(完整版)几何模型(word版)

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完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。

这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。

同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。

如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。

在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。

题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。

证明CD等于GF。

题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。

证明△PBC是正三角形。

题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。

证明A2B2C2D2是正方形。

题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。

证明∠DEN＝∠F。

题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。

1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。

1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。

PB+PC>BC。

PC+PA>CA。

将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。

2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。

由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。

几何必会模型：手拉手模型

本文为word 版资料，可以任意编辑修本文为word 版资料，可以任意编辑修手拉手模型模型手拉手如图，△ ABC 是等腰三角形、△ ADE 是等腰三角形，AB = AC, AD = AE ，/ BAC = Z DAE =:-. 结论：连接 BD 、CE ，则有△ BADCAE . 模型分析如图①，/ BAD = Z BAC-Z DAC ，/ CAE =Z DAE-Z DAC . •••/ BAC =Z DAE =:-, •••Z BAD = Z CAE . 在厶BAD 和厶CAE 中，【AB =AC , ■' /BAD - • CAE , AD =AE ,图②、图③同理可证. (1)这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成. 在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.(2) 如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型.(3) 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.EDBC图①BC图②BC图③模型实例例1如图，△ ADC与厶EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H，问:(1)AG与CE是否相等？(2)AG与CE之间的夹角为多少度?解答:(1)AG = CE.理由如下:•••/ ADG = Z ADC + Z CDG , / CDE = Z GDE + Z CDG , / ADC = Z EDG = 90°,•••/ ADG = Z CDE .在厶ADG和厶CDE中,AD 二 CD ,■■: /ADG 二■ CDE ,DG 二DE ,• AG = CE .(2)v^ ADG 也厶 CDE ,•••/ DAG = Z DCE .•••/ COH = Z AOD ,•••/ CHA = Z ADC = 90°.• AG与CE之间的夹角是90°.例2如图，在直线AB的同一侧作△ 形，连接AE、CD，二者交点为 H .求证：(1 )△ ABE◎△ DBC ;(2)AE = DQ ;(3)/ DHA = 60°(4) A AGB ◎△ DFB ;(5) A EGB ◎△ CFB ;(6)连接 GF , GF // AC ; ABD和厶BCE,A ABD和厶BCE都是等边三角G(7)连接 HB, HB 平分/ AHC .证明：(1 )Z ABE = 120° / CBD = 120° 在厶ABE和厶DBC中，BA 二 BD ,/ABE ZDBC ,BE =BC ,•••△ ABE◎△ DBC .(2)T A ABE◎△ DBC ,•AE= DC.(3) A ABE◎△ DBC,•••/ 1 = Z 2.