4.1机器人运动学的数学基础

css sc sss cc
cs
csc ss
ssc

cs

cc
r11 r12 r13
Fra Baidu bibliotek
r21
r22
r23

r31 r32 r33
5、刚体姿态的其他表示方法
• ZXZ欧拉角：
静态定义：
α 是 x-轴与交点线的夹角，β 是 z-轴与Z-轴的 夹角，γ 是交点线与X-轴的夹角。
F ny
oy
ay
p
y


nz 0
oz 0
az 0
pz 1

4、刚体的表示
•定义：在外力作用下,物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内部各部 分相对位置保持恒定(没有形变)，这种理想的物理模型称之为刚体。
•刚体的特点： ①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！ ②刚体上任意质元的位置矢量不同，但各质元的位移、速度和加速度却 相同。因此，常用“刚体的质心” 来研究刚体的平动。
4、刚体的表示
• 通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。 ➢三个向量 n, o, a 相互垂直。 ➢每个单位向量的长度必须为1。
nx ox ax px
Fobject


ny

nz 0
oy oz 0
ay az 0
py

pz 1

5、刚体姿态的其他表示方法
• 与实数的积 长度放大|a|倍，若a<0则反向
4、坐标系的表示
•一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由
三个向量表示，通常这三个向量相互垂直，
称为单位向量。 •法线（normal） •指向（orientation） •接近（approach）向量
•每一个单位向量都由它们所在的参考坐标系
的三个分量表示。
B A
Rxyz
(
,

,
)

R(Z
A
,
)R(YA
,

)R(
X
A
,

)
c s 0 c 0 s 1 0 0
s
c
0 0
1
0 0 c

s

0 0 1 s 0 c 0 s c
cc sc
s
欧拉角来源于天文学
总结
• 通过对空间点、空间向量的学习，要熟练的掌握其表示方法。 • 通过坐标系以及刚体相关知识的学习，掌握与运动学相关的数学基础知识。
• 向量起始于原点
P axi by j czk
ax
表示为矩阵形式：P

by

cz
3、空间向量的基本运算
• 加法 • 相反向量 与 ���Ԧ��� 长度相等、方向相反的向量，叫做 ������ 的相反向量，记作− ������ 。 • 减法 用相反向量和加法的定义计算
机器人运动学的数学基础
主要内容
• 理解并掌握空间点的表示方法 • 理解并掌握空间向量的表示方法 • 理解并掌握坐标系的表示方法 • 理解并掌握刚体的表示方法 • 理解并掌握姿态的其他表示方法
机器人运动学概念
• 机器人运动学研究的是机器人的工作空间与关节空间之间的影射关系以及机 器人的运动学模型（Model），包括正（Forward）运动学和逆（Inverse） 运动学两部分内容。
• RPY角：（绕固定坐标轴X-Y-Z旋转）
R、P、Y角是描述船舶在海中 航行时姿态的一种方法。
翻滚 俯仰 偏航
5、刚体姿态的其他表示方法
• 船舶上建立的坐标系B相对于参考系A的方位描述如下：
{A}和{B} 重合，首先将{B}绕XA 转 角，再绕YA转 角，最后绕ZA转角 。
A B B / X A / B /YA / B / Z A /
nx ox ax
F ny
oy
a
y

nz oz az
坐标系在参考坐标系原点的表示
3、坐标系的表示
• 如果一个坐标系不在固定参考坐标系的原点（实际上也可包括在原点的情况），那么 该坐标系的原点相对于参考坐标系的位置也必须表示出来。
• 在 n, o, a 之外引入向量P
nx ox ax px
并联机器人末端
串联机器人末端
1、空间点的表示
• 相对于参考坐标系的三个坐标
P axi by j czk
• 是参考坐标系中表示该点的坐标 ax ,by , cz
2、空间向量的表示
• 向量起始于点A，终止于点B
PAB (Bx Ax )i (By Ay ) j (Bz Az )k