奥数平移知识点总结

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数学平移拓展知识点总结

数学平移拓展知识点总结
一、平移的定义
平移是指把一个几何图形的每一个点都按照相同的向量进行移动，移动前后保持图形的大小、形状和方向不变。

平移是一种向量运算，用来描述几何图形在空间中的移动。

二、平移的性质
1. 平移不改变图形的大小和形状；
2. 平移不改变图形的内部结构；
3. 平移不改变图形内部的相对位置关系；
4. 平移保持图形的方向不变。

三、平移矢量
平移矢量是描述平移向量的数学量。

平移矢量是一个有方向和大小的矢量，它描述了平移
方向和平移的距离。

平移矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示平移的大小，箭头的方向
表示平移的方向。

四、平移矩阵
平移矩阵是描述平移变换的数学工具。

平移矩阵是一个二维数组，表示了平移向量的坐标。

平移矩阵可以用来描述平移变换的效果，也可以用来进行平移变换的运算。

五、平移变换的应用
1. 平移变换在计算机图形学中有广泛的应用，可以用来描述图形的移动、动画和变换效果；
2. 平移变换在物理学中也有很多应用，可以描述物体的运动、位移和速度。

总结：数学平移是一种非常基本和重要的几何变换，它可以用来描述几何图形的移动和变换。

平移的性质、平移矢量、平移矩阵和应用都是数学中非常重要的知识点，可以帮助我
们理解和应用数学平移的概念和原理。

希望本文对大家了解数学平移有所帮助。

平移的知识点总结小学

平移的知识点总结小学
1. 平移的定义
平移是指将一个图形或物体沿直线方向移动一定的距离，不改变其形状、大小和方向，这
个直线方向可以是任意方向，平移是几何变换中最常用的一种。

在平面坐标系中，平移可
以用向量来描述，表示为（a，b），其中a和b分别表示在x轴和y轴上的平移距离。

平移变换可以用公式来表示：T(x, y) = (x + a, y + b)，其中T表示平移变换，(x, y)表示平
移前的坐标，(x + a, y + b)表示平移后的坐标。

2. 平移的性质
- 平移不改变图形的形状和大小
- 平移不改变图形的方向
- 平移后的图形与原图形的位置关系保持不变
3. 平移的应用
平移在日常生活和工作中有着广泛的应用，比如在地图上标注位置、设计中移动图案或图形、机械运动中的位移、电脑图像处理等都常常用到平移。

