中考数学倒计时15：二次函数中三角形周长最小值问题
二次函数与三角形周长最值问题
二次函数与三角形周长最值问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个既有趣又实用的话题，那就是二次函数和三角形周长的最值问题。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这些复杂的数学概念变得简单易懂，就像喝水一样容易。
你有没有发现，数学其实就像生活中的调味品，适量的话，能让一切变得更美味。
今天我们就来看看，如何用二次函数来找出三角形周长的最值。
2. 二次函数的基本概念2.1 二次函数是什么？首先，咱们得搞清楚二次函数是什么。
简单来说，二次函数就是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的函数，其中 ( a, b, c ) 是常数，而 ( a neq 0 )。
这个公式的图像通常是一条抛物线，像个笑脸，或者说是个哭脸，真是个多情的家伙。
它的形状和位置全靠那个 ( a ) 的值决定——如果 ( a ) 是正的，它就笑得特别灿烂；如果是负的，那就是个忧伤的小抛物线。
2.2 如何求最值？在二次函数中，最值也就是我们常说的“顶点”。
顶点的横坐标可以用公式 ( x = frac{b{2a ) 来计算。
得到横坐标后，把它带回原方程，就能算出对应的纵坐标。
这样一来，我们就能轻松找到函数的最大值或最小值，就像捡到了一个大便宜。
3. 三角形周长的计算3.1 三角形的周长公式接下来，我们来聊聊三角形的周长。
三角形的周长简单来说就是三条边的长度加起来。
无论你是直角三角形、等边三角形还是其他类型，周长都是那个公式：( P = a + b + c )，其中 ( a, b, c ) 就是三条边的长度。
很简单吧？不过，别忘了，边的长度可不是随便定的哦，得满足三角形不等式。
3.2 周长与二次函数的关系现在问题来了，怎么把周长和二次函数联系起来呢？我们可以设定一条边的长度为( x )，另外两条边用 ( y ) 和 ( z ) 表示。
然后通过一些简单的代数变换，把三角形的周长表达为 ( P(x) = x + f(x) )，其中 ( f(x) ) 是个二次函数，表示与 ( x ) 相关的边长。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法精编版
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
BO
易知，△BOC≈△PFE，所以PF
OC FE
BC PE
F E
因为OB=OC=3，所以PF EF 2 PE
2
所以C△PEF =( 2 1)PE
拓展： 如图1,含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法
30°
如图1
如图2
如图2，任意角的直角三角形周长最大值的求法
做法：
1.作A点关于对称轴的对称点对称点B
2.链接CB与对称轴的交点就是我们做 要求的G点的位置
G
3.连接AG
G 4.此时的△ACH的周长最小
（2）在直线BC上是否存在点H，使得△ACH的周长最小，若存在，
求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由。
做法：
M
1.作A点关于直线BD的对
第二部分 基本题型及解法
例题
1. 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 45°角的直角三角形周长最大值的求法 例1：（1）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），
B（3，0），C（0，﹣3）．如图，点P是直线BC上方抛物线上一动
点．过点P作PE平行y轴交BC于点E，作PF垂直BC交BC于点F，是否 存在点P，使△PEF的周长最大？若存在，求出△PEF周长最大值，并
最短路线。
做法：
1.作B点关于河岸的对称点对称点B1
P A'
Q
B' 2.作A点关于草坪边的对称点对称点A1 3.链接A1B1与河岸，草坪边相交于点P，Q，此时的交点 就是我们做要找的点的位置
A B
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
中考数学倒计时16：二次函数中四边形周长最小值问题
中考数学倒计时16：二次函数中四边形周长最小值问题（1）直接利用顶点式得到y=a（x-1）²+4，将点B代入求出解析式y=-（x-1）²+4，再变为一般式y=-x²+2x+3，（2）这一问求四边形的周长最小值，同学们平时可能见得比较多的是三角形的周长最小值，突然见到四边形周长，估计会一下子不知道如何去解决，我们先来看题中给出的点E有什么用，横坐标为2，那么纵坐标可以求出是4，和点D一样，那么点D和E关于对称轴对称，那么GD=GE，还差GH和HF，而DF是定值，所以只要其他三段的和最小即可；我们看GH+HF什么时候最小呢？找到点F关于x轴的对称点F'，那么肯定是G、H、F'三点共线的时候，和最小，GH+FH=GF'，再来看GD=GE，那么GD+GH+HF=GE+GH+HF'，什么时候这三段相加最小呢？四点共线的时候，所以点G和H的位置可以确定了，首先求出直线F'E的解析式，然后分别于x轴和对称轴相交求出H和G 的坐标，而四边形的周长=DF+EF'求出即可；（3）首先作出图形，△DNM∽△BMD，对应角∠DMN=∠BDM，∠MND=∠BMD，∠MDN=∠DBM，MN：DM=DM：BD，即DM²=MN·BD，设点T的横坐标为t，那么M（t，0），B（3，0），D（0,3），∠OBD=45°，∠AMN=45°，MN=DM²/BD=（9+t²）/BD，（BD带根号2，就不再给出了）∴然后根据MN的长度和∠AMN=45°可以表示出N的横纵坐标，然后点N在直线AD上，代入直线AD的解析式，解二元一次方程，得到两个t都是正数，但有一个会不适合，扔掉即可；最后的结果老师计算了一下t=1.5；再计算出点T的坐标即可；这道题可以说似难非难，只要思考到位，基本上是可以很清晰找到思路的。
二次函数中周长最小的问题
3.求点Q的坐标
B，
A
O
B
X
Q
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B(3,0)两点，与Y轴
交于C,(1)求m的值及抛物线的顶点坐标
0
（2）设点P是抛物线对称轴l上的
一个动点，当△PAC周长的最小
值时，求点P的坐标
Y
O
X
C
A
1
5
文昌市华侨中学郑鼐庆
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3)，对称轴为直线l
(2)已知点P是对称轴上的动点，是否存在点P
使得△PAC的周长最小?若存在，求出点P的坐标；
若不存在请说明理由
Y
l
解答
C
A O
B
X
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3)，对称轴为直线l
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何
值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：二次函数中周长最小值的问题的解题思 路？
1.确定点Q的位置
取其中一个定点关于相应直线的对称点 Y
连接对称点与另一个定点
所连线段与已知直线的交点为所求点
2.求点Q所在直线
C
的解析式
使得PC-PA的值最大?若存在，求出点P的坐标；
若不存在请说明理由
Y
l
C
A O
B
X
文昌市华侨中学郑鼐庆
16 中考专题三角形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原卷版)
专题16 三角形周长求最值问题1．（2021·四川成都龙泉驿·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点(1,4)M -，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，与直线2y kx k =--相交于D ，E 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）当5BDE ADE S S =△△时，求k 的值；（3）如图2，作//DF y 轴交EM 的延长线于F ，当ACF 的周长最小时，求点F 的坐标．2．（2021·湖北大冶·中考二模）如图，抛物线的顶点为()0,1A -，与x 轴交于点()B -，点()0,1F 为y 轴上的一个定点．点()P m n ,是抛物线上一动点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点()0,3C -且垂直于y 轴的定直线，若点()P m n ,到直线l 的距离为d ，求证：PF d =； （3）已知坐标平面内一点()2,3D ，求PDF 周长的最小值，并求出此时P 点坐标．3．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则当t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？4．（2021·辽宁沈阳·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线333=-+y x 与抛物线233y ax bx =+-交于点()2,A n 和点()2,B k -，与y 轴交于点E ，抛物线交y 轴于点C ，点P 是第一象限直线AB 上方抛物线上的一点，连接PA ，PE ． （1）求抛物线的表达式； （2）当APE 的面积等于533时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值； （3）将线段EC 绕点E 顺时针旋转得到线段EF ，旋转角为()0120αα︒<<︒，连接AF 交线段EC 于点G ，FEC ∠的平分线交AF 于点H ，当EFH △的周长最大时，直接写出点H 的坐标．5．（2021·山东济南·中考二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．6．（2021·山西洪洞·中考二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ． （1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·黑龙江讷河·九年级期末）综合与探究如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B．