1用定积分的定义计算下列积分

1
2
(1) (2)
0
2 1 1
e−x dx 与
0
1
e−x dx； (ln x)2 dx；
1 0
3
2
ln xdx 与
1
(3)
0 1
x sin xdx 与 e−x dx 与
0 1
2
x(sin x)2 dx；
(4)
0 1
(1 + x)dx；
1 x dx 与 ln(1 + x)dx； 0 0 1+x −1 1 1 x (6) dx 与 3x dx。 3 −2 0 4. 应用估值定理，估计下列积分值： π dx (1) I = ； 5 0 √ 2 + sin x
0 +∞
(1)
0 +∞
e−x dx (n > 0)； xn e−a
2
n
(2)
0 +∞
x2
dx (a > 0, n ≥ 0)；
2
(3)
2 +∞
e2 xe−(x−2) dx； x2m+1 e−x dx； x2m e−x dx；
2 2
(4)
0 +∞
(5)
0
+∞
(6)
0
x 2 e−x dx。
7
习题六答案
3
1
0
0 1
e−x dx；(2)
1 2
2
2 1
ln xdx <
1 0
(ln x)2 dx；
1
1
(3)
0 1
x sin xdx >
x sin xdx；(4)
e
−x
dx <
0
(1 + x)dx；
1 −1 x 1 x dx < ln(1 + x)dx；(6) dx > 3x dx。 3 0 1+x 0 −2 0 π π 2 2 2 π π < I < π； 4. (1) ≤ I ≤ ；(2) ≤ I ≤ π ；(3) 3 2 3 3 13 7 √ 1 6 3 2 ；(6) 1 < I < 。 (4) − ≤ I ≤ 18；(5) < I < 4 2 2 5 x4 3x2 2x 2 sin |x| ； 5. (1) √ −√ ；(2) 2xe 2 ；(3) − x 1 + x12 1 + x8 − cos(cos x) sin x cos(sin x) cos x 。 (4) − tan ln e2x + 1 · ex ；(5) − 1 + cos2 x 1 + sin2 x √ √ 3 1 3 √ π 6. (1) ；(2) ；(3) 2；(4) (9 3 − 4 2)；(5) arctan 2 − ；(6) 2 4 5 4 √ 4(2 + 2) ； 15 √ 10 37 (7) 4 2；(8) e4 + e2 − 2；(9) ；(10) − e−1 ；(11) 3 24 −∞ < x ≤ 0. 0, 1 2 = 4 ； x , 0 < x ≤ 2. x − 1, 2 < x < +∞. π (12) 。 16 7. 2。 √ √ π 2 e + e2 + 1 √ 8. (1) 3 − ；(2) 7 + 2 ln 2；(3) ln ；(4) ；(5) 3 7 1+ 2 √ 1 √ arctan 2； 2
2
f (x)dx；
−1
2 e−x , x≥0 ，求 f (x − 1)dx； 1 1 + x2 , x < 0 2 0, −∞ < x ≤ 0 (11) 设f (x) = 1 ，试用分段函数表示 2 x, 0 < x ≤ 2 1, 2 < x < +∞
x
f (t)dt；
0
(12)
(3)
e +∞
(4)
−∞ +∞
(5)
2 +∞
(6)
1 +∞
(7)
2 +∞
(8)
−∞ +∞
(9) (10)
0
−∞ +∞
18. 判断下列广义积分的敛散性： +∞ dx √ (1) ； 3 x · 1 + x2 1 +∞ lnn x dx, (n > 0)； (2) x2 0 +∞ 3 ； (3) √ √ x· x−2 3 +∞ 1 sin p dx, (p > 0)。 (4) x 1
10. 计算下列定积分： π x (1) sin6 dx； 2 0
1
(2)
0
1 − x2 e
x
n
dx；
(3)
0
1 √
dx
(4)
0
π2 4
√ (sin x)2 dx ；
(1 + x) arcsin x √ dx； 1 − x2 − 16 √ (6) arctan x − 1dx； (5)
1 2
1 2
1
x2
2
(2) f (x) = e 2 dt； 0 √ b sin t dt； (3) t x2
2
t2
(4) f (x)
ex
tan ln t2 + 1 dt；
cos x
cos t dt。 2 sin x 1 + t 6. 应用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： e 1 + ln x (1) dx； x 1 1 x (2) dx； 2 2 0 (x + 1) π 2 √ (3) 1 − sin 4xdx ； (5) f (x) =
