四棱台体积、表面积公式
四棱台体积计算公式
四棱台体积公式：①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥）[上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥）(上面面积+下面面积)x高÷2第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。
注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。
拟棱台：对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。
若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H正四棱台体积V=底面积S×高H圆锥体体积=底×高÷3长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15评论(14) | 80 12012-08-12 16:31 我只是碗馄饨| 四级体积的话叫棱台S1=上面的面积S2=下面的面积H是高V是体积V=（S1+S2+根号（S1×S2））×H ÷3评论(6) | 52 22012-05-08 23:50 绿锦小学| 十三级答：梯形是平面图形，没有体积，只有面积。
8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为 ,
因为正四面体棱长为2，
所以 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
因为正四面体的体积为 ,
所以 ，
解得
9、在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求 到面 的距离.
故选：
题型七表面积、体积与函数
例7 底面半径为2，高为 的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为 ，试将棱柱的高 表示成 的函数.
（2）当 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据 ，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ (S′＋ ＋S)h.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为 ，所以 ．从而 ．
（2）由（1） ，因为 ，
所以当 时， 最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
45基础工程量计算(2)
归纳总结： 比较清单规则和定额规则，对混凝土基础 工程量计算的规定基本是一致的，因此（除梁 高高于1.2m时），
清单工程量=定额工程量
清单计量规则： 按设计图示尺寸以体积计算。不扣除构件内钢筋、预
埋铁件和伸入承台基础的柱头所占体积。
定额计量规则： 现浇、预制混凝土除注明者外，均按图示尺寸以体积
计算，不扣除钢筋、铁件、螺栓所占体积。
带（条）形基础如下页图所示，计算时可能有
以下三种情况：（ P152，图7.2.33）
图7.2.33 不同断面带形基础示意图
情况1：断面为矩形
如图（a）所示，断面面积S计算式为： S = B×h
式中：B —— 基底宽度；h —— 基础高度。 外墙长取外墙中心线长（L外中），内墙取基础底面
之间净长度（L内（基底）），则
综合单价计算见表4所示。
表4 分部分项工程量清单综合单价分析表
工程名称:
表5 分部分项工程量清单计价表
（二）带（条）形基础
带（条）形基础砼体积可按计算长度乘以断面 面积计算，其计算公式表达为：
其中：
V LS
①计算长度（ L ）：外墙取外墙中心线长度
，内墙取基础净长线长度。
②断面积（ S ）：按图示尺寸计算。
底座：长（A）为1.75m；宽（B）为1.65m； 面积(S下)为1.75m×1.65m，高(h1)为0.3m。
上台：长(a)为1.05m；宽(b)为0.95m； 面积 (S上)为1.05m×0.95m，高（h3）为0.35m
➢中台：高（h2）为0.15m。
➢杯口：上口为0.65m×0.55m，下口为
[例4】按图7.2.33所示，代入具体尺 寸，计算带形混凝土基础在三种不同断面情 况下的工程量。P教材153 【解】（1）矩形断面
8.2空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 33.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × )(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V 111ABC A B C －棱柱＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 111P A B C 锥－棱＝13S111A B C ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.3.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.4.(教材改编)一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3. 答案 43π解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径r ＝12×23＝3(cm)，所以V 球＝43π×r 3＝43π×33＝43π(cm 3).5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π (m 3).题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A.1B.2C.4D.8(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. (3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示. 因此该几何体的表面积为6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V 111A A B D -V 111B C D ABCD -＝V 111A AB D -V 1111A BCD ABCD -－V 111A A B D -＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.命题点2 求简单几何体的体积例3 (2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3 B.32π3 C.36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( ) A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝90°，则AB ＝10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.即r ＝6＋8－102＝2，故能得到的最大球的体积为43πr 3＝4π3×8＝32π3，故选B.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132 D.310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？ 解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( ) A.22B.1C. 2D. 3答案 C解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点.设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R为球的半径)，∴(x 2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 11ABB A 矩形＝2×1＝ 2.14.巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 则此几何体的体积为________.思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96温馨提醒 (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”. (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3答案 C解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.2.用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为( ) A.100π3B.500π3C.75πD.100π答案 D解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25， ∴S 球＝4πR 2＝100π.3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案 B解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示， 则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6. 5.(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C.6.(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h ＝14. 7.