2020中考复习 乘法公式的综合运用
中考复习专题：乘法公式和因式分解考点梳理
中考复习专题：乘法公式和因式分解考点梳理在中考中，乘法公式和因式分解部分要求我们能够利用乘法公式进行简单计算，并且能够用提公因式法和公式法进行因式分解。
乘法公式与因式分解不仅仅是一个重要的知识点，还是一种数学方法，广泛运用于整式、分式化简与求值、解方程等，是中考的必考知识点，属于基础知识，以中低档题形式出现。
一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
(a＋b)(a－b)＝a2－b2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方。
(a±b)2＝a2±2ab＋b2【考点3 因式分解】1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2.分解因式与整式乘法的关系是互逆的．3.分解因式的基本方法（1）提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)。
（2）运用公式法：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2。
二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反。
【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【答案】D。
【分析】由非负数的性质得出a﹣b＝2，a+b＝﹣3，求出a，b的值，再代入a2﹣b2进行计算即可。
【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，∴a﹣b＝2，a+b＝﹣3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6；故选：D。
【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±8 B．4 C．﹣2 D．±2【答案】A。
2020年广东省中考数学总复习：整式的乘除第3讲《乘法公式》
2020年广东省中考数学总复习：整式的乘除第3讲《乘法公式》模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=； 22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+知识点睛222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++板块一：公式的几何意义【例1】 如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.【答案】如图，左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为()()a b a b +-，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【巩固】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.【答案】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--【巩固】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.【答案】左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为例题精讲a bb a。
(完整版)乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。
一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。
例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。
例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。
例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。
例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。
例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。
例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
中考数学专题复习课件：8.乘法公式的灵活运用(共9张PPT)
(①＋②)÷2得a2＋b2＝5 (①－②)÷4得ab＝1 ∴a2＋b2＋ab＝5＋1＝6
方法总结 平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方和公式：
完全平方差公式：
(a＋b)2 ＝a2＋b2+2ab
(a－b)2 ＝a2＋b2+2ab
以上公式表达了完全平方和(差)与平方和、乘积之间的关系，如果知道其 中的部分量，可以运用公式求出剩下的量.
乘法公式的灵活运用
乘法公式实质是多项式乘法的简便运算，运用乘法公式同样也可以简化 某些乘法运算，下面略举一二.
类型一：利用乘法公式进行简便运算 运用乘法公式简便计算： (1)9982 (2)19.7×20.3
解：⑴9982 ＝(1000－2) 2 ＝10002－2×1000×2＋22 ＝100 0000－4000＋4 ＝996004
当a＋b＝5，ab＝3时
原式＝52－2×3 ＝19
＝(a＋b)2－4ab
当a＋b＝5，ab＝3时 原式＝ 52－4×3 ＝13
已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，求a2＋b2＋ab的值为______________. 解：由(a＋b)2＝7得a2＋b2＋2ab＝7① 由(a－b)2＝3得a2＋b2－2ab＝3②
•qLC0-8R425cbnmdswaqLC0-8R425cbnmd关于文化多样性，中国古代先贤早就提出了“和而不同”的思想。今天，在尊重文化多样性的基础上推动文化交流互鉴，既是发展本民族文化的内在要求，也是实现世界文化繁荣的必然选择。
•早在人类文化发展的上古时期，文化的发展就不是一个模式，而是形成多个文化体系，呈现多样形态。此后，不同文化并不是孤立地、互不联系地发展，而是在相互交流、对话、学习、碰撞中前行，逐渐形成“你中有我、我中有你”的格局。而不同文明的接触，常常成为人类进步的里程碑： 希腊学习埃及，罗马学习希腊，阿拉伯学习罗马帝国，中世纪欧洲学习阿拉伯，文艺复兴时期的欧洲又学习东罗马帝国。欧洲文化的发展状况是这样，东亚也是如此：日本明治维新之前，日本学习借鉴中国；明治维新之后，中国通过日本学习世界。中国从印度引入佛教，之后中国佛教影响东 亚、东南亚大片区域。人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展中的文化，其民族性往往更为鲜明突出，更符合民族文化发展的 需要。以中国绘画为例，“六朝以来，就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展 中的文化，其民族性往往更为鲜明突出，更符合民族文化发展的需要。以中国绘画为例，“六朝以来，就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断
专题一--乘法公式及应用
专题一乘法公式的复习一、复习:（a+b)(a—b）=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2（a+b）(a2-ab+b2)=a3+b3（a—b）(a2+ab+b2）=a3－b3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值.解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ，求2)(b a -的值.解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998例4:已知a+b=2，ab=1,求a 2+b 2和(a —b)2的值。
最新人教版初中八年级上册数学【乘法公式的综合运用】教学课件
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3 ，求 a 2 + b 2 的值.
