2000年全国数学建模竞赛B题优秀论文

管道订购与运输问题1 问题重述

2 基本假设

(1)只考虑订购费用和运输费用，不考虑装卸等其它费用． (2)钢管单价与订购量、订购次数、订购日期无关．

(3)订购汁划是指对每个厂商的定货数量；运输方案是指具有如下属性的一批记录：管道区间，供应厂商，具体运输路线．

(4)将每一单位的管道所在地看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．

3 符号说明

M ：钢厂总数. n ：单位管道总数.

:i S 第i 个钢厂 :i S 第i 个钢厂的产量上限。 :i p 第i 个钢厂单位钢管的销售价 i A 管道线上第i 个站点。 i d 管道线上第i 个单位管道的位置。 F ：总费用。 :ij C 从钢厂(1,2,

,)i S i m =到点(1,2,

,)j d j n =的最低单位费用。

4 问题的简化

求 S AP 矩阵的基本思路是图的最短路算法 . 由于铁路的运输费用与线路的长度不是线性关系 ,必须对铁路网做一些预处理才能套

用图的标准最短路算法 . 下面

叙述求 S AP 矩阵的过程:

1.利用图的标准最短路算法 ,从铁路网络得出图中任两个点之间的最短路径表 T (如果两个点之间不连通 ,认为它们之间的最短路长度为+ ∞ ) .

2.利用题中的铁路运价表将 T 中的每个元素 (即最短距离 )转化为运输费用 ,将运输费用表记为 C.

3.将公路的长度换算为运输费用 ,由公路路程图 (包括要沿线铺设管道的

公路 )得出公

路费用图 G,若 i, j 不连通 ,则令 Gij = + ∞ .

4.对于任一组 ( i , j)∈ { 1,… n }× { 1,… m } 如果 Cij <+ ∞ ,

且小于 Gij ,那么就在公路费用图中加一条边. 即令 Gij = min{Cij , Gij } .

5.利用图的标准最短路算法 ,求公路费用图中任一个 S 点到任一个 A 点

的最小费用路径 ,得出 S AP 矩阵. 如表 1所示:

SAP 矩阵

A

123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S

1 170716031402986 380 205 31 21

2 642 920 960 1060 1212 1280 1420

2 215720531902 1716 1110 955 860 712 1142 1420 1460 1560 1712 1780 1920

3 230722032002 1816 1210 1055 960 862 482 820 860 960 1112 1180 1320

4 260725032352 2166 1560 140

5 1310 1162 842 620 510 610 762 830 970

5 255724532252 206

6 1460 1305 1210 1112 792 570 330 510 712 730 870

6 265725532352 2166 1560 1405 1310 1212 842 620 510 450 262 110 280

7 275726532452 2266 1660 1505 1410 1312 992 760 660 560 382 260 20

5问题分析

运输费用等价转换法则：按单位运费相等原则将任意两点间的最短铁路线转换为公路 线．对于铁路线上的任意两点,i j V V ，用F1oyd 算法找出两点间最短铁路路线的长度ij L 查

铁路运价表求得ij L ，对应的铁路单位运费ij f ;又设与该段铁路等费用的公路长度为ij l ，则：

0.1ij ij f l =⨯

由此，我们就在,i j V V 之间用一条等价的公路线来代替,i j V V 间的最短铁路线．如果,i j V V 之间原来就有公路，就选择新旧公路中较短的一条．这样，我们就把铁路运输网络转换成了公路运输网络．

销价等价转换法则：按单位费用相等将任意钢厂的单位销价转换为公路单位运价．

对于钢厂S i 的销售单价P i ，我们可以虚设一条公路线，连接钢厂S i 及另一虚拟钢厂'i s ，其长度为i l ，并且满足0.1i i l p =⨯；从而将钢厂的销售单价转换成公路运输单价，而新钢厂'i s 的销售价为0.

将铁路和销价转换为公路的过程可以由计算机编程实现． 通过上述的分析，我们可以将原问题化为一个相对简单的产量未定的运输问题，利用115A A 到之间的管道距离和钢厂和站点之间的公路距离建立一个产量未定的运输问题的模型．但是由于1215,

A A A ,并不能代表所有的实际需求点(实际

需求点是n 个单位管道)，因此，我们可以用F1oyd 算法进一步算出7个钢厂到所有实际的n 个需求点(对于问题一，n ＝5171;对于问题三，n ＝5903)的最短路径，并由此得出一个具有7个供应点、n 个需求点的产址未定的运输模型．

6 模型的建立

产量未定的运输模型

根据假设4，我们可以将每一单位的管道看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．对每个点，我们可以根据该点的位置和最短等价公路距离，求出各钢厂与该点之间最小单位运输费用ij C (销价已经归人运输费用之中了)．设总共有m 个供应点(钢厂)，n 个需求点，我们就可以得到一个产量未定的运输模型：

有m 个供应点、n 个需求点，每个供应点的供应量{0}{500,}i i u s ∈；每个需求点需要1单位，运输单价矩阵为C ，求使得总运输费用最小的运输方案．

其数学规划模型： 11min

m

n

ij ij i j F C x ===∑∑

11

{0}{500,}1,2,,..1

1,2,01n

ij i j m

ij i ij x S i m

s t

x j n x ==⎧∈=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩

∑∑或

其中： 1112112n m m mn C C C C C

C C ⎛⎫

⎪

=

⎪ ⎪⎝⎭

为单位费用矩阵 111211

2

n m m mn x x x X x x x ⎛⎫

⎪

=

⎪ ⎪⎝⎭

为决策矩阵，也为0-1矩阵 代码如下