4. 平移的符号表示
在数学中，平移常常用符号来表示，记作T(a, b)，其中T表示平移的意思，(a, b)表示平
移的距离向量。

5. 注意事项
在进行平移时，需要注意一些事项，比如平移的方向、距离和位置关系等，保证平移后的
图形与原图形的位置关系保持不变。

总之，平移是几何学中一个非常基础的概念，它是其他几何变换的基础，如旋转、缩放等，通过学习和掌握平移的知识，可以更好地理解和应用几何学的相关知识。

高中数学平移知识点总结

高中数学平移知识点总结在数学教学中，平移的知识点主要包括平移的定义、性质、平移的表示方法、平移与向量的关系、平移的性质及应用等方面。

本文将对这些知识点进行详细的总结，帮助学生系统地掌握平移的相关知识。

一、平移的定义平移是指将一个图形沿着一条直线移动，移动的方向及距离是固定的，其结果是图形的每一个点都按照相同的方式移动到新的位置。

平移的定义可以用“保持大小、方向和形状不变”来描述。

二、平移的性质1. 平移是一种等距变换，即平移前后的图形的各点到原来对应点的距离是相等的。

2. 平移保持相交直线的交点不变。

3. 平移保持图形的大小、形状和方向不变。

4. 任意两个平移可以交换次序。

5. 若图形A经过平移得到图形B，那么图形B经过逆向平移得到图形A。

6. 平移可以加法，即若A经过平移得B，B经过平移得C，则A经过平移得C。

三、平移的表示方法1. 平移可以用向量来表示。

平移向量可以表示为一个有向线段，其长度代表平移的距离，方向代表平移的方向。

2. 平移可以用坐标表示。

若平移向量为(α, β)，则点(x, y)经过平移后的坐标为(x+α, y+β)。

四、平移与向量的关系平移与向量之间有着密切的联系，平移可以通过向量的加法来表示。

即若平移向量为a，点A经过平移得到点B，则向量AB等于平移向量a。

五、平移的性质及应用1. 两个平移可以交换次序，即P1→P2→P3和P1→P3→P2所得的是同一个图形，这一性质是平行四边形法则的基础。

利用该性质可以推导出平行四边形的性质。

2. 平移可以用来解决几何问题。

例如，利用平移可以证明三角形的中位线互相平行，从而能够推导出一些关于三角形的重要性质。

3. 平移可以应用于向量运算中，例如求向量的加法、减法、数乘等。

总之，平移是几何中非常重要的一个概念，它不仅是数学中的一个重要知识点，还在实际问题中有着广泛的应用。

通过学习平移，可以帮助学生更好地理解几何中的很多重要概念，同时也为他们将来的学习和工作奠定了良好基础。

总结平移知识点

总结平移知识点一、平移的定义及特点平移是指在几何空间中，沿着某个方向将一个对象移动一定的距离，而保持其形状和大小不变的变换。

特点：1. 保持长度和角度不变：在平移过程中，对象的长度和角度都不会发生改变，这是平移的重要特点之一。

2. 保持平行关系：在平移过程中，平行线仍然保持平行，并且等距离。

3. 保持面积和体积不变：平移的过程中，对象的面积和体积都不会发生变化。

二、平移的表示方法在数学中，平移可以用矢量表示法来描述。

假设原始图形为A，平移向量为v，则平移后的图形为A'，则有A' = A + v。

在二维空间中，平移向量v可以用(x, y)来表示，表示沿着x轴平移x个单位长度，沿着y轴平移y个单位长度。

在三维空间中，平移向量v可以用(x, y, z)来表示，表示沿着x轴平移x个单位长度，沿着y轴平移y个单位长度，沿着z轴平移z个单位长度。

三、平移的性质1. 平移满足组合律：设有两个平移变换T1和T2，对于任意点P，有(T1∘T2)(P) =T1(T2(P))。

2. 平移满足可逆性：设有一个平移变换T，存在逆变换T-1，使得T∘T-1 = T-1∘T = I，其中I为恒等变换。

3. 平移满足保持等长：对于任意两点A和B，经过平移变换后，线段AB的长度不发生改变。

四、平移的应用1. 图像处理：在计算机图形学领域，平移是常见的几何变换，它可以用来实现图像的平移、旋转、缩放等操作，从而实现图像的变换和处理。

2. 几何构造：在几何构造中，平移可以用来构造平行线、相似图形等，从而解决一些几何问题。

3. 机器人运动：在机器人运动控制中，平移是一个常见的运动方式，可以用来控制机器人在空间中的移动和定位。

五、平移的模拟与实现在计算机图形学中，通常使用矩阵来表示平移变换。

对于二维空间，平移变换可以表示成如下的矩阵形式：T = |1 0 tx||0 1 ty||0 0 1|其中tx和ty分别代表x轴和y轴的平移距离。

平移知识点总结

平移知识点总结平移是几何学中的重要概念之一，它是指将一个图形按照一定的规则在平面上移动而不改变其形状和大小。

在平移的过程中，图形的每个点都移动了相同的距离和方向，使得整个图形整体保持平行关系。

本文将对平移的定义、性质以及相关公式进行总结，并通过实例来加深对平移的理解。

一、平移的定义平移是指将一个图形在平面上按照一定的规则移动，使得图形的每个点都按照相同的方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。

平移可以看作是一种刚体运动，它保持了图形的对应点之间的相互位置关系。

在平移中，图形的每个点都移动了相同的位移向量。

二、平移的性质1. 平移不改变图形的面积和形状。

2. 平移保持图形的对称性。

3. 平移不改变图形的内角和周长。

4. 平移可以将图形的顶点、边、角对应移动到新的位置。

三、平移的公式设平移向量为v(x, y)，对于平面上的点P(x, y)，经过平移后的新位置为P'(x', y')，则有以下公式：x' = x + v_xy' = y + v_y其中v_x为向量v在x轴上的分量，v_y为向量v在y轴上的分量。

