流体力学 第四章 输运公式
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CS
假设水速在进出口截面S1 , S 2上均匀分布 (V n )dA V1S1 V2 S 2 0
CS
S2 V1 V2 4m / s S1 (2)定常流动量方程 F V (V n )dA
CS
x轴方向分量方程 Fx u (V n )dA
流体压强取表压强。由于质量力作用忽略，控制体所受外力只有F。
(1)、由于流体是定常的，且密度为常数， 控制体连续方程为： V ndS 0
CS
控制面有一个进口、两个出口，其余部分无 流体通过，则 V ndS V ndS V ndS V ndS
第二节 积分形式的基本方程
一、质量守恒定律（连续性方程）
dm 取B m， ＝ 1，则对应于B m， dm 输运公式 质量守恒定律。 dm 其积分形式为： 0 dt sys dm d （ ) sys dv (V n )dA 0 dt dt CV cs
cs
于是连续方程是： dh w S w (V2 S 2 V1S1 ) 0 dt dh V1S1 V2 S 2 dt S dh dh 可知进水量大于出水量时，则 0, 反之 0。 dt dt
二、动量守恒（动量方程）
dB 取B mV (矢量），＝ V dt 在惯性参考坐标系中，对系统的动量定理为： d (mV ) sys F dt 由于初始时刻系统和控制体重合，因此作用在 系统上的外力可以认为作用于控制体上。 d d (mV ) sys (V d ) dt dt sys d (V dv) V ( (V n )) dA F dt CV CS
Fra Baidu bibliotek 若控制体体积不变，则 : dv (V n )dA 0 t CV cs 若控制体内流量场是稳定的，则 0 t 则上式简化为： (V n )dA 0 m out m in ＝
cs
说明在稳定流场中，质量流出、流入控制体的量 刚好相等，若流体是不可压缩，则有： (V n )dA＝0，或 Qin Qout
CS S0
于是
F Q0V0 sin
F计算值为正，表明所设F方向正确，挡板所受作用力 与F大小相等，方向相反。
(3)、F在x轴方向分量 Fx u (V n )dA
cs
类似于以上分析，得 0 (V0 cos )( V0 S 0 ) V1 ( V1S1 ) (V2 )( V2 S 2 ) 化简上式 V1Q1 V0Q0 cos V2Q2 0 由于V1 V2 V0 , 可得 Q0 Q0 Q1 (1 cos )，Q2 (1 cos ) 2 2
定常流动： F V (V n )dA
CS
在直角坐标系中三个坐标方向的分量： Fx u (V n )dA Fy v (V n )dA Fz w (V n )dA
CS CS CS
例2、设有一理想均质不可压缩流体的平面射流从无穷远处流来， 与无限大平板相遇后分成两股，分支流随着远离分支点而渐渐与 平板平行流动。平板与水平面夹角为，已知冲击前射流断面o－o 处的流量为Q 0，流速为V0，设冲击后的1 - 1及2 - 2断面上的流量分别 为Q1和Q 2。已知速度V1 V2 V0，三个截面上流速都均匀分布，流 动是定常的，忽略质量力作用。求挡板所受流体作用力及流量Q1和Q 2。
它表明：系统内部B的时间变化率等于控制体内的B 的时间变化率加上单位时间内经过控制面的B的净通量。 也就是系统内流体所具有的某种物理量的总量对时间的 全导数由两部分组成：一部分相当于当地导数，它等于 控制体内这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相 当于迁移导数，它等于通过静止控制面单位时间内流出 的和流入的这种物理量的差值。这种物理量可以是标量 （如质量、能量），也可以是矢量（如动量、动量矩）。 流进的与控制面法线方向相反，故为负； 流出的与控制面法线方向相同，故为正；
（2）边界形状可变，空间大小可变；
（3）系统与外界无质量交换，有热量等其它形式的
能量、动量交换。
控制体：指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界 面称为控制面。控制面上可以有质量交换，即有流体流
进或流入，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变
的，引入控制体的概念，实际上就是采用欧拉法 描述流
体的运动。
解：取控制体如图中虚线所示。取坐标系y轴垂直于挡板， 设三个截面面积分别为S 0、S1和S 2，三股射流截面上的压强 均可认为等于大气压强。与挡板接触的表面1 - 2受到挡板正 压力（理想流体，无切应力存在），设其合力为F，流体对 挡板的作用力与F大小相等，方向相反。大气压强对控制体 内流体的作用力在x方向上相互抵消，合力为零；在y轴方向， 大气压强的存在将会影响挡板所受流体作用力大小。由于挡板 外侧也受到大气压强的均匀作用，其所受流体作用力中由于大气 压强作用而产生的份额与挡板外侧大气压强作用相互抵消，因此 这里不考虑大气压强的影响。在运用动量定理求解暴露在大气中 的流体与固体相互作用的问题时，一般不考虑大气压强的影响，