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
分析： (a+b)2
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2=a2−2ab+b2. 注意：公式中的a、b可以表示数或式子.
课堂总结
2.平方差公式： (a+b)(a−b)=a2−b2.
逆用： a2−b2=(a+b)(a−b).
课堂总结
3.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2=a2−2ab+b2.
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
解： (3) (x+y)2 −(x−y)2
= x2+2xy+y2−(x2−2xy+y2) = x2+2xy+y2−x2+2xy−y2 = 4xy.
方法一：
完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2.
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
解： (3) (x+y)2 − (x−y)2
常用变形形式： a2+b2=(a+b)2−2ab； a2+b2=(a−b)2+2ab； (a+b)2=(a−b)2+4ab.
课堂总结
4.灵活运用公式： 整式的混合运算
观察特征 适当变形 乘法公式的形式
专题一乘法公式及应用
专题一乘法公式的复习一、复习:a+ba-b=a2-b2 a+b2=a2+2ab+b2 a-b2=a2-2ab+b2a+ba2-ab+b2=a3+b3 a-ba2+ab+b2=a3－b3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式：①位置变化,xyyxx2y2②符号变化,xyxyx2y2 x2y2③指数变化,x2y2x2y2x4y4④系数变化,2ab2ab4a2b2⑤换式变化,xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化,xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化,xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z4xy 4xz例1．已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和a-b 2的值;例5：已知x-y=2,y-z=2,x+z=14;求x 2-z 2的值;例6：判断2+122+124+1……22048+1+1的个位数字是几例7．运用公式简便计算11032 21982例8．计算1a 4b 3ca 4b 3c 23xy 23xy 2例9．解下列各式1已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值;2已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值;3已知aa 1a 2b 2,求222a b ab +-的值; 4已知13x x -=,求441x x +的值;例11．计算 1x 2x 12 23mnp 2两数和的平方的推广abc 2abc 2 ab 22abcc 2 a 22abb 22ac 2bcc 2a 2b 2c 22ab 2bc 2ac 即abc 2a 2b 2c 22ab 2bc 2ac几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍;二、乘法公式的用法一、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力;例1. 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y二、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题;例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题;例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+四、变用: 题目变形后运用公式解题;例5. 计算：()()x y z x y z +-++26五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题;这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力;例6. 已知a b ab -==45，,求a b 22+的值;解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22三、学习乘法公式应注意的问题一、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”．例1 计算-2x2-52x2-5分析：本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”是公式a+ba-b=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b．解：原式=-5-2x2-5+2x2=-52-2x22=25-4x4．例2 计算-a2+4b2分析：运用公式a+b2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b；若将题目变形为4b-a22时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b．解略二、注意为使用公式创造条件例3 计算2x+y-z+52x-y+z+5．分析：粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔2x+5+y-z〕〔2x+5-y-z〕=2x+52-y-z2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例4 计算a-12a2+a+12a6+a3+12分析：若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运算法则,则可利用乘法公式,使运算简便．解：原式=a-1a2+a+1a6+a3+12=a3-1a6+a3+12=a9-12=a18-2a9+1例5 计算2+122+124+128+1．