四、平移的实例示例1：平移一个矩形ABCD，使得点A移动到新的位置A'(3, 4)，且平移向量v(1, 2)。

解：根据平移的公式，可得：x' = x + v_xy' = y + v_y将A的坐标代入公式，有：x' = 1 + 1 = 2y' = 2 + 2 = 4因此，点A经过平移后的新位置为A'(2, 4)。

示例2：平移一个三角形ABC，使得点A移动到新的位置A'(5, 6)，且平移向量v(-2, 3)。

解：根据平移的公式，可得：x' = x + v_xy' = y + v_y将A的坐标代入公式，有：x' = -2 + (-2) = -4y' = 3 + 3 = 6因此，点A经过平移后的新位置为A'(-4, 6)。

平移知识点

图形的平移和旋转一：知识点1．平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（2）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，求证：OE=OF。

4．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且AE=BE+FD说出AF平分∠DAE的理由。

5、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作∠MDN=60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，（1）、求证MN=BM+CN；（2）、试说明△AMN的周长为2．（3）、若M,N分别在AB,CA的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，MN,BM,CN又满足什么关系？M6、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFDH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。

图形的平移和旋转知识点复习

第三章图形的平移与旋转知识点一：平移及平移作图1、平移的概念及性质：(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：①图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

(3) 平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段，对应线段，对应角。

2、平移作图：方法一：根据性质：对应点连接的线段平行且相等，做出平行线段，找到对应点，再将各点连接；方法二：根据性质：对应线段平行且相等，直接做出平移后的图形。

平移三要素：（1）（2）（3）。

例1:下图中的图形A向右平移了格得到图形A′。

A A′二、巩固练习1.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（）A 不同的点移动的距离不同B 既可能相同也可能不同C 不同的点移动的距离相同D 无法确定2.如图，若线段是由线段平移而得到的，则线段、关系是.4.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。

4.如图，经过平移，△的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

作法：1.分别过点B、C沿方向作线段、，使它们与平行且相等2.顺次连结D、E、F则△即为所求。

5.如图，已知△，画出△沿方向平移4后的△A′B′C′．知识点二：旋转及旋转作图1.旋转的概念及性质旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为，转动的角称为。

旋转不改变图形的大小和形状。

2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形；（4）图形的旋转由和决定。

3.旋转作图两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。

作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；②顺次连接各点得到旋转后的图形。

平移知识点归纳总结

平移知识点归纳总结一、平移的定义平移是指在空间中保持一定方向和距离的情况下，将一个图形沿着这个方向移动一定距离的过程。

在二维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2)在三维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2,a3)，向量b=(b1,b2,b3)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)这就是平移的基本定义，即通过向量的加法实现的空间中的一种移动操作。

需要注意的是，在进行平移操作时，被平移的图形保持原来的形状和大小不变，只是位置移动了一定的距离。

二、平移的性质1. 平移是向量的加法运算：平移操作是通过向量的加法运算来实现的，即在空间中沿着一定方向移动一定距离。

这就意味着向量的平移操作满足向量的加法的性质，包括交换律、结合律和存在零元素等性质。

2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移是一种保持图形形状和大小不变的移动操作，这是因为平移操作是将向量加上一个固定的平移向量，只是改变了位置，而没有改变图形的形状和大小。

3. 平移操作可以用矩阵表示：平移是一种线性变换，可以用矩阵表示。

在二维空间中，平移可以用下面的矩阵表示：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]其中a和b分别表示x轴和y轴的平移向量，这样的矩阵称为二维平移矩阵。

在三维空间中，平移可以用类似的方式表示。

4. 平移操作可以逆向进行：平移操作可以逆向进行，即通过一个相反的平移向量可以将图形还原到原来的位置。

这是因为平移是线性变换，具有逆变换的性质。

5. 平移操作保持向量的相对位置不变：在平移操作中，图形中各个点的相对位置关系保持不变，只是整体移动了一定的距禿。

初中奥数讲义_图形的平移与旋转附答案

图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】如图，等边△ABC 的边长为31225+=a ，点P 是△ABC 内的一点，且PA 2+PB 2＝PC 2，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA 2+PB 2＝PC 2的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题)5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6 (2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ． 15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ． (1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。