解：取控制体如图中虚线所示，控制体包含了 弯管和其中的液体，控制面有一进口S1 , 一出口S 2。 对弯头的支撑力分别为Rx、R y。计算压强取表压强。 由于质量力和摩擦力忽略，控制体所受外力只计Rx、 R y 及S1上的表压强p1 pa , S 2上的表压强为零。
(1)定常流连续方程 (V n )dA 0
特点：（1）形状、大小不变，质量可以变化。 （2）与外界有能量和质量交换，有力的作用。
二、输运公式
CSI I II CSIII III
t
t+dt
t时刻，一系统的分界面用实线表示；一静止控制体大小和形状不随 时间变化，在t时刻控制面CS与系统边界重合。 dt时间后，系统运动到新位置，系统占据空间II和III，而控制体CV仍 由I和II组成。区域I的流体看作是在△t时间内由控制体的左半部分控 制面CSI流入控制体，而区域III中的流体看作是在△t时间内经由控制
例3 水流过一段900的渐缩弯头，进口截面绝对压强p1 221kPa , 横截面积S1 0.01m 2，出口截面面积S 2 0.0025m 2 , 速度V2 16m / s 压强则为大气压强pa 101kPa，水密度＝999kg / m 3。流动是 定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。
物理意义：作用在静止控制体上的所有外力之和 等于该控制体内的流体总动量的时间变化率与通过 控制面的净动量流率之和。 在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为： d Fx dt udV u (V n )dA CV CS d Fy dt vdV v (V n )dA CV CS d Fz dt wdV w (V n )dA CV CS
CS S0 S1 S2
S 0V0 S1V1 S 2V2 综合以上两式 －Q0 Q1 Q2 0
(2)对于定常流动 F V (V n )dA
CS
在y轴方向有分量式 Fy v(V n )dA
CS
考虑到F沿y轴正向，Fy取正值 Fy F 因为控制面只有3个对外通道 v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA
Bsys ( d )，BCV ( dv)
sys CV
体积单位;
dBout dBin v dA v dA dt A2 A1 (V n )dA
CS
d d sys ( d ) dt CV ( dv) (V n )dA dt CS
体的右半部分控制面CSIII从控制体中流出的。
B 任意物理量，总量 t 时 刻： Bsys (t ) BCV (t ) t t时刻：Bsys (t t ) BCV (t t ) Bin Bout BCV (t t ) BCV (t ) dBCV (t ) dt dt Bsys (t t ) Bsys (t ) dBsys (t ) dt dt dBsys (t ) dBCV (t ) d ( Bout Bin ) dt dt dt dB 设： 单位质量的含量 dm
cs
考虑到Fx ( p1 pa ) S1 Rx , u1 V1 , u2 0, 上式可写为 ( p1 pa ) S1 Rx V1 ( V1dA) V12 S1
CS
Rx ( p1 pa ) S1 V12 S1 1.36 103 N Rx实际方向应该指向x轴的负方向。 y轴方向动量分量方程 Fy v (V n )dA
第四章 流体力学基本方程
主要内容： 1、系统、控制体的基本概念、定义； 2、输运公式； 3、流体力学积分形式基本方程组； 4、流体力学微分形式基本方程组； 5、定解条件方程的应用。
第一节 输运公式
一、基本概念
系统：一团流体质点的集合。引入系统的概念，实际上就是
采用拉格朗日观点来描述流体的运动。
特点：（1）随质点运动而运动，包含质量不变；
cs
上式中Fy R y , v2 V2 , 于是 R y (V2 )( V2 dA) V22 S 2 0.639 103 N
cs
例1、一高度为H的水箱，横截面积为S，进水通道1和出水通道2 的横截面积和水流速度分别为S1、V1与S 2、V2。设水均匀垂直流入 流出通道，容器内水的深度为h，水密度为 w 可作常数处理。液面 上方为空气，密度为 a。求深度h随时间的变化率。
解：取控制体包围整个水箱（如虚线 所示），除两个通道1和2外，控制体 其余部分均无流体通过，容器内包含 两种流体，其中空气为可压缩流体， 这是一个非定常流动问题。对所取 控制体写出连续方程，即： dv (V n )dS 0 t CV cs
上式第一项： dh dv t ( w Sh) t a S ( H h) w S dt t CV 式中因空气总质量不变，即 a S ( H h)为常量，对时间的导数 为零。h仅是时间t的函数，对时间的偏导数可改写为全导数。 连续方程的第二项： (V n )dS wV2 S 2 wV1S1
S0 S1 S2 CS
由于V1，V2在y方向无分量，上式右端后两项积分均为零， 在0 - 0截面，则： v V0 sin ，V n dA V0 dA, v(V n )dA＝ (V0 sin )( V0 )dA V02 S 0 sin