分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项2-1,则可运用公式,使问题化繁为简．解：原式=2-12+122+124+128+1=22-122+124+128+1=24-124+128+1=28-128+1=216-1三、注意公式的推广计算多项式的平方,由a+b2=a2+2ab+b2,可推广得到：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍．例6 计算2x+y-32解：原式=2x2+y2+-32+2·2x·y+2·2x-3+2·y-3=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．四、注意公式的变换,灵活运用变形公式例7 1已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值；2已知：x+2y=7,xy=6,求x-2y2的值．分析：粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=x+y2-2xy,x3+y3=x+y3-3xyx+y,x+y2-x-y2=4xy,问题则十分简单．解：1∵x3+y3=x+y3-3xyx+y,将已知条件代入得100=103-3xy·10,∴xy=30 故x2+y2=x+y2-2xy=102-2×30=40．2x-2y2=x+2y2-8xy=72-8×6=1．例8 计算a+b+c2+a+b-c2+a-b+c+b-a+c2．分析：直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出a+b2+a-b2=2a2+b2,因而问题容易解决．解：原式=a+b+c2+a+b-c2+c+a-b2+c-a-b2=2a+b2+c2+2c2+a-b2=2a+b2+a-b2+4c2=4a2+4b2+4c2五、注意乘法公式的逆运用例9 计算a-2b+3c2-a+2b-3c2．分析：若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多．解：原式=a-2b+3c+a+2b-3ca-2b+3c-a+2b-3c=2a-4b+6c=-8ab+12ac．例10 计算2a+3b2-22a+3b5b-4a+4a-5b2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便．解：原式=2a+3b2+22a+3b4a-5b+4a-5b2=2a+3b+4a-5b2=6a-2b2=36a2-24ab+4b2四、怎样熟练运用公式：一、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．二、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算x+2y－3z2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用a－b2=a2－2ab+b2来解了;三、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化 如3x +5y 5y －3x 交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化 如－2m －7n 2m －7n 变为－2m +7n 2m －7n 后就可用平方差公式求解了思考：不变或不这样变,可以吗3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为100－2100+2,100－12,90+12后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如4m +2n 2m －4n 变为22m +4n 2m －4n 后即可用平方差公式进行计算了．5、项数变化 如x +3y +2zx －3y +6z 变为x +3y +4z －2zx －3y +4z +2z 后再适当分组就可以用乘法公式来解了．四、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算a 2+12·a 2－12,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便．即原式=a 2+1a 2－12=a 4－12=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向从左到右运用是远远不够的,还要注意逆向从右到左运用．如计算1－2211－2311－241…1－2911－2101,若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题．即原式=1－211+211－311+31×…×1－1011+101=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=a +b 2－2ab ,a 2+b 2=a －b 2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7,mn =－18,求m 2+n 2,m 2－mn + n 2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解,即m 2+n 2=m +n 2－2mn =72－2×－18=49+36=85,m 2－mn + n 2= m +n 2－3mn =72－3×－18=103．下列各题,难不倒你吧1、若a +a 1=5,求1a 2+21a ,2a －a 12的值． 2、求2+122+124+128+1216+1232+1264+1+1的末位数字．答案：1.123；221．2. 6。
第1讲 乘法公式的综合应用(教师版)
知识总结典型例题1已知2若3当4已知知识总结典型例题5若6若7若8填空：9已知10请回答下列各题：1112若13如果我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．14已知15已知16已知实数17已知18当19已知20关于多项式21当22已知23阅读材料：把形如。
乘法公式的综合运用计算题
乘法公式的综合运用计算题在咱们的数学学习中啊，乘法公式那可是个相当重要的家伙！像什么完全平方公式、平方差公式，在解决计算题的时候，那用处可大了去了。
就拿这么一道题来说吧，计算$(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2$。