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.答案 7 解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 8.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3.又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3， 则其体积比为932. 9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解 由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a ，高也等于a ，故其表面积为S 1＝6a 2.直三棱柱的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，高为a ，故其表面积为S 2＝12×a ×a ＋12×a ×a ＋(a ＋a ＋2a )×a ＝(3＋2)a 2.14圆柱的底面是半径为a 的圆的14，高为a ，故其表面积为S 3＝14πa 2＋14πa 2＋a 2＋a 2＋14×2πa ×a ＝(π＋2)a 2.所以它们的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3＝6a 2∶(3＋2)a 2∶(π＋2)a 2＝6∶(3＋2)∶(π＋2).10.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高.由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( )A.3 3B.2 3C. 3D.1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC .由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC .由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC . 由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4，所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CASC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28＋6 5B.30＋6 5C.56＋12 5D.60＋12 5答案 B解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，所以AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.13.(2015·四川)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P —A 1MN 的体积是________.答案 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵V 1—P A MN ＝V 1—A PMN ，又∵AA 1∥平面PMN ，∴V 1—A PMN ＝V A —PMN ，∴V A —PMN ＝13×12×1×12×12＝124， 故V 1—P A MN ＝124. 14.(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积. (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E —ACD 的体积V E —ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63. 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E —ACD 的侧面积为3＋2 5.15.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2， ∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤(x 2＋4－x 22)2＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号， ∴x ＝2时，体积有最大值33.。
新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
棱柱、p棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的计算
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的计算一、空间几何体的表面积问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。
（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
其侧面展开图是一个矩形。
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。
2、正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
性质：（1）正棱锥的侧棱长相等。
（2）侧棱和底面所成的角相等。
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。
◆S＝ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）正棱锥侧3、正棱台定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。
侧面展开图是由各个侧面组成的。
S正棱台侧＝（c ＋c’）h’（其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。
（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。
1、圆柱的侧面积◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是2、圆锥的侧面积◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是3、圆台的侧面积◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是二、柱锥台的体积公式长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？1、祖暅原理两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。
2、柱体的体积公式3、锥体的体积公式4、台体的体积计算公式◆柱体，锥体，台体之间的关系：5、球体的体积公式与表面积公式（1）利用祖暅原理可得（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面＝4πR2【典型例题】例1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm）解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。
【数学】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件2023-2024学年高一下人教A版(2019)必修第二册
1 (S 3
SS S )h
棱台的高是指两底
P
面之间的距离，即从
h
上底面上任意一点向
下底面作垂线，这点
Q
与垂足之间的距离.
返回
思考3：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？ 你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
棱柱、棱锥、棱台的体积公式间的关系
V棱柱 Sh
V棱台
1 (S 3
SS S )h
8.3简单几何体的表面积和体积
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
回顾与引入
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示， 本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何 体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占
空间的大小．
在小学和初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
2. (选做题)已知正三棱锥S ABC 的底面边长为a ，高为 6 a ， 6
求其体积和表面积.
2. (选做题)已知正三棱锥S ABC 的底面边长为a ，高为 6 a ， 6
求其体积和表面积.
解：如图，在正三棱锥 S ABC 中, O 为底面中心，连结 AO
并延长与 BC 交于点 D，连结 SD，SO. 则
3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截 去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm， 那么石凳的体积是多少m3？
解：如图所示，正方体ABCD-
A′B′B′C′D′的棱长AB=50cm=0.5m, 则
AE=AF=AG=0.25m
V 正方体ABCD ABC D
(1 )3 1 28
a
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的体积
( ).
. .
