第四节+有效数字
§1—5有效数字及其运算规则
关于指数
如
2105 2.0105
不计位数
1位 2位
关于整数
如 3600 如写成3.6103 3.60103
不明确 2位 3位
pH，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效 数字的位数仅取决于小数点后数字的
位数，整数部分只代表该数的方次
pH=11.75
只看小数点后是几位
0.01 1 1 10.08 1008 1000
10.08 相对误差为源自注意: 先修约,后计算.§1—5 有效数字及其运算规则
在定量分析中，不仅要准确地进行各种测量， 而且还要正确地记录和计算。分析结果所表达的 不仅仅是试样中待测组分的含量，而且还反映了 测量的准确度。 △如 测量硅酸盐中SiO2含量： ms = 0.4538g
m SiO = 0.1374g
2
wSiO =
2
0.1374 0.4538 100% = 30.2776553% （计算器显示）
这样给出的结果是错误的，因为目前测量方法还达 不到如此精度。如何记录、保留几位数字才能正确表 示该分析结果呢？
一、有效数字
定义：有效数字是由全部能准确读取的数据和最后 一位可疑数字组成，他们共同决定有效数字的位数。 （它由仪器本身精确度来决定，人为只保留一位）
1.意义：既有大小，又有精度。
2.位数：左第一位以后的数。
关于有效数字不随单位变化而变化05004g0在数字之前起定位作用0在数字之后为有效数字位数关于指数不计位数关于整数3600不明确如写成3610ph1175只看小数点后是几位961012两位phphpmpmpkpklgclgclgklgk等对数值其有效等对数值其有效数字的位数仅取决于小数点后数字的数字的位数仅取决于小数点后数字的位数整数部分只代表该数的方次位数整数部分只代表该数的方次两位的小数点后的位数相同指数数只与等幂指数有效数字位10四位四位例如2000352000351000810008有效数字是测量得到的如测量数据不止一个且每个测量数据有效位数不同则运算时有效数字需统一处理
有效数字(分析)ppt课件
不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克
用的是粗天平
7.52克
用的是扭力天平
7.5187克 用的是分析天平
最新版整理ppt
5
2、确定有效数字位数的原则： ①一个量值只保留一位不确定数字，在记录
测量值时必须记一位不确定的数字，且只 能记一位；
②数字0～9都是有效数字，当0只是作为定小 数点位置时不是有效数字。
最新版整理ppt
8
3、有效数字的修约规则
修约:一个数据的有效数字位数确定之后，舍弃多余 数字的过程叫修约。
规则:四舍六入、五后有数进位、五后无数前位数成 双、修约须一次完成，不能分次修约。
例题:将下列数据保留二位有效数字 3.148→3.1，7.3976→7.4，0.736→7.4×10-1 75.5→7.6 ×101，2.451→2.5，83.5009→8.4 ×101
有效数字及其运算规则
最新版整理ppt
1
➢在定量分析中，测定结果为数字，其不
仅表示大小，而且还准确反映测量的准
确程度。也就是说，在实验数据的记录
和结果的计算中，数字位数的保留不能
是随意的，要根据测量仪器（在科学实
验中，对于任一物理量的测定，其准确
度都是有一定限度的）和分析方法的准
确度来决定。 最新版整理ppt
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5
+ 0.6 52.2
最新版整理ppt
12
2. 乘除法: 几个数据相乘除时，有效数字的位数应以几个 数中有效数字位数最少的那个为准，计算结果 的有效数字的位数也和有效数字位数最少的那 个数位数相同。
例1 0.0121×25.64×1.05782 ＝0.0121×25.6×1.06 ＝ 0.328
有效数字及其运算规则
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字知识点总结
有效数字知识点总结有效数字的定义有效数字是指用于表示测量结果或实验数据的数字。
有效数字反映了测量结果或数据的准确性和精度。
通常情况下，有效数字是从左侧第一个非零数字开始，到最后一个数字结束。
有效数字不包括前导零，但包括末尾的零。
例如，测量结果为0.035时，有效数字为35。
而测量结果为0.0035时，有效数字为3.5。
有效数字的规则有效数字有一些表示规则，这些规则有助于确定和处理测量结果和实验数据的准确性和精度。
下面是有效数字的一些基本规则：1. 所有非零数字都是有效数字。
2. 所有前导零都不是有效数字。
3. 所有末尾的零在小数点后面的数字之后都是有效数字。
4. 在科学计数法表示的数字中，有效数字从第一个非零数字开始，到末尾的数字结束。
举例说明：测量结果为0.035时，有效数字为35，共有两个有效数字。
测量结果为0.0035时，有效数字为3.5，共有两个有效数字。
数字5.20是有三个有效数字，0前方的0不是有效数字。
科学计数法表示的数字3.25×10^4有三个有效数字。
有效数字的应用了解有效数字的概念和规则对于正确处理测量数据和计算结果至关重要。
有效数字的应用涉及到测量数据的记录、计算结果的表示和估计值的确定。