C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积；（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x12=-．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．（1）求抛物线的解析式．（2）求PQG周长的最大值及此时点P的坐标．（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020·吉林长春·中考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象交x轴于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为E．（1）如图1，求线段AB的长度（用含a的式子表示）及抛物线的对称轴；（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P点坐标；如果不能，请说明理由；（3）如图3，当a＝3时，若M点为x轴上一动点，连结MC，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连结AC、CN、AN，则△ACN周长的最小值为多少？10．（2021·山东惠民·九年级期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点(2,6)C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB 的函数解析式为______，点M 的坐标为______，sin ACO ∠=______． （3）在y 轴上找一点Q ，使得AMQ △的周长最小．请求出点Q 的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点N ，使以点A 、O 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2020·广东·佛山市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在线段BC上是否存在点E，使△BOE与△ABC相似？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，简要说明理由．。
专题16 三角形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题16 三角形周长求最值问题1．（2021·四川成都龙泉驿·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点(1,4)M -，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，与直线2y kx k =--相交于D ，E 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）当5BDE ADE S S =△△时，求k 的值；（3）如图2，作//DF y 轴交EM 的延长线于F ，当ACF 的周长最小时，求点F 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）32k =-或23-；（3）1(3-，6)-【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当点H 在线段AB 上时，过点A 、B 分别作直线//m DE 、//n DE ，由5BDE ADE S S ∆∆=时，则:1:5AH HB =，求出点1(3H -，0)，进而求解；当点H 在BA 的延长线时，同理可解；（3）求出点F 的坐标为(,6)m -，即点F 为直线6y =-上的一个动点，过点C 作直线6y =-的对称点(0,9)C '-，连接AC '交直线6y =-于点F ，则点F 为所求点，进而求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为2()y a x h k =-+， 则22(1)424y a x ax ax a =--=-+-， 即43a -=-，解得1a =，∴抛物线的表达式为223y x x =--；（2）设DE 交x 轴于点H ， 当点H 在线段AB 上时，过点A 、B 分别作直线//m DE 、//n DE ，5BDE ADE S S ∆∆=时，则:1:5AH HB =，即1124663AH AB ==⨯=，则点1(3H -，0)，将点H 的坐标代入2y kx k =--得：1023k k =---，解得32k =-；当点H 在BA 的延长线时， 同理可得：23k =-，综上，32k =-或23-；（3）设点D 、E 的坐标分别为2(,23)m m m --、2(,23)n n n --， 则点F 的横坐标为m ，联立直线2y kx k =--和抛物线表达式并整理得：2(2)(1)0x k x k -++-=， 则2m n k +=+，1mn k =-，由点E 、M 的坐标得，直线EM 的表达式为(1)3y n x n =---， 当x m =时，(1)3()31236y n x n mn m n k k =---=-+-=----=-， 即点F 的坐标为(,6)m -，即点F 为直线6y =-上的一个动点， 过点C 作直线6y =-的对称点(0,9)C '-，连接AC '交直线6y =-于点F ，则点F 为所求点，理由：ACF ∆的周长AC CF AF AC C F AF AC AC =++=+'+=+'为最小， 由点A 、C '的坐标得，直线AC '的表达式为99y x =--， 当699y x =-=--时，13x =-，故点F 的坐标为1(3-，6)-． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．（2021·湖北大冶·中考二模）如图，抛物线的顶点为()0,1A -，与x 轴交于点()22,0B -，点()0,1F 为y 轴上的一个定点．点()P m n ,是抛物线上一动点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点()0,3C -且垂直于y 轴的定直线，若点()P m n ,到直线l 的距离为d ，求证：PF d =；（3）已知坐标平面内一点()2,3D ，求PDF 周长的最小值，并求出此时P 点坐标．【答案】（1）21=18y x -；（2）证明见解析；（3）6+P （2，-12）【分析】（1）根据条件选择设顶点式解析式，然后代入已知点坐标即可求出解析式；（2）根据点的坐标，利用勾股定理表示出PF 的长度，结合抛物线解析式，从而得到PF 长度与n 的关系式，再利用n 表示出d 的值，进而可以找到PF 与d 的关系；（3）借助（2）中得到的结论转化得到，当PD 所在直线垂直l 时，PF +PD 的最小值，即△PDF 周长最小，再求出P 点坐标即可． 【详解】解：（1）由顶点（0，-1），可设抛物线方程为21y ax =-，∵过()-， ∴代入解得a =18，∴抛物线解析式为21=18y x -；（2）证明：已知P 、F 的坐标，∴PF = ∵P 在抛物线上， ∴21=18m n +，∴3PF n +（n ＞-1）， 又P 点到l 的距离d =n +3，∴PF=d ，（3）△PDF 的边长中DF 长度根据勾股定理求出为P 位置改变， ∴PD +PF 最小时，周长最小， 根据（2）可知PF =d ，∴当DP ⊥l 时，PD +PF 最小，且最小值为6， ∴P 点横坐标为2，∴△PDF 周长最小为6+P 点坐标为（2，-12）． 【点睛】本题考查了求抛物线的解析式，勾股定理，求最值等知识内容，对学生的做题灵活性要求较高，属于中考常考题．3．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则当t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）223y x x =--+；（2）见解析，P (-1，2)；（3）32t =-，758【分析】（1）先求点C 的坐标，再将点B 、点C 的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数b 、c 的值，问题即解决；（2）根据轴对称的性质，先画出点P 的位置，求出直线AC 的函数关系式，则直线AC 与抛物线的对称轴的交点即为P 的坐标；（3）四边形AQCB 的面积由△ABC 和△AQC 的面积组成，其中△ABC 的面积为定值，可知需要把△AQC 的面积用含t 的代数式表示出来，再求四边形AQCB 的最大值． 【详解】（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线1x =-， ∴12(1)b-=-⨯-．∴b =-2．∵点B （1，0）在二次函数2y x bx c =-++的图象上， ∴21(2)10c -+-⨯+=． ∴3c =．∴二次函数的解析式为223y x x =--+．（2）由（1）知二次函数的解析式为223y x x =--+．令0x =，得3y =． ∴点C 的坐标为（0，3）．由题意，可得点B （1，0）与点A （-3，0）关于直线1x =-对称．∴要在直线1x =-上找一点P 使△PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与P A 的和最小的问题． ∵在连接AC 的线中，线段AC 最短．∴直线AC 与直线1x =-的交点就是所要找的点P （如图1）设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，则有30,3.m n n -+=⎧⎨=⎩ ∴ 1,3.m n =⎧⎨=⎩∴3yx ．由3,1y x x =+⎧⎨=⎩得点Ｐ的坐标为（-1，2）． （3）如图2．过点Q 作QF x ⊥轴，垂足为F ， 直线AC 与直线QF 交于点E ．则ABC ACQ AQCB S S S ∆∆=+四边形． ∵ABC 1143622S AB OC ∆=⋅⋅=⨯⨯=， ACQ AQE CQE S S S ∆∆∆=+11132222QE AF QE OF QE OA QE =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅． 又∵点Q 的横坐标为t ．