假设水速在进出口截面S1 , S 2上均匀分布 (V n )dA V1S1 V2 S 2 0
CS
S2 V1 V2 4m / s S1 (2)定常流动量方程 F V (V n )dA
CS
x轴方向分量方程 Fx u (V n )dA
流体压强取表压强。由于质量力作用忽略，控制体所受外力只有F。
(1)、由于流体是定常的，且密度为常数， 控制体连续方程为： V ndS 0
CS
控制面有一个进口、两个出口，其余部分无 流体通过，则 V ndS V ndS V ndS V ndS
第二节 积分形式的基本方程
一、质量守恒定律（连续性方程）
dm 取B m， ＝ 1，则对应于B m， dm 输运公式 质量守恒定律。 dm 其积分形式为： 0 dt sys dm d （ ) sys dv (V n )dA 0 dt dt CV cs
cs
于是连续方程是： dh w S w (V2 S 2 V1S1 ) 0 dt dh V1S1 V2 S 2 dt S dh dh 可知进水量大于出水量时，则 0, 反之 0。 dt dt
二、动量守恒（动量方程）
dB 取B mV (矢量），＝ V dt 在惯性参考坐标系中，对系统的动量定理为： d (mV ) sys F dt 由于初始时刻系统和控制体重合，因此作用在 系统上的外力可以认为作用于控制体上。 d d (mV ) sys (V d ) dt dt sys d (V dv) V ( (V n )) dA F dt CV CS
Fra Baidu bibliotek 若控制体体积不变，则 : dv (V n )dA 0 t CV cs 若控制体内流量场是稳定的，则 0 t 则上式简化为： (V n )dA 0 m out m in ＝
cs
说明在稳定流场中，质量流出、流入控制体的量 刚好相等，若流体是不可压缩，则有： (V n )dA＝0，或 Qin Qout
CS S0
于是
F Q0V0 sin
F计算值为正，表明所设F方向正确，挡板所受作用力 与F大小相等，方向相反。
(3)、F在x轴方向分量 Fx u (V n )dA
cs
类似于以上分析，得 0 (V0 cos )( V0 S 0 ) V1 ( V1S1 ) (V2 )( V2 S 2 ) 化简上式 V1Q1 V0Q0 cos V2Q2 0 由于V1 V2 V0 , 可得 Q0 Q0 Q1 (1 cos )，Q2 (1 cos ) 2 2
定常流动： F V (V n )dA
CS
在直角坐标系中三个坐标方向的分量： Fx u (V n )dA Fy v (V n )dA Fz w (V n )dA
CS CS CS
例2、设有一理想均质不可压缩流体的平面射流从无穷远处流来， 与无限大平板相遇后分成两股，分支流随着远离分支点而渐渐与 平板平行流动。平板与水平面夹角为，已知冲击前射流断面o－o 处的流量为Q 0，流速为V0，设冲击后的1 - 1及2 - 2断面上的流量分别 为Q1和Q 2。已知速度V1 V2 V0，三个截面上流速都均匀分布，流 动是定常的，忽略质量力作用。求挡板所受流体作用力及流量Q1和Q 2。
它表明：系统内部B的时间变化率等于控制体内的B 的时间变化率加上单位时间内经过控制面的B的净通量。 也就是系统内流体所具有的某种物理量的总量对时间的 全导数由两部分组成：一部分相当于当地导数，它等于 控制体内这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相 当于迁移导数，它等于通过静止控制面单位时间内流出 的和流入的这种物理量的差值。这种物理量可以是标量 （如质量、能量），也可以是矢量（如动量、动量矩）。 流进的与控制面法线方向相反，故为负； 流出的与控制面法线方向相同，故为正；
（2）边界形状可变，空间大小可变；
（3）系统与外界无质量交换，有热量等其它形式的
能量、动量交换。
控制体：指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界 面称为控制面。控制面上可以有质量交换，即有流体流
进或流入，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变
的，引入控制体的概念，实际上就是采用欧拉法 描述流
体的运动。
解：取控制体如图中虚线所示。取坐标系y轴垂直于挡板， 设三个截面面积分别为S 0、S1和S 2，三股射流截面上的压强 均可认为等于大气压强。与挡板接触的表面1 - 2受到挡板正 压力（理想流体，无切应力存在），设其合力为F，流体对 挡板的作用力与F大小相等，方向相反。大气压强对控制体 内流体的作用力在x方向上相互抵消，合力为零；在y轴方向， 大气压强的存在将会影响挡板所受流体作用力大小。由于挡板 外侧也受到大气压强的均匀作用，其所受流体作用力中由于大气 压强作用而产生的份额与挡板外侧大气压强作用相互抵消，因此 这里不考虑大气压强的影响。在运用动量定理求解暴露在大气中 的流体与固体相互作用的问题时，一般不考虑大气压强的影响，