小学六年数学重要知识点总结形的平移旋转与对称性

小学六年数学重要知识点总结形的平移旋转与对称性形的平移旋转与对称性是小学数学的重要知识点，它们是培养学生空间想象力和几何直观的基础。

本文将对小学六年级数学中与形的平移旋转与对称性相关的重要知识点进行总结。

一、形的平移形的平移是指将一个平面图形沿着某个方向移动一定距离，而形状大小不变的变换。

在小学六年级数学中，学生需要掌握以下几个与形的平移相关的知识点。

1. 平移的定义与表示方法：平移是指在平面上保持图形大小和形状不变的情况下，把它沿着某个方向移动一定距离。

平移可以用向量表示，也可以用坐标表示。

2. 平移的性质：（1）平移保持图形的大小和形状不变；（2）平移前后图形的对应点在同一直线上。

3. 平移的实际应用：平移在日常生活中有着广泛的应用，比如地图的制作和使用、机器人的移动等。

二、形的旋转形的旋转是指以某一点为中心，将一个图形围绕这个中心点旋转一定角度，而形状大小不变的变换。

在小学六年级数学中，学生需要了解以下与形的旋转相关的知识点。

1. 旋转的定义与表示方法：旋转是指以某一点为中心，将图形围绕这个中心点旋转一定角度，而形状大小不变。

旋转可以用角度表示，也可以用旋转中心的坐标表示。

2. 旋转的性质：（1）旋转保持图形的大小和形状不变；（2）旋转前后图形的对应点与旋转中心连成的线段相等。

3. 旋转的实际应用：旋转在日常生活中也有许多实际应用，比如车轮的旋转、地球的自转等。

三、对称性对称性是指图形能够在某条直线、点或者平面上成为自身的重合变换。

对称性也是小学六年级数学中重要的知识点。

1. 线对称：线对称是指图形能够在某条直线上成为自身的重合变换。

学生需要掌握以下与线对称相关的知识点：（1）线对称的定义与表示方法；（2）线对称的性质，如对称轴上的任意一点与对称图形上的对应点相等。

2. 点对称：点对称是指图形能够以某个点为中心，成为自身的重合变换。

学生需要了解以下与点对称相关的知识点：（1）点对称的定义与表示方法；（2）点对称的性质，如对称中心上的任意一点与对称图形上的对应点相等。

小学数学知识归纳平移的概念

小学数学知识归纳平移的概念平移是数学中的一种基本运动方式，它在小学数学中是比较重要的一个概念。

本文将对小学数学中有关平移的知识进行归纳总结。

第一部分：平移的定义平移是指在平面上将一个图形按照一定方向和距离移动，使得每一个点都保持原来的方向和距离不变。

在平移中，图形的形状、大小、角度均不发生变化。

第二部分：平移的性质1. 平移的方向可以是任意方向，可以是水平方向、垂直方向，也可以是斜向。

2. 平移的距离可以是任意距离，可以是整数单位长度，也可以是小数单位长度。

3. 平移是一种向量运动，平移的向量是确定平移的方向和距离的重要因素。

4. 平移可以连续进行多次，根据图形的移动次数可以确定移动后的位置。

第三部分：平移的实例1. 将一个图形沿水平方向平移，例如将一个正方形向右平移2个单位长度。

2. 将一个图形沿垂直方向平移，例如将一个三角形向下平移3个单位长度。

3. 将一个图形按特定的方向和距离进行斜向平移，例如将一个长方形沿斜向向上平移4个单位长度。

通过实例的演示可以更加直观地理解平移的概念和性质。

第四部分：平移与数学运算的关系平移与数学运算有一定的关系，可以通过数学运算来描述平移的过程。

1. 平移可以通过坐标变化来描述，对于平面上的一个点(x, y)，进行平移后的坐标可以表示为(x+a, y+b)，其中a和b分别表示平移向量的横向和纵向分量。

2. 平移可以通过向量运算来描述，平移的向量可以表示为一个有向线段，起点是图形初始位置的一个点，终点是平移后图形位置的对应点。

通过数学运算的表达方式，可以更加准确地描述和计算平移的结果。

第五部分：平移的应用1. 平移在几何形体的制图中有着广泛的应用，可以通过平移来绘制各种图形。

2. 平移在地图制作中也有重要作用，可以通过平移将某个区域的地图移到其他位置。

3. 平移还可以用来解决一些实际问题，例如根据已知条件进行图形的平移求解。