∴ 点Q 和点E 的纵坐标分别为223t t --+和3t +． ∴2223(3)3QE t t t t t =--+-+=--． ∴()2AQCB 3632S t t =+--四边形223933756()22228t t t =--+=-++．由题意知: 30t -<<．∴当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线来表示四边形的面积，是解决本题的关键．4．（2021·辽宁沈阳·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线=y 与抛物线2y ax bx =+交于点()2,A n 和点()2,B k -，与y 轴交于点E ，抛物线交y 轴于点C ，点P 是第一象限直线AB 上方抛物线上的一点，连接PA ，PE ．（1）求抛物线的表达式；（2）当APE 时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值； （3）将线段EC 绕点E 顺时针旋转得到线段EF ，旋转角为()0120αα︒<<︒，连接AF 交线段EC 于点G ，FEC ∠的平分线交AF 于点H ，当EFH △的周长最大时，直接写出点H 的坐标．【答案】（1）2y =--（2）3m =；（3）23⎛- ⎝⎭【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，代入2y ax bx =+（2）如图1，过点P 作//PK y 轴交直线AB 于点K ，设2(P m ，则(,K m ，由APE EPK APK S S S ∆∆∆=-，即可求得答案； （3）如图2，根据题意可得出120EHF ∠=︒，连接CH ，先证明CEH FEH ∆≅∆，作CEH ∆的外接圆W ，点H 始终在W 的劣弧CHE 上移动，当点H 为CHE 的中点时，CEH ∆的周长最大，即EFH ∆的周长最大，此时AH EC ⊥，利用三角函数定义即可求出答案． 【详解】解：（1）在直线=+y当2x =时，2y =，当2x =-时，(2)y =-=A ∴，(B -，抛物线2y ax bx =+A，(B -，∴4242a b a b ⎧+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的表达式为2y x =--（2）如图1，过点P 作//PK y 轴交直线AB 于点K ，设2(P m，则(,K m ，22(PK ∴=， APE EPK APK S S S ∆∆∆∴=-11(2)22PK m PK m =⋅-⋅-2∴2解得：3m =或3m =-，P 是第一象限的点，0m ∴>，3m ∴=；（3）在2y =0x =，得y =(0,C ∴，在=y 中，令0x =，得y =E ∴，OE ∴=(EC =，(0AE =AE EC EF ∴===设直线=+y x 轴交于M ，则(3,0)M ， 3∴=OM ，tanOM MEO OE ∴∠== 60MEO ∴∠=︒，120BEO ∴∠=︒，CEF α∠=， 60AEF α∴∠=+︒，AE EF =， 18016022AEF AFE EAF α︒-∠∴∠=∠==︒-， EH 平分FEC ∠，1122FEH CEH FEC α∴∠=∠=∠=，11606022AHE FEH AFE αα∴∠=∠+∠=+︒-=︒，120EHF ∴∠=︒，如图2，连接CH ，在CEH ∆和FEH ∆中，EC EF CEH FEH EH EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CEH FEH SAS ∴∆≅∆， 120CHE FHE ∴∠=∠=︒，作CEH ∆的外接圆W ，点H 始终在W 的劣弧CHE 上移动，当点H 为CHE 的中点时，CEH ∆的周长最大，即EFH ∆的周长最大，此时AH EC ⊥，90EGH ∠=︒，60EHG ∠=︒，30HEG ∠=︒，EG GC =2tan tan303GH EG HEG ∴=⋅∠=︒=，423EH GH ==，OG OE EG ∴=- CEH ∴∆的周长最大值423=⨯H 的坐标为2(3-．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角函数定义等，属于中考压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握二次函数图象和性质、全等三角形判定和性质等相关知识，合理添加辅助线是解题关键．5．（2021·山东济南·中考二模）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3的图象与x 轴交于点A （1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使△AMC 的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ，使△FCG 是等腰三角形，直接写出P 的横坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）M （2，-1）；周长最小为（3）P 的坐标是：（5，0）或（4，0）或（30）或（0）【分析】1）将A （1，0）和B （3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得到二元一次方程组求解即可；（2）求出C 坐标及BC 解析式，BC 与对称轴交点即为M ，AC +BC 即是△AMC 的最小周长；（3）设P （m ，0），用m 表示出△FCG 的三边长，分类列方程求解．【详解】解（1）将A （1，0）和B （3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：030933a b a b =+-⎧⎨=+-⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）连接BC 交直线DE 于M ′，如答图1：抛物线的解析式y ＝﹣x 2+4x ﹣3中令x ＝0得y ＝﹣3，令y ＝0得x ＝1或3，∴C （0，﹣3），A （1，0），B （3，0），且顶点D （2，1），对称轴x ＝2，∴AC ，BC ＝△AMC 的周长最小，即是AM +CM 最小，而M 在对称轴上，∴AM ＝BM ，AM +CM 最小就是BM +CM 最小，此时M 与M ′重合，AM +CM 最小值即是BC 的长度即AM +CM 最小值为，∴△AMC 的周长最小为设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将C （0，﹣3），B （3，0）代入得：303n k n -=⎧⎨=+⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，令x ＝2得y ＝-1，∴M （2，-1）；（3）设P （m ，0），∵过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ，∴F （m ，﹣m 2+4m ﹣3），G （m ，m ﹣3），而C （0，﹣3），∴CF 2＝m 2+（﹣m 2+4m ）2，CG 2＝m 2+m 2＝2m 2，FG 2＝（﹣m 2+3m ）2，△FCG 是等腰三角形，分三种情况：①CF ＝CG 时，m 2+（﹣m 2+4m ）2＝2m 2，解得m ＝0或m ＝3或m ＝5，m ＝0时F 、G 与C 重合，舍去；m ＝3时，F 、G 与B 重合，舍去，∴m ＝5，P （5，0），②CF ＝FG 时，m 2+（﹣m 2+4m ）2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m ＝0（舍去）或m ＝4， ∴P （4，0），③CG ＝FG 时，2m 2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m ＝0（舍去）或m ＝3或m ＝，∴P （3，0）或P （0），总上所述，△FCG 是等腰三角形，P 的坐标是：（5，0）或（4，0）或（30）或（0）．【点睛】本题考查二次函数、等腰三角形及线段和的最小值等知识点，解题关键是设出坐标表示线段长度，分类列方程求解．6．（2021·山西洪洞·中考二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4y x =+；（2）0t =或4t =（3）存在，3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的解析式可以求出点A 和点C 坐标，把点A 和点C 的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；（2）由题意可得点P 的坐标，从而可得点D 的坐标，故可求得ED 的长，再由A 、C 的坐标可知：OA =OC ，即△AOC 是等腰直角三角形，因DP ⊥x 轴，故△AEP 也是等腰直角三角形，可分别得到AC 、AE 的长，故可得EC 的长，由题意EC =ED ，即可得关于t 的方程，解方程即可；（3）由EP =AP ，得EBP C EP BP BE AP BP BE AB BE =++=++=+△，AB 是定值，周长最小，就转化为BE 最小，根据垂线段最短就可确定点P 的特殊位置，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B ，交y 轴于点C ，∴当0x =时，4y =，即()0,4C ，当0y =时，2340x x --+=，14x =-，21x =，即()4,0A -，()10B ,， 设直线AC 的解析式为：y kx b =+则044k b b =-+⎧⎨=⎩， ∴14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式：4y x =+．（2）∵点P 沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴OP t =，(),0P t -，∵DP x ⊥轴，∴(),4E t t --+，()2,34D t t t --++，∴24DE t t =-+∵()4,0A -，()0,4C ，∴4OA =，4OC =，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴45CAO ∠=︒，由勾股定理得：AC =∵DP x ⊥轴，在Rt APE 中，45CAP ∠=︒，∴△AEP 也是等腰直角三角形，∴4AP PE t ==-，)4AE t -，∴EC AC AE =-=，∴当24t t -+=时，即0t =或4t =EC ED =．