第10讲 透镜的相位变换作用及傅立叶变换特性
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傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
信息光学之透镜的傅里叶变换特性
r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
光学透镜的变换总结
U 1 (x, y) ? A exp( jkp) exp[
j k (x 2 ? y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
U' ?
?x,y ??
Aexp??
jkq ?exp ???
?
j
k ?q
?x
?
?
y
?
???
?
透镜的复振幅透过率或相位变换因子为
t (x, y) ? U1?(x, y) ? exp[ U1(x, y)
输入平面位于透镜前焦面，由于 d0 ? f，衍射物体的复振幅透过率与衍
射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察 平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光 源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系
???
U (x, y) ? c?
??
t( x0 , y0 ) exp(?
物在透镜之后的变换性质证明（ 2）
这个光场传输到观察平面上造成的场分布为
exp[ ? ? U (x, y) ?
1
j? (q ? d 0 )
t( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) ?0
jk
(x
?
x0)2 ? 2(q ?
(y ? d0 )
y0 )2
]dx0 dy0
经过一系列的代数演算得到：
光学透镜的变换
透镜的位相变换作用
透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的 基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质
透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜 之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用
第四章 透镜位相调制和傅里叶变换性质
xi x0 yi y0 1 1 1 2 2 ( )( x y ) 2( ) x 2( ) y dxdy dx0dy0 di d1 f di d1 di d1
可以证明，当观察平面是照明光源S的共轭平面时，即
1 1 1 di d0 f
x y k U ( xi , yi ) C exp j ( xi2 yi2 ) t ( x0 , y0 ) exp j 2 ( i x0 i y0 ) dx0dy0 2 xi yi k 2 2 ℱ t ( x , y ) fx C exp j ( xi yi ) fy 0 0 2
xi fx f yi fy f
当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通 过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时， 必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱 与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
t(x0,y0)
2.物体放在透镜后方 会聚光在物体上投影的等效孔径函数为
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可 以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还 能对物体进行傅里叶变换。
§4—1 透镜的位相调制作用
透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的 位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。
如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为
1 1 1 由于 d0 di f
x2 y2 t ( x, y ) U 0 exp( jk ) 2f
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f
透镜的傅立叶变换性质全文
U
(
x,
y)
c
exp
jk
( f d0)(x2 2[q( f d0 )
y2)
f
d0
]
t(x0 , y0 )
exp
jk
f (x0x y0 y) q( f d0 ) fd0
dx0dy0
二次位相 因子
F.T.的核
(1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面:
U (x, y) c
2.无论物体相对于透镜的距离d0是多少，后焦面上 的强度分布不受影响,它仍然是物体的功率谱。
I x f , y f
A
f
2
T
xf
f
, yf
f
2
3.透镜的后焦面通常称为傅立叶变换平面或频谱面。
作业
一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜
的光轴。用波长为 的单色平面波垂
y0
z
yl
yi
d0
di
分析时注意：
确定坐标系. 一个特定平面用一组固定的xy坐标描述, 不要混淆 正确描述入射光波复振幅U (x, y)
(平面波:垂直入射或斜入射; 球面波:会聚或发散) 光波由左向右传播,传播距离标绝对值 遇到孔径: 乘上透过率函数t(x, y), 遇到透镜: 乘上位相变换因子 传播过程: 看成菲涅耳衍射, 采用适当的形式
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+) y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
实现位相变换:
Ul '(x',
y')
Ul (x',
第10讲+透镜的相位变换作用及傅立叶变换特性
观察面上频谱的空间尺度将按一定的比例缩放。这是因为其空
间频率
fx
x
q
,
fy
y
q
,随q的值（或照明光源位置）而变化。
透镜的傅立叶变换性质（续）
（2）物在透镜后方