【悟】
决利二 问用是 题正把
棱正 锥棱 的台 有还 关原 知成 识正 来棱 解锥
形一
常
中是
用
解把
两
决基
种
问本
解
题量
题
；转
思
化
路
到
：
直
角
梯
面棱求
边台解
长的正 、五棱 高个台 、基的 斜本体 高量积 、上时 侧、， 棱下注
底意
棱柱、棱锥、棱台的体积
1 【练2】如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为__3__.
证明：V棱台
V大棱锥
V小棱锥
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
1 [Sh 3
(S
S')x]
又
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V棱台
1 3
h[ Sh
(S
S')
S' ] 1[S S S' 3
SS' S' ]h
A
P
x
A
D
S
C
B
D
h
S
C
V棱台
1 3
(S'
S'S S )h
积时不考虑漏斗的厚度).
D’
C’
解：由题意知，
A’
B’
D
C
V长方体ABCD-A'B'C 'D' 11 0.5 0.5(m3 ),
四棱台公式以及适用范围
四棱台公式以及适用范围四棱台是一种由一个平面多边形作为基底和一个平行于基底的另一个多边形作为顶面的立体几何体。
四棱台的公式涉及到它的体积、表面积以及侧面积。
它适用于各种多边形作为基底的几何体，例如三角柱、四边形柱等。
四棱台的公式：1.体积（V）：四棱台的体积可以通过求其底面积（A）乘以其高（h）来得到。
即V=Ah。
其中，A为底面积，h为高度。
2.表面积（S）：四棱台的表面积可以通过求其底面积（A）、上底面积（A'）、侧面积（S')相加得到。
即S=A+A'+S'。
其中，A为底面积，A'为顶面积，S'为侧面积。
3.底面积（A）：四棱台的底面积可以通过计算基底多边形的面积来得到。
具体的计算方法与基底的形状和大小有关，例如对于三角柱，可以使用海伦公式或角度除以360度得到的比例关系来计算三角形的面积；对于四边形柱，可以使用四边形的面积公式来计算。
四棱台的适用范围很广，可以根据不同的基底形状和大小来构造不同类型的四棱台。
以下列举几种常见的四棱台：1.三角柱：其基底是一个三角形，可以通过测量三角形的底边和高来计算体积和表面积。
2.四边形柱：其基底是一个四边形，可以通过测量四边形的边长和对角线来计算体积和表面积。
3.正四棱台：其基底是一个正多边形，可以通过测量正多边形的边长和高来计算体积和表面积。
4.不规则四棱台：其基底和顶面均为不规则多边形，可以通过将其分解为更小的几何体，并分别计算其体积和表面积来得到整体的体积和表面积。
总之，四棱台的公式和适用范围可以根据不同的几何形状而有所差异，但其计算方法通常都涉及到测量基底形状的尺寸（如边长、高、对角线等），然后根据不同形状使用相应的几何公式来计算体积和表面积。
单位换算
长度1千米(km)=0.621英里(mile) 1米(m)=3.281英尺(ft)=1.094码(yd) 1厘米(cm)=0.394英寸(in)1英里(mile)=1.609千米(km) 1英尺(ft)=0.3048米(m) 1英寸(in)=2.54厘米(cm) 1海里(n mile)=1.852千米(km) 1码(yd)=0.9144米(m) 1英尺(ft)=12英寸(in)1码(yd)=3英尺(ft) 1英里(mile)=5280英尺(ft) 1海里(n mile)=1.1516英里(mile) 质量1吨(t)=1000千克(kg)=2205磅(lb)= 1.102短吨(sh.ton)=0.934长吨(long.ton) 1千克(kg)=2.205磅(lb) 1短吨(sh.ton)=0.907吨(t)=2000磅(1b)1长吨(long.ton)=1.016吨(t) 1磅(lb)=0.454千克(kg) 1盎司(oz)=28.350克(g) 密度1千克/米3(kg/m3)=0.001克/厘米3(g/cm3)=0.0624磅/英尺3(lb/ft3) 1磅/英尺3(lb/ft3)=16.02千克/米3(kg/m3) 1磅/英寸3(lb/in3)=27679.9千克/米3(kg/m3) 1磅/美加仑(lb/gal)=119.826千克/米3(kg/m3) 1磅/英加仑(lb/gal)=99.776千克/米3(kg/m3) 1磅/(石油)桶(lb/bbl)=2.853千克/米3(kg/m3)1波美密度=140/15.5℃时的比重-130 