这道题看着是不是有点让人头疼？别急，咱们一步步来。
先看前面的$(3x + 2y)^2$，根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，那它就等于$9x^2 + 12xy + 4y^2$。
再看后面的$(3x - 2y)^2$，同样根据完全平方公式，它就是$9x^2 - 12xy + 4y^2$。
然后把这两个式子相减，$9x^2 + 12xy + 4y^2 - (9x^2 - 12xy +4y^2)$，去括号可得：$9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2$这时候，好多项就可以相互抵消啦，$9x^2 - 9x^2 = 0$，$4y^2 -4y^2 = 0$，剩下的就是$12xy + 12xy = 24xy$。
再比如说这道题，计算$(2a + 3b)(2a - 3b)$，这就得用到平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
所以这道题就是$(2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$。
记得有一次，我给班上的同学讲这类题，有个小同学总是搞不清楚什么时候用完全平方公式，什么时候用平方差公式。
我就跟他说：“你就想象啊，完全平方公式就像是一个大大的正方形房子，有自己的‘房顶’和‘四面墙’，都要算清楚；平方差公式呢，就像是两个长方形，一减就得出差别啦。
”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，后来做题的时候也很少出错啦。
还有像计算$(x + 5)^2 - (x - 5)^2$这样的题目。
按照前面的方法，先分别展开，$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$，$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$，再相减，$x^2 + 10x + 25 - (x^2 - 10x + 25) = 20x$。
乘法公式及运用范文
乘法公式及运用范文乘法公式是数学中常用的一个公式，用于计算两个或多个数相乘的结果。
在数学中，乘法公式有很多种，每种公式都有其特定的运用场景，下面将详细介绍乘法公式及其运用。
1.基本乘法公式基本乘法公式是最基础的乘法公式，用于计算两个数相乘的结果。
基本乘法公式如下：a×b=c其中，a和b是被乘数，c是积。
利用基本乘法公式，我们可以计算任意两个数相乘的结果。
2.分配律乘法公式分配律乘法公式用于计算一个数与两个数相加乘积的结果。
分配律乘法公式如下：a×(b+c)=a×b+a×c其中，a、b、c是任意实数。
利用分配律乘法公式，我们可以把一个乘法运算转换成两个乘法运算，简化计算。
3.平方公式平方公式用于计算一个数的平方。
平方公式如下：a²=a×a其中，a是任意实数。
利用平方公式，我们可以计算任意一个数的平方。
4.立方公式立方公式用于计算一个数的立方。
立方公式如下：a³=a×a×a其中，a是任意实数。
利用立方公式，我们可以计算任意一个数的立方。
5.指数公式指数公式是一种特殊的乘法公式，用于计算一个数的指数幂。
指数公式如下：aⁿ=a×a×...×a(共n个a相乘)其中，a是底数，n是指数，aⁿ是指数幂。
利用指数公式，我们可以计算任意一个数的指数幂。
运用乘法公式，我们可以在各种数学问题中快速计算数的乘积。
下面通过几个例子来说明乘法公式的运用：例1：计算乘积例题：计算15×16的乘积。
解答：根据基本乘法公式，我们可以得到：15×16=240所以，15和16的乘积是240。
例2：计算分配律乘积例题：计算2×(3+4)的乘积。
解答：根据分配律乘法公式，我们先计算括号内的加法运算，得到：3+4=7然后，用2乘以7，得到：2×7=14所以，2乘以3加4的乘积是14例3：计算平方和例题：计算(9+5)²的结果。
乘法公式的综合应用课件
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
最新人教中考总复习知识点专题乘法公式的灵活应用
专题训练(五) 乘法公式的灵活应用
解：(1)由题意，可得 12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942，所以 12×142×16＋4 是 194 的平方． (2)n(n＋2)2(n＋4)＋4＝(n2＋4n＋2)2(n 是正整数)．
专题训练(五) 乘法公式的灵活应用
9．2018·武汉市江汉区校级月考 阅读材料：若 m2－2mn＋2n2－8n ＋16＝0，求 m，n 的值． 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0， ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0. ∴(m－n)2＋(n－4)2＝0. ∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0， ∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0. ∴n＝4，m＝4. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知 x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，求 2x＋y 的值； (2)已知△ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足 a2＋b2－12a －16b＋100＝0，求△ABC 的最大边长 c 的值．
专题训练(五) 乘法公式的灵活应用
解：(1)∵a＋b＝6，ab＝2， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝62－2×2＝32. (2)∵a2＋b2＝32，ab＝2， ∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝32－4＝28. (3)∵a2＋b2＝32，ab＝2， ∴a2－ab＋b2＝a2＋b2－ab＝32－2＝30.
解：(1)x2＋y2＝12[(x＋y)2＋(x－y)2]＝12×(6＋2)＝4. (2)xy＝14[(x＋y)2－(x－y)2]＝14×(6－2)＝1.
专题训练(五) 乘法公式的灵活应用