光源S和观察平面S互为共轭面，即满足高斯成像关系： 11 1 pq f
和物在透镜之前讨论类似，下面依次给出每个面的复振幅分布。
光源面
光源共轭面
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二 次相位因子，透镜的功能就是改变二次相位因子的大小。
透镜的相位变换作用（数学推导）
设透镜的复振幅透过率为t x, y,定义为
t
x,
y
U1 U1
x, x,
y y
U1、U1 分别为P1、P2面上的复振幅分布
当d0 0时，该公式可以进一步简化，且与物在透镜之前的 紧贴情形一致。
透镜的傅立叶变换性质（归纳）
物在透镜前面，观察平面的复振幅分布：
U
x,
y
c exp
jk
f d0 x2 2 q f d0
y2 fd0
y
exp jkd2
jλd2
U1
x,
y exp
j
k 2d2
x
x2
y
y2
f
f
x0 x y0
d0
y
fd0
信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+)
实现位相变换:
y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
Ul '(x',
y')
Ul (x',
y') exp
jk
x'2 y'2 2f
透镜光瞳函数：P(
x',
y')
1 0
透镜孔径内 其它
2
)
P2面是会聚球面波分布:
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
(x2
y
2
)
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率 或相位变换因子为：
t(x,
y)
Ul(x, Ul (x,
y) y)
exp
j
k 2
(x2
y2 )
11 1 qp f
f 为透镜的像方焦距。
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]circ
x2 y2 l
设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
exp[
ja(x2
y2)]
exp
jk
x2
y2
2
k 2a
exp[ ja(x2 y2 )] exp jk
x2 y2
2
k 2a
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
解:
t(x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
光学信息处理：2.2 透镜的傅立叶变换性质
P′
透镜将平面波变成球面 波
(x,y)
t1
L
t
Q
r1
x2 y2
t2 L′
Q′
r2
z
导出透镜O 位t相0 变换函数
a(x, y) A2 / A1 1
T~L (x, y) exp[iL (x, y)]
T (x,
y)
eiL ( x, y )
i 2 [QQ ']
e
透镜相位 变换函数
[QQ '] t1 n0t t2 t1 t2 n0 (t0 t1 t2 )
EF'(x ',
y
')
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]
t
( x0 ,
y0 )exp[i2
( x0x 'f 'Fra biblioteky0 y
f
' ' )]dx0dy0
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]F
f 'F d
{t (x0 ,
物在透镜后的傅里叶变 换
y0 )}
接收 屏上 振幅 分布
相干平面波照明物平面--透镜后焦面上光场 的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和 一个二次相位因子的乘积
输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确 傅里叶变换相比--产生了相位弯曲
4_透镜的傅里叶变换性质
透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
大学物理 透镜的傅立叶变换性质
对应的细节-透镜的作用是什么 定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵 面上不同点经过 的光程不同，位 相增量也不同， 因此经过透镜之 后，造成波阵面 弯曲，形成会聚 球面波。 凹透镜的分析类 似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算， 装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题 缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围 窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相 因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确 的傅立叶变换分布。 前焦面 光源的共轭面 准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机 特点一：光学计算机无需对输入信号进行 抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输 入 特点二：可以直接处理二维图像（信号）， 并行输入 特点三：光学计算机按照图像－角谱－空 间谱的方式进行运行，速度为光波从输入 到输出面的传播时间，速度极快 特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简
透镜的位相变换作用
前产生相位延迟， 前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚 把透镜看成是一个相位型的衍射屏） 。（把透镜看成是一个相位型的衍射屏 度。（把透镜看成是一个相位型的衍射屏）
∆0
Institute of Information Optics, ISE, SDU
Information Optics
光波通过透镜时产生的总相位延迟： 光波通过透镜时产生的总相位延迟：
Information Optics
2.6 透镜的 变换性质 透镜的FT变换性质
2.6-1透镜的相位变换作用 透镜的相位变换作用 2.6.2 透镜的FT特性 透镜的 特性 2.6.3 透镜的一般变换特性
Institute of Information Optics, ISE, SDU
Information Optics