解：取控制体如图中虚线所示，控制体包含了 弯管和其中的液体，控制面有一进口S1 , 一出口S 2。 对弯头的支撑力分别为Rx、R y。计算压强取表压强。 由于质量力和摩擦力忽略，控制体所受外力只计Rx、 R y 及S1上的表压强p1 pa , S 2上的表压强为零。
(1)定常流连续方程 (V n )dA 0
特点：（1）形状、大小不变，质量可以变化。 （2）与外界有能量和质量交换，有力的作用。
二、输运公式
CSI I II CSIII III
t
t+dt
t时刻，一系统的分界面用实线表示；一静止控制体大小和形状不随 时间变化，在t时刻控制面CS与系统边界重合。 dt时间后，系统运动到新位置，系统占据空间II和III，而控制体CV仍 由I和II组成。区域I的流体看作是在△t时间内由控制体的左半部分控 制面CSI流入控制体，而区域III中的流体看作是在△t时间内经由控制
例3 水流过一段900的渐缩弯头，进口截面绝对压强p1 221kPa , 横截面积S1 0.01m 2，出口截面面积S 2 0.0025m 2 , 速度V2 16m / s 压强则为大气压强pa 101kPa，水密度＝999kg / m 3。流动是 定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。
物理意义：作用在静止控制体上的所有外力之和 等于该控制体内的流体总动量的时间变化率与通过 控制面的净动量流率之和。 在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为： d Fx dt udV u (V n )dA CV CS d Fy dt vdV v (V n )dA CV CS d Fz dt wdV w (V n )dA CV CS
CS S0 S1 S2
S 0V0 S1V1 S 2V2 综合以上两式 －Q0 Q1 Q2 0
(2)对于定常流动 F V (V n )dA
CS
在y轴方向有分量式 Fy v(V n )dA
CS
考虑到F沿y轴正向，Fy取正值 Fy F 因为控制面只有3个对外通道 v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA
Bsys ( d )，BCV ( dv)
sys CV
体积单位;
dBout dBin v dA v dA dt A2 A1 (V n )dA
CS
d d sys ( d ) dt CV ( dv) (V n )dA dt CS
体的右半部分控制面CSIII从控制体中流出的。
B 任意物理量，总量 t 时 刻： Bsys (t ) BCV (t ) t t时刻：Bsys (t t ) BCV (t t ) Bin Bout BCV (t t ) BCV (t ) dBCV (t ) dt dt Bsys (t t ) Bsys (t ) dBsys (t ) dt dt dBsys (t ) dBCV (t ) d ( Bout Bin ) dt dt dt dB 设： 单位质量的含量 dm
cs
考虑到Fx ( p1 pa ) S1 Rx , u1 V1 , u2 0, 上式可写为 ( p1 pa ) S1 Rx V1 ( V1dA) V12 S1
CS
Rx ( p1 pa ) S1 V12 S1 1.36 103 N Rx实际方向应该指向x轴的负方向。 y轴方向动量分量方程 Fy v (V n )dA
第四章 流体力学基本方程
主要内容： 1、系统、控制体的基本概念、定义； 2、输运公式； 3、流体力学积分形式基本方程组； 4、流体力学微分形式基本方程组； 5、定解条件方程的应用。
第一节 输运公式
一、基本概念
系统：一团流体质点的集合。引入系统的概念，实际上就是
采用拉格朗日观点来描述流体的运动。
特点：（1）随质点运动而运动，包含质量不变；
cs
上式中Fy R y , v2 V2 , 于是 R y (V2 )( V2 dA) V22 S 2 0.639 103 N
cs
例1、一高度为H的水箱，横截面积为S，进水通道1和出水通道2 的横截面积和水流速度分别为S1、V1与S 2、V2。设水均匀垂直流入 流出通道，容器内水的深度为h，水密度为 w 可作常数处理。液面 上方为空气，密度为 a。求深度h随时间的变化率。
解：取控制体包围整个水箱（如虚线 所示），除两个通道1和2外，控制体 其余部分均无流体通过，容器内包含 两种流体，其中空气为可压缩流体， 这是一个非定常流动问题。对所取 控制体写出连续方程，即： dv (V n )dS 0 t CV cs
上式第一项： dh dv t ( w Sh) t a S ( H h) w S dt t CV 式中因空气总质量不变，即 a S ( H h)为常量，对时间的导数 为零。h仅是时间t的函数，对时间的偏导数可改写为全导数。 连续方程的第二项： (V n )dS wV2 S 2 wV1S1
S0 S1 S2 CS
由于V1，V2在y方向无分量，上式右端后两项积分均为零， 在0 - 0截面，则： v V0 sin ，V n dA V0 dA, v(V n )dA＝ (V0 sin )( V0 )dA V02 S 0 sin