API=141.5/15.5℃时的比重-131.5压力1兆帕(MPa)=145磅/英寸2(psi) =10.2千克/厘米2(kg/cm2)=10巴(bar)=9.8大气压(at m)1磅/英寸2(psi)=0.006895兆帕(MPa) =0.0703千克/厘米2(kg/cm2)= 0.0689巴(bar)=0.068大气压(at m)1巴(bar)=0.1兆帕(MPa)=14.503磅/英寸2(psi)=1.0197千克/厘米2(kg/cm2) =0.987大气压(at m)1百帕(hPa)=1毫巴(mbar)=3/4毫米水银柱(mmHg)1大气压(at m)=0.101325兆帕(MPa)=14.696磅/英寸2(psi) =1.0333千克/厘米2(kg/cm2) =1.0133巴(bar)海平面平均气压约为1013.25百帕斯卡（760毫米水银柱），这个值也被称为标准大气压面积1平方公里(km2)=100公顷(ha)=247.1英亩(acre)=0.386平方英里(mile2) 1平方米(m2)=10.764平方英尺(ft2) 1公亩(acre)=100平方米(m2)1公顷(ha)=10000平方米(m2)=2.471英亩(acre) 1平方英里(mile2)=2.590平方公里(km2) 1英亩(acre)=0.4047公顷(ha)=40.47* 10-3平方公里(km2)=4047平方米(m2)1平方英尺(ft2)=0.093平方米(m2) 1平方英寸(in2)=6.452平方厘米(cm2) 1平方码(yd2)=0.8361平方米(m2)体积1立方米(m3)=1000升(liter) =35.315立方英尺(ft3)=6.290桶(bbl) 1立方英尺(ft3)=0.0283立方米(m3)=28.317升(l) 1千立方英尺(mcf)=28.317立方米(m3) 1百万立方英尺(MMcf)=2.8317万立方米(m3) 10亿立方英尺(bcf)=2831.7万立方米(m3) 1万亿立方英尺(tcf)=283.17亿立方米(m3)1立方英寸(in3)=16.3871立方厘米(cm3) 1英亩·英尺=1234立方米(m3) 1桶(bbl)=0.159立方米(m3)=42美加仑(gal)1美加仑(gal)=3.785升(l) 1美夸脱(qt)=0.946升(l) 1美品脱(pt)=0.473升(l)1美吉耳(gi)=0.118升(l) 1英加仑(gal)=4.546升(l)运动粘度1英尺2/秒(ft2/s)=9.29030*10-2米2/秒(m2/s) 1斯(St)=10-4米2/秒(m2/s) 1厘斯(eSt)=10-6米2/秒(m2/s)=1毫米2/秒(mm2/s)动力粘度1泊(P)=0.1帕·秒(Pa·s) 1厘泊(cP)=10-3帕·秒(Pa·s) 1千克力秒/米2=9.80505帕·秒(Pa·s)1磅力秒/英尺2(1bf·s/ft2)= 47.8803帕·秒(Pa·s)力1牛顿(N)=0.225磅力(1bf)=0.102千克力(kgf) 1千克力(kgf)=9.81牛顿(N) 1磅力(1bf)=4.45牛顿(N)1达因(dyn)=10-5牛顿(N)温度K(开尔文度)=5/9(℉+459.67) K=℃+273.15 n℉=[(n-32)*5/9]℃n℃(摄氏度)=(5/9·n+32)℉1℉(华氏度)=5/9℃(温度差)传热系数1千卡(米2·时·℃)[kcal/ (m2·h·℃)]=1.6279瓦/(米2·开尔文)[W(m2·K)] 1英热单位/(英尺2·时·℉)[Btu/(ft2·h·℉)]=5.67826瓦/(米2·开尔文)[W(m2·K)] 1米2·时·℃/千卡(m2·h·℃/kcal) =0.86000米2·开尔文/瓦(m2·K/W)1千卡(米2·时)(kcal/m2·h) =1.16279瓦/米2(W/m2)热导率1千卡(米2·时·℃)[kcal/(m2·h·℃)]=1.16279瓦/(米·开尔文)[W(m·K)] 1英热单位/(英尺2·时·℉)[Btu/(ft2·h·℉)] =1.7303瓦/(米·开尔文)[W(m·K)]比容热1千卡/(千克·℃)[kcal/(kg·℃)]=1英热单位/(磅·℉)[Btu/(lb·℉)]=4186.8焦耳/(千克·开尔文)[J/(kg·K)]热功1焦耳=0.10204千克·米=2.778*10-7千瓦·小时=3.777*10-7公制马力小时=3.723*10-7英制马力小时=2.389*10-4千卡=9.48*10-4英热单位1卡(cal)=4.1868焦耳(J) 