To(u,v)
Institute of Information Optics, ISE, SDU
Information Optics
可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为 可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为:u=xf Nhomakorabeaλf
,v =
yf
λf
处的光场的振幅和相位， 后焦面上坐标 (xf,yf)处的光场的振幅和相位，由物体中频率为 处的光场的振幅和相位 (u,v)的傅立叶分量的振幅和相位决定。 的傅立叶分量的振幅和相位决定。 的傅立叶分量的振幅和相位决定 注意：此时 积分号前有一个二次相位因子， 注意：此时, 积分号前有一个二次相位因子，焦平面和物面 的光场分布之间的FT不是准确的 但对强度分布不影响。 不是准确的， 的光场分布之间的 不是准确的，但对强度分布不影响。 强度分布为: 强度分布为:
f
∆0
Institute of Information Optics, ISE, SDU
Information Optics
光波通过透镜时产生的总相位延迟： 光波通过透镜时产生的总相位延迟：
Information Optics
2.6 透镜的 变换性质 透镜的FT变换性质
2.6-1透镜的相位变换作用 透镜的相位变换作用 2.6.2 透镜的FT特性 透镜的 特性 2.6.3 透镜的一般变换特性
Institute of Information Optics, ISE, SDU
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To(u,v)
Institute of Information Optics, ISE, SDU
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可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为 可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为:u=xf Nhomakorabeaλf
,v =
yf
λf
处的光场的振幅和相位， 后焦面上坐标 (xf,yf)处的光场的振幅和相位，由物体中频率为 处的光场的振幅和相位 (u,v)的傅立叶分量的振幅和相位决定。 的傅立叶分量的振幅和相位决定。 的傅立叶分量的振幅和相位决定 注意：此时 积分号前有一个二次相位因子， 注意：此时, 积分号前有一个二次相位因子，焦平面和物面 的光场分布之间的FT不是准确的 但对强度分布不影响。 不是准确的， 的光场分布之间的 不是准确的，但对强度分布不影响。 强度分布为: 强度分布为:
f
透镜的位相变换作用
上面考虑透镜的FT性质时，均假设用平面光波照
射；这相当于光源位于无穷远；FT面（频谱面）均在
透镜的后焦面上（光源的共轭面上）。
若用发散球面波照明，即光源在有限远处，则在
光源的共轭面（像面）上得到物体的FT（频谱），一
般会相差一个常相位因子。
to(xo,yo) S
To(u,v) S’
t’(x’,y’)
分布， (5) 再由菲涅尔衍射得到像平面上的光场分布。
Uo ( xo ,
可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应， 来理解透镜相位变换的物理意义
f
-f
会聚透镜 f > 0
发散透镜 f < 0
Ul
1
exp
jkn0
exp
j
k 2f
x2 y2
第一项是常数相位延迟，第二项可理解球面波的二次曲面近似。
傍轴近似下：r x2 y2 z2 z x2 y2 2z
l
(
x,
y)tl
(
x,
y)
f
t0(x, y) tl (x, y)
Ato ( x,
y)P( x,
y)exp
j
k 2f
(x2
y
2
)
Uf (xf , yf )
exp
j
k 2f
(
x
2 f
j f
y
2 f
)
U
' l
(
x,
y)
exp
j
k 2f
(x2
略去exp(jkf)
y
2
)
exp
j
2 f
(x,y) 0
❖光波通过透镜时产生的
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 1
R1
R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
x,
y
传播：光波由一个平面向另一个平面传播一段距离，用菲
涅尔衍射处理
U0 x0 , y0 Ul x, y Ul x, y U f x f , y f
Ul x, y
1 k
j d1
exp
j
2d1
x2 y2
F U0
x0 ,
y0
exp
j
k 2d1
x02 y02
xf
d
,
fy
yf
d
透镜后焦面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af
d 2
2
T
xf
d
,
yf
d
2
知识点回顾
透镜的复振幅透过率
tl (x, y) exp[ j
k 2f
(x2
y2 )]
1 f
n
1
1 R1
1 R2
考虑透镜孔径
tl (x, y)
exp[
(x,
y)
exp
j
2
f
x2 y2
U f
xf , yf
exp
j
jkf f
exp
j
透镜的傅里叶变换性质ppt课件
d0
)
( x0 2
y02
)
第二步：写出∑0后 表面的光场分布：
U '(x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
f
k
d0
)
( x0 2
y02
)t ( x0
,
y0
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U
' ( x0
,
y0
)
c
exp透j 2镜(xP’f前-1ky||后’Pd20平) (面x02
y
2
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面
P1 | P2
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
∑p
d0
∑0: 输入面
f
z
S’
输出面
第一步：直接写出∑0 前表面的光场分布：
U (x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
f
k
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t ( x0 ,
y0 )P
f
,
fy
yf
f
数学表达式：U (x f
,
yf
)
c'T (