(11)
0
1 2
(12)
π 4
π 2
(13)
0
π 2
e2x cos xdx； e2x sin2 xdx ； sec3 xdx；
(14)
0
π 4
(15)
0
π 4
(16)
0
π 4
2x sin x dx； (cos x)3 |ln x| dx；
e
(17)
1 e
2π
(18)
0
√ x 1 + cos xdx。
0
π 2
cos5 x sin 2xdx； 1 dx； 1 + sin2 x sin x dx； 5 − 3 cos x cos7 2xdx；
(5)
0
π 4
(6)
0
π 2
(7) (8)
π 4 π 4
x2 a2 − x2 dx； √ 2 x2 − 1 (9) dx； x 1 √ 1 arcsin x (10) dx； x(1 − x) 0 1 1−x x (11) dx； 1+x 0
x
(12) (13)
0
π 4
−π 4 π
x sin6 x cos4 xdx； x sec2 x dx； (1 + tan x)2
(14)
0
π 4
ln(1 + x) dx； 1 + x2 0 π 4 sin2 x (16) dx。 −x −π 1 + e (15) 11. 抛物线y 2 = 2x将圆x2 + y 2 = 8分成两部分，试求这两部分的面 积。 12. 求下列直曲线围成的平面图形的面积。 x2 (1) y = x2 , y = 和y = 2x； 2 (2) y = x2 , x + y = 2； (3) y = |lg x| , y = 0, 0.1 ≤ x ≤ 10； (4) 抛物线y = −x2 + 4x − 3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线。 13. 过抛物线y = x2 上一点P (a, a2 )作切线，问a为何值时所作切线与 抛物线所围图形面积最小？ 14. 求下列立体的体积： (1) 以抛物线y 2 = 2x与直线x = 2所围成的图形为底，而垂直于抛物线 轴的截面都是等边三角形的立体的体积； (2) 以长半轴a = 10，短半轴b = 5的椭圆为底，而垂直于长轴的截面 是等边三角形的立体的体积； (3) 由半立方抛物线y 2 = x3 、x轴和直线x = 1所围图形，绕x轴和y 轴 旋转而成的旋转体的体积； 1 (4) 由抛物线y 2 = 2x与直线x = 所围成的图形绕直线y = −1旋转而 2 成的旋转体的体积； (5) 由曲线y = x2 + 7和y = 3x2 + 5所围图形绕x轴旋转而成的旋转体 的体积； (6) 由圆(x − 2)2 + y 2 = 1绕y 轴旋转而成的环体的体积； (7) 由曲线y = sin x(x ∈ [0, π ])与x轴所围图形绕y 轴和直线l : y = 1旋 转而成的旋转体的体积。 15. 证明：正圆锥体的体积为其底面积与高的乘积的三分之一。 16. 已知某种产品产量为x单位时的边际成本C’(x)=1（万元），边际 收入R’(x)=5-x（万元）。求： (1) 产量为多少单位时总利润最大？ (2) 从利润最大的产量再生产100个单位的产品，总利润将减少多少？ 17. 判断下列无穷限广义积分的敛散性，若收敛并求其值：
e
(7)
1
sin(ln x)dx；
π 4
(8) (9)
0
−π 4
π 2
x dx； 1 + sin x x + sin x dx； 1 + cos x x2 arcsin x √ dx； 1 − x2
√
(10)
1 2
3 2
√
ห้องสมุดไป่ตู้
(11)
0
2 2
arcsin x arccos xdx； e 2 (cos x − sin x) √ dx； cos x
1．(1) 1；(2) ln 2。 1 1 1 2. (1) dx；(2) sin (a + bx) dx；(3) 0 1+x 0 1 √ dx； 4 − x2 1 1 x (5) xp dx；(6) dx。 2 0 0 1+x
1
1
√
0
1 0
1 dx；(4) 1 + x2
3. (1)
1
0
2
e−x dx >
ln x dx； (1 − x)2 x(1 − sin x)dx； x2 cos xdx；
(5)
0
π 2
2π
π 2
(6)
0
(7) (8)
x x sin2 dx； 2 0√
3