1英热单位(Btu)=1055.06焦耳(J)1千克力米(kgf·m)=9.80665焦耳(J) 1英尺磅力(ft·1bt)=1.35582焦耳(J) 1米制马力小时(hp·h)=2.64779*106焦耳(J)1英制马力小时(UKHp·h) =2.68452*106焦耳(J) 1千瓦小时(kw·h)=3.6*106焦耳(J) 1大卡=4186.75焦耳(J)功率1千克力·米/秒(kgf·m/s) =9.80665瓦(W) 1米制马力(hp)=735.499瓦(W) 1卡/秒(cal/s)=4.1868瓦(W)1英热单位/时(Btu/h)=0.293071瓦(W)速度1英尺/秒(ft/s)=0.3048米/秒(m/s) 1英里/时(mile/h)=0.44704米/秒(m/s)渗透率1达西=1000毫达西1平方厘米(cm2)=9.81*107达西长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒小学数学常用图形计算公式:1,正方形C周长S面积a边长周长=边长×4面积=边长×边长C=4aS=a×a S=a22,正方体V体积a棱长表面积=棱长×棱长×6体积=棱长×棱长×棱长S表=a×a×6 表=6a2V=a×a×a V= a33,长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4,长方体V体积S面积a长b宽h高(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2(2)体积=长×宽×高S=2(ab+ah+bh)V=abh5,三角形S面积a底h高面积=底×高÷2S=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6,平行四边形S面积a底h高面积=底×高S=ah7,梯形S面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)× h÷28,圆形S面积C周长π圆周率d直径r半径周长=直径×π周长=2×π×半径面积=半径×半径×πC=πdC=2πrS=πr2d=C÷πd=2rr=d÷2 r=C÷2÷πS 环=π(R2-r2)9,圆柱体V 体积 h 高 S 底面积 r 底面半径 C 底面周长侧面积=底面周长×高表面积=侧面积+底面积×2体积=底面积×高S 侧=ChS 侧=πdhV=ShV=πr2h圆柱体积=侧面积÷2×半径10,圆锥体V 体积 h 高 S 底面积 r 底面半径体积=底面积×高÷3V=Sh÷311，四棱台体积公式H )S S S S (31S 2211⨯+⨯+= 计算机的单位换算：1、计算机单位： 字节是最小单位、KB 、MB 、GB 、TB2、单位换算：之间都是1024进位，1KB=1024字节1MB=1024KB1GB=1024MB1TB=1024GB1000毫安=1安=1000000微安1毫伏=1000伏=1000000千伏1兆欧=1000000欧,1千欧=1000欧1千瓦时=3600000焦耳1kW=1000W,P=W/tP=UIQ=I2Rt物理量名称符号单位公式质量m 千克kg m=pv温度t 摄氏度°C速度v 米／秒m/s v=s/t密度p 千克／米³ kg/m³ p=m/v力（重力）F 牛顿（牛）N G=mg 压强P 帕斯卡（帕）Pa P=F/S功W 焦耳（焦）J W=Fs功率P 瓦特（瓦）w P=W/t电流I 安培（安） A I=U/R电压U 伏特（伏）V U=IR电阻R 欧姆（欧）R=U/I电功W 焦耳（焦）J W=UIt电功率P 瓦特（瓦）w P=W/t=UI 热量Q 焦耳（焦）J Q=cm(t-t°)比热c 焦／（千克°C）J/(kg°C)真空中光速3×108米／秒g 9.8牛顿／千克15°C空气中声速340米／秒安全电压不高于36伏速度换算1英里/时（mile/h）=0.44704米/秒（m/s）1英尺/秒（ft/s）=0.3048米/秒（m/s）渗透率换算1达西＝1000毫达西1平方厘米（cm2）＝9.81×107达西地温梯度换算1°F/100英尺＝1.8℃/100米（℃/m）1℃/公里＝2.9°F/英里（°F/mile）=0.055°F/100英尺（°F/ft）油气产量换算1桶（bbl）=0.14吨（t）（原油，全球平均）1万亿立方英尺/日（tcfd）=283.2亿立方米/日（m3/d）=10.336万亿立方米/年（m3/a）10亿立方英尺/日（bcfd）=0.2832亿立方米/日（m3/d）=103.36亿立方