线性代数第六章 线性空间与线性变换
第六章线性空间与线性变换
第六章线性空间与线性变换第六章线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.=00011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=01003ε, ??? ??=10004ε是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解设-=a c b a A , ?-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈??? ??-=,所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.-=10011ε,=00102ε,=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.解设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T=A +B , (A +B )∈S 3, (kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.=00011ε, ??? ??=01102ε,=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间.3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .证明设ε1,ε2,,εn为U的一组基,它可扩充为整个空间V的一个基,由于dim(U)=dim(V),从而ε1,ε2,,εn也为V的一个基,则:对于x∈V可以表示为x=k1ε1+k2ε2++k rεr.显然,x∈U,故V?U,而由已知知U?V,有U=V.4.设V r是n维线性空间V n的一个子空间,a1,a2,,a r是V r的一个基.试证:V n中存在元素a r+1,,a n,使a1,a2,,a r,a r+1,,a n成为V n的一个基.证明设r<="" p="" r+1),则a1,a2,,a="" r+1?v="" r+1是线性无关的.若r+1="n,则命题得证,否则存在a" r+1添加进来,则a1,a2,,a="" r+2?l(a1,a2,,="" r+2线性无关,依此类推,可找到n 个线性无关的向量a1,a2,,a="" r,它不能被a1,a2,,a="" r线性表示,将a="" 则在v="">5.在R3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T,α2=(6, 3, 2)T,α3=(3, 1, 0)T下的坐标.解设ε1,ε2,ε3是R3的自然基,则(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A, (ε1,ε2,ε3)=(α1,α2,α3)A-1, 其中=25133361A,----= - 15 28 9 8 15 5 3 6 2 1 A . 因为==-7 3 ) , , ( 1 7 3 ) , , (1 3 2 1 3 2 1 A αααεεεα- - - - - = 1 7 3 15 28 9 8 15 5 3 6 2 ) ,(3 2 1 ααα- = 154 82 33 ) ,, (3 2 1 ααα,所以向量α在基α1,α2,α3下的坐标为(33,-82, 154)T.6.在R3取两个基α1=(1, 2, 1)T,α2=(2, 3, 3)T,α3=(3, 7, 1)T;β1=(3, 1, 4)T,β2=(5, 2, 1)T,β3=(1, 1,-6)T.试求坐标变换公式.解设ε1,ε2,ε3是R3的自然基,则(β1,β2,β1)=(ε1,ε2,ε3)B,(ε1,ε2,ε3)=(β1,β2,β1)B-1,(α1,α2,α1)=(ε1,ε2,ε3)A=(β1,β2,β1)B-1A,其中=131732121A , ???? ??-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则=???? ??=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为= ??'''-3211321x x x A B x x x ??---=321499107263139********x x x .7. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解由题意知-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα,从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为-=3101121163316502A .(2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T 在后一个基下的坐标; 解因为=????? ??=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为-=????? ??-4321143213166123501301112x x x x y y y y ??-------=432126937180092391213327912271x x x x .(3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令=????? ??????? ??-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得?=11114321k x x x x (k 为常数).8. 说明xOy 平面上变换?=??y x A y x T 的几何意义, 其中 (1)-=1001A ;解因为-=??? ????? ?-=??? ??y x y x y x T 1001,所以在此变换下T (α)与α关于y 轴对称.(2)=1000A ;解因为=??? ????? ?=??? ??y y x y x T 01000,所以在此变换下T (α)是α在y 轴上的投影.(3)=0110A ;解因为=??? ????? ?=??? ??x y y x y x T 0110,所以在此变换下T (α)与α关于直线y =x 对称.(4)-=0110A .解因为-=??? ????? ??-=??? ??x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)是将α顺时针旋转2π.9. n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2)1(+n n 维线性空间. 给出n 阶矩阵P , 以A 表示V 中的任一元素, 变换T (A )=P T AP 称为合同变换. 试证合同变换T 是V 中的线性变换.证明设A , B ∈V , 则A T =A , B T =B . T (A +B )=P T (A +B )P =P T (A +B )T P =[(A +B )P ]T P =(AP +BP )T P=(P T A +P T B )P =P T AP +P T BP =T (A )+T (B ), T (kA )=P T (kA )P =kP T AP =kT (A ), 从而, 合同变换T 是V 中的线性变换.10. 函数集合V 3={α=(a 2x 2+a 1x +a 0)e x | a 2, a 1, a 0 ∈R }对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V 3中取一个基α1=x 2e x , α2=xe x , α3=e x .求微分运算D 在这个基下的矩阵. 解设β1=D (α1)=2xe x +x 2e x =2α2+α1, β2=D (α2)=e x +xe x =α3+α2, β3=D (α3)=e x =α3.