线性规划导学案
线性规划导学案(4课时)
§3.3.1二元一次不等式（组1）1．学生了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．学生要会从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程教学重点、难点：重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示平面区域难点：如何确定不等式0<++>++cByAxcByAx的哪一侧次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________二、新课导学※学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx+>⎧⎨-<⎩的解集为. 能在数轴上表示吗？探究2：你能研究：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形吗？二元一次不等式6x y-<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）※典型例题例1画出不等式44x y+<表示的平面区域.分析：先画___________（用线表示），再取_______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C≠时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240x y-+-≤表示的平面区域.例2．用平面区域表示不等式组3122y xx y<-+⎧⎨<⎩的解集变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y++=，210x y++=和210x y++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为.※动手试试练1. 不等式260x y-+>表示的区域在直线260x y-+=的__练 2. 画出不等式组36020x yx y-+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.※当堂检测1. 不等式260x y-+>表示的区域在直线260x y-+=的（）.A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2. 不等式3260x y+-≤表示的区域是（）.3.不等式组36020x yx y-+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（）.4. 已知点(3,1--和(4,6)-在直线320x y a-++=的两侧，则a的取值范围是.5. 画出11xy≥⎧⎨<⎩表示的平面区域为：盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. ※ 动手试试练 1. 不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的※ 当堂检测1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）. A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）.A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形3. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）.A ．12,P D P D ∉∉B ．12,P D P D ∉∈C ．12,PD P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈ 为 .4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .(1) 1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.教学重点、难点：重点：画可行域；在可行域内，用图解法准确求的线性规划问题的最优解难点：在可行域内，用图解法准确求的线性规在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：※典型例题例 1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※动手试试练1. 求2z x y=+的最大值，其中x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2. 已知x、y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值为3. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是.1）例3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？※ 动手试试练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙和设备所需工时分别为2h 、1h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h. 如何安排生产可使收入最大？2. 变量,x y 满足约束条件232421229360,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得32z x y =+的值的最小的(,)x y 是（ ）.A ．（4，5）B ．（3，6）C ．（9，2）D ．（6，4）3. (2007陕西) 已知实数,x y 满足约束条件240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为______________4. (2007湖北)设变量,x y 满足约束条件30023x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则目标函数2x y +的最小值为______________。
线性规划整章导学案
d
cx
b ()
a 的形式， 将问题转化为 d () c
求可行域内的点 ( x,y ) 与 (- d ,- b ) 连线斜率的 a 倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况
.
ca
c
（二）例题讲解
［例 1］
已知 x, y 满足
2x4 y 3 ，求（ 1）求 y 的最值。（ 2）求 z x
xy8
y1
的最值。
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§ 4 简单线性规划
第 1 课时 二元一次不等式（组）与平面区域
一、学习目标
1. 理解二元一次不等式的解集的几何意义是平面内一个区域
.
2. 掌握二元一次不等式（组）所表示的平面区域的画法，特别是边界为实线还是虚线的确定
.
二、重点难点点拨
重点：探索二元一次不等式（组）表示的平面区域及其画图
难点：对非线性目标函数几何意义的理解。
三、教学过程
（一）方法提炼 1. 对形如 z=( x-a ) 2 +( y-b ) 2 型的目标函数均可化为求可行域内的点（
x,y ）与点（ a,b ）间的距离
的平方最值问题．
2. 对形如 z= ay cx
b ( ac≠0) 型的目标函数， 可先变形为 z= a · y
x1
（3）求 z x 2 y 2 的最值。 (4) 求 z x 2 y2 的最值。
［例 2］ 已知二次函数 f ( x) ax 2 bx (a 0) 满足 1 f ( 1) 2,2 f (1) 4 ，试求 f ( 2) 取
2、已知 f ( x) 4( a 3) x b 2a, x [ 0,1], 若 f ( x) 2恒成立，求 t a b 的最大值 .