以下是有效数字的一些应用：1. 测量数据的记录在记录测量数据时，应根据有效数字的表示规则进行记录。
记录测量数据时，应该遵循以下规则：在小数点后有限位数的数字的记录时，应该根据有效数字的表示规则来确定有效数字的位数。
在测量数据不确定的情况下，应该确定使用的有效数字的位数。
2. 计算结果的表示在进行测量数据的计算时，应根据有效数字的表示规则确定计算结果的有效数字的位数。
在对测量数据进行加减、乘除等运算时，应该根据有效数字的表示规则，确定计算结果的有效数字的位数，并对计算结果进行四舍五入。
3. 估计值的确定在进行测量数据的估计时，可以根据有效数字的表示规则，确定估计值的有效数字的位数。
有效数字及有效数字的运算
有效数字及有效数字的运算一、有效数字用实验仪器直接测量的数值都会有一定误差，因此，测量的数据都只是近似数，由这些数据通过计算所得的间接测量也是近似数。
显然，几个近似数的运算不可能使结果更为准确，而只会增大其误差，因此，近似数的表示和计算都有一定规则，以便确切地表示记录和运算结果的近似性。
一个测量值总包括有若干个准确数字和最后面一个估计数字，包括准确数字和一位估计数字在内的数值称为这个量的有效数字。
如从仪器上读出数字，通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。
这一位是有疑问的，故称为存疑数字，而前面各位都是准确数字，再估计存疑数字以后的各位既没有必要也没有可能。
通常有效数字就包括从仪器上直接读出的确切数字和最后一位存疑数字。
在书写有效数字时必须注意“0”的位置，在一个测量中，数字前面的“0”不是有效数字，数字中间和后面的“0”则是有效数字。
如某物重0.802000千克，第一个零不是有效数字，同数中后面四个“0”都是有效数字，少记或多记一个就不能反映实验数据的确切程度和存疑数字的位置。
为了避免混淆，通常在小数点前一律取一位有效数字，由采用不同单位而引起的数值上的大小可用乘以10的幂来表示，以上数可写为8.02000×10-1千克或8.02000×10-2克。
[注：有些仪器如数字式仪表或游标卡尺，是不能估计到最小刻度下一位数字的，而把直接读出的数字记录下来，仍然认为最后一位数字是存疑的。
]二、有效数字运算规则大多数实验中，待测量是从几个直接测量中经过运算得到的。
因此，必须注意运算的规则，确定有效数字的依据是：①估计数字与估计数字或估计数字与准确数字之和差积商仍为估计数字。
②运算结果只保留一位估计数字，其它四舍五入。
下面通过具体的运算加以说明。
（估计数字下方加“一”以示区别）（1）有效数字的加减25.4231.454＋16.573.374结果只保留一位估计数字得73.4三位有效数字。
有效数字 幻灯片
• 2.“0”的处理：左起第一个非0数字左边的“0”不是有 效数字，而其右边的“0”都是有效数字。
• 3.为了明显地表示有效数字的位数，数据常采用有效数字 乘以10的幂次的形式表示。 • 4.小数位数的多少不反映数据的准确性，有效数字的多少 放映数据的准确性能
• 注：不可连续多次修约
乘除法
• a.先修约：使各数修约到比有效数字位数最少的项多一位 有效数字； • b.乘除 • c.再修约：结果有效数字和原有效数字位数最少的项相同 • 例如： • 0.012×25.5513×1.05728= • 先修约：0.012×25.6×1.06= • 计算结果为：0.325632,结果仍保留为三位有效数字。 • 再修约为：0.33
练一练
• • • • • • • • • 如将下组数据保留一位小数： 45．77 43．03 0．26647 10．3500 38．25 47．15 25．6500 20．6512
计算规则
• 加减法 • a.先修约：使各数修约到比小数点后位数最少的项多一位 小数； • b.加减；（尽量先加再减，防止有效数位数大幅减少） • c.再修约：运算结果和小数位数最少项相同 • 列：计算50.1+1.456+0.58500= • 最后修约为：50.1+1.46+0.58=52.1 • 运算结果：52.14 • 再修约：52.1
挑战自我
• • • • 按有效数字运算规则完成下列运算： (1)13.05+0.038+4.7051 (2)17.12+4.5291+0.072500+3.2458 (3)3.468-12.634&# • 将31.4546修约成整数如下： 31.4546→31.455→31.46→31.5→32。(×)
有效数字定义
有效数字定义有效数字定义从左边第一个不是0的数字起，到末位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字.比如 0.008900左边第一个非零数字是8它后面还有3个数字这4个数8900都是有效数字有效数字的定义所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字.把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.一个近似数据的有效位数是该数中有效数字的个数，指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置。
如0.078和0.78与小数点无关,均为两位。