易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.由=110012001) , ,() , ,(321321αααβββ, 知即D 在基α1, α2, α3下的矩阵为=110012001P .11. 2阶对称矩阵的全体},,|{32132213R x x x x x x x A V ∈==对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V 3中取一个基=00011A , ??? ??=01102A ,=10003A .在V 3中定义合同变换=10111101)(A A T ,求T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵. 解因为=101100011101)(1A T 3211111AA A ++=??? ??=,=101111101101)(2A T 3222110AA +=??? ??=,=101110001101)(3A T 31000A=??? ?=,故=121011001) , ,())( ),( ),((321321A A A A T A T A T , 从而, T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵=121011001A .。
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
第6章线性空间与线性变换6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性变换■线性变换的矩阵表示式重难点导学一、线性空间的定义与性质1．两种运算（1）加法运算设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．2．线性空间定义设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：（1）α＋β＝β＋α；（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；（5）1α＝α；（6）λ（μα）＝（λμ）α；（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，则V称为线性空间，又称向量空间．3．线性空间的性质（1）零向量是唯一的；（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．4．子空间（1）定义设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．（2）定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．二、维数、基与坐标1．维数与基在线性空间V中，如果存在n个向量，满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量α总可由线性表示，则就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数．注：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n．2．坐标设是线性空间V n的一个基．对于任一向量α∈V n，总有且仅有一组有序数，使这组有序数就称为向量α在这个基中的坐标，并记作3．同构设V与U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，则线性空间V与U同构．三、基变换与坐标变换1．基变换定义设α1，…，αn及β1，…，βn是线性空间V n中的两个基，有（6-1）把α1，…，αn这n个有序向量记作（α1，…，αn），记n阶矩阵P＝（p ij），利用向量和矩阵的形式，式（6-1）可表示为（6-2）式（6-2）称为基变换公式，矩阵P称为由基α1，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵．又β1，β2，…，βn线性无关，故过渡矩阵P可逆．2．坐标变换公式设V n中的向量α在基α1，…，αn中的坐标为（x1，x2，…，x n）T，在基β1，β2，…，βn 中的坐标为．若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式四、线性变换1．定义设V n，U m分别是n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m的映射，若映射T满足：（1）任给α1、α2∈V n（从而α1＋α2∈V n），有T（α1＋α2）＝T（α1）＋T（α2）；（2）任给α∈V n，λ∈R（从而λα∈V n），有T（λα）＝λT（α）．则T称为从V n到U m的线性映射，又称线性变换．2．线性变换基本性质（1）T0＝0，T（－α）＝－Tα；（2）若则；（3）若α1，α2，…，αm线性相关，则Tα1，Tα2，…，Tαm亦线性相关，反之不成立；（4）线性变换T的像集T（V n）是一个线性空间，称为线性变换T的像空间；（5）使Tα＝0的α的全体N T＝{α|α∈V n，Tα＝0}也是一个线性空间，且N T称为线性变换T的核．五、线性变换的矩阵表示式1．定义设T是线性空间V n中的线性变换，在V n中取定一个基α1，α2，…，αn，如果这个基在变换T下的像为记，上式可表示为其中则A就称为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵．2．定理设线性空间V n中取定两个基α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，V n中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则B＝P－1AP．6.2配套考研真题解析本章为非重点，暂未编选考研真题，若有最新真题会及时更新．。
线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——1
量空间 . 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
( a n x n a 1 x a 0 ) ( b n x n b 1 x b 0 )
( a n b n ) x n ( a 1 b 1 ) x ( a 0 b 0 ) P[x]n
(a n x n a 1 x a 0 )
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n )T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
由于所定义线 的性 运,运 所 算算 以 S不 n不是 是 线性.空间
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二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
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3 . 0 0 ; 1 ;0 0 .
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0 ,
1 . 0 1 0
素，则对任何 V，有
0 1 , 0 2 .
由于 01,02V, 所以 0 2 0 1 0 2 ,0 1 0 2 0 1 .
0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 .
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2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0 , 0 .