fx,
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d1 d2 f
U
x,
y
exp
jk d1
jλεd1d2
d2
exp
j
k 2εd1d 2
1
d1 f
x2 y2
U 0
x0,
y0
exp
j
k 2εd1d2
1
d2 f
x02 y02
2
x0 x
y0
y
dx0dy0
特例：当d1 d2 f 时（即 f 1），我们有
dx0dy0
此即输入面位于透镜前，光源共轭面上光场分布的一般公式。
两个特殊位置的讨论
说明：照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系。因此 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时 观察平面位于透镜后焦面上。
情形1、输入平面位于透镜前焦面时
此时，由于d0 f ,观察平面上的复振幅分布简化为
这里已假定薄透镜孔径很大，因此 P(x, y) 1。
接下来的工作是化简公式。
把Ul x, y的表达式代入，经过大量的代数运算，化简得
U
x,
y
c exp
jk
f d0 x2 2 q f d0
p
jk
q
f
f
x0x
d0
y0
y
fd0
U
x,
y
c exp
jk
x2 y2 2q
t
x0,
y0
exp
jk
x0 x
q
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率 不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。
观察面上频谱的空间尺度将按一定的比例缩放。这是因为其空
间频率
fx
x
q
,
fy
y
q
,随q的值（或照明光源位置）而变化。
我们也知道，用单位振幅平面波垂直照射衍射屏的情况下， 夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅立叶变换。
加上透镜以后，我们可以实现近距离观察夫琅和费衍射，原 因在于：透镜具有相位变换作用。
透镜的相位变换作用（续）
无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从 波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会 聚球面波。
U0 x0, y0 t x0, y0 U0 x0, y0
又根据菲涅耳衍射公式，到达观察屏S上的场分布为
U x, y
1
j q d0
t x0, y0 U0 x0, y0
0
exp
jk
x
x0 2
2 y q d0
y0
2
dx0dy0
同样经过大量的代数运算，观察平面上的复振幅分布变为
y
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
透镜的傅立叶变换性质
透镜除了可以成像外，还能作傅立叶变换。
我们将会看到，单位振幅平面波垂直照射衍射屏，在透镜的后 焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察的夫琅和费衍射，恰 好是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏 上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
第三章 光学成像系统的频率特性
3.1 透镜的相位变换作用 3.2 透镜的傅立叶变换特性
陈世华
Department of Physics Southeast University
cshua@ 2011-8-29
透镜的相位变换作用
在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射是比较困难的。 近距离观察夫琅和费衍射，则需要借助透镜来实现。
董比武
下次课： 第二章习题讲解
透镜的傅立叶变换性质（数学讨论）
（1）物在透镜之前
说明：置于透镜前方d0处的衍射片就是物，位于光源 共轭面的q平面上的图案就是它的像了。
下面我们一步一步地来分析这种物像关系。
首先，在傍轴近似下，单色点光源到达0前表面时的场分布为
A0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
A0为常数
透过物体（或衍射片），0后背面的场分布变为
p p d0
y0
。
实际情况下，p通常足够大，即入射光为近似平行光，故可认为
q f 。此时，我们有 x x0, y y0，孔径函数变为P x0, y0 。
上面的分析还不够全面，我们还需考虑像的位置影响。 如下图所示
y0
y
y
x0
x
x
d0 f
x, d0 f
y
x, y
衍射物
d0
对于任一像点 x,
A0t
x0 ,
y0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
t x0, y0 为物体的透过率系数
根据菲涅耳衍射公式，透镜前表面（P1面）的光场分布为
Ul x, y
A0
jd0
0
t
x0 ,
y0
exp
jk
x02 y02
2 p d0
exp
jk
x
x0 2
2d0
y
y0 2
U x, y c
t
x0 ,
y0
exp
jk
x0 x
f
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率
存在准确的傅里叶变换关系，且与照明光源的具体位置无关。
这种情况下，观察平面上的空间频率为
fx
x
f
,
fy
y
f
,
与照明光源的位置无关。
情形2、输入面紧贴透镜时
此时，由于d0 0,观察平面上的复振幅分布简化为
U
x,
y
cexp
jk
x2
2q
y2 d0
t
x0,
y0
exp
jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
我们可看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明 光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的 关系都是傅里叶变换关系，观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
当d0 0时，该公式可以进一步简化，且与物在透镜之前的 紧贴情形一致。
exp
jk d1
M
d2
exp
j Mf
x2 y2
U0
x M
,
y M
式中M d2 表示像的放大倍数。 d1
该式表明，U x, y就是U0 x0, y0 在观察平面上的像，M为其放大
倍数。这和几何光学的结果完全一致。
Thank you!