（3）在Rt AEP △中，45OAC ∠=︒，∴AP EP =，∴EBP △的周长：EP BP BE AP BP BE AB BE ++=++=+．∴当BE 最小时EPB △的周长最小．当BE AC ⊥时，BE 最小，∵()10B ,， ∴5AB =，在Rt AEB 中，90AEB =︒∠，45BAC ∠=︒，5AB =，BE AC ⊥， ∴1522PB AB ==， ∴32OP PB OB =-=， ∴3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．7．（2021·黑龙江讷河·九年级期末）综合与探究如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B．C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积；（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）点D的坐标为（1，－2）；（3）△FEC的面积为2；（4）存在，P1（0，3），P2（－2，－3），P3（6，－3）．【分析】（1）将点B（3，0），C（0，－3）代入抛物线y＝x2－bx＋c，求得b,c即可求解；C＝AC＋AD＋CD＝AC＋（2）求出D点的横坐标为1，当点B、D、C在同一直线上时，ACDBD ＋CD ＝AC ＋BC 最小，再求出直线BC 的解析式，即可求D 点坐标；(3)根据点和平行线的性质，先得出线段CE 和EF 的长以及∠CEF =90°即可求得△FEC 的面积； （4）【详解】解：(1) 将点B （3，0），C （0，－3）代入抛物线y ＝x 2－bx ＋c ，得，930-3b c c ⎧⎨⎩－＋＝＝ ，解得2-3b c ⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)如图：由y ＝x 2－2x －3得对称轴为x ＝-2b a =-2-21⨯ =1 ∵点A ，.B 关于x ＝1对称，∴连结BC 与对称轴为x ＝1的交点就是符合条件的点D ，设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将B (3，0)，C (0，－3)代入解析式得303m n n ⎧⎨⎩＋＝＝－ ，解得13m n ⎧⎨⎩＝＝－， ∴y ＝x －3当x ＝1时，y ＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)；(3)如图：∵E(2，-3)，C(0，-3)∴CE∥x轴，且CE=2∵EF//y轴交线段BC于点F且BCl:y＝x－3当x=2时，y=-1，∴F(2，-1)∴EF=2，又∵∠CEF=90°∴12CEFS CE EF=⋅= 12×2×2=2；(4) 存在，如图：①当AB为边长，BE为边长，如图四边形ABE P1为平行四边形∵对称轴为x＝1，B（3，0）∴1×2-3=-1∴A(-1，0)AB=3-（-1）=4∴P1E=AB=4∵E(2，-3)∴C P1= P1E-CE=4-2=2∴P1 (－2，－3)②当AB 为边长，AE 为边长，∵E P 2=AB =4∴C P 2= P 2E +CE =4+2=6∴P 2 (6，－3)③当AB 为对角线，四边形ABE P 1为平行四边形∵四边形ABE P 1为平行四边形易得P 3恰好交y 轴∴P 3(0，3)综上所述，P 1 (－2，－3)，P 2 (6，－3)，P 3(0，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想．8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG ⊥AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y 12=-x 212-x +3；（2）)9108，P (32-，218)；（3）存在，Q 1(，3)，Q 2(﹣1，2)【分析】（1）将已知点B （2，0）代入，抛物线对称轴为直线x 12=-，即b 12a 2-=-，联立方程组，求出a ，b ，即可确定二次函数的解析式；（2）首先根据△PQG是等腰直角三角形，设P（m，12-m212-m+3）得到F（m，m+3），进而得到PQ12=-m212-m+3﹣m﹣312=-m212-m，从而得到△PQG周长12=-m212-m（12-m212-m1）（12-m212-m），配方后即可确定其最大值；（3）利用两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，根据等腰三角形的性质分3类讨论，联立方程组即可求得Q．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x12 =-，∴4230b12a2a b++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴y12=-x212-x+3．（2）令y＝0，即12-x212-x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则033k bb=-+⎧⎨=⎩，∴13kb=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，设P（m，12-m212-m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ12=-m212-m+3﹣m﹣312=-m212-m2139(m)228=-++，∴当m 32=-时，PQ max 98=，此时P （32-，218）， ∵△PQG 是等腰直角三角，∴△PQG 周长12=-m 212-m 12-m 212-m ），1）（12-m 212-m ），1）PQ ，∴△PFG 周长的最大值为：981）． （3）∵B （2，0），C （0，3），Q （m ，m +3），由两点间距离公式可求得：CQ 2＝2m 2，CB 2＝13，BQ 2＝2m 2+2m +13，①当CQ ＝CB 时，∴2m 2＝13，∴m 1=，m 2=∴Q 1（，3）； ②当BQ ＝CB 时，∴2m 2+2m +13＝13，∴m 1＝0（舍去），m 2＝﹣1，∴Q 2（﹣1，2）；③当CQ ＝BQ 时，∴2m 2+2m +13＝2m 2，∴2m +13＝0，∴m 132=-， ∴Q 3（132-，72-）（不合题意舍去），综上所述，当Q 1（3），Q 2（﹣1，2）时，以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．9．（2020·吉林长春·中考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+3x ﹣a 2+a +2（a ＞1）的图象交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为E ．（1）如图1，求线段AB 的长度（用含a 的式子表示）及抛物线的对称轴；（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P ，使得以A 、B 、E 、P 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P 点坐标；如果不能，请说明理由； （3）如图3，当a ＝3时，若M 点为x 轴上一动点，连结MC ，将线段MC 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MN ，连结AC 、CN 、AN ，则△ACN 周长的最小值为多少？【答案】（1）AB ＝2a ﹣1，抛物线的对称轴为x ＝﹣32；（2）存在，P 点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）或（﹣32，﹣94）；（3） 【分析】（1）当y ＝0时，x 2+3x ﹣a 2+a +2＝0，则[x ﹣（a ﹣2）][x +（a +1）]＝0，解得x ＝a ﹣2，或x ＝﹣a ﹣1，进而求出AB 的长度和抛物线的对称轴；（2）由抛物线的图象经过原点，a ＞1，得出a ＝2，此时A （﹣3，0），B （0，0）， E （-32，﹣94），①若AB 为平行四边形的边，则P 点坐标为（32，﹣94）或（92 ，﹣94）；②若AB 为平行四边形的对角线，则P 点坐标为（﹣32，﹣94）； （3）当a ＝3时，y ＝x 2+3x ﹣4，设M （t ，0），证△MNE ≌△CMF （AAS ），得出MF ＝CF ＝OM ＝﹣t ，EN ＝MF ＝OC ＝4，证出点N 在直线l ：y ＝﹣x +4上运动，设直线l 交x 轴于点G ，则G （4，0），若使△ACN 的周长最小，即使AN +CN 最小，作点A 关于l 的对称点A '，连接A 'C，则AN ＝A 'N ，得出AN +CN 最小＝A 'C ，求出AG ＝8，AA '＝AC ＝定理得出A 'C ＝【详解】解：（1）当y ＝0时，x 2+3x ﹣a 2+a +2＝0，∴[x ﹣（a ﹣2）][x +（a +1）]＝0，∴x ＝a ﹣2，或x ＝﹣a ﹣1，∵点A 在点B 左侧，∴A （﹣a ﹣1，0），B （a ﹣2，0），∴AB ＝a ﹣2﹣（﹣a ﹣1）＝2a ﹣1，抛物线的对称轴为x＝122a a--+-＝﹣32，即抛物线的对称轴为x＝﹣32；（2）存在，理由如下：∵抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象经过原点，a＞1，∴﹣a2+a+2＝0，解得：a＝2，或a＝﹣1（舍去），∴a＝2，∴A（﹣3，0），B（0，0），y＝x2+3x＝（x+32）2﹣94，∴E（﹣32，﹣94），分情况讨论，如图2所示：①若AB为平行四边形的边，则P点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）；②若AB为平行四边形的对角线，则P点坐标为（﹣32，﹣94）；综上所述，在平面内存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形成为平行四边形，P点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）或（﹣32，﹣94）；（3）当a＝3时，y＝x2+3x﹣4，此时A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），∴OA＝4，OC＝4，设M（t，0），∵将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，∴OM＝﹣t，过点M作EF⊥x轴，过点N作NE⊥EF于点E，过点C作CF⊥EF于点F，如图3所示：则∠MEN＝∠CFM＝90°，由旋转的性质得：MN＝MC，∠CMN＝90°，∴∠EMN+∠CMF＝∠CMF+∠FCM＝90°，∴∠EMN＝∠FCM，在△MNE和△CMF中==MEN CFMMN CM MN CM⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠E∠F，∴△MNE≌△CMF（AAS），∴MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，∴点N的横坐标为N x＝4+t，点N的纵坐标为N y＝﹣t，∴y＝﹣x+4，∴点N在直线l：y＝﹣x+4上运动，设直线l交x轴于点G，则G（4，0），若使△ACN的周长最小，即使AN+CN最小，∴作点A关于l的对称点A'，连接A'C，A'N，则AN＝A'N，当A'、N、C三点共线时，AN+CN最小＝A'C，由题意得：∠A'AO＝45°，∠CAO＝45°，∴∠CAA'＝90°，∵G（4，0），∴AG＝OA+OG＝8，AA'＝∵AC∴A'C∴A'C+AC＝∵△ACN的周长＝AN+CN+AC，∴△ACN周长的最小值为A'C+AC＝【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．