高中数学导学案：3.5.2简单线性规划 Word版
3.5.2简单线性规划编制人：潘钢 校对：姜淑敏 2016.10.11学习目标：1 体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题2 经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力3.体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣重点：线性规划应用题的求解难点：对最优解的理解活动一：自主预习，知识梳理活动二：问题探究，在线性约束条件下，最优解唯一吗？活动三：要点导学，合作探究要点一：简单的线性规划问题 例1：（1）若变量y x , 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，求y x z 32+=的最小值（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ，求目标函数y x z 32+=的最小值练习：P94-1要点二：应用问题例2：下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A,B 的含量及单价：营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素A 不少于4400单位，维生素B 不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？例3：A,B两个居民小区的居委会组织本小区的生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。
已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可为5为老人服务，B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务。
如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元。
怎样安排A,B两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？小结：作业：P94练习2.3.4课后反思：。
简单的线性规划问题导学案
简单的线性规划问题（一）（高三复习课）导学案【复习目标】1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；3. 体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力，提升数学建模能力和解决实际问题的能力【复习重点】掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解。
【复习难点】含参数的简单线性规划问题。
【复习过程】（一）复习回顾1.二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）在平面中表示什么图形？2.二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面中表示什么图形？3.二元一次不等式Ax＋By＋C≥0在平面中表示什么图形？4.如何判断点(x，y)是否在二元一次不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域内？5.如何画出二元一次不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域?6.如何画出二元一次不等式组表示的平面区域？7.线性规划的有关概念1．不等式2x－y≥0表示的平面区域是( )．2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )．A ．3B ．1C ．－5D ．－63．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )． A ．－1 B ．1 C.32D ．24.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是________．（三）典例分析题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2，表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大【变式训练1】 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 a 为常数 ，所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．3题型二：线性目标函数的最值问题【例2】已知关于y x ,的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0330301y x y x y x ,则目标函数z =y x -3的最小值是________．【变式训练2】 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．思考:若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,若目标函数z =y ax 2+仅在点()0,1处取得最小值,求a 的取值范围.（四）课后练习，巩固提高1.设z ＝x ＋2y,其中y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-000201yxy x y x ,则z 的取值范围是 .2.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ,则z ＝2x －y 的最大值为________．3.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121,如果目标函数z ＝x-y 的最小值为-1,则实数m=4. 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )．A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)（五）课堂小结：（六）布置作业：必做：《学海导航》同步训练249P 巩固练习1—7选做：《学海导航》同步训练249P 能力提升1—3。
线性规划整章导学案(党建平)
重点：探索二元一次不等式（组）表示的平面区域及其画图.
（二）例题讲解
难点：怎样确定不等式 Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线 Ax+By+C=0 的哪一侧区域.
［例 1］ 画出下列不等式表示的平面区域.
本节学习的关键就是运用数形结合的思想方法.抓住直线定界、特殊点定域，突破点在直线哪一侧的 问题.并熟练地用集合语言对有关问题加以描述. 三、教学过程 (一) 知识梳理
xy20
1.设
x、y
满足约束条件
5x
y x
10 0
0
，则
z
2x
y
的最大值为
（3）直线 l 另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c<0.
图所示.
所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 ,从
值的正负，即可判 （1）写出表示区域 D 的不等式组；断不等式表示的平面区域.
（2）若点 B(-1,-6),C（-3,2）在直线 4x-3y-a=0 的异侧，求 a 的取值范围.
一般地，直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分为三部分：
到：AB⊥AC
（1）直线 l 上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0;
（2）直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0.
［例 3］ 已知 D 是以点 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域（包括边界与内部），如
8.求不等式|x|+|y|≤2 所表示的平面区域的面积.
2
人教版高中数学全套教案导学案第三课时 线性规划
第三课时 线性规划【学习目标】1、二元一次不等式(组)的几何意义；用平面区域表示二元一次不等式(组)。
2、会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组)表示的平面区域及简单的二元线性规划问题。
【学习重点】解线性规划问题的步骤【学习难点】解线性规划问题的步骤[自主学习]1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则(1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.2. 线性规划:(1)满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解; 所有可行解组成的集合叫可行域；(2)在数学或实际中,常需要求出满足不等式组的解中,使目标函数z=ax+by 取得最大值或最小值的解(x,y)叫最优解,这里约束条件和目标函数都是x,y 的一次式,所以我们把这类问题叫线性规划.3.解线性规划问题的步骤.（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系z=ax+by 的运动，求出目标函数的最值.[课前热身]1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .2.设变量x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z=5x+y 的最大值为 .3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 .4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为_____________[典型例析]例1 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，（1） 求y x z 2+=的最大和最小值。
简单线性规划导学案