米/年（m3/a）1百万立方英尺/日（MMcfd）=2.832万立方米/日（m3/d）=1033.55万立方米/年（m3/a）1千立方英尺/日（Mcfd）=28.32立方米/日（m3/d）=1.0336万立米/年（m3/a）1桶/日（bpd）=50吨/年（t/a）（原油，全球平均）1吨（t）=7.3桶（bbl）(原油，全球平均)气油比换算1立方英尺/桶（cuft/bbl）=0.2067立方米/吨（m3/t）热值换算1桶原油＝5.8×106英热单位（Btu）1吨煤=2.406×107英热单位（Btu）1立方米湿气＝3.909×104英热单位（Btu）1千瓦小时水电＝1.0235×104英热（Btu）1立方米干气＝3.577×104英热单位（Btu）（以上为1990年美国平均热值）宇宙速度第一宇宙速度的大小是(7.9)km/s,第二宇宙速度的大小是(11.2)km/s,第三宇宙速度的大小是(16.7)km/s.几何函数cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβtαn(α+β)=(tαnα+tαnβ)/(1-tαnαtαnβ)tαn(α-β)=(tαnα+tαnβ)/(1+tαnαtαnβ)1.意义sin是正弦tg/tan是正切cot/ctg是余切cos是余弦2.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)3.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a4.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]5.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/26.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]预制板尺寸:390 cm×60 cm×12 cm。
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
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2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
=
1 2
na h'
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③棱台的表面积 棱台的表面积 = 侧面积+底面积.
h'
棱台
1.正棱台的上底面的周长为c'，下底面的周长为c，斜高为h'，
正棱台的侧面积是
1 S正棱台侧 = 2
c + c'
h'
例题讲解 LOGO
例1 如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
解：∵∆PBC是正三角形，其边长为a，
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1. 多面体的展开图和表面积
问题1展在开初图中已 面经积学与过其正表方面体积和有长什方么体关的系表？面积，你知道正方体和长方体的展 开图的样子吗？
几何体表面积 展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
转化思想
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多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
也就是说求多面体的表面积关 键在于知道展开图是怎么样的！
（429年~500年）
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探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系：
A
C
B
A
C
B
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积 是棱锥的体积的3倍．
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②棱锥的体积公式 一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 顶点与垂足之间的距离.