10．（2021·山东惠民·九年级期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点(2,6)C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB 的函数解析式为______，点M 的坐标为______，sin ACO ∠=______． （3）在y 轴上找一点Q ，使得AMQ △的周长最小．请求出点Q 的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点N ，使以点A 、O 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =+；（2）4y x =+；（-2，-2）（3）点40,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）存在，点(2,6)N -． 【分析】（1）利用待定系数法，将点A 、C 的坐标代入抛物线，解方程组求解即可；（2）由OA OB =，求出点B 的坐标，利用待定系数法求直线AB 的解析式；利用对称轴公式2b x a=-求出抛物线的对称轴，再将对称轴代入到抛物线解析式求出顶点的纵坐标即求出顶点M 的坐标；设抛物线的对称轴交AB 于点E ，证得OE ⊥AB ，利用正弦定义求得sin ACO ∠； （3）作点M 关于y 轴的对称点'A ，连接'MA ，交y 于点Q ，则点Q 即为所求作的点，用待定系数法求出直线'AA 的解析式，再把x =0代入即可求出点Q 的坐标；（4）先根据题意画出图形，再求出点N 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得20b c =⎧⎨=⎩故抛物线的表达式为：2122y x x =+； （2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为：(),0y kx b k =+≠，044k b b =-+⎧∴⎨=⎩ ，解得，14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的表达式为：4y x =+； 对于2122y x x =+，函数的对称轴为221222b x a =-=-=-⨯， 把x =2代入2122y x x =+，()()2122222y =⨯-+⨯-=- ∴顶点(2,2)M --；如图，设抛物线的对称轴交AB 于点E ，连接OE ，把x =-2代入4y x =+，得y =2，(2,2)E ∴-，E ∴为线段AB 的中点，OE =在Rt AOB 中，OA =OB ，OE AB ∴⊥，(2,6)C ，OC ∴=在RtOCE中，sin 5OE ACO OC ∠===故答案为：4y x =+；（-2，-2）（3）如图，作点A 点关于y 轴的对称点'A ，连接MA'，交y 轴于Q 点，则点Q 即为所求作的点 ，连接AM ，MQ ，此时AMQ △的周长最小，设直线A M '的表达式为：11y k x b =+，则11114022k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得111343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故直线A M '的表达式为：1433y x =- 令0x =，则43y =-，故点40,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （4）存在.依题意画出AOCN ，设点N 的坐标为（-2，n ），当,AO NC AN OC == 时，四边形AOCN 是平行四边形，6n ∴=，所以N 的坐标为()2,6-故点(2,6)N -．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查出待定系数法求函数的解析式，轴对称，二次函数的性质，三角函数，用勾股定理求两点的距离，平行四边形的判定等知识，根据题意求二次函数和一次函数的解析式及利用轴对称求三角形周长最小是解本题的关键．11．（2020·广东·佛山市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在线段BC 上是否存在点E ，使△BOE 与△ABC 相似？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，简要说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式：223y x x =-++；直线AC 的解析式：33y x +＝；（2）点M 的坐标为(0，3)；（3）存在，符合条件的点P 的坐标为720,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）存在点E ，坐标为39,44⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1，2)【分析】（1）设交点式()()13y a x x =+-，展开得到22a -=，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB +MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB ′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为13y x b =-+，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为133y x =-+，再解方程组213323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩得此时P 点坐标；当过点A 作AC的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标；（4）分∠BOE =∠BAC 和∠BOE =∠BCA 两种情况讨论，分别求得点E 的坐标即可．【详解】（1）设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，即223y ax ax a =--，∴22a -=，解得1a =-，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；当0x =时，2233y x x =-++=，则C （0，3），设直线AC 的解析式为3y px =+，把A （-1，0）代入得：03p =-+，解得3p =，∴直线AC 的解析式为33y x =+；（2）∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），∵MB =MB ′，∴MB +MD =MB ′+MD =DB ′，此时MB +MD 的值最小，而BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小，同理可求得直线DB ′的解析式为3y x ，当0x =时，33y x ， ∴点M 的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，∵直线AC 的解析式为33y x =+，∴直线PC 的解析式可设为13y x b =-+， 把C （0，3）代入得b =3，∴直线PC 的解析式为133y x =-+， 解方程组213323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，得：03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则此时P 点坐标为(73，209)； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线AP 的解析式可设为13y x d =-+， 把A （-1，0）代入得：()113y d =-⨯-+， 解得：13d =-，∴直线AP 的解析式为1133y x =--， 解方程组2113323y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=-++⎩， 得：10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则此时P 点坐标为(103，139-)，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，139-)； （4）存在．∵A (-1，0)，B (3，0)，C （0，3），则AB =4，BC 同理求得直线BC 的解析式为：3y x =-+， 设点E 的坐标为(x ，3x -+)，当∠BOE =∠BAC 时，△BOE ~△BAC ， 过点E 作OB 的垂线交OB 于F ，如图，∵∠BOE =∠BAC ，∠OFE =∠AOC =90︒， ∴Rt △EOF ~Rt △CAO ， ∴EF OF OC AO =，即331x x -+=， 解得：34x =， ∴此时点E 的坐标为(34，94)； 当∠BOE =∠BCA 时，△BOE ~△BCA ， 过点E 作OB 的垂线交OB 于F ，如图，∵△BOE ~△BCA ， ∴BE OBAB BC =，即4BE =，∴BE =在Rt △EBF 中，BE EF =3x -+，3BF x =-，∴()()(22233x x -++-=解得：1215x x ==，(舍去)，∴此时点E 的坐标为(1，2)；综上所述，符合条件的点E 的坐标为(34，94)或(1，2)； 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；相似三角形的判定和性质；用分类讨论的思想解决数学问题．。