•••/ DGH =Z AGB .•••/ DHA =Z 4= 60°(4)vZ 5= 180° — / 4-Z CBE= 60°•4=/ 5.•/△ ABE也厶 DBC ,•/ 1 = / 2.又••• AB = DB,•△ AGB◎△ DFB (ASA).(5)同(4)可证△ EGB也厶 CFB ( ASA ).(6)如图①所示，连接 GF .由(4)得，△ AGB◎△ DFB .•BG= BF.又•••/ 5 = 60°•△ BGF是等边三角形.•/ 3= 60°••/ 3=/ 4 .• GF // AC .(7)如图②所示，过点 B作BM丄DC于M，过点B作BN丄AE于点N .•/△ ABE◎△ DBC ,•S^ABE = S A DBC .1 1•••丄X AE X BN=丄X CD X BM .2 2•/ AE= CD,•BM = BN .•••点B在/ AHC的平分线上. A B C图②••• HB 平分/ AHC . 练习： 1.在厶ABC 中，AB= CB,Z ABC = 90 ° F 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，且 AE =CF .(1) 求证：BE= BF ;(2) 若/ CAE = 30° 求/ ACF 度数.答案：(1) 证明：/ ABC = 90° . 在 Rt △ ABE 和 Rt △ CBF 中， CF = AE , AB 二CB ,• Rt △ ABE 也 Rt △ CBF (HL ). • BE= BF.(2) v AB = CB,Z ABC = 90° • / BAC =Z BCA = 45° • / CAE = 30°• / BAE = 45° — 30° = 15° . •/ Rt △ ABE 也 Rt △ CBF , • / BCF = Z BAE = 15° .• / ACF = Z BCF + Z BCA = 15° + 45° = 60° .2. 如图，△ ABD 与厶BCE 都为等边三角形，连接求证：(1) AE= DC ;(2) Z AHD = 60°(3) 连接 HB, HB 平分/ AHC .答案：(1)vZ ABE =Z ABD — Z EBD ，/ DBC =Z EBC —Z EBD ，/ ABD = Z EBC = 60° • / ABE =Z DBC . 在厶ABE 和厶DBC 中,AE 与CD ，延长AE 交CD 于点H .CAB 二 DB , M ABE Z DBC , BE =BC ,• AE= DC.(2)：公 ABE◎△ DBC ,•••/ EAB =Z CDB .又•••/ OAB + Z OBA = Z ODH +Z OHD ,•••/ AHD =Z ABD = 60°(3)过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点 M、N .ABE也厶 DBC ,--S^ABE= S A DBC .1 1即—AE • BM = - CD • BN.2 2又••• AE = CD,•BM = BN .•HB 平分/ AHC .3.在线段AE同侧作等边△ ABC和等边△ CDE (/ ACEv 120 ° ,点P与点M分别是线段BE和AD的中点.求证：△ CPM是等边三角形.答案：证明：•••△ ABC和厶CDE都是等边三角形, • AC = BC, CD = CE . •••/ ACB =Z ECD = 60°.• / BCE =Z ACD .•△ BCE◎△ ACD .•/ CBE =Z CAD , BE = AD .又•••点P与点M分别是线段 BE和AD的中点, • BP= AM .在厶BCP和厶ACM中,BC =AC ,CBE = CAD ,BP = AM ,• △ BCP◎△ ACM .CPD•PC = MC,Z BCP =Z ACM .•/ PCM =Z ACB = 60°.•△ CPM是等边三角形.4.将等腰Rt△ ABC和等腰Rt△ ADE按图①方式放置，/ A= 90° AD边与AB边重合,AB= 2AD = 4.将△ ADE 绕A 点逆时针方向旋转一个角度 a (0 °< a < 180 °, BD 的延长线交CE 于P.(1) 如图②，求明： BD = CE, BD 丄CE; (2)如图③，在旋转的过程中，当 AD 丄BD 时，求CP 长.答案：(1) v 等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ,••• AB= AC, AD = AE,Z BAC =Z DAE = 90° •••/ DAB = 90° — / CAD ，/ CAE= 90° — / CAD , •••/ DAB = / CAE . • △ ABD ◎△ ACE . • BD = CE. • / DBA = / ECA.• / CPB =/ CAB . ( 8 字模型) • BD 丄CE. (2)由(1)得 BP 丄 CE .又••• AD 丄 BD ，/ DAE = 90° AD = AE, •四边形ADPE 为正方形. AD = PE= 2.• / ADB = 90° AD = 2, AB= 4, BD = CE= 2 .3 .• CP= CE —PE= 2 3-2 .图①E图②。