设 ,, V ;, R
(1 ) ;
( 2 ) ;
(3)在 V 中存在 0,对 零 任 元 V 何 ,都 素有 0;
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第六讲 线性空间与线性变换
线性空间定义中，当取不同的数域时， ③ 线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空 间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质， 间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如 线性相关性、维数等，一般要改变。 线性相关性、维数等，一般要改变。 要验证一个非空集合是线性空间， 要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其 元素对所规定的加法与数乘运算封闭外， 元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证 这两种运算应满足的八条算律； 这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合 是线性空间， 是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条 不成立即可。 不成立即可。 2、线性空间的简单性质 、 是唯一的； （1）零元素 θ 是唯一的； ） 是唯一的； （2）任意元素α 的负元素 −α 是唯一的； ） （3）0α = θ , kθ = θ , ( −1) α = −α ; ） （4）如果 kα = θ ，则 k = 0 或 α = θ . ）
( k + l )(α1 ,α 2 ) = k (α1 ,α 2 ) + l (α1 ,α 2 ) , k (α1 , α 2 ) + ( β1 , β 2 ) = k (α1 , α 2 ) + k ( β1 , β 2 )
δ1 = (θ1 , β1 ) , δ 2 = (θ1 , β 2 ) ,L, δ n = (θ1 , β n )
α = s1α1 + L + smα m , β = t1β1 + L + tn β n
γ = (α ,θ 2 ) + (θ1 , β )
= s1α1 + L + smα m + t1β1 + L + tn β n 线性表示， 即 γ 可由 γ 1 ,L , γ m , δ1 L , δ n 线性表示，它们为 V1 × V2 的一 组基， 组基， 从而 dim (V1 × V2 ) = m + n.
线性空间与线性变换
映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。
如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。
线性代数课件 第六章 线性空间与线性变换——第1节
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
线性代数目录
线性代数目录前言
第1章行列式
1 二阶与三阶行列式
2 全排列和对换
3 n 阶行列式的定义
4 行列式的性质
5 行列式按行（列）展开
习题一
第2章矩阵及其运算
1 线性方程组和矩阵
2 矩阵的运算
3 逆矩阵
4 克拉默法则
5 矩阵分块法
习题二
第3章矩阵的初等变换与线性方程组
1 矩阵的初等变换
2 矩阵的秩
3 线性方程组的解
习题三
第4章向量组的线性相关性
1 向量组及其线性组合
2 向量组的线性相关性
3 向量组的秩
4 线性方程组的解的结构
5 向量空间
习题四
第5章相似矩阵及二次型
1 向量的内积、长度及正交性
2 方阵的特征值与特征向量
3 相似矩阵
4 对称矩阵的对角化
5 二次型及其标准形
6 用配方法化二次型成标准形
7 正定二次型
习题五
∗第6章线性空间与线性变换
1 线性空间的定义与性质
2 维数、基与坐标
3 基变换与坐标变换
4 线性变换
5 线性变换的矩阵表示式
习题六
部分习题答案。
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例6.1.4 (中南大学,2019年)设P是一个数域,A是Pn×n 中一个矩阵,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.证明:
(4) 任一空间是数乘变换的不变子空间.
(5) 设W是线性空间V的子空间且W L(1,2, ,r),
则W是A的不变子空间当且仅当 / Ai W,i=1,2,…,r.
(6) 设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多 项式f, V1是f(A)的不变子空间.
(7) 设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A, V 是/A的 特征子空间,则V 也是/B的不变子空间.
若这两个向量组都线性无关,则 L (1 ,2 , ,s ) L (1 ,2 , ,t)
的维数等于齐次方程组 x 1 1 x 2 2 x ss y 1 1 y 2 2 y tt 0
的解空间的维数.
证明:设W 1 1,2, ,s, W 21,2, ,t ,那么
若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的 数k0,k1,…,km∈P,使得:
k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.
令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,显然有h(A)=0且
(h (x) )m (m (x),) 这将与 m()是A的最小多项式矛盾.于
是I,A,A2,…,Am线性无关,那么I,A,A2,…,Am构成F(A)的
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第四节 线性变换
变换的概念是函数概念的推广. 例如, 设二元 函数 z = f(x, y) 的定义域为平面区域 G , 函数值域 为 Z , 那么, 函数关系 f 就是一个从定义域 G 到实 数域 R 的变换; 函数值 f( x0 , y0 ) = z0 就是元素 (x0 , y0) 的像, (x0 , y0) 就是 z0 的源; G 就是源集, Z 就是像集.
