数学寒假作业(一)

数学寒假作业（一）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知sin α＝－22，π2<α<3π2

，则角α等于( ) A.π3 B.2π3C.4π3D.5π4

2．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( )

A ．[－4,6]

B ．[－6,4]

C ．[－6,2]

D ．[－2,6]

3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( ) A.π4B.π2

C ．π

D ．2π 4．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

5．函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z

B.⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z

C.⎝

⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎝

⎛⎭⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为

( )

A ．(－2,4)

B ．(－30,25)

C ．(10，－5)

D ．(5，－10)

7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1

B ．π， 2

C ．2π，1

D ．2π， 2

8．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )

A ．(2,6)

B ．(－2,6)

C ．(2，－6)

D ．(－2，－6)

9．若sin α＋cos α＝tan α⎝

⎛⎭⎫0<α<π2，则角α所在区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭

⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2

10．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋mj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭

⎫12，＋∞ B ．(－∞，－2)∪⎝

⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭

⎫23，＋∞ D.⎝

⎛⎭⎫－∞，12 11．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦

⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1B ．cos x

C ．sin x

D ．－cos x

12．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．函数y ＝cos2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝________.

14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.

15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，

则实数m ＝________.

16．函数f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图象C 关于直线x ＝11π12

对称； ②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；

③函数f (x )在区间⎝⎛⎭

⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3

个单位长度可以得到图象C . 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x

∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.

(1)求实数m 的值；

(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合．

18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x

. (1)求f (x )的定义域；

(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43

，求f (α)的值． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2

. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；

(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭

⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14

，0°<α<90°. (1)求α的值；

(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．

21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4

)． (1)若tan α＝2，求f (α)；

(2)若x ∈[π12，π2

]，求f (x )的取值范围．