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初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“ 8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中考数学必会几何模型(含答案)

MATH微信：beijingdaxue777QQ:1456770148中考必会几何模型目录专题一角平分线相关问题模型 (3)模型1角平分线相关模型 (3)专题二8字模型与飞镖模型 (6)模型1：角的8字模型 (6)模型2：角的飞镖模型 (8)模型3边的“8”字模型 (10)模型4边的飞镖模型 (11)专题三半角模型 (15)专题四将军饮马模型 (23)模型1：直线与两定点 (23)模型2角与定点 (28)模型3两定点一定长 (31)专题五角平分线四大模型 (34)模型1角平分线的点向两边作垂线 (34)模型2截取构造对称全等 (35)模型3角平分线+垂线构造等腰三角形 (37)模型4角平分线+平行线 (39)专题六截长补短辅助线模型 (42)模型1截长补短 (42)专题七蚂蚁行程 (48)模型1立体图形展开的最短路径 (48)专题八三垂直全等模型 (55)模型1三垂直全等模型 (55)专题九手拉手模型 (62)模型1手拉手 (62)专题十相似模型 (68)模型1A、8模型 (68)模型2共边共角型 (72)模型3一线三等角型 (75)模型4倒数型 (79)模型5与圆有关的简单相似 (82)模型6相似和旋转 (85)专题十一圆中的辅助线 (89)模型1连半径构造等腰三角形 (89)模型2构造直角三角形 (90)模型3与圆的切线有关的辅助线 (94)专题十二中点四大模型 (97)模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (97)模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (99)模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (102)模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (107)专题一角平分线相关问题模型模型1角平分线相关模型（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．图1图2图3针对训练1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BO C、∠A的数量关系.3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。

完整版)初中数学经典几何模型

完整版)初中数学经典几何模型初中数学经典几何模型（模型即套路），是初中数学里的重要部分。

在解决几何证明问题时，我们可以运用这些模型，从而更加高效地解决问题。

人们常说几何很困难，其中一个难点就在于辅助线的运用。

为了更好地运用辅助线，我们需要把握定理和概念，并且刻苦加钻研，找出规律凭经验。

在绘制图形时，我们可以利用角平分线向两边作垂线，或者将图形对折来寻找对称关系。

利用角平分线的平行线，我们可以构造等腰三角形。

同时，我们也可以尝试将角平分线加上垂线，从而将三条线合为一条。

线段垂直平分线时，我们可以将线段向两端延长或缩短来验证线段的倍数与半数关系。

在三角形中，连接两中点可以构造出中位线，同时延长中线也可以等于中线。

对于平行四边形，我们可以找到对称中心等分点。

在梯形中，我们可以利用高线平移一腰来解决问题。

同时，平行移动对角线，补成三角形也是常见的方法。

当证明相似时，我们可以通过比线段，添加平行线来构造相似三角形。

在等积式子比例换时，寻找线段也是很关键的。

直接证明有困难时，我们可以通过等量代换来简化问题。

在计算圆的相关问题时，我们可以利用半径与弦长计算，或者利用勾股定理来计算切线长度。

同时，在判断是否为切线时，我们可以通过半径垂线来进行辨别。

在解决相交圆的问题时，我们需要注意作公共弦。

对于内外相切的两个圆，我们可以通过切点来构造公切线。

同时，我们也可以利用连心线来确定切点。

在绘制图形时，我们需要注意勿改变虚线的位置。

基本作图也是很关键的，我们需要熟练掌握。

在解题时，我们需要多动脑筋，经常总结方法。

同时，我们也需要注意方法的灵活性，不要盲目乱添线。

在选用分析综合方法时，我们需要根据具体情况进行选择。

最重要的是，我们需要虚心勤学，加以苦练，才能在数学上取得更好的成绩。

斜边上作高线，比例中项一大片。

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在斜边上作高线，可以得到比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

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通过计算半径和弦长，可以得到弦心距。

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型OD ECABAED DOECBABOC ECAEDD图2图 2、手拉手模型 - 旋转型全等D E③OE 平分∠ AED图 2图 1 OABD OAO ②∠ AEB=∠AOB ；且∠ COD=∠AOB1）等边三角形3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形图 1图 1C结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；C条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ，如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。

小升初数学几何五大模型-纯wordA4幅面小边距适合打印编辑-

小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③AB//CD则S△ACD=S△BCD；反之， S△ACD=S△BCD，则直线AB//CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF 的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点S△ABC:S△ADE=（AB×AC）:（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD 交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。

(完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型.docx

最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是 45°、30°、22.5°、15°及有一个角是 30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

(完整word版)用几何画板画双曲线

用几何画板画双曲线一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程:设M （x , y ）是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c 〉0）,则如图建立直角坐标系,又F 1、F 2的坐标分别是F 1（－c , 0), F 2(c , 0），若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a （c 〉a 〉0），则｜|MF 1｜－｜MF 2||＝2a ,∴ay c x y c x 2)()(2222=+--++图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-b y a x 。