备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题09 二次函数中线段周长最值及定值问题(原卷版)
专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L 上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB ，与直线L 交于点P ，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L 上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’，延长射线AB’，与直线L 交于点P ，|PA-PB|最大值为AB’二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
202X年12月20日
目 录
二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题的态度 基本题型及解法 1 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 含有45°角的直角三角形周长最大值的求法 含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法 任意角的直角三角形周长最大值的求法 2 两个动点在抛物线上求四边形周长最大值 3 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值 4 两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值 5 两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值 三 . 方法总结
E‘
D’
N
E
M
做法：
1.作E点关于X轴的对称点对称点E’
2.作D点关于y轴的对称点对称点D’
3.链接D’E’与x轴，y轴相交于点M，N，此时的交点就是我们做要找的点的位置
4.连接EM，DN
5.此时四边形的周长最小
02
第三部分 方法总结
方法总结
运用相关知识和方法求出几何图形的最值
若求最小值，找准定点所在的直线
4.两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值
“将军饮马”模型——两次对称（一定点两动点）
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A， 问：这位将军怎样走路程最短？
A1
P
Q
A2
1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
2. 四边形周长最大值转化为线段最大值 例2：（3）如图，抛物线 y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合） ，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物 线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过 点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形 PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
二次函数中几何图形周长的最值问题题型与解法
做法：
1.作A点关于对称轴的对称点对称点B
2.链接CB与对称轴的交点就是我们做 要求的G点的位置
G
3.连接AG
G 4.此时的△ACH的周长最小
（2）在直线BC上是否存在点H，使得△ACH的周长最小，若存在，
求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由。
做法：
M
1.作A点关于直线BD的对
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合）
，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物
线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过
F
点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形
PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
做法：
1.过D点作对称轴，与PQ相交于点F
2. 根据我市现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点， 很大一部分学生对该部分望而生畏，几乎不敢动笔，分析了一下， 其主要原因有两点：其一，因为此题涉及的解题过程比较繁杂， 再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 择放弃了；另外的，还有部分学生是压根就不会做这类题，对解 决该题没有思路，没有参考方向，所以根本不看这题。
④任意角的非直角三角形周长最大值的求法 例:（2）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点，与y轴 交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式，并直接写出D点的坐标． （2）如图1，在直线AC的上方抛物线上有一动点P，过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q， PM∥BD交AC于点M．求△PQM周长最大值； 做法：
2.C矩形 PQNM=2(PQ+PM)=2(2DF+PM)
2019数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)
二次函数中周长最小问题抛物线中三角形周长最小问题的求法：.B 砺模或1将军饮马问题(即寻找对称点的方法) /'如图,在直线/的同侧有a 8网点,在/上求作一点尸,使8f+产出及/‘的值最小. 二7^方法：作/点关于,的时称点⑷,连接/田与,的交点F即为所求. j 模型应用:如图,抛物线尸-2#+3与a轴交于0), 8(-3.0),与尸轴交于点CS, 3),在抛物线的对称轴上,是否存在点.,使得△ OIC的周长最小？力法小结：周长最小问题潞径最小问题常化归为.将军饮马〞数学模型,两条线段之差最大,常利用三角形三边关系,此时三点共线.专题练习1 .如图,抛物线y=ax2—4x+ c经过点A (0, —6)和B (3, —9).(1)求抛物线的解析式；(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3)点P (m, m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q的坐标;(4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得4QMA的周长最小.解：(1)依题意有ax02-4x0+c= - 6 ax32—4x3+ c= -9c= -6即9a — 12+c=—9a= 1,抛物线的解析式为：y=x2—4x—6 ................................................................... 5分(2)把y= x2—4x— 6 配方,得y=(x — 2)2—10,对称轴方程为x= 2 ............................................................................................. 7分顶点坐标(2, —10) .............................................................................................. 10分(3)由点P (m, m)在抛物线上^4 m= m2- 4m- 6 ................................................................................................. 12 分2即m —5m—6= 0,m1=6 或m2= —1 (舍去) ......................................... 13 分P (6, 6)•・•点P、Q均在抛物线上,且关于对称轴x=2对称• .Q ( — 2, 6) .................................................................................................... 15 分(4)连接AP、AQ,直线AP与对称轴x= 2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称,由轴对称性质可知,此时的交点M能够使得4QMA的周长最小分17设直线AP的解析式为y= kx+ bb= -66k + b= 6 k=2 b= - 6・•・直线AP的解析式为：y = 2x-6 18分设点M (2, n)那么有n= 2X2— 6= -2 19 分此时点M (2, -2)能够使得^ QMA的周长最小2 .