3．阅读下列解题过程： 已知 x≠0，且满足 x2－3x＝1，求 x2＋x12的值． 解：∵x2－3x＝1，∴x2－3x－1＝0. 又∵x≠0， ∴x－3－1x＝0，即 x－1x＝3. ∴x2＋x12＝x－1x2＋2＝32＋2＝11. 请根据上述解题思路解答下列问题： 若 a2－5a－1＝0，且 a≠0，求 a2＋a12的值．
第18讲 乘法公式综合应用
第18讲 乘法公式综合应用【学习目标】1.回顾暑期学习的乘法公式，并学习其应用；2.乘法公式与不等式综合，锻炼放缩能力求最值；3.学习并使用新的乘法公式.【专题简介】乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。
乘法公式是整式恒等变形的基础之一，是整个代数的运算的基础之一，因此乘法公式的熟练使用将直接影响初中代数能力，而学习乘法公式的关键就在多练习多应用.知识点睛【常见乘法公式】1.二元二次：（1）（a+b ）（a-b ）=__________________；（2）（a+b ）2=__________________.2.三元二次：（3）（a+b+c ）2=____________________；（4）a 2+b 2+c 2+ab+bc+ac=___________________________________.3.二元三次：（5）（a+b ）3=_________________________；（6）a 3+b 3=_____________________________.4.三元三次：（7）（a+1）（b+1）（c+1）=abc+ab+bc+ac+a+b+c+1；（8）（a+b ）（b+c ）（c+a ）=a 2b+b 2c+c 2a+ab 2+bc 2+ca 2+2abc ；（9）（a+b+c ）（ab+bc+ca ）=a 2b+b 2c+c 2a+ab 2+bc 2+ca 2+3abc ；（10）a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）.5.三元四次：（11）（a+b+c ）（a+b-c ）（b+c-a ）（c+a-b ）=-a 4-b 4-c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2；6.二元n 次：（12）)......)((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a ab a b a ； （13）)......)((122321------+++-+=+n n n n n n n b ab b a b a ab a b a （n 为奇数） 7.n 元二次：（14）nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1423213121222212212...222...22...)...(-++++++++++=+++（15）n n n n a a a a a a a a a a a a a a a 142321312122221.........-+++++++++++= ()()()[]21231221 (2)1n n a a a a a a ++++++-题型一 基本公式应用1.计算技巧※基础夯实【例1】()()()2222222222221234...20022001200220032004200520062007--++++--+---【练1】（1）2222222222221234...20012002200320042005200620072008-+-++-+-+-+-（2）计算123420071234200512342006246820082⨯-※强化挑战【例2】计算)200511(......)411()311()211(2222-⨯⨯-⨯-⨯-【练2】计算168422182********+++++++2.整数解※基础夯实【例3】已知a，b为长方形的长和宽，且均为整数，满足a2-b2=56，求长方形的面积. 【练3】证明：任意一个奇数可以写成两个连续整数的平方差.【例4】求证：1316-1能被12整除.【练4】求716被6除的余数※强化挑战【例5】求证：45能整除72n-22n.【练5】证明：101,10101,1010101，......这组数中有且只有一个质数.3.二元对称式※基础夯实【例6】（1）（2010年联赛）已知实数x ，y 满足方程组{19133=+==y x y x ，则x 2+y 2=______________. （3）（2002年竞赛）设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab,设m=a+b ，n=a-b,求22n m 的值.（3）已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，那么cb a 111++的值是（ ） A.是正数 B. 是零 C. 是负数 D.正、负不能确定【练6】（1）已知x-y=3，xy=5，求：①x 3-y 3；②x 5-y 5.（2）已知x+y=1，x 3+y 3=7，求x 5+y 5的值.※强化挑战【例7】已知（2008-a ）（2006-a ）=2007，则（2008-a ）2+（2006-a ）2的值为_______________.【练7】若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，求（n-2004）（2005-n ）的值.【例8】已知0172=+-x x ，求（1）x x 1+；（2）221x x +；（3）441xx +的值.【练8】（1）已知7122=+a a ，求a a 1+的值.（2）已知3122=+a a ，求a a 1-的值.【例9】若7112=+-x x x ，则124++x x x =____________________.【练9】若0142=++x x ，则x x x x x 21921192324++++=________________.【例10】设112=+-mx x x ，求13363+-x m x x 的值.【练10】设a a a a a a 11213232+--=-+，求aa 1+的值.题型二 二元对称式中的最值※基础夯实【例11】证明以下结论：（1）ab b a 222±≥+； （2）ab b a 4)(2≥+ ； （3）2)(222b a b a +≥+；（4）)(222ca bc ab c b a ++±≥++； （5）)(2222ca bc ab c b a ++-≥++.【练11】（1）已知a+b=4，ab=t ，求t 的取值范围.（2）ab=4，a+b=t ，求t 的取值范围.※强化挑战【例12】设a ，b 为有理数，且a 2+b 2=32，则ab 的最大值为_______,a+b 的最大值为________.