3．双曲线的第二定义：设动点M （x , y ）与定点F（c ， 0)的距离和它到定直线l ： x ＝c a 2的距离的比是常数a c(c 〉a 〉0）,则点M 的轨迹是双曲线.点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。

图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b （a ， b 〉0）为半径作两个圆,|OA ｜＝a ，｜OB ｜＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点,点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ,交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ,交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。

设点M 的坐标是（x ， y ),φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝｜OP |se c φ＝a se c φ,y ＝｜RM ｜＝|CN |＝｜OC |t g φ＝bt g φ， ∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec（φ是参数）.二．双曲线的画法：画法1:图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1｜＝｜OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB ｜＝2a ，（|AB |<｜F 1F 2｜)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2,使|A 1A 2｜＝｜AB |；4．在AB 延长线上分别取C ',使｜BC '｜＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ;5．分别以F 1、F 2为圆心，用｜BC ｜、｜AC ｜为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC ｜、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点"；6．依次选中点C 、点P 1 （或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3），用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双曲线。

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

(完整word版)高中数学的八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地址即可求出球半径）PPPPO 2ccccACbCba CbBCab AAaBBaBA图1图2 图3 图 4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a 2b 2c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（C）A ． 16B． 20C． 24D ． 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是9解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2h 24 416 24 ， S 24 ，选 C ；（ 2） 4R 23 3 3 9， S4 R 29（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。

36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明以下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CDAB ， AB 平面 SCD ，AB SC ，同理： BC SA ， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（ 3） -2 ，AM MN ， SB// MN ，SACAM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ，SB SA SB SC ，SB SA ， BC SA，，DHEB(3) 题-1SA 平面 SBC ，SA SC ，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，M(2R) 2( 23)2 ( 2 3)2( 2 3)2 36 ，即 4R 236 ，AC正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36NB（ 4）在周围体S ABC 中，SA平面 ABC ，BAC120, SA AC2, AB1, 则该周围体的外接球的表面积为（D） A.11 B.71040 C. D .333（ 5）若是三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、，那么它的外接球的表面积是（ 6）已知某几何体的三视图以下列图，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（ 4）在ABC 中，BC2AC2AB 22AB BC cos1207 ，BC7 ，ABC 的外接球直径为2r BC7 2 7，BAC33sin2(2R) 2( 2r ) 2SA2(27)2440， S40，选 D333（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c（ a, b, c R），则ab12bc8，abc24 ，a3， b4， c 2 ，( 2R)2a2b2c229 ， S 4 R229 ，ac6（ 6）(2 )2a2b2c23， R233R， R24PV4R34333，3382A C种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1．题设：如图 5，PA平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O1为ABC 的外心，所以OO1平面 ABC ，算出小圆O1的半CA O1D径 O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得Ba b c1PA ；图 5 2r ）， OO1sin A sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA 2(2r )22R PA2(2r )2；2．题设：如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点PPPPOOO OCCCCAO 1DAA O 1O 1O 1BABBB图 6 图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO 2BCO 2CO 2DBDBOOO图8-1 图8-2 图8-3解题步骤：第一步：确定球心 O 的地址，取ABC 的外心 O 1 ，则 P,O, O 1 三点共线；第二步：先算出小圆 O 1 的半径 AO 1 r ，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA 2O 1 A 2 O 1O 2R 2( h R) 2 r 2 ，解出 R方法二：小圆直径参加构造大圆。

(完整word版)几何证明——角平分线模型(高级)

几何证明一角平分线模型（高级）【经典例题】例1、已知如图，ZBC中，BC = AC, AD平分ZCAB.若ZC = 100°,求证：AB = AD+CD.例久如图，已知在A4BC中，ZB = 60° , A4BC的角平分线AD.CE相交于点O,求证：AE+CD = AC.例 3.如图，平分ZABC. ZADB = 45°,丄BC,求ZAEQ.例4、已知，如图A4BC中，AD为AABC的角平分线，求证：AB DC = AC BD.例5、如图，已知P为锐角'ABC内一点，过P分别作BC, AC, A3的垂线，垂足分别为D, E, F , BM 为ZABC的平分线，MP的延长线交A3于点N：如果PD=PE+PF,求证：CN是ZACB的平分线。