(2) 如果 T(p) = a0 , 那么 T 也是一个线性变 换. 这是因为
T(p + q) = a0 + b0 = T(p) + T(q) ; T(kp) = ka0 = kT(p). (3) 如果 T1(p) = 1, 那么 T1 是个变换, 但不 是线性变换, 这是因为
T1(p + q) = 1,
证明 设 证1 ,明2 设T(V1n,),则2 有T(V1n,),则2 有Vn 1, 使, 2
性质 5T使1 =T(1 ,)TT=021 =的=全21 ,,体T2 = 2 ,
从而 ST =从{ 而 | Vn , T( )= 0 },
也是 Vn的1 +子空2 =间T.11S++TT称2=为2 T=线T1性(+变1T+换2 2=T) T的(T核1(V+.n),2) T(V
证明 用归证纳明法证用.归当纳法m =证1. , 当结论m显= 然1 ,;结设证论对显毕然 性1 ,质···,3m-若11,·1V··,n,,2km1,-1·,····,,Vknmm,-线k11性, ·R·相·,有关km,-1则 R 有
T(1), T(T2)(,k·1··1, T+(k2Tm()2k亦1+线·1··+性+k相k2m-关21+.m··-·1)+ km-1m-1)
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(线性空间与线性变换)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第6章线性空间与线性变换1．验证：（1）2阶矩阵的全体S1；（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；（3）2阶对称矩阵的全体S3，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解：（1）①根据题意，S1对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，根据定义，S1对于矩阵的加法和数乘构成线性空间．在S1中取向量组则向量组π1线性无关．如果有②对于任意，即A可由π1线性表示．综合①②，向量组π1是S1的一个基，从而S1的维数为4．（2）根据题意，S2中矩阵的加法和数乘满足线性运算的八条规律．又①因为，所以S2对加法封闭；②因为，所以S2对数乘封闭；由上可知S2对上述线性运算构成线性空间．取向量组与（1）同理，可证向量组π2线性无关，且，A可由π2线性表示为于是向量组π2是S2的一个基，因而其维数为3．（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S3对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S3对于上述线性运算构成线性空间．取向量组则①向量组π3线性无关，如果有②，则A可由π3线性表示为，故向量组π3是S3的一个基，从而它的维数为3．2．验证：与向量（0，0，1）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间．证：都是R3中与向量不平行的向量，但是其和平行于（0，0，1）T，即该集合对于向量的加法不封闭，所以不构成向量空间．3．在线性空间中，下列向量组是否为一个基？解：（1）设得因1，x，x2，x3线性无关，故上式中它们的系数均为0，即有关于未知数k1，k2，k3，k4的齐次方程，其系数矩阵知其秩为3，故齐次方程有非零解，从而向量组Ⅰ线性相关，不是基；（2）设因1，x，x2，x3线性无关可得齐次线性方程它的系数矩阵秩为4，所以只有零解，从而向量组Ⅱ线性无关，且含4个向量，所以向量组Ⅱ是的一个基．4．在R3中求向量在基中的坐标．解：根据定义，向量α在基α1，α2，α3中的坐标就是a由向量组α1，α2，α3线性表示式中的系数，也就是方程的解．由于于是，α在所给基中的坐标为5．在R3中取两个基试求坐标变换公式．解：记于是有，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为．因此由定理2得坐标变换公式为即从基α用矩阵的初等行变换求于是所求坐标变换公式为6．在R4中取两个基（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量（x1，x2，x3，x4）T在后一个基中的坐标；（3）求在两个基中有相同坐标的向量．解：（1）根据题意，有所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基{αi}下的坐标为，则由坐标变换公式，有（3）设向量y在两个基下有相同的坐标，由坐标变换公式，并仍记坐标向量为y，则，即．易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩，从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系．故所求向量为，k为任意常数．7．设线性空间S1（习题六第1题（1））中向量（1）问b1能否由a1，a2线性表示？b2能否由a1，a2线性表示？（2）求由向量组a1，a2，b1，b2所生成的向量空间L的维数和一个基．解：可先写出a1，a2，b1，b2在基中的坐标所构成的矩阵由此可见：。
2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析
第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？ （1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。
线性代数第六章线性空间与线性变换
律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 显然是满足的, 因 此
只要 L 对运算封闭且满足规律 (iii)、(iv) 即可. 但由线性空间的性质知, 若 L 对运算封闭,则即能 满足规律(iii),(iv). 因此我们有
定理 线性空间 V 的非空子集 L 构成子
空间的充要条件是: L 对于 V 中的线性运算封闭.
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi) ( ) = ( ) ;
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(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + .
那么, V 就称为(实数域 R 上的) 线性空间，
V 中的元素不论其本来的性质如何,
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(i) + = + ;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V , 都有 + 0 = ; (iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
第六章 线性空间与线性变换
线性空间 基、维数与坐标 线性变换
结束
1
2019/9/11
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一、线性空间的定义
1. 定义 定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一 个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作 = + ; 又对于任一数 R 与任一元素 V , 总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与 的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下 八条运算规律(设 , , V ; , R):
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闭:
s1 s2 A1 sin(x B1 ) A2 sin(x B2 ) (a1 cos x b1 sin x) (a2 cos x b2 sin x) (a1 a2 ) cos x (b1 b2 ) sin x A sin(x B) S[ x] ,
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四、子空间
在第三章中, 我们提过子空间, 今稍作修正.
