ 解析】∵ ∠퐵퐴퐶 = 70∘， ∘ ∘，∠퐴퐵퐶 + ∠퐴퐶퐵 = 180 − ∠퐵퐴퐶 = 110 ∴∠푂퐵퐶 + ∠푂퐶퐵 = 55∘，3∴ 퐷퐸 = 푎， 23√5 2∴ ∵ ∴퐴퐸 = √퐴퐷2+ 퐷퐸2 = 푎， 퐴퐸 = 5， 3 √52푎 = 5， 2 √53解得：푎 =， ∵ ∴ 퐼 是 △ 퐴퐵퐶 的内心，∴ 퐸퐹 = 2퐷퐸 = 3푎 = 2√5．∠퐴퐵퐼 = ∠퐶퐵퐼，∠퐵퐴퐼 = ∠퐶퐴퐼．又 ∵ ∠퐵퐼퐸 = ∠퐵퐴퐼 + ∠퐴퐵퐼，∠퐸퐵퐼 = ∠퐶퐵퐼 + 퐸퐵퐶，∠퐸퐵퐶 = ∠퐸퐴퐶， ∠∴ ∠퐸퐼퐵 = ∠퐸퐵퐼， 퐸퐼 = 퐸퐵．∴易证 △ 퐵퐷퐸∽ △ 퐴퐵퐸， 퐵퐸 퐸퐴，∴== 퐸퐷 퐼퐸 퐵퐸 퐸퐴，퐼퐸即 퐸퐷 퐼퐸= 퐴퐸 × 퐷퐸．2 ∴即 퐼퐸 是 퐴퐸 和 퐷퐸 的比例中项．11. （1） ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶， ⏜ ⏜ ， ∴ 퐴퐵 = 퐴퐶 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 퐴퐸 ⊥ 퐵퐶， ∠퐸퐴퐶 + ∠퐶 = 90∘，퐵퐷 ⊥ 퐴퐶，∠퐵퐷퐶 = ∠퐵퐷퐴 = 90∘，∠퐷퐵퐶 + ∠퐶 = 90∘，∠퐸퐴퐶 = ∠퐶퐵퐷， ∠퐶퐵퐷 = ∠퐶퐴퐹， ∠퐶퐴퐹 = ∠퐶퐴퐸，在 △ 퐸퐴퐷 和 △ 퐹퐴퐷 中， 퐸퐴퐷 = ∠퐹퐴퐷, 퐴퐷 = 퐴퐷, ∠ { ∠ 퐸퐷퐴 = ∠퐹퐷퐴, ∴△ 퐸퐴퐷≌ △ 퐹퐴퐷， ∴ 퐴퐸 = 퐴퐹．퐵퐷 퐴퐵4= ，5（ 2） ∵ sin∠퐵퐴퐶 = 设 퐵퐷 = 4푎，퐴퐵 = 5푎，则 퐴퐷 = 3푎，퐶퐷 = 2푎，∵ ∴ ∠퐸퐴퐶 = ∠퐶퐵퐷，∠퐴퐷퐸 = ∠퐵퐷퐶， Rt △ 퐷퐴퐸∽Rt △ 퐷퐵퐶， 퐴퐷 퐵퐷 퐷퐸 퐷퐶 3푎 4푎 퐷퐸2푎∴ = ，即 = ，。

第07讲内心、外心(1)

第07讲内心与外心【例题精讲】例1、如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（） A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠ C 、121802AIB AOB ∠-∠= D 、121802AOB AIB ∠-∠=例2、如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PM OB IN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个ABA例3、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。

下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④IF RAE为定值，其中正确的结论有（）A、①③④B、①②③C、①②③④D、①②④例4、如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（）个①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；A、1个B、2个C、3个D、4个A例5、、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线y x=-上一点，过O、D两点的圆⊙1O分别交x轴、y轴于点A和B。

（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求1O的坐标；（2）在（1）的条件下，过点A作⊙1O的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；（3）若点D的横坐标为72-，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙1O的大小发生变化时，其结论：AE BE-的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；x【过关检测】1、如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF ≤AE+BF2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图中与BD 相等的线段分别是___________________。