A例6、如图，在梯形ABCD中，ADIIBC、AB = DC^ ZABC= 80°, E是腰CD±-点，连接BE、AC. AE,若ZACB = 60°, ZEBC= 50°,求ZEAC的度数.A D例入已知：A4BC中，ABvBC, AC的中点为A/, MN丄AC交ZABC的角平分线于W・(1)如图I,若ZABC= 60°,求证：BA + BC = y[iBN ；(2)如图2,若ZABC=120°,则34、BC、3N之间满足什么关系式•并对你得出的结论给予证明.【提升训练】1＞在AABC中，AB＞AC, AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:2、如图，在A4BC中，ZA等于60\ 3£平分ZABC.CD平分ZACB，求证：DH = EH。

3.如图所示，在AABC中，AD平分ABAC, AD = AB, GW丄A£＞于M,求证:4、已知/是MBC内角平分线的交点，A/交对应边于求证: Al AB + AC75 _ BCAB-AC A PB -PC ・AB + AC = 2AM.5、（1）如图，BD 、CE 分别是A4BC 的外角平分线，过点A 作AF 丄BD ，AG 丄C£,垂足分别为F 、 G ,连接FG,延长AF. AG,与直线8C 相交，求证：FG = ^（AB+BC +AC ）.（2）若BD 、CE 分别是AABC 的内角平分线（如图（2））,过点A 作AF 丄BD, AG 丄CE,垂足分别为F 、G,连接FG,线段FG 与A4BC 三边有怎样的数量关系？：（3）若ED 为ZABC 的内角平分线，CE 为的外角平分线（如图（3））,过点A 作4F 丄8D ， AG 丄CE,垂足分别为尸、G ,连接FG,则线段FG 与A4BC 三边又有怎样的数量关系？⑴ ⑵ ⑶6、如图，已知BD, CE 为的角平分钱，F 为DE 的中点，点F 到AC,. 1 . S FG = a , FH = b, FM=c,若L -c-2o/? + — 〃广一2加 +二=0。

(完整word版)高中数学八个有趣模型——搞定空间几何体外接球与内切球

八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地点即可求出球半径）PPPPO 2ccccACbCba CbBCabAAaBBaBA图1图2 图3 图 4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a 2b 2c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（C）A ． 16B． 20C． 24D ． 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是9解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 24 416 24 ， S 24 ，选 C ；（ 2） 4R 23 3 3 9， S4 R 29（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。

36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明以下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连结 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连结 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CDAB ， AB 平面 SCD ，AB SC ，同理： BC SA ， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，此题图如图（ 3） -2 ，AM MN ， SB// MN ，SACAM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA SB SC ， SB SA ， BC SA，，DHEB(3) 题-1SA 平面 SBC ，SA SC ，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两相互垂直，M(2R) 2 ( 2 3)2 ( 2 3)2( 2 3)2 36 ，即 4R 236 ，AC正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36NB(3) 题-2（ 4）在四周体S ABC 中，SA 平面 ABC ，BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四周体的外接球的表面积为（ D ）10 40C. D .333（ 5）假如三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、，那么它的外接球的表面积是（ 6）已知某几何体的三视图以下图，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为分析：（ 4）在ABC 中，BC2 AC2 AB 2 2AB BC cos120 7 ，BC 7 ，ABC 的外接球直径为2r BC 7 2 7 ，BAC 3 3sin2(2R) 2 ( 2r ) 2 SA2 ( 2 7 )2 4 40 ， S 40 ，选 D3 3 3（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c（ a, b, c R ），则ab 12bc 8 ，abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ，( 2R)2 a2 b2 c2 29 ， S 4 R2 29 ，ac 6（ 6）(2 )2 a 2 b 2 c 2 3 ， R 2 3 3R ， R24PV 4 R3 4 3 3 3 ，3 3 8 2A C种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1．题设：如图 5，PA 平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连结 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O1为ABC 的外心，因此OO1平面 ABC ，算出小圆O1的半CA O1 D径 O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 Ba b c1PA ；图 5 2r ）， OO1sin A sin B sin C 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2 PA 2 (2r )2 2R PA2 (2r )2 ；② R2 r 2 OO12 Rr 2 OO122．题设：如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点PPPPOOO OCCCCAO 1DAA O 1O 1O 1BABBB图 6 图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO 2BCO 2CO 2DBDBOOO图8-1 图8-2 图8-3解题步骤：第一步：确立球心O 的地点，取 ABC 的外心 O 1 ，则 P,O, O 1 三点共线；第二步：先算出小圆 O 1 的半径 AO 1r ，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： OA2O 1 A 2 O 1O2R 2 ( h R) 2 r 2 ，解出 R方法二：小圆直径参加结构大圆。