逆水行舟用力撑, 一篙松劲退千寻; 古云此日足可惜, 吾辈更应惜秒阴。
求解前的参数假设
透镜焦距为 f，物面0 位于透镜前d1处，观察面1位于透镜后
d
2
处，d1和d
是任意的。
2
用单位振幅单色平面波垂直照明物平面，设物面上的场分布
为U0 x0, y0 ，观察上的场分布为U x, y ，并假设光场在d1 和
d
距离上的传播满足菲涅耳衍射条件。
2
透镜前表面的场分布为
U1
x,
y
exp jkd1
jd1
U0 x0 , y0
exp
jk
x
x0
2
2d1
y
y0
2
dx0dy0
透镜后表面的场分布为（考虑到透镜的相位变换因子）
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
U1
x,
y
最后，根据菲涅耳衍射公式，观察平面上的场分布为
U
x,
y
exp jkd2
jλd2
jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
（2）物在透镜前面情形
设透镜的孔径函数为Px, y。
假定物离透镜的距离d
很小，
0
因此透镜与物之间的传播可
假定为直线传播。
因此，根据几何关系，可得
x
p
p d0
x0
y
p
p d0
y0
因此，透镜的孔径函数用x0 ,
y0表示，即为P
p
p d0
x0 ,
U1
x,
y exp
j
k 2d2
x
x2
y
y2
dxdy
exp
jk d1
λ 2d1d 2
d
2
U0
x0,
y0
exp
jk
x2 2f
y2
exp
jk
x
x0 2
2d1
y
y0
2
+jk
x
x2
2d2
y
y2
dx0dy0dxdy
令 1 1 1 ；首先，当 0时，上式可以化简为
光源面
光源共轭面
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二 次相位因子，透镜的功能就是改变二次相位因子的大小。
透镜的相位变换作用（数学推导）
设透镜的复振幅透过率为t x, y,定义为
t
x,
y
U1 U1
x, x,
y y
U1、U1 分别为P1、P2面上的复振幅分布
根据发散球面波公式（傍轴近似下），知P1面上的复振幅分布为：
y
,
其对应的物的坐标为
d0 f
x,
d0 f
y 。
因此，透镜的孔径函数为P
x0
d0 f
x,
y0
U
x,
y
exp
jk d1
jλεd1d2
d2
exp
j
k 2εd1d 2
1
d1 f
x2 y2
U 0
x0,
y0
exp
j
k 2εd1d2
1
d2 f
x02 y02
2
x0 x
y0
y
dx0dy0
特例：当d1 d2 f 时（即 f 1），我们有
dx0dy0
此即输入面位于透镜前，光源共轭面上光场分布的一般公式。
两个特殊位置的讨论
说明：照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系。因此 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时 观察平面位于透镜后焦面上。
情形1、输入平面位于透镜前焦面时
此时，由于d0 f ,观察平面上的复振幅分布简化为
这里已假定薄透镜孔径很大，因此 P(x, y) 1。
接下来的工作是化简公式。
把Ul x, y的表达式代入，经过大量的代数运算，化简得
U
x,
y
c exp
jk
f d0 x2 2 q f d0
p
jk
q
f
f
x0x
d0
y0
y
fd0
U
x,
y
c exp
jk
x2 y2 2q
t
x0,
y0
exp
jk
x0 x
q
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率 不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。
观察面上频谱的空间尺度将按一定的比例缩放。这是因为其空
间频率
fx
x
q
,
fy
y
q
,随q的值（或照明光源位置）而变化。
我们也知道，用单位振幅平面波垂直照射衍射屏的情况下， 夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅立叶变换。
加上透镜以后，我们可以实现近距离观察夫琅和费衍射，原 因在于：透镜具有相位变换作用。
透镜的相位变换作用（续）
无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从 波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会 聚球面波。
U0 x0, y0 t x0, y0 U0 x0, y0
又根据菲涅耳衍射公式，到达观察屏S上的场分布为
U x, y
1
j q d0
t x0, y0 U0 x0, y0
0
exp
jk
x
x0 2
2 y q d0
y0
2
dx0dy0
同样经过大量的代数运算，观察平面上的复振幅分布变为
y
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
透镜的傅立叶变换性质
透镜除了可以成像外，还能作傅立叶变换。
我们将会看到，单位振幅平面波垂直照射衍射屏，在透镜的后 焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察的夫琅和费衍射，恰 好是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏 上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
第三章 光学成像系统的频率特性
3.1 透镜的相位变换作用 3.2 透镜的傅立叶变换特性
陈世华
Department of Physics Southeast University
cshua@ 2011-8-29
透镜的相位变换作用