第六部分：小学数学中的平移练习1. 小学数学中，平移是一个常见的考点，学生需要通过练习来掌握平移的概念和运算。

二年级平移现象知识点归纳总结

二年级平移现象知识点归纳总结平移是数学中的一种基本运动，也是几何变换中的一种重要操作。

在二年级的数学学习中，平移现象是一个重要的内容，对于学生的空间想象力和几何观念的培养具有至关重要的作用。

下面将对二年级平移现象的知识点进行归纳总结。

一、什么是平移平移是指在平面上将一个图形按照一定的规则，不改变它的大小和形状，沿着平行的方向移动一定距离，使得图形的各个点同时按相同的距离和方向移动，并保持位置相对关系不变，这种运动称为平移。

二、平移的特点1. 不改变图形的大小和形状：在平移过程中，图形的各个点按相同的距离和方向移动，使得图形整体上只是在平面上整体移动，而没有发生形状和大小的变化。

2. 保持位置相对关系不变：平移过程中，每个点与其他点之间的相对位置关系不变，即平行线仍然平行，相交线仍然相交，图形内部的角度关系也不变。

三、平移的表示方法在数学中，平移通常使用向量表示。

平移向量是一个由平移的方向和平移的距离组成的有向线段，用箭头来表示。

平移向量的长度表示平移的距离，方向表示平移的方向。

四、平移的性质1. 平移是一个刚体运动：平移操作仅仅是沿着平行的方向移动，不改变图形的大小和形状，因此平移是一个刚体运动。

2. 平移是可逆的：对于任意的平移，都存在逆平移，即可以将图形从初始的位置移回到平移前的位置，这是因为平移不改变图形的位置相对关系。

五、平移的操作步骤在进行平移操作时，可以按照以下步骤进行：1. 确定平移的向量：根据题目中所给的信息，找到平移的方向和距离，确定平移向量。

2. 在原图形上标出平移向量：通过箭头的方式，将平移向量标在原图形上。

3. 复制标出平移向量的图形：将标出平移向量的图形复制到平移向量的终点位置上，即可完成平移操作。

六、平移的例题为了更好地理解平移现象，下面给出一个平移的例题：题目：将图形A按照平移向量(-2, 3)进行平移，得到图形B。

请在坐标平面上画出图形B，并标出其顶点坐标。

解析：根据平移向量(-2, 3)，我们可以将图形A上的每个顶点都按照向左平移2个单位，向上平移3个单位的方法找到对应的顶点坐标，连接这些顶点即可得到平移后的图形B。

平移知识点总结

平移知识点总结平移是几何学中的基本操作之一，它是指在平面上保持形状不变的情况下将图形沿着平行线段移动。

在数学中，平移是一种简单而重要的变换方式，对于研究图形的性质和解决实际问题都具有重要的意义。

本文将对平移的定义、性质、应用等知识点进行总结，帮助读者更好地掌握和应用平移。

一、平移的定义与符号表示平移是指将一个图形沿着平行线段移动到一个新位置，使得移动前后的图形形状保持不变。

在平面上，平移可以用一个向量来表示，该向量即为平移向量。

平移向量由平移的起点到终点的线段所对应的向量表示，记作$$\vec{v}$$。

二、平移的性质1. 保持形状不变：平移后的图形与原图形形状完全相同，只是位置发生了改变。

2. 平行性：平移前后的平行线保持平行关系，平移前后的平行线段仍然平行。

3. 距离不变：平移前后图形上的两点之间的距离保持不变。

4. 圆的平移：平移不改变圆的大小和形状，但改变圆心的位置。

三、平移的过程与步骤平移的过程可以分为以下几个步骤：1. 确定平移向量：根据平移前后图形的位置关系，确定平移向量的大小和方向。

2. 标注起点和终点：在平移前的图形上标注出平移向量的起点和终点。

3. 连接起点和终点：画出平移向量的方向，连接起点和终点。

4. 复制移动：将平移向量复制到平移前的图形上，从起点将图形复制到终点的位置，形成平移后的图形。

四、平移的应用平移作为一种基本的几何变换，在很多实际问题中都具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 地图的标志物移动：在地图上，为了方便人们的辨识和测量，常常会将标志物进行平移，使得地图上的标志物与实际位置相对应。