(完整word版)几何画板实例教程

例1、作出长方形绕其一边旋转成圆柱体的过程。

1、用自定义工具画一个椭圆(中心为O)，在椭圆上任取一点A；1）绘制一个圆，圆心为O，并在圆周上取一点B。

同时选中O和B点，单击“构造/直线”构造直线BO；2）构造圆与直线交点于C；3）在圆上任取一点E，过E构造直线BC垂线，垂线与直线将于F点；4）中EF一，两点。

构造线段EF；5）选取EF，“构造/中点”于G点；6）同时选中G点和E点，单击“构造/轨迹”，构造出椭圆L。

2、选中点O和A，将它们向下平移适当的距离，得到点O’和A’，画出四边形内部，连结AA’，并跟踪AA’；3、作点A在椭圆上的动画，并隐藏椭圆，点击动画按纽以，观看效果。

例2、从正方体上切下一个小三棱锥1、如图，作一个正方体，点A、B、C是图中正方体上三边上的任三个点；2、任作一点S’，让S’点分别按标记向量SA、SB、SC平移得到点A’，B’，C’ ；3、在点C’的旁边画一点M，分别作点C’向点C、点C’向点M移动的动画按纽；4、用不同颜色标出立体图形的侧面，隐藏多余的图形。

例3、作正六边形在平面内的投影1、如图，点O为旋转中心，点A旋转60度生成点B，点B旋转60度生成点C，……；作正六边形A BCDEF的内部，任选一点M，连结DM、BM，作直线AB；2、在正六边形内部（边沿）选一点N，过N分别作NN’垂直直线AB于点N’，NP平行于DM，过N’作N’P平行于BM，BM交NP于点P；3、选中点N和点P，点击轨迹命令，隐藏多余的图形，拖动点M可改变投影的形状。

例4、作一个旋转的正方体1、作线段a、b,选中a、b标记线段比;2、作圆O，作一条经过点O的直线l,在圆O上取一点A，让它以O为中心旋转90度得A’；3、作AC垂直直线l于点C，标记点C，，让点A按标记比缩放得点B，同理将点A’缩放得到点D，作点A在圆O上和动画，隐藏多余的图形；4、让点B和D绕点O旋转180度得点E和F，作四边形BDEF，让四边形BDEF向上平移适当距离，连结对应顶点。

几何五大模型之五(燕尾定理)(可编辑修改word版)

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD , BE 車CF 相交于同一点0 , 那么， S^Bo: S 火O = BD : DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段.因为AABO 和"CO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径•通过一道例题jg明蘇尾圭］si如右图，D 是BC 上任憲一点，请你说明：S,:S,=S, :S, = BD :DC分别以BD 、DC 为底.所以有S\ ：S4 = BD :DC ；S]: 5；= ED : EA ；Sj ・ S 严 ED : EA ,所以 SpSj=S2：S3；综上可得.S\：S, = S J S L BD:DC ・燕尾定理例题精讲【解析】三角形BED 与三角形CED 同高, 三命形ABE 与三角形EBD 同高，三育形ACE 与三角形CED 同高,【例1] （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图,三角形MC的面枳是1 , £是2的中点"点D在BC上，且BD:DC = 1:2 , AD与BE交于点F•则四边形"EC的面积等于______________ •【巩固】如图，已知BD"C , EC = 2AE "三角形ABC的面积是30 ,求阴影部分面枳.A▲B D C【巩固]三角形ABC的面积是200 cm2，£在加;上，点D在BC上，且AE: EC = 3:5冷。