506与220均为三位。
300.00为5位。
你可到百度百科去看看。
数学上“有效数字”的定义在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
有效数字的定义？详细些所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。
如上例中测得物体的长度7.45cm.数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。
有效数字计算方法为”前零不算后零算，有效数字不还原“。
如36万不需还原成360000，只需算”36“，即两个有效数字（前面一段是我在百度搜的后面是自己打的望采纳哦）数字的定义，什么是有效数字有效数字是从第一个不为零的数开始算，后面有几个数就有几个有效数字例如：38200有3，8，2，0，0五个有效数字20.05有4个20.05000就有7个有效数字了0.04有1个0.0400就有3个有效数字了有效数字什么？有什么定义？从数字左边第一个非零数字开始，一直到最右边的数字，这些数字的位数为有效数字。
有效数字运算规则ppt课件
15:18:57
4
▪ “四舍六入五成双” ▪ 1、 当尾数≤4时将其舍去；尾数≥6时就进一位； ▪ 2、等于5则看其前一位,加1后为奇数则舍,为偶数则入. ▪ 2.596 取三位有效数字 ▪ = 2.60 ▪ 2.594 取三位有效数字 ▪ = 2.59 ▪ 2.595 取三位有效数字 ▪ = 2.60 ▪ 2.585 取三位有效数字 ▪ = 2.58 ▪ 注意：进行数字修约时只能一次修约到指定的位数，
字。
▪ 记录为：0.0121 × 25.6 × 1.06 = 0.328 ▪ 注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果
进行修约.
15:18:58
11
有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 ▪ 2. 乘除运算 ▪ 例：计算2.5046×2.005×1.52 =? ▪ 修约为：2.50×2.00×1.52 =? ▪ 计算器计算结果显示为 7.6，只有两位有效数字，但我
15:18:58
9
有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算
几个数据的乘除运算中，所得结果的有效数字的位数 取决于有效数字位数最少的那个数，即相对误差最大 的那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
15:18:58
10
有效数字及其运算规则
15:18:57
3
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点） （1）在分析化学计算中，经常会遇到一些分数、整数、倍 数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或大于8，则有效数 字的位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算结果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
《有效数字分析》课件
比较大小的有效数字
当需要比较两个数的大小时，在比较的过程中， 必须保留相同的有效数字位数。
实例分析
1 多个实例进行有效数字分析
本节将讲解多个实际应用场景下的有效数字运用，让您更加深入了解有效数字的意义以及如何正确使 用。
总结
有效数字定义 有效数字的意义
如何确定有效数字？ 如何进行有效数字运算？ 注意事项
《有效数字分析》PPT课 件
欢迎大家来到《有效数字分析》课程！在这门课上，我们将介绍什么是有效 数字，为什么有效数字很重要，以及如何进行有效数字运算。
什么是有效数字？
1 有效数字定义
有效数字是指测量结果所包含的数字中，最后一位数字是估量数字之后，其余所有的数 字都是确定的数字。
2 有效数字的意义
有效数字的正确运用是科学实验中一个重要的组成部分，所得结果的精确程度与有效数 字正确的表示是密切相关的。
如何确定有效数字？规则一ຫໍສະໝຸດ 所有非零数字都是有效数字。
规则二
所有0之间的数字都是有效数字。
规则三
在小数点左侧的第一个非零数字前面的所有0都不 是有效数字。
规则四
在小数点右侧的第一个非零数字后面的所有零都是 有效数字。
如何进行有效数字运算？
1
加减乘除法运算的有效数字规则
加减乘除法运算时，其结果所保留的有效数字应该与参与运算的数的有效数字位 数最少的那个保持一致。
测量结果所包含的数字中，最后一位数字是估量 数字之后，其余所有的数字都是确定的数字。
有效数字的正确运用是科学实验中一个重要的组 成部分，所得结果的精确程度与有效数字正确的 表示是密切相关的。
使用有效数字规则。
运算时参与的有效数字位数最少的那个数决定结 果的有效数字位数。
有效数字
2 2
( )如 t计 > tα (n1 + n2 − 2), 则 µ1 ≠ µ2 3如 :
异常值的检验—Q检验法 检验法 异常值的检验
Q 算= 计
x离群 − x邻近 xmax − xmin
若Q计 > Q表 , 则离群值应弃去.