在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射是比较困难的。 近距离观察夫琅和费衍射，则需要借助透镜来实现。
董比武
下次课： 第二章习题讲解
透镜的傅立叶变换性质（数学讨论）
（1）物在透镜之前
说明：置于透镜前方d0处的衍射片就是物，位于光源 共轭面的q平面上的图案就是它的像了。
下面我们一步一步地来分析这种物像关系。
首先，在傍轴近似下，单色点光源到达0前表面时的场分布为
A0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
A0为常数
透过物体（或衍射片），0后背面的场分布变为
p p d0
y0
。
实际情况下，p通常足够大，即入射光为近似平行光，故可认为
q f 。此时，我们有 x x0, y y0，孔径函数变为P x0, y0 。
上面的分析还不够全面，我们还需考虑像的位置影响。 如下图所示
y0
y
y
x0
x
x
d0 f
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y
x, y
衍射物
d0
对于任一像点 x,
A0t
x0 ,
y0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
t x0, y0 为物体的透过率系数
根据菲涅耳衍射公式，透镜前表面（P1面）的光场分布为
Ul x, y
A0
jd0
0
t
x0 ,
y0
exp
jk
x02 y02
2 p d0
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jk
x
x0 2
2d0
y
y0 2
U x, y c
t
x0 ,
y0
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jk
x0 x
f
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率
存在准确的傅里叶变换关系，且与照明光源的具体位置无关。
这种情况下，观察平面上的空间频率为
fx
x
f
,
fy
y
f
,
与照明光源的位置无关。
情形2、输入面紧贴透镜时
此时，由于d0 0,观察平面上的复振幅分布简化为
U
x,
y
cexp
jk
x2
2q
y2 d0
t
x0,
y0
exp
jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
我们可看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明 光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的 关系都是傅里叶变换关系，观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
当d0 0时，该公式可以进一步简化，且与物在透镜之前的 紧贴情形一致。
exp
jk d1
M
d2
exp
j Mf
x2 y2
U0
x M
,
y M
式中M d2 表示像的放大倍数。 d1
该式表明，U x, y就是U0 x0, y0 在观察平面上的像，M为其放大
倍数。这和几何光学的结果完全一致。
Thank you!
逆水行舟用力撑, 一篙松劲退千寻; 古云此日足可惜, 吾辈更应惜秒阴。
求解前的参数假设
透镜焦距为 f，物面0 位于透镜前d1处，观察面1位于透镜后
d
2
处，d1和d
是任意的。
2
用单位振幅单色平面波垂直照明物平面，设物面上的场分布
为U0 x0, y0 ，观察上的场分布为U x, y ，并假设光场在d1 和
d
距离上的传播满足菲涅耳衍射条件。
2
透镜前表面的场分布为
U1
x,
y
exp jkd1
jd1
U0 x0 , y0
exp
jk
x
x0
2
2d1
y
y0
2
dx0dy0
透镜后表面的场分布为（考虑到透镜的相位变换因子）
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
U1
x,
y
最后，根据菲涅耳衍射公式，观察平面上的场分布为
U
x,
y
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jλd2
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x0x y0 y q d0
dx0dy0
（2）物在透镜前面情形
设透镜的孔径函数为Px, y。
假定物离透镜的距离d
很小，
0
因此透镜与物之间的传播可
假定为直线传播。
因此，根据几何关系，可得
x
p
p d0
x0
y
p
p d0
y0
因此，透镜的孔径函数用x0 ,
y0表示，即为P
p
p d0
x0 ,
U1
x,
y exp
j
k 2d2
x
x2
y
y2
dxdy
exp
jk d1
λ 2d1d 2
d
2
U0
x0,
y0
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jk
x2 2f
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jk
x
x0 2
2d1
y
y0
2
+jk
x
x2
2d2
y
y2
dx0dy0dxdy
令 1 1 1 ；首先，当 0时，上式可以化简为
光源面
光源共轭面
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二 次相位因子，透镜的功能就是改变二次相位因子的大小。
透镜的相位变换作用（数学推导）
设透镜的复振幅透过率为t x, y,定义为
t
x,
y
U1 U1
x, x,
y y
U1、U1 分别为P1、P2面上的复振幅分布
根据发散球面波公式（傍轴近似下），知P1面上的复振幅分布为：
y
,
其对应的物的坐标为
d0 f
x,
d0 f
y 。
因此，透镜的孔径函数为P
x0
d0 f
x,
y0