2. 工程图纸中的平移：在建筑、装修等工程中，往往需要根据实际情况对图纸进行平移，以确定建筑材料的位置和安装情况。

3. 计算机图形学中的平移：在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域，可实现图像的移动和位置修正。

总结：本文对平移的定义、性质、过程和应用进行了总结，平移是几何学中的重要概念之一。

平移知识点总结

平移知识点总结平移是几何学中的一种基础变换，它是指保持物体形状不变，只改变其位置的操作。

在这篇文章中，我们将对平移的概念、性质以及相关应用进行总结讨论。

一、概念与性质1.1 概念平移是指将一个物体沿着直线方向移动一定的距离，使其每一点都保持相同的移动方向与移动距离。

1.2 性质（1）平移不改变物体的形状和大小，只改变其位置。

（2）平移是一种向量运算，平移向量表示物体从初始位置到终止位置的位移。

（3）平移具有可逆性，即平移一个物体与平移回去等效。

二、平面平移2.1 平移向量平移向量是指从一个点到另一个点的有向线段的向量表示。

记平移向量为→AB。

2.2 平移规律平面上的任意一点A经过平移→AB后得到新的位置B，而平移向量→AB与原始位置的点A和新位置的点B之间存在以下关系：→AB = →OB - →OA其中，O为坐标系的原点，→OA为点A的位置向量，→OB为点B 的位置向量。

2.3 平移的性质（1）与平行线关系进行平移时，平移前后的平行线仍然保持平行。

（2）与图形关系经过平移后，平移前后的图形形状完全相同。

（3）与顺序关系进行多次平移时，平移的次序不影响最终结果。

（4）与方向关系平移的方向可以是任意的。

三、立体平移在三维空间中，平移仍然遵循相同的概念与性质，但需要使用三维向量来描述平移向量。

3.1 平移向量立体平移向量为一个三维向量，表示点的位移方向与距离。

3.2 平移规律三维空间中的点A经过平移向量的作用得到点B，平移向量的表示方式为→AB。

3.3 平移的性质（1）形状不变立体平移只改变物体的位置，而不改变其形状。

（2）体积不变进行平移操作时，物体的体积保持不变。

（3）可逆性与二维平移类似，立体平移也具有可逆性。

四、应用4.1 几何建模平移是进行几何建模的基本操作之一，通过平移可以构建更复杂的几何体。

4.2 航空航天在航空航天领域中，平移被广泛应用于飞行器的导航与控制系统中，以实现定位和精准控制的目的。

小学奥数小学数学之平移大法巧求周长与面积

巧求周长与面积知识点：周长：物体表面或封闭图形一周的长度就是它们的周长。

面积：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。

长方形和正方形是我们认识过的常见规则图形，它们的周长和面积计算公式如下：长方形的周长=（长+宽）×2，或者长×2+宽×2长方形的面积=长×宽正方形的周长=边长×4正方形的面积=边长×边长基础题1、一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，那么长方形的周长是多厘米？长方形的面积是多少平方厘米？2、一个长方形的长是20厘米，长是宽的4倍，那么长方形的周长是多少厘米？长方形的面积是多少平方厘米？3、一个正方形的周长是40厘米，正方形的面积是多少平方厘米？4、一个长方形土地的周长是600米，其中长是200米，求长方形土地多少公顷？5、现在有一根铁丝长度60厘米，围成一个长20厘米的长方形，问长方形的面积是多少厘米？巧求周长（平移法：水平线段要上下平移，竖直线段要左右平移。