Q值表 值表
测量次数
n Q0.90 Q0.95
3
4
5
6
7
8
9
10
第一节 有效数字
定义
有效数字就是实际能测到的数字。有效数字的位 数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量 仪器的准确度有关。我们可以把有效数字这样表 示。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数 不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
• 有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的 准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一 位是可疑的。 • 例如在分析天平上称取试样0.5000g，这不仅表 明试样的质量0.5000g，还表明称量的误差在 ±0.0002g以内。如将其质量记录成0.50g，则表 明该试样是在台称上称量的，其称量误差为0.02g， 故记录数据的位数不能任意增加或减少。如在上 例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为 10.4320g，这个记录说明有6位有效数字，最后 一位是可疑的。因为分析天平只能称准到 0.0002g,即称量瓶的实际重量应为 10.4320±0.0002g,无论计量仪器如何精密，其最 后一位数总是估计出来的。因此所谓有效数字就 是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数 字。同时从上面的例子也可以看出有效数字是和 仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的 大小而且也反映测量的准确度.
有效数字ppt课件
PART 06
有效数字的练习与思考
练习题一：四舍五入规则应用
总结词
掌握四舍五入规则，理解其在实 际问题中的应用
详细描述
通过具体例题，演示如何根据四舍 五入规则对数字进行近似处理，强 调在科学计算中四舍五入规则的重 要性。
练习题
给出几个数字，要求使用四舍五入 规则将它们近似到指定小数位。
练习题二：截断规则应用
实验数据的处理
实验数据的记录
在实验过程中，应准确记录实验数据，并保留适当的有效数字， 以反映实验的精度。
实验数据的分析
在实验数据分析过程中，应采用适当的统计方法，对数据进行处理 和推断，以得出可靠的结论。
实验数据的误差分析
在实验数据处理过程中，应进行误差分析，了解数据的不确定度， 为后续的数据处理提供依据。
致的数据精度损失。
PART 04
有效数字在数据处理中的 注意事项
避免误差的传递
总结词
在进行数据处理时，应避免误差的传递，确保结果的准确性 和可靠性。
详细描述
在进行数据运算时，应特别注意运算的次序和精度，避免由 于舍入误差的传递导致结果的不准确。在处理大量数据时， 应采用合适的算法和工具，以减少误差的传递。
2023 WORK SUMMARY
有效数字ppt课件
REPORTING
目录
• 有效数字的概念 • 有效数字的取舍规则 • 有效数字在科学计算中的应用 • 有效数字在数据处理中的注意事项 • 有效数字的常见错误与纠正方法 • 有效数字的练习与思考
PART 01
有效数字的概念
定义与特点
定义
有效数字是指在测量中具有实际 意义的数字，包括最后一位不确 定但可以估计的数字。
有效数字及其运算规则
用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。
（2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且 要正确地反映测量的精确程度。 （3）一般有效数字的最后一位数字有±1个单位的 误差。
结果
0.51800 0.5180 0.518
绝对偏差
±0.00001 ±0.0001 ±0.001
相对偏差
±0.002% ±0.02% ±0.2%
（6）运算数字中首位数字≥8，有效数字可
多记一位。
2.4.2
修约规则
1. 为什么要进行修约？
数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。
2. 修约规则：“四舍六入五留双”
（1）当多余尾数≤4时舍去尾数，≥6时进位。
（2）尾数正好是5时分两种情况：
a. b. 若5后数字不为0，一律进位，0.1067534 5后无数或为0，采用5前是奇数则将5进位，5前是偶
有效数字位数
5 4 3
（4）数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用： a. 作普通数字用， 如 0.5180； 5.180 10－1 4位有效数字 b. 作定位用， 如 0.0518；5.18 10－2 3位有效数字