x arctan xdx；
0 1
(9)
0
√ x arctan xdx；
1 2
(10)
0
(arcsin x)2 dx； x ln 1+x dx； 1−x x dx； (sin x)2
π 2
cos4 θ sin2 θdθ
a a
−
π 2
7. 设f (x)在[−a, a] (a > 0)上连续，证明 f (x)dx =
−a 0
(f (x) + f (−x)) dx
8. 用换元积分法求下列积分： √ 2 4 − x2 (1) dx； x2 1 √ 9 x √ (2) dx； x − 1 4 √ 1 ex √ (3) dx； ex + e−x 0 (4)
0 3
(4)
−2 0
x |x|dx； x2 1 dx； + 4x + 5
(5)
−1 2
(6)
0 2π
x3 − 2x2 + xdx； |sin x − cos x| dx；
0 4
(7) (8)
−2
e|x| dx；
(9)设f (x) = (10) f (x) =
1 − |x| , |x| ≤ 1 ，求 x2 , |x| > 1
0
− a
π
(12)
0
x sin7 xdx； 1 √ dx； x 1 − x2 sin x − sin3 xdx。
(13)
1 2
3 5
π
(14)
0 1
9. 用分部积分法求下列定积分： (1)
0 1
xe−x dx； x2 e2x dx； ln (x + 1) dx；
(2)
0
e−1
(3)
0 2e
(4)
e
−2 1
； x (1 − x) 1 √ dx； x x2 − 1
dx ； 1 − x2 dx
(6)
0
ln xdx；
3π 4
(7)
π 4
dx ； cos2 x 1 |x2
2
dx； − 1| 1 dx (9) 2 0 sin (1 − x) π 2 sin θ (10) dθ。 0 sin θ + cos θ 21. 判断下列广义积分的敛散性： 2 dx √ (1) ； 3 x2 − 3x + 2 1 1 ln x (2) dx； 1 − x2 0 1 1 − cos x (3) dx； p 0 √ x 2 x (4) dx。 1 ln x √ 1 22．已知Γ = π ，计算广义积分与Γ函数。 2 (8)
(5)
3
(2) I =
1 √ 3
x · arctan xdx；
2π
(3) I =
0 4
dx ； 10 + 3 cos x
(4) I =
1
(x2 − 3x + 2)dx； sin x dx； x
(5) I =
π 4
π 2
5−x dx。 2 0 9−x 5. 求下列积分变限函数的导函数： x3 dt √ (1) ； 1 + t4 x2 (6) I =
4
1
+∞
(1)
0 +∞
arctan x (1 + x2 ) 2
2 3
dx；
(2)
0 +∞
xe−ax dx (a > 0)； dx ； x ln2 x dx ； 2 x +x+1 dx √ ； x x2 − 1 arctan x dx； x2 ln x dx； x dx ； 2 (x + 1)(x2 + 4) 2x dx； 1 + x2 e−2t sin t cos tdt。
+∞
19. 如果
1
f (x)dx收敛，且 lim f (x)dx = A，证明A = 0。
x→+∞
20．判断下列无界函数广义积分的敛散性，若收敛并求其值： 3 dx √ (1) ； 3 3x − 1 0 1 arcsin x √ dx； (2) 1 − x2 0
1
(3)
−1 1
√
(4)
0 −1
(5)
习题六
1．用定积分的定义计算下列积分： π (1)
0
2
sin xdx；
1 dx。 1 x 2. 把下列极限表示为定积分： 1 1 1 (1) lim + + ··· + ； n→∞ n + 1 n+2 n+n 1 b n−1 (2) lim sin a + sin a + + · · · + sin a + b ； n→∞ n n n 1 1 1 (3) lim √ +√ + ··· + √ ； 2 2 2 2 2 n→∞ n +1 n +2 n + n2 1 1 1 +√ + ··· + √ ； (4) lim √ 2 2 2 2 n→∞ 4n − 1 4n − 2 4n − n 2 1p + 2p + · · · + n p ； (5) lim n→∞ np+1 2 n 1 + 2 + ··· + 2 。 (6) lim 2 2 n→∞ n + 1 n +2 n − n2 3. 不计算积分值，比较下列各组积分的大小： (2)