三角形的五心-第4讲内心与外心教师版

第四讲三角形的内心与外心一、基础知识1.内心的定义:三角形内切圆的圆心即三个角的角平分线的交点2.内心的性质1）内心到三角形三边的距离相等；2）内心在三角形内部；3）内心与顶点的连线平分该顶角；3.外心的定义：三角形外接圆的圆心即三边垂宜平分线的交点.4.外心的性质1）外心到三角形的三个顶点的距离相等；2）外心不一定在三角形内部；二、例题部分第一部分内心例1•如图35-1, D是AABC的内心，E是/XABD的内心,F是△BDE的内心，若ZBFE的度数为整数，则ZBFE 至少是（）A. 111°B. 112°C. 113°D. 114°解答：C.提示：ZBFE=90 +l ZBD E,传递推证/3^90 +-(90 +_/0例2.已知等腰ZkABC中，AB=AC, BC=4,内切圆的半径为1,则腰长为解答：B.设厶仮中BC边上的高为AD,则M）=y/AB2-BD2 .VBD=-BC=2, AAD=VAB2-4 .:.S“ = _ (AB+AC+BC)r=-BC-AD. /.2AB+BC=BC - >/^52-4 .例3. ZkABC的周长为25厘米，BC=10厘米，I为三角形的内心，线段EF过点I分别交AB、AC于E、F,且EF/7BC,则ZkAEF 的周长为 __________ .解答：15厘米.连结BI 、IC,易知BE=EI, IF=FC ・・•・ AAEF 的周长=AE+EI+IF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC= 15 （厘米）例4. （2000年，日本首届广中杯）如图35-7,在ZkABC 中，点D 、E 是ZABC 、ZACB 的三等分线的交点, 当A=60时，求ZBDE 的度数.解答：50 .ZA=60 ,・•・ ZABC+ZACB=120\••• D 、E 是Z ABC 、Z ACB 的三等分线的交点，:.2ZDBC+ZDCB=- X 120 =80 • 3 ・•・ ZBDC=100 .TBE 平分 ZDBC, CE 平分 ZDCB,・•・E 是厶毗的内心.ADE 平分ZBDC.・•・ ZBDE= 50° ・例5. （1995年，全国联赛试题）如图35-9,已知ZACE= ZCDE= 90 ,点B 在CE 上，CA=CB=CD,过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F,求证：F 为的内心。

初中数学三角形的内心与外心北师大版22020年020

三角形的内心与外心北师大版20201、下列各组数中，互为相反数的是（▲)A．2和-2B．-2和C．－2和D．和2 答案A解析2、下列说法正确的是（答案D 解析3、9的算术平方根是A．B．C．－3D．答案D 解析4、下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是（;）答案D 解析5、若点M（a，b）在第二象限，则点（，b）是在（）A．第一象限B．第二象限答案A解析6、计算-a-a的结果是A．0B．2aC．-2aD．答案C 解析7、家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买答案A 解析8、一元一次不等式组的解集是,则的取值范围是（答案B 解析9、（2011?泰安）下列图形：其中是中心对称图形的个数为（）A．1B．2C．3D．4 答案B 解析10、-5不是; 答案B 解析11、我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是答案B 解析12、如图是正三菱柱，它的主视图正确的是( ) 答案B 解析13、（2014?中江县一模）到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困答案A 解析试题分析：先用含x的代数式表示2012年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出2013年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(;)A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．答案A 解析15、解方程的结果是（）A．B．C．D 答案D 解析16、（2011?衢州）衢州市“十二五”规划纲要指出，力争到2015年，全市农民人均年纯收入超13000元，数1300 答案B 解析17、在中，负数有（;）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C 解析18、下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图２所示的是Ａ．;Ｂ．; 答案D 解析考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：分别解出各个不等式组，进行检验就可以．解答：解：由A得x＞1, x≤-2??，∴不等式组无解；由B得x≤1 ,x＜-2??，∴不等式组的解集为x ＜-2；由C得x≤-1 ,x＞2??，∴不等式组无解；由D得x＞-1, x≤2??，∴不等式组的解集为-1＜x≤2．故选D．点评：命题立意：考查不等式组的解法．求不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大、小小是无解．19、在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是答案C 解析20、王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是答案A 解析21、下列等式成立的是答案A 解析22、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点从点B出发，沿B→C→D→F方向运答案B 解析23、（2014?中山模拟）某旅游公司2012年三月份共接待游客16万人次，2012年五月份共接待游客81万人次．设每答案A 解析试题分析：本题依题意可知四月份的人数=16（1+x），则五月份的人数为：16（1+x）（1+x），再令16（1+x）（1+x）=81即可得出答案．解：设每月的平均增长率为x，依题意得：16（1+x）2=81．故选A．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．24、如下图，不是正方体展开图的是（）答案D 解析25、－的相反数是（;）A．－B．-2C．答案C 解析26、如图，在平面直角坐标系中，点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标是（; 答案A 解析27、如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点分别与相交于点若四边形的面积为6，则的值为A．1B．2C．3D．4 答案B 解析28、函数与在同一坐标系中的大致图象是答案C 解析29、不等式3x-6＜3+x的正整数解有（）个A．1B．2C．3D．4 答案D 解析30、（2011?舟山）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得答案C 解析31、如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为（）、答案B 解析32、在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( 答案B 解析33、已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有; (; 答案D 解析如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等答案D 解析34。