（5）注意点 a. 容量器皿: 滴定管,移液管,容量瓶；4位有效数字 b. 分析天平（万分之一）取4位有效数字 c. 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L d. pH = 4.34，小数点后的数字位数为有效数字位 数；对数值，lgX = 2.38；lg(2.4 102)
§2.4 有效数字及其运算规则
2.4.1 有效数字 数据位数反映测量的精确程度的数字称为
有效数字。
（分析工作中实Biblioteka 上能测量到的数字）例如：读取滴定管上的体积，
02-课件4 有效数字
4.有效数字的运算规则
指数函数：结果有效数字与指数小数点后位数相同（包括小数点后的0）
106.25 1.8 106 100.0035 1.008
三角函数：取位随角度有效数字 sin(30000') 0.5000
cos(20016') 0.9381
4.有效数字的运算规则
➢ 中间运算结果应多保留几位，常数值多取一位，或通过计算器取用； ➢ 五个以上数据求平均值，均值作为中间量，其结果也要先多取一位； ➢ 结果有效数字位数仅取决于测量仪器的精度，不取决于运算过程。
5.实验结果表达的正确书写
x [ x u ( x) ]1 0 n (单 位 )
3.有效数字的修约
约定不确定度取1位有效数字，尾数一律只进不舍；在有效数字运算 时，其尾数的舍和进按下面修约规则：
4舍6入5看右，5后有数进上去 尾数为0向左看，左数奇进偶舍弃
3.有效数字的修约
例：将下列各数字修约为三位有效数字
3.14159 1.22678 1.22504 1.22500 1.23500
本节结束，谢谢观看！
物理实验基础知识
1.4 有效数字
1.4 有效数字
1.有效数字的概念 2.有效数字的科学表示法 3.有效数字的修约 4.有效数字的运算规则 5.实验结果表达的正确书写
1.有效数字的概念
反映被测量大小的带有一位可疑数字的全部数字，指实际能够测量 到的数字。
有效数字反应了仪器的精度，虽可疑、有误差，但在一定程度上反映 了客观实际，因此有效。
2.有效数字的科学表示法
大物实验4有效数字
2 C
2 A
2 C
( 0.1 )2 ( 0.06 )2 0.1cm2
（2） N 62.5 1.234 5.43 58.304( cm 2 )
（3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定 结果的有效数字
N 58.3 0.1cm2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
5.不确定度的结果表达式
N N (单位)
σ取一或两位可疑数字，σ与N的末位一致
a 10.02 0.17cm2或 a 10.0 0.2cm2
b 204.62 0.95cm 或 b 2051cm 3
4
3
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则：
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法
3.乘方与开方
4.函数运算
(1)对数函数
lgx的尾数与x的有效位数相同
例 7 lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
第四节
有效数字及运算法则
一例、：有用效米数尺字测的量一物体般的概长念度
分析化学—定量分析中的误差与数据处理第四节有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字运算规则
BEA Confidential. | 1
一、 有效数字
1．实验过程中常遇到的两类数字
（1）数目：如测定次数；倍数；系数；分数
（2）测量值或计算值。数据的位数与测定准确度有关。
记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测
0.0325
±0.0001/0.0325 100%=±0.3%
5.103
±0.001 /5.103 100%=±0.02%
60.06
± 0.01 /60.06 100%=±0.02%
139.8
±0.1 /139.8 100% =±0.07%
3. 注意点
（1） 分数；比例系数；实验次数等不记位数； （2） 第一位数字大于8时，多取一位，如：8.48，按4位算； （3） 四舍六入五留双； （4） 注意pH计算,[H+]=5.0210 -3 ； pH = 2.299；
量的精确程度。
结果
绝对偏差
相对偏差 有效数字位数
0.51800 ±0.00001 ±0.002%
5
0.5180
±0.0001
±0.02%
4
0.518
±0.001
±0.2%
3
2．数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用：
（1）作普通数字用，如 0.5180 4位有效数字 5.18010－1
（2）作定位用：如 0.0518 3位有效数字 5.1810－2
有效数字按小数点后的位数计算。
内容选择：