如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-石x —73与x 轴交于点A,与y 轴交于点C,抛物线y=ax 2—3『x+ c (a3假设P 是抛物线上一点,且^ ABP 为直角三角形,求点 P 的坐标; 在直线AC 上是否存在点Q,使得△ QBD 的周长最小,假设存在,求出Q 点的坐标；假设不存在,请说明理由.•・•点A, C 都在抛物线上一人、3 9 2.3(2)令 ^-x2- -1-x- 73 =0,解得 x1= —1, x2=3.1. B (3, 0)・••AB 2=( 1 + 3)2=16, AC 2=12+( 73)2=4, BC 2=32+( g)2=12 ••.AC 2+BC 2=AB 2,「.△ ABC 是直角三角形・•. P1 (0, —73) 由抛物线的对称性可知 P2的纵坐标为-；3,代入抛物线的解析式求得： (3)存在.延长 BC 到点B',使B'C=BC,连接B,D 交直线 过点B'作B'H^x 轴于H在 RtABOC 中,BC= Ji2= 2*3, BC=2OC ,/ OBC = 30°••BH= -BB = BC=2j3, BH= V3B'H = 6, •. OH = 3 2・•.B '(—3, -2J3)设直线B 'D 的解析式为y=kx+b,那么:W0) 经过点 A 、C,与x 轴交于另一点 B. (1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;(2) (3) (1) •••直线y= — 33 x- <3与x 轴交于点 A,与 A ( -1, 0), C (0, — 33 ) a+等+c=0a=解得c=.•・抛物线的解析式为 y=旦32 2 33 . 3 24 3.x ---------- x — %13 = — ( x — 1) ------------ -.顶点 的坐标为( 1,巡)AC 于点Q,P 2 (2,y j l那么Q 点就是所求的点xH ㈠B'—X 3 )DQ存在点Q,使得△ QBD 的周长最小,Q 点的坐标为〔373 .在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3, OB = 4, D 为边OB 的中点.〔I 〕假设E 为边OA 上的一个动点,当^ CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标；〔II 〕假设E 、F 为边OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E 、F 的坐标.—273 = -3k+ b 4 ：3 解得—3 =k+b3k=— 6—联立. 3,3 b=― -------2y=—黎x —黎.3 3、.3解得一 3 x=一7一,Q 〔 2 ,—吧!〕故在直线AC 上 10. 3 7 77迪〕7解：〔I 〕如图1,作点D 关于x 轴的对称点D',连接CD'与x 轴交于点E,连接DE假设在边 OA 上任取点E'〔与点E 不重合〕,连接CE'、DE'、D E' 由 DE '+ CE '= D E + CE > CD '= D E+ CE= DE + CE 可知△ CDE 的周长最小..在矩形 OACB 中,OA=3, OB = 4, D 为边OB 的中点BC=3, DO=DO = 2, D'B=6 •. OE//BC, • . RtAD QE^RtAD BC, OE D O ---- = -------- BC D B OE= D-O BC= - x3= 1D B 6.・•点E 的坐标为〔1,0〕…〔n 〕如图2,作点D 关于x 轴的对称点 D ；在CB 边上截取 CG=2,连接 DG 与x 轴交于点巳在EA 上截取EF = 2,那么四边形 GEFC 为平行四边形, 又DC 、EF 的长为定值,,此时得到的点 GE = CFE 、F 使四边形CDEF 的周长最小 •. OE//BC, • . RtAD OE^RtAD BG,OE D O ---- = -------- BG D BOE= DO BG= DO 〔BC-CG 〕 = 2x1=1 D B D B 6 3__1 7OF=OE+EF= 1+2=-3 3图2.••点E 的坐标为(1 , 0),点F 的坐标为(7,0) 334 .如图,抛物线y=ax2 + bx+4与x 轴的两个交点分别为 A ( — 4, 0)、B (2, 0),与y 轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；(2)在直线EF 上求一点H,使4CDH 的周长最小,并求出最小周长； (3)假设点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△ EFK 的面积最大？并求出最大面积.,顶点D 的坐标为(—1,9)2 ................................................... 4分(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点M.由于EF 垂直平分BC,即C 关于直线EG 的对称点为B,连结BD交EF 于一点,那么这一点为所求点 H,使DH + CH 最小,即最小为:DH+CH= DH+HB = BD= GBM 2+ DM 2 = -<13 22 9 2 5 1+( - 4)=—・•.△CDH 的周长最小值为 CD + DR+CH="用 ；*132k 1 + b 1 = 0设直线BD 的解析式为y=k 1x+b 1,那么 ,9—k1 + b1 = 一23斛信 k [ = 一 一,b [ = 32J10分2=—1・♦・直线BD 的解析式为y=—9x+32由于 BC=2j5, CE=1BC=T5, RtACEG^RtACOB 2那么 KN = y-yN =,t 2-1+4-( 1t+ 3) = - 1 t 2-3 t+ E 2 22 22 2S A EFK = SAKFN + S^KNE=1KN(t+3) + 1KN(1-1) =2KN 2 2= -t 2-3t+5=-(t+ 3 )2+ 29 ..........................................................................10 分2 4,当t= - 3时,△ EFK 的面积最大,最大面积为214分4.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A (0, 1)、B (―34f 3, 1)、C ( — 3/3 , 0)、O (0, 0).将4,3此矩形7&着过E (― J 3, 1)、F (— 3 ,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为 B 、C . (1)求折痕所在直线 EF 的解析式；(2) 一抛物线经过 B 、E 、B'三点,求此二次函数解析式；(3)能否在直线EF 上求一点P,使得4PBC 周长最小？如能,求出点 P 的坐标；假设不能,说明理由.解：(1)由于折痕所在直线 EF 过E (― 73, 1)、F (― 4且,0)3得 CE ：CO=CG ：CB,,CG=^, 2 GO =3 2,.二 G (0, 3)同理可求得直EF 的解析式为y= -1X+ -3 ° y= - -x+ 3联立21 y= - x+ 2解得2 23 x=一415 y= 一 8故使△ CDH 的周长最小的点 H 坐标为( 3,4竺)8(3)设 K (t, - — t2-1+ 4 ) , XFVtvxE.过 K 作 x 轴的垂线交 2,tan/EFO= 察,直线EF 的倾斜角为60°,直线 EF 的解析式为：y —= tan601x — ( - 33 )]化简彳导:y= d'3x+4. ............................................................................................................. 3分(2)设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后,B 、C 的对应点为B' (xi, yi), C‘(X2, y2) 过B'作BA 」AE 交AE 所在直线于 A'点 ••• B'E=BE= 273, / B'EF= / BEF= 60° • / B EA = 60 , A E = 33 , B A = 3・••A 与 A'重合,B '在 y 轴上,・•. xi=0, yi=-2,即 B ' (0, -2)【此时需说明 B' (xi, y i)在y 轴上】 ............................................... 6分 设二次函数的解析式为： y=ax 2+bx+c••・抛物线经过 B (— 3/3, 1)、E (—翼,1)、B' (0, —2)1a =--3 4解得b= --V 3 3 c= -2「•该二次函数解析式为： y = - -x 2-4y3x-2 ......................................................................... 9分3 3 (3)能,可以在直线 EF 上找到P 点,连接BC 交EF 于P 点,再连接BP由于B'P = BP,此时点 P 与C 、B'在一条直线上,故 BP+PC = B'P+PC 的和最小由于为BC 定长所以满足 4PBC 周长最小. ....................................... 10分11 1127a- 3 .3b+c= 1 3a- . 3 b+ c= 1 c= — 2。
(完整版)二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案解析-推荐文档
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．可得F′（m ，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；。
中考数学倒计时15：二次函数中三角形周长最小值问题
中考数学倒计时15：二次函数中三角形周长最小值问题
（1）直线AC的解析式不多说了；
（2）三点坐标代入，求得解析式；
（3）BD是一个定值，所以也就是求PB+PD的最小值，且必须组成三角形，
线段相加最小值，首选肯定是对称，
根据A、B、C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，
所以AC⊥BC，
那么我们可以作点B关于直线AC的对称点，
但是这个点怎么找呢？
直接延长BC至点B'，使CB=CB'，
相信这个B'的坐标不难求出吧？（向x轴作垂线，利用中位线求出B'坐标）
有了B'的坐标，那么PB=PB'，