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以 求点到面的距离. ——等体积法
探究新知 ③棱台的体积公式
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由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的
四棱台计算公式
四棱台计算公式
四棱台，又称正四棱锥，是建筑中常用的一种构件形状，因它以正方体母体出发，四个面倾斜接合融合而形成，故得名四棱台。
同时，该形状也因具有多变而复杂的几何结构，使得其计算较为复杂，但也具有固有的计算方法。
一般说来，四棱台计算公式是指计算四棱台表面积和体积的计算公式，也就是求四棱锥的表面积与体积的函数。
表面积的计算公式为：四棱台的表面积=2*底面积+底+腰的矩形棱
长*高+2*底面的边长*高+底面的边长的平方; 体积的计算公式为：四棱台的体积=底面积*高。
首先，要想准确计算出四棱台的表面积和体积，必须知道棱台的形态参数，如底面积、高、底+腰的矩形棱长、底面的边长。
底面积可以结合四棱台是正三角形形状算出，中心角的
大小减去三条边的比例确定：底面积=底面的超三角形的面积= (1/2)*底面的边长*底面的
边长*sin。
棱台的高可以通过底面的顶点距离来计算，即高=点到三角形外接圆心的距离-
三角形外接圆半径。
底+腰的矩形棱长及底面的边长可以结合底面的三角形形态，通过给
定三条边的比例，利用三等边或者任意两边求另一边的公式来计算。
接下来，我们可以用计算出的参数，利用四棱台表面积的计算公式来求出四棱台的表面积，再利用四棱台体积的计算公式来求出四棱台的体积，即可成功计算出四棱台的表面积和体积。
四棱台的表面积和体积的准确计算不仅在建筑形状设计中至关重要，而且在各类物料需求
量的计算中也有广泛的应用，特别是在运送动能物料或者运送介质物料时，对以上参数的
准确测定和计算具有无可替代的作用。
总而言之，四棱台表面积和体积的准确计算与精准控制，不仅有利于更好地提升建筑结构质量，而且也能。
四棱台体积计算公式
四棱台体积公式：①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥）[上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥）(上面面积+下面面积)x高÷2第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。
注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。
拟棱台：对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。
若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H正四棱台体积V=底面积S×高H圆锥体体积=底×高÷3长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15评论(14) | 80 12012-08-12 16:31 我只是碗馄饨| 四级体积的话叫棱台S1=上面的面积S2=下面的面积H是高V是体积V=（S1+S2+根号（S1×S2））×H ÷3评论(6) | 52 22012-05-08 23:50 绿锦小学| 十三级答：梯形是平面图形，没有体积，只有面积。
弧长的公式扇形面积公式圆锥圆柱弓形面公式及其应用四棱台体积公式
【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
高中数学必修二 19-20 第8章 8 3 1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝13h(S′＋S′S＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]表面积变大了，而体积不变．1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54D．36C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( )A ．6,22B ．3,22C ．6,11D ．3,11A [V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.] 3．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为 ．93 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3.]简单几何体的表面积【例1】 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2A [∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 表＝34a 2＋3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝3＋34a 2.]简单几何体的体积【例2】 三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．[解] 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，∴VB-A1B1C＝V台－VA1-ABC－VC-A1B1C1＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为．16[利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1-EDF＝VF-DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.]棱台与棱锥之间关系的综合问题是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．[解] 如图，E ，E 1分别是BC ，B 1C 1的中点，O ，O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12.连接OE ，O 1E 1， 则OE ＝12AB ＝12×12＝6， O 1E 1＝12A 1B 1＝3.过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3. 在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32＝32×17， 所以E 1E ＝317.所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E ＝2×(6＋12)×317＝10817.在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？[解] 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P .取B 1C 1，BC 的中点E 1，E ，则EE 1的延长线必过P 点(以后可以证明)．O 1，O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．由正棱锥的定义，CC 1的延长线过P 点，且有O 1E 1＝12A 1B 1＝3，OE ＝12AB ＝6， 则有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝36， 即PO 1PO 1＋O 1O＝12.所以PO 1＝O 1O ＝12.在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝122＋32＝32×17，在Rt △POE 中，PE 2＝PO 2＋OE 2＝242＋62＝62×17， 所以E 1E ＝PE －PE 1＝617－317＝317. 所以S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E ＝2×(12＋6)×317＝10817.解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()[答案](1)×(2)√(3)√2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是()A.16 B.13C.12D．1A[三棱锥D1-ADC的体积V＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D＝13×12＝16.]3．已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为()A.14 B.12C.36 D.34[答案]D4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．18a2[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为13a，每个小正方体的表面积S1＝19a 2×6＝23a2，所以27个小正方体的表面积是23a2×27＝18a2.]5．如图所示，三棱锥的顶点为P，P A，PB，PC为三条侧棱，且P A，PB，PC两两互相垂直，又P A＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P-ABC的体积V.[解]三棱锥的体积V＝13Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△P AC作为底面求解．故V＝13S△P AC·PB＝13×12×2×4×3＝4.。