•第一节 定量分析中的误差 • 第二节 分析结果的数据处理 • 第三节 定量分析数据的评价 • 第四节 有效数字及其运算规则 • 第五节 标准曲线的线性方程拟合
课目四：有效数字
二
进舍规则
若被舍弃的第一位数字为5，其后无数字 或其后数字全部为0时，则视被保留的末位数 字定进舍： 若被舍弃的第一位数字为5 若被舍弃的第一位数字为5，而其后面的数字并 非全部为零时，则进1 即保留的末位数字加1 非全部为零时，则进1，即保留的末位数字加1。 ⑴被保留的末位数字为奇数时（为1、3、5、 7、9时）则进1。即保留的末位数字加1； ⑵被保留的末位数字为偶数时（为2、4、6、 8、0时）则舍弃。即保留的各位数字不变。
将126624修பைடு நூலகம்成二位有效位数得13进舍规则若被舍弃的第一位数字为5其后无数字或其后数字全部为0时则视被保留的末位数若被舍弃的第一位数字为5而其后面的数字并非全部为零时则进1即保留的末位数字加1
8.5毫米？8.6毫 米？应该是8.55 毫米吧。
有效数字是指测量结果所有的确定（ 有效数字是指测量结果所有的确定（准 数字再加一个不定数字（ 确）数字再加一个不定数字（即估计值或称 可疑值）所组成的一组数字。 可疑值）所组成的一组数字。
跑到你们中间了，这下不但可以定位， 而且还是有效数字哦！
0.1234、1234都是4位有效 数字，12034是5位有效数字
我在后面了还是不是有效数值呢？
“0”在有效数字后时，则属于有效数字，但以
“0”结尾的整数，有效数字的位数不确定。
4500这个数，可能为二位、三位，也可能是四 位，应根据实际有效数字位数书写成： 4.5×1000二位有效数字 4.50×1000三位有效数字 4.500×1000四位有效数字
若被舍弃的第一位数字小于5时 若被舍弃的第一位数字小于 时，则 舍弃。即保留和各位数字不变。 舍弃。即保留和各位数字不变。 例：12.1498修约到一位小数，得12.1； 若12.1798修约成两位有效数，得12。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ni的不确定度
S
N的不确定度
SN ( N i N )2
i 1 n
–
( N
i 1
n
i
N)
2
n1
n( n 1 )
S n
2)B类不确定度的估计: ①.估计方法
估计法
ui
仪
3
②.仪器误差 仪 的确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
电表的最大误差 级别% 电表的满量程
S
i 1
m
2 i
u
j 1
n
2 j
四、不确定度的传递公式
间接测量的不确定度由传递公式计算
f 2 x x
2
f f 2 2 y z ...... y z
2
2
此公式适合于间接测量量与直接测量量是和差形式。
说明:绝对误差只取一位有效数字
2
5.相对误差的表达
N E 100% N
E 1.0% E 1.0%
取一位 取二位
0.05 E1 100% 4.2% 2位有效数 1.20 0.008 E2 100% 0.08% 1位有效数 10.100
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示中， 由若干位可靠数字加一位可疑数 字，便组成了有效数字。
显然有效数字的最后一位是误差所在位.
上述例子中的测量结果均为三位 有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 2 如： 效 12 .04 cm 、20.50m 、1.000 A 等中的0均有效。
指针正好在82mA上：读为82mA
总结:读数前,应先清楚仪器 的误差所在的位置,然后按规 则读数,即可正确确定直接测 量量的有效数字.
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
例1
62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 – 62.5 – + 1.234
————— – –
4M 解： 1.计算测量值 2 8.886( gcm 3 ) D H 2.先计算相对不确定度
首先对
4M D 2 H
两边取自然对数,有:
ln ln 4 ln M ln 2 ln D ln H
再代入间接测量不确定度传递公式:
ln 2 ln 2 ln M D H2 M D H
1.加减法
2.乘除法
例5
————— –– –– 1605 – 1926 – ————— 结果为 21 – –––
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
20.865
例6
_
2121.843=0.96 _
0.961 _ __ _ _ 21843 210000 __ 196587_ _ _ __ _ 134130 131058 30720
又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成 3.2510-5m
这种指数形式的书写法称为科学记数法.