：DC = 2:3 , AD与BE 交于点F •则四边形DFEC的面积等于____________________ •【巩固】如图，已知BD = 3DC , EC = 2AE , BE与CD相交于点O侧△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面枳的几分之几？【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在△ABC中，CP』CB , CQ』CA , BQ与AP相交于2 3点X ,若△ABC的面积为6 ,则△ABX的面积等于.【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1 , BD = 2DC , CE = 2AE , AD 与肚相交于点F ，谴写出这4部分的面积各是多少？B【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上,且A£:£C = 2:3・ BD;DC=\:2 , AD 与BE 交于点F •四边形DFEC 的面积等于22 cm2 ,则三角形ABC 的面丰__________ •【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知AC = 2 , CD = 2 ■ CB = 3 , AM = BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面枳为多少？【例3] ABCD 是边长为12厘米的正方形* E. F 分别是AB. AGCD的面积 ____________________ 平方厘米.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,EC = IDE 平方厘米？，尸是DG 的中点•阴影部分的面积是多少【例2]如图所示■在四边形ABCD 中,AB = 3BE , AD = 3AF 形BODC 的面积为 ____________ . ■四边形AEOF 的面积是12 .那么平行四边BC 边的中点，AF 与CE 交于G 则四边形 BDEC【例4】如图，正方形MCD的面积是120平方厘米，£是佔的中点，F是BC的中点，四边形BG//F的面枳平方厘米-【例5】如图所示，在△佔C中，BE:EC = 3A , Q是肚的中点，那么AF:FC =【IH@】在MBC中，BD:DC = 3 :2 , AE .EC = 3 A ,求OB :OE= ?【IKS】在AABC 中，BD:DC = 2A , AE\EC=U3 ,求OB:OE= ?【例6] （ 2009年淸华附中入学测试题）如图,四边形ABCD是矩形.E. F分别是AB. BC上的点,且AE^[A B,CF=\B C■ AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面枳为120,则MEG与'CGF的3 4面枳之和为【巩固】如圏，BD:DC = 2:3ME:C£ = 5:3.则AF;BF =【例8] （2008年学而思杯"六年级数学试题）如右图，三角形MC 中,AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2 , 且三角形ABC 的面积是1 ,则三角形ABE 的面枳为 _______________ ,三角形人0£的面积为形GH/的面积为 ______ •【例7】如右图，三角形ABC 中，BD:DC = 4:9 , C£;£4 = 4:3 ，求AF: FB ・【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD:DC = 3:4 , AE:CE = 5:6 ，求 AF: FB •【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD:DC = 2:3 , £4:C£ = 5:4 ，求AF: FB ・，三角 CC【巩固】如右图，三角形中，AF:FB = BD:DC 二CE:AE = 3;2，且三角形GH/的面积是1，求三角形 ABC 的面积•【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花0 ”初S 六年级）如图,MBC 中BD = 2DA , CE = 2EB ,AF = 2FC ,那么AABC 的面枳是阴影三角形面积的 ___________倍.4B E C【巩固】如图在aBC ■中，DC = EA = FB=1”求qsmmi你的値.2 △ABC 的面积课后作业8£与（/）相交于点0,则△ABC被分成的4部分面积各占两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别*3, 7,则阴影四边形的面积是多少？1、如图，已知 BD = 3DC , EC = 2AE ,△ABC 面积的几分之几？△G///的而积 2、 FA3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是•4.如图，三角形ABC的面积是1, BD = 2DC , CE = 2AE. AD与肚相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少？5.如右图，三角形ABC 中，BD:DC = 4:9 ,C£:£4 = 4:3 ,求AF: FB •。