24.2.2(10)---内心与外心的综合运用

24.2.2(10)---内心与外心的综合运用
一．【知识要点】
1.
二．【经典例题】
1.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 .
2.一数学研究小组探究了以下相关的两个问题,请你也试试.
(1)如图1,已知△ABC,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.试探究∠A与∠BOC的度数之间的关系.
(2)如图2,已知点O是△ABC内切圆的圆心,点O'是△ABC外接圆的圆心.试探究∠BOC与∠BO'C的度数之间的关系.
图1 图2
3.（绵阳2015年第22题，本题满分11分）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB = 2，求阴影部分的面积．
三．【题库】
【A】
【B】
1、判断：
垂直于弦的直径一定平分弦（）
过弦的中点的直径平分弦所对的弧（）
过圆内任意一点只能做一条直径（）
平分弦的直线必垂直于弦（）
经过3点一定可以做一个圆（）
直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点（）
垂直于半径的直线是圆的切线（）
【C】
1.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB.
（1）求证：DH=DB；
（2）求证：EF为圆O的切线.
【D】
1. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．。

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1
D D
B
A B
B
习题课：三角形的内心与外心
【方法技巧】借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题的关键．一、直角三角形的内心与外心
1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，AC ＝8，BC ＝6．（1）如图1，求IC 的长；
（2）如图2，若»
AD ＝»BD ，求ID 的长；（3）如图3，求OI 的长．
图1 图2 图3
2．如图，△ABC 是圆的内接三角形，点E 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，AE 的延长线交圆于点D ．
（1）求证：»BD
＝»CD ；（2）判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，DE 长为半径的⊙D 上？并说明理由；
（3）若∠BEC ＝110°，则∠BDC __________(直接写出结果)．
二、等腰三角形的内心与外心
3．如图，△ABC 中， AB ＝AC ＝13，BC ＝10，⊙O 为△ABC 的外接圆，I 为△ABC 的内心．（1）求BO 的长；（2）求BI 的长．
作业：
1已知点I 是△ABC 的内心，∠
BIC=130°，则∠BAC 的度数是__________. 2.在等边三角形ABC 中，AD=
1
2
E 是△ABC 的内心，以点C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，点G 是圆C
上一动点，连接AG,若P 是AG 的中点，则DP 的最大值（） A.
2
B.
1
2
1
第2题第3题
3.O 是△
ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB,与AC,BC 分别交于点，E,F,则（） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+
4.如图，已知E 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D ．求证：∠DBE=∠DEB ；
6. 如图，△ABC 中，E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，求证：DE=DB ．。