定义
设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一
个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数 乘两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间. 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间? 因 L 是 V 的一部分, V 中的运算对于 L 而言, 规
01 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 .
即零元素是唯一的.
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性质 2 任一元素的负元素是唯一的.
性质 3 0 = 0 ; (-1) = - ; 0 = 0.
性质 4 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0 .
+=+;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V , 都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi)
( ) = ( ) ;
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例 4 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定
义 加法及乘数运算为 a b ab ( a , b R ), 加法: 数乘:
a a ( R, a R ) ,
验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间.
证 实际上要验证十条:
(an x a1 x a0 )
n
(an ) x (a1 ) x (a0 ) P[ x]n ,
n
所以 P[ x ]n是一个线性空间.
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例 2 n 次多项式的全体 n Q[ x]n { p an x a1x a0 | an ,, a0 R, 且 an 0}
对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有
a b ab R ;
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对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有
(i) (ii)
a a R ; a b ab ba b a ;
(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有
(iii)
a 1 a 1 a;
(iv) 对任何 a R+ , 有负元素 a-1 R+ , 使
a a aa 1 ;
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1
1
(v) ( vi ) (vii)
1 a a a;
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例 2 在二阶实矩阵组成的集合构成
一个线性空间 R2 ×2 中,
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
何 Vn , 都有一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n ,
并且这组数是唯一的.
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反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 总有
唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n Vn .
为其一个基
任意一个二阶矩阵可表示为
a11 a12 A a11 E11 a12 E12 a21 E21 a22 E22 a 21 a22
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三、向量的运算
建立了坐标以后, 就把抽象的向量 与具体
(ii) V 中任一元素 总可由 1 , 2 , · · ·, n
线性表示. 那么, 1 , 2 , · · ·, n 就称为线性空间 V 的一 个基, n 称为线性空间 V 的维数. 维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,
记作 Vn .
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= + ; 又对于任一数 R 与任一元素 V ,
总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与
的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下
八条运算规律(设 , , V ; , R):
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(i)
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s1 A1 sin(x B1 ) (A1 ) sin(x B1 ) S[ x] ,
所以 S[ x ] 是一个线性空间.
检验一个集合是否构成线性空间 , 当然不能
只检验对运算的封闭性(如上面两例). 若所定义的
加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算, 则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.
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例 1 在线性空间 P[ x ]4 中,
p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 = x4 就是它的一个基. 任一不超过 4 次的多项式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 , 因此 p 在这个基下的坐标为 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .
二、向量在基下的坐标
若知 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则 Vn 可表示为
Vn { x11 x2 2 xn n | x1,, xn R} ,
这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.
若 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则对任
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 · ·+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 间. 这是因为 0 p = 0 xn + · Q[ x ]n 对运算不封闭.
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例 3 正弦函数的集合 S[ x] {s A sin(x B) | A, B R}
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若另取一 个基
q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3 , q5 x4 ,
则
1 p (a0 a1 )q1 a1q2 a2 q3 a3q4 a4 q5 . 2
因此 p 在这个基下的坐标为
1 (a0 a1 , a1 , a2 , a3 , a4 ) T . 2
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在第三章中我们已经提出了基与维数的概念, 这当然也适用于一般的线性空间. 这是线性空间
的主要特性, 特再叙述如下.
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素 1 , 2 , · · ·, n 满足:
定义 2 在线性空间 V 中, 如果存在 n 个元
(i) 1 , 2 , · · ·, n 线性无关;
这样, Vn 的元素 与有序数组
(x1 , x2 , · · ·, xn )T
之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这
组有序数来表示元素 . 于是我们有
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的一个基. 对于任一元素 பைடு நூலகம்n , 总有且仅有一组
定义 3 设 1 , 2 , · · ·, n 为线性空间 Vn
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(vii) ( + ) = + ;
(viii) ( + ) = + . 那么, V 就称为(实数域 R 上的) 线性空间， V 中的元素不论其本来的性质如何, 统称为(实)向量. 简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为线性运算。
只要验证 P[ x ]n 对运算封闭:
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(an x n a1 x a0 ) (bn x n b1 x b0 ) (an bn ) x n (a1 b1 ) x (a0 b0 ) P[ x]n ,
第六章 线性空间与线性变换
线性空间 基、维数与坐标
线性变换
结束
2016/6/19
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1
一、线性空间的定义
1. 定义
定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一
个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作
1
( a) a (a ) a ( ) a;
( ) a a a a a a a a;