体积计算公式
几何图形周长、面积及体积公式1、长方形的周长=（长宽）×22、正方形的周长=边长×43、长方形的面积=长×宽4、正方形的面积=边长×边长5、三角形的面积=底×高÷26、平行四边形的面积=底×高7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷28、直径=半径×2 半径=直径÷29、圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×210、圆的面积=圆周率×半径×半径11、长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×212、长方体的体积 =长×宽×高13、正方体的表面积=棱长×棱长×614、正方体的体积=棱长×棱长×棱长15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高16、圆柱的表面积=上下底面面积+ 侧面积17、圆柱的体积=底面积×高18、圆锥的体积=底面积×高÷319、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S1、正方形 a—边长 C＝4a S＝a22、长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab3、三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)4、四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα5、菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα6、梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh7、圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2 ＝πd2/48、扇形 r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)9、弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 bh/2≈2bh/310、圆环 R－外圆半径r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/411、椭圆 D－长轴 d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V1、正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a32、长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab ac bc) V＝abc3、棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh4、棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/35、棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高 V＝h[S1+ S2 +(S1S2)1/2]/36、拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝h(S1 S2 4S0)/67、圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch 2S底V＝S底h ＝πr2h8、空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高 V＝πh(R2-r2)9、直圆锥 r－底半径 h－高 V＝πr2h/310、圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/311、球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/612、球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2 h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)13、球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高 V＝πh[3(r12＋r22) h2]/614、圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/415、桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/1516.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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变量5 0.450 0.650 0.300 0.500 0.450 0.098
四棱台体积公式一
变量名称 a b a1 b1 H 第二个公式计算的体积
V＝H/6×[a×b+(a+a1)×(b+b1)+a1×b1]
变量1 1.000 1.000 0.850 0.850 0.400 0.343 变量2 0.500 0.500 0.350 0.350 0.400 0.073 变量3 0.725 1.000 0.575 0.850 0.400 0.258 变量4 0.500 0.725 0.350 0.575 0.400 0.121 变量5 0.725 0.725 0.575 0.575 0.400 0.170
S1=a×b S2=a1×b1
两个公式对比结论：第一个公式是正确的，可用于任意四棱台体积计算。
第二个公式只有当a=b,a1=b1时才成立。
(a+a1)*H/2*2
变量名称 a b a1 b1 H 第一个公式计算的体积
变量1 0.950 0.950 0.800 0.800 0.450 0.345
变量2 0.950 0.590 0.800 0.440 0.450 0.204
变量3 0.590 0.590 0.440 0.440 0.450 0.120
变量4 1.000 0.500 0.850 0.350 0.400 0.158
Байду номын сангаас
变量2 0.500 0.500 0.350 0.350 0.400 0.803
变量3 0.725 1.000 0.575 0.850 0.400 1.749
变量4 0.500 0.725 0.350 0.575 0.400 1.061
变量5 1.000 0.500 0.850 0.350 0.400 1.378
四棱台体积公式二 V＝H/3×[S1+S2+SQRT(S1×S2)]
两个公式对比结论：第一个公式
可以看出以上变量1-3是截头四棱锥，变量4是正方体，变量5是长方体。
第二个公式只有当a=b,a1=b1时
四棱台表面（上+侧） 变量名称 a b a1 b1 H 第一个公式计算的体积
变量1 1.000 1.000 0.850 0.850 0.400 2.203