平移后的目标长方形：不规则图形的最上，最下，最左，最右的线段分别两端延伸，围在4条线段中间的长方形就是我们的目标长方形。

①童老师数学当原来不规则图形的周长上所有的线段都平移到了目标长方形上，那么原来不规则图形的周长=目标长方形的周长。

②武汉童老师奥数当原来的周长上有部分线段还没有平移到目标长方形上，那么原来不规则的图形的周长=目标长方形周长+本该平移但是没有平移过来的线段的长度。

）一、平移后的规则图形的周长=原来不规则图形周长。

1、求下图不规则图形的周长。

2、如图是一个楼梯的侧面图，每步台阶高都是2分米，每步台阶宽都是4分米。

求楼梯的侧面周长是多少分米？3、求如图所示不规则图形的周长。

单位：厘米。

4、下图由四个边长都是6厘米的正方形叠放在一起拼成的图形。

每个小正方形的顶点都是另外一个正方形的中心，且线段都是互相平行的。

问拼成后的不规则图形的周长是多少厘米？二、平移后的规则图形周长+本该平移没有平移的线段长=原来不规则图形的周长。

图形运动平移知识点总结

图形运动平移知识点总结1. 平移的定义平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动。

在平面几何中，平移是指将某个图形沿着直线进行移动，而不改变其大小和形状。

平移可以用矢量表示，其中矢量的大小表示平移的距离，而方向表示平移的方向。

2. 平移的性质平移具有以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移保持图形的所有内部角度不变；（3）平移保持图形的所有边长不变；（4）平移保持图形的所有对角线不变；（5）平移前后图形的中点保持不变。

3. 平移的描述平移可以用坐标描述。

设有一点A(x,y)，将其平移至A'(x',y')，其平移矢量为（a,b），则有：x’ = x + ay’ = y + b4. 平移的表示平移可以用几何图形来表示。

设有一平面上的图形ABCD，将其沿着矢量（a,b）进行平移，得到图形A’B’C’D’，其中A’ = A + (a, b)，B’ = B + (a, b)，C’ = C + (a, b)，D’ = D + (a, b)。

5. 平移的计算平移的计算可以通过向量进行。

设有一图形A，将其平移矢量为（a,b），则有：A’ = A + (a,b)这里A和A’分别为平移前后的坐标，（a,b）为平移矢量。

6. 平移的应用平移在几何中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决中。

例如，通过平移可以进行图形的拼接、图形的对称以及图形的变换等。

此外，平移还在计算机图形学中有着重要的应用，例如在图形的变换和显示中。

7. 平移的变换平移是几何中的一种基本变换，它可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变其大小和形状。

平移可以通过向量来描述，其中矢量的方向表示平移的方向，而大小表示平移的距离。

平移具有很多性质，包括不改变图形的大小和形状、保持图形的部分性质不变等。

平移在计算机图形学、几何变换等方面有着广泛的应用。

8. 平移的实例平移在几何中有着广泛的应用，下面是平移的一些实例。

实例1：给出一平面上的三角形ABC，将其沿着向量（3, 4）进行平移，求平移后的三角形顶点的坐标。

小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)

小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)目录模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升模型一——《等积变换》一、知识点梳理等积变换是指平面图形在平移、旋转、翻折、错位四种变换中，不改变其面积大小的变换。

在等积变换中，图形的各个部分相对位置关系保持不变，因此，等积变换也称为等面积变换或保角变换。

在等积变换中，我们需要掌握以下几个概念：1.平移：指图形沿着某一方向移动一段距离，保持图形大小和形状不变。

2.旋转：指图形绕某一点旋转一定角度，保持图形大小和形状不变。

3.翻折：指图形沿着某一直线对称，保持图形大小和形状不变。

4.错位：指图形中的各个部分按照一定规律移动，保持图形大小和形状不变。

二、例题精讲例1：如图，正方形ABCD经过变换后得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与正方形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。

其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将正方形ABCD逆时针旋转了90度得到的，因此，该变换是旋转变换。

例2：如图，图形ABCD经过变换得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与图形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。

其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将图形ABCD沿着直线EF翻折得到的，因此，该变换是翻折变换。

三、自我提升1.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小发生了改变，那么这个变换是什么变换？2.如果一个图形经过等积变换后，其形状发生了改变，那么这个变换是什么变换？3.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小和形状都没有发生改变，那么这个变换是什么变换？四、答案与解析本部分为题目的答案和解析，帮助读者检验自己的答题情况和巩固知识点。