所以PB'+PD的最小值就是三点共线，
连接B'D，求出B'D所在直线的解析式，
与AC相交于点P，
求出点P坐标；
这道题要善于发现ABC三点的特点，要找B或D的对称点，肯定要做垂线，所以及时发现直角的存在是非常必要的。
二次函数问题周长最小或最值问题
二次函数问题周长最小或最值问题(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-二次函数问题周长最小或面积倍分专题复习1如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，3），2抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
2、（9分）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.3．如图，二次函数y=ax2－5ax＋4a(a≠0)的图象与x轴交于Ａ、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．(1)求A、Ｂ两点的坐标；(2)若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．4已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求抛物线的解析式．（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍若存在，求此时点Q的坐标．6在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．7．如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得S△PAD ：S△QOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
2. 根据我市现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点， 很大一部分学生对该部分望而生畏，几乎不敢动笔，分析了一下， 其主要原因有两点：其一，因为此题涉及的解题过程比较繁杂， 再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 择放弃了；另外的，还有部分学生是压根就不会做这类题，对解 决该题没有思路，没有参考方向，所以根本不看这题。
C（0，﹣3）．如图，在直线BD和直线BC上是否分别存在点M、N，使得
△AMN的周长最小？若存在，请求出△AMN周长最小值以及M、N的坐标；
若不存在，请说明理由。
A1
做法：
E M
1.作A点关于直线BD的对称点对称点A1，与BD相交于点E 2.作A点关于直线BC的对称点对称点A2，与BD相交于点F
N F
做法：
1.作A点关于对称轴的对称点对称点B
2.链接CB与对称轴的交点就是我们做 要求的G点的位置
G
3.连接AG
G 4.此时的△ACH的周长最小
（2）在直线BC上是否存在点H，使得△ACH的周长最小，若存在，
求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由。
做法：
M
1.作A点关于直线BD的对
第二部分 基本题型及解法
例题
1. 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 45°角的直角三角形周长最大值的求法 例1：（1）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），
B（3，0），C（0，﹣3）．如图，点P是直线BC上方抛物线上一动
点．过点P作PE平行y轴交BC于点E，作PF垂直BC交BC于点F，是否 存在点P，使△PEF的周长最大？若存在，求出△PEF周长最大值，并
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
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教育是行善的智慧 无忧是无畏的行者
2. 根据我市现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点， 很大一部分学生对该部分望而生畏，几乎不敢动笔，分析了一下， 其主要原因有两点：其一，因为此题涉及的解题过程比较繁杂， 再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 择放弃了；另外的，还有部分学生是压根就不会做这类题，对解 决该题没有思路，没有参考方向，所以根本不看这题。
做法： 1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
3.链接A1A2与OM，ON相交于点P，Q，
P
此时的交点就是我们做要找的吃草和喝
水的位置
4.连接AP，AQ
Q A2
4.此时走的路程最短
例4：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），
C（0，﹣3）．如图，若点C关于点B的对称点为点E，是否存在x轴上的点
M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小？若存在，请求出M、N
点的坐标，并求出DNME的周长最小值；若不存在，请说明理由。
E
做法：
D’
1.作E点关于X轴的对称点对称点E’
2.作D点关于y轴的对称点对称点D’
NM
3.链接D’E’与x轴，y轴相交于点M，N，此时的交点就是 我们做要找的点的位置
做法：
1.过D点作对称轴，与PQ相交于点F
2.C矩形 PQNM=2(PQ+PM)=2(2DF+PM)
3. 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值
求三角形的周长最小值的问题
求三角形的周长最小值问题描述给定一个平面上的点集，我们需要从中选择三个点，构成一个三角形。
现在的问题是：如何选择这三个点，使得构成的三角形的周长最小。
解决思路为了解决这个问题，我们需要明确一些基本概念和原理。
1. 三角形的周长计算公式三角形的周长可以通过计算其三条边的长度之和得到。
设三角形的边长分别为a、b、c，则其周长P为：P = a + b + c2. 任意两点之间距离计算公式给定平面上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离d：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)3. 构成最小周长三角形的条件为了构成最小周长的三角形，我们可以考虑以下几个条件：•任意两边之和大于第三边•任意两边之差小于第三边•在给定点集中找到能够满足上述条件的任意三个点组合，并计算其周长•比较所有可能组合得到的周长，选择最小值作为最终结果算法设计基于上述解决思路，我们可以设计以下算法来求解三角形的周长最小值：1.输入平面上的点集P2.初始化一个变量min_perimeter为正无穷大3.从点集P中任选三个点A、B、C（A≠B≠C）4.计算三个点之间的距离AB、BC、AC5.判断AB、BC、AC是否满足构成三角形的条件：–AB + BC > AC–AB + AC > BC–BC + AC > AB6.如果满足条件，则计算三角形的周长perimeter = AB + BC + AC7.如果perimeter小于min_perimeter，则更新min_perimeter为perimeter8.重复步骤3-7，直到遍历完所有可能的三个点组合9.输出min_perimeter作为最小周长的结果算法实现下面是使用Python语言实现上述算法的示例代码：import mathdef calculate_distance(x1, y1, x2, y2):return math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)def find_minimum_perimeter(points):min_perimeter = float('inf')for i in range(len(points)):for j in range(i+1, len(points)):for k in range(j+1, len(points)):x1, y1 = points[i]x2, y2 = points[j]x3, y3 = points[k]ab = calculate_distance(x1, y1, x2, y2)bc = calculate_distance(x2, y2, x3, y3)ac = calculate_distance(x1, y1, x3, y3)if ab + bc > ac and ab + ac > bc and bc + ac > ab:perimeter = ab + bc + acmin_perimeter = min(min_perimeter, perimeter) return min_perimeter# 测试示例points = [(0, 0), (1, 0), (0.5, 0.5), (0.5, -0.5)]minimum_perimeter = find_minimum_perimeter(points)print("Minimum perimeter:", minimum_perimeter)算法分析该算法的时间复杂度为O(n³)，其中n是点集P的大小。
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中考数学倒计时15：二次函数中三角形周长最小值问题
（1）直线AC的解析式不多说了；
（2）三点坐标代入，求得解析式；
（3）BD是一个定值，所以也就是求PB+PD的最小值，且必须组成三角形，
线段相加最小值，首选肯定是对称，
根据A、B、C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，
所以AC⊥BC，
那么我们可以作点B关于直线AC的对称点，
但是这个点怎么找呢？
直接延长BC至点B'，使CB=CB'，
相信这个B'的坐标不难求出吧？（向x轴作垂线，利用中位线求出B'坐标）
有了B'的坐标，那么PB=PB'，
所以PB'+PD的最小值就是三点共线，
连接B'D，求出B'D所在直线的解析式，
与AC相交于点P，
求出点P坐标；
这道题要善于发现ABC三点的特点，要找B或D的对称点，肯定要做垂线，所以及时发现直角的存在是非常必要的。