【练12】设a ，b 为有理数，且a+b=20，则a 2+b 2的最小值为________，ab 的最大值为________.※巅峰突破【例13】若a+b+c=2,abc=4，求三个数中最大者的最小值.【练13】（2013年联赛）如果实数x 、y 、z 满足8)(222=++-++zx yz xy z y x ，用A 表示|x-y|，|y-z|，|z-x|的最大值，则A 的最大值为________.【拓】若实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=9，代数式（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2的最大值是__________.【李红录入】第18讲 [七年级尖端班课后作业]乘法公式综合应用【习1】（第16届希望杯2试）如果(a ＋b )2－(a －b )2＝4，则一定成立的是（ ）A 、a 是b 的相反数B 、a 是－b 的相反数C 、a 是b 的倒数D 、a 是－b 的相反数【习2】下列各式①(a －2b )(a －2b )②(－a ＋b )(－a －b )③(－a －1)(1－a )④(－x ＋y )(x －y )可以用平方差公式的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【习3】若(x ＋2)2＋(x －3)2＝13，则(x ＋2)(3－x )＝________【习4】若n 满足(n －2010)2＋(2012－n )2＝1，则(2012－n )(n －2010)＝___________【习5】设a ，b 为有理数，且a ＋b ＝20，设a 2＋b 2的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m＋n ＝____【习6】计算（1）1.23452＋0.7655＋2.469×0.7655（2）20062＋4010×2006＋20052【习7】已知x ＋y ＝10，x 3＋y 3＝100，求x 2＋y 2的值【习8】已知a 2＋1a 2＝7，求（1）a ＋1a ；（2）a －1a ；（3）(a 4＋a 2＋1)a 2【习9】已知a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝20183－c 2，求(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值．【习10】已知实数a ，b 满足a 2＋ab ＋b 2＝1，且t ＝ab －a 2－b 2，那么t 的取值范围是______．【习11】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，求①x 2＋y 2；②x 3＋y 3；③x 4＋y 4．【习12】x ＋3x ＋1＝0，求①x 2＋1x 2；②x 4＋1x 4．【习13】已知x －1x ＝32，x ＞1x ＞0，求x 2＋1x 2,x ＋1x 的值 ．【习14】设x －1x ＝83，求x ＋1x 的值．【习15】已知a ＋1a ＝5，则(a 4＋a 2＋1)a 2＝____．【习16】若a ＋1a ＝3，求a 3＋1a 3的值．【习17】设x ，y ，z 是实数，并且满足x ＋y ＋z ＝0，xyz ＝2，求│x │＋│y │＋│z │的最小值．。
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＝x2－4y2＋12y＋9； (3)(a－b－c)2.
解：原式＝ a b c2
＝(a2－2ab＋b2)－2பைடு நூலகம்(a－b)＋c2
＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc.
1．3ab－4bc＋1＝3ab－( )，括号中所填入的整式应 是( C )
A．－4bc＋1 B．4bc＋1 C．4bc－1 D．－4bc－1 2．将多项式3x3－2x2＋4x－5添括号后正确的是( B ) A．3x3－(2x2＋4x－5) B．(3x3＋4x)－(2x2＋5) C．(3x3－5)＋(－2x2－4x) D．2x2＋(3x3＋4x－5)
2．乘法公式变形 (1)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab； (5)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.
题型 一 添括号法则
【例1】按要求把多项式5a3b－2ab＋3ab3－2b2添 上括号： (1)把后三项括到前面带有“－”号的括号里； 解：原式＝5a3b－(2ab－3ab3＋2b2)； (2)把四次项括到前面带有“＋”号的括号里，把 二次项括到前面带有“－”号的括号里． 解：原式＝＋(5a3b＋3ab3)－(2ab＋2b2)．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式 第2课时 乘法公式的综合运用
1 课堂讲解
添括号法则 乘法公式的综合运用
2 课时流程
预习 导学
题型 分类
当堂 演练
课后 作业
1．添括号法则 文字描述：添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都___不__变__符__号___；如果括号前面 是负号，括到括号里的各项都__改__变___符__号___． 符号表述：(1)a＋b＋c＝a＋___(_b_＋__c_)____； (2)a－b－c＝a－___(_b_＋__c_) ____．
题型 二 乘法公式的综合运用
【例2】计算： (1)(a＋b－c)(a＋b＋c)；
解：原式＝ a b c a b c
＝(a＋b)2－c2 ＝a2＋2ab＋b2－c2；
(2)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
解：原式＝ x 2 y 3 x 2 y 3
3．在等号的右边的括号内填上适当的项．
(1)2a＋3b－c＝2a＋(
3b－)c；
(2)2a－3b－c＝2a－(
3b＋)c；
(3)－2a－3b－c＋d＝－(
2a＋)3－b ( c－)；d
(4)2a＋3b＋d＝2a－( －3b－)．d
4．运用乘法公式计算： (1)(x＋y＋1)(x＋y－1)； 解：原式＝(x＋y)2－1 ＝x2＋2xy＋y2－1； (2)(2x－y－3)2.
解：原式＝ 2x y 32
＝4x2－4xy＋y2－6(2x－y)＋9 ＝4x2＋y2＋6y＋9－4xy－12x.
请完成本课时对应的课外演练