注意:科学记数法有时通过合理换算单位,数据表达 式更简单,可读性好。
如:2.00104HZ写成20.0KHZ,1.2310-12m写成1.23Pm
3.有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
米尺
例3
20.1 + 4.178 = 24.3 – 20.1 – + 4.178
————— – –
–
–
–
24.278
结果为 24.3
–
例4
19.68 - 5.848 = 13.83 – 19.68 – 5.848
————— ––
–
–
–
13.832
结果为 13.83
–
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
均是3位有效数字。
注意：进行单位换算时，有效 数字的位数不变.(指十进制)
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可用科学表达式
某 电 阻 值 为 20000 （ 欧 姆 ） ， 使 用 科 学 记 数 法 写 成 2.0000104 。 若 保 留 三 位 有 效 数 字 时 写 成 2.00104
21843 8877
结果为 0.96
_
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法
运算规则:
乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算 各数中有效数字位数最少的为准。
例7
————— – – –– 4178 – 4178 – ————— 结果为 42.2 ––– –
4.178 10.1 = 42.2 – 4.178 – 10.1
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值范 围内的评定。
不确定度用σ 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围 ( ~ )中 真值以一定的概率被包含在量值范围 ( N ) ( N ) 中
的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。
二、不确定度的分类
再求B类不确定度 u ,由于视为均匀分布,所以用估 电桥 计法计算. uR 1.2()
3
再求合成不确定度
2 R
2 R
R S u 1.2()
最后写出表达式:
R R R (142 1)
例.用复摆公式 T 2 l g，通过测周期T来测 摆长L。如果已知 g 的标准值，并测得T≈2s， 时间测量的极限误差△t = 0.1s，问：让 L的相 对不确定度小于 1.0％，至少应测多少个周期？
解:先求 R:
1 n 142.3 142.7 ...... 142.3 R Ri 142.25() n i 1 10
再用直接测量求A类不确定度 S R
( Ri R) 2
10
SR
0.052 0.452 ...... 0.052 i 1 0.102() 10(10 1) 90
1 l 1 解： 1.0% t nT 2 3nT 2 l t
2 0.1 n 5.8 6 1.0% 3T 0.01 2 3 2 t
t
Hale Waihona Puke t由此算出n≥6(次）
第四节
有效数字及运算法则 （运用篇）
一、有效数字的一般概念
例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
物理意义是：真值在
P 0.683
( N ) ~ ( N ) 范围内
的概率是0.683。
N N 2 (单位)
P 0.954
P 0.997
N N 3 (单位)
4M 根据公式 D 2 H
测量铜圆柱体的密度。
已知：M=45.038±0.004(g), D=1.2420±0.0004(cm), H=4.183±0.003(cm). 试评定 的不确定度 .
42.1978
例8
48216123=392 _ 392 _ _ 123 48216 _ 369 _ 1131 _ 1107 ___ 246 246 0
结果为 392
_
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方
结果的有效数字与其底或被开 运算规则： 方数的有效数字位数相同。
2
3 3.求 的不确定度 0.008( gcm ) 3 4.测量结果表示： 8.886 0.008( gcm )
例:用惠斯登电桥测一物体电阻,其测量值 R 为142.3,1 42.7,141.9,142.4,142.8,142.1,142.0,141.8,142.2, 142.3(单 位是 ).计算电阻 R 的近真值 R ,A类不确定度 S R ,B 类不确定度 u ,合成不确定度 ,并写出结果表达式 (电桥的仪器误差是2 ,误差视为均匀分布).
2 2
M D H 2 M D H
2 2 2 2
2
0.0004 0.003 0.004 2 1.2420 4.183 45.038 9.6 10 4
测量值本身 大小、仪器的准确度
L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
L=2.5153cm （五位有效数字）
螺旋测微计
4.不确定度的表达
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
N N (单位)
a 10.0 0.1cm b 20.02 0.01cm
–
–
–
63.734
结果为 63.7
–
例2
————— ––
63 . 7 - 5. 43 = 58 . 3 – 63. 7 – - 5. 43 58. 27
结果为 58.3
–
–
–
–
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中最靠前出现可疑数的那一位。
(2)指数函数
10x 或ex 的位数和x小数点后的位数 相同（包括紧接小数点后面的0）
例 11
6.25=1778279.41 10 6 1.810
例9
1002=100102
100 10.0 4.02=16 49 7.0 49 7