高一数学复习知识点专题讲义37---弧度制

π，152π.]
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用弧度数表示角
【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.π4 B.π4，54π
C.αα＝4π＋2kπ，k∈Z
D.αα＝4π＋kπ，k∈Z
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(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 θ 的集 合．
[思路点拨]
(1)
判断角α的 终边位置
→
用弧度制表示 角α的集合
(2) 在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角
→ 加kπk∈Z表示角θ的集合
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(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
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所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是αα＝π4＋kπ，k∈Z
.]
(2)[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
rad.]
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4．半径为2，圆心角为π6的扇形
π 3
的面积是________．
π3.]
[由已知得S扇＝12×π6×22＝
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合作探究 提素养
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角度与弧度的互化与应用 【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________． ②将－51π2rad化为角度为________． (2)已知α＝15°，β＝1π0 rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝172π rad，试比较 α，β，γ，θ，φ的大小．
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2．在[0,4π]中，与72° 角终边相同的角有 ________．(用弧度表示)
25π，152π [因为终边与72°角相同的角 为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝25π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝152π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25
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弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12αr2 和 S＝12lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
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这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ
＋π6，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落在阴影
部分内的角的集合为θkπ＋6π<θ<kπ＋π2，k∈Z
.
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1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，
弧
ππ
_0__ _6__ __4_ 度
π 3
π 2
2π 3π 5π _3__ _4__ _6__
π
3π 2
_2_π_
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ αR .
1 (2)扇形面积公式：S＝ 2lR
＝12αR2.
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1．下列转化结果错误的是( ) A．60°化成弧度是π3 rad B．－130π rad化成度是－600° C．－150°化成弧度是－76π rad D.1π2 rad化成度是15°
显然1π2＜1π0＜1＜71π2.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
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角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键； 2方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
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C [A，B 中弧度与角度混用，
3．下列与94π的终边相同的角的 不正确．
[解] 30°＝π6 rad,150°＝56π rad. 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
βπ6＋kπ＜β＜56π＋kπ，k∈Z
.
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弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题] 1．用公式|α|＝rl求圆心角时，应注意什么问题？ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大 小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再 计算，否则结果易出错．
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联 运算素养.
系．(易错点)
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1．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的_3_6_0_.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
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高一数学复习知识点专题讲义
弧度制
学习目标
2
核心素养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一 1.通过对弧度制概念的学
一对应关系． 习，培养学生的数学抽象
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角 素养．
度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特 2．借助弧度制与角度制
殊角的弧度数．(重点、难点) 的换算，提升学生的数学
表达式中，正确的是( )
94π＝2π＋π4，所以94π 与π4终边相
A．2kπ＋45°(k∈Z)
同．－315°＝－360°＋45°，所以－
B．k·360°＋94π(k∈Z)
315°也与 45°终边相同．故选 C.]
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
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4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
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B [296π＝4π＋56π.∵56π是第二 象限角，∴296π是第二象限角．]
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3．(1)75π rad化为角度是 ________．
(2)105°的弧度数是________．
7π (1)252° (2) 12
7π [(1) 5
rad＝
75π×1π80°＝252°； (2)105°＝105×1π80 rad＝172π
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【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为 半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数 大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心 角的弧度数．
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[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求 ∠EAD的弧度数．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r， l＋2r＝10，①
依题意有21lr＝4.② 由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4.
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当 r＝1 时，l＝8(cm)， 此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 rad.
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1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但 也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．
2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是 弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析( )
(1)1弧度的角是周角的3160. (2)1弧度的角大于1度的角． [提示] (1)错误，1弧度的角是周角的21π.(2)正确． [答案] (1)× (2)√
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(1)①58πrad ②－75° [(1)①因为1°＝1π80rad， 所以112°30′＝1π80×112.5 rad＝58πrad. ②因为1 rad＝1π80°， 所以－51π2rad＝－51π2×1π80°＝－75°.]
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(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×1π80 rad＝1π2 rad，θ＝105°＝105×1π80 rad＝172π rad.
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5π 6
[－570°＝－169π＝－4π＋
56π.]
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4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解] 因为r＝π，α＝120×1π80＝23π， 所以l＝αr＝23π2 cm，S＝12lr＝π33 cm2.
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2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB.
[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60， 所以l＝60－2r，|α|＝rl＝60－r 2r， 从而S＝12|α|r2＝12·60－r 2r·r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225， 当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝rl＝60－r 2r＝2 rad， 可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．