§4.3简单线性规划的应用导学案［学习目标］：从实际情景中抽象出简单的二元线性规划问题，并加以解决．［学习过程］：一．知识回顾：１. 如果两个变量,x y满足二元一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为_______________,称一次不等式组为_______________,像这样的问题叫做_________________,满足约束条件的解(,)x y成为______________,由所有可行解组成的集合称为_______________,使目标函数取得最小值或最大值的可行解成为这个问题的____________________.２. 在线性约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩下,目标函数2z x y=+的取值范围是_____________,最优解是__________________.二．新知探究：１. 从实际情景中抽象出二元一次不等式组（约束条件），再将二元一次不等式组表示在平面区域中（可行域）．该厂有工人200人，每天只能保证160的用电额度，每天用煤不得超过150ｔ，请在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品允许的产量范围．强化练习：某市政府准备投资1200万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元.将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来.２. 进一步找出目标函数，并求出最优解．（１）一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力和物力安排任务？例2.医院用甲乙两种原料为手术后的病人配寄养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质,和10单位铁质,售价2元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质,试问:应如何使用甲乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?强化练习: 两类药丸中含有相同的成分:阿司匹林,小苏打和可特因,甲类药丸中含有2g阿司匹林,5g小苏打和1g可特因;乙类药丸中含有1g阿司匹林,8g小苏打和4g可特因.若果要求至少提供12g阿司匹林,74g小苏打和28g可特因,这两类药丸的最小数量是多少?(2).在一定量的人力和物力条件下,如何安排和使用以发挥最大的效益?例3.某货运公司拟用集装箱托运甲乙两种货物,一个大集装箱能够装所托运货物的总体积m,总质量不能低于650千克.甲乙两种货物每袋体积,质量和可获得的利润,列不能超过243问:在一个大集装箱内,这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时,可获得最大利润?强化练习:某厂生产一种产品,其成本为27元/kg,售价为50元/kg.生产中,每千克产品产生m的污水,污水有两种排放方式:0.33方式一:直接排入河流.方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流,但受污水处理站技术水平的限制,污水处理m/h,处理污水的成本是5元/3m.率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.93m,且允许该厂排入河流中的污另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/3m/h.那么该厂应选择怎样的生产与排污方案,可使其每时净收益最水的最大量是0.2253大?三. 方法归纳:利用现行规划解决实际问题的方法和步骤:(1)找:找出实际问题中的________________和_________________;(2)画:画出线性约束条件所表示的_______________;(3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;(4)求:通过解方程组求出_________________;(5)答:作出答案,即可用5个字来概括:找、画、移、求、答.[反馈练习]:1.A,B两个产地生产同一规格的产品,产量分别是1.2万t,0.8万t,而D,E,F三地分别需要该产品0.8万t,0.6万t,0.6万t,从产地A运往D,E,F三地每万吨的运价分别为40万元,50万元,60万元;从产地B运往D,E,F三地每万吨的运价分别为50万元,20万元,40万元,怎样确定调运方案可使总的运费最少?2.某宾馆准备建造一幢住宿楼,它设有单人房和双人房若干间,按要求,必须符合下列条件:m,双人房间每间面积152m,且全部该住宿楼最少能容纳50人住宿;单人房间每间面积102m;双人房的数目不得超过单人房数目.已知住宿楼建成开业后,房间所占面积不超过4802每间单人房与每间双人房每月获益分别为250元与300元,试问:如何安排单人间与双人间的数目才能使每月总的获益最大?。
线性规划 导学案
高二年级数学学科 第1页（共2页） 高二年级数学学科 第2页（共2页）重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法难点：如何确定不等式表示)0(0<>++或C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的哪一侧区域.如何寻求线性规划问题的最优解 【导学流程】 一.知识链接 问题一： （1）、对于关于两个变量x,y 的不等关系表示成的不等式（组），称为 。
如果约束条件中都是关于x,y 的一次不等式，称为 。
（2）、在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x,y 的函数解析式(,)z f x y =，称为 。
当(,)f x y 是关于x,y 的一次解析式时，(,)z f x y =称为 。
（3）、在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为＿＿＿，满足线性约束条件的解(,)x y 叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 ，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的 。
二.合作探究1.已知满足的约束条件是：1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩探究一：求目标函数y x z -=3的最值；探究二：求目标函数y x z +=3的最值；探究三：求目标函数22y x z +=的取值范围；三.疑惑问题四.知识点梳理总结 五.课堂检测1.设1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）. A ．该直线的横截距 B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2.,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值3. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元 4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. ()220,230,log 5___0x y x y x y z x y x -≤⎧⎪-+≥=++⎨⎪≥⎩已知变量满足则的最大值为6.已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求（1）42-+=y x z 的最大值；(2)251022+-+=y y x z 的最小值；（3）211y z x +=+的范围。
3.3.2 简单的线性规划问题导学案
§3.3.2 简单的线性规划问题 第___周第___课时总第___课时 主备人 李发新 审核人 徐慧琳【教学目标】1．知识与技能：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学方法】自主、合作探究学习法【教学过程】一、课前准备阅读课本Ｐ87至Ｐ88的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学※ 学习探究新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．※ 典型例题例1 p87※ 动手试试练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※ 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※ 知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）.A ． 6B ．-6C ．10D ．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.A. -3B.3C. -1D.15. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围1. 在ABC ∆中，A （3，-1），B （-1，1），C （1，3），写出ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组.2. 求35z x y =+的最大值和最小值，其中x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.1）4. (2010陕西) 已知实数,x y 满足约束条件240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为______________例1 若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围．例2、已知点(),P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值为（ ）B. 8C. 16D. 10例3、已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是___ ___.练2. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+,033,042,022y x y x y x 则函数z =x 2+y 2取得最大值时,x +y =____ _______. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若0x ≥，0y ≥且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．-23. (2007北京)若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）.．7a ≥ C ．57a ≤< D ．5a <或7a ≥1. 画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域.3、已知,M N 是11106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所围成的区域内的不同．．两点，则||MN 的最大值是。
简单线性规划导学案
4.2简单线性规划（导学案）使用说明：1、阅读课本100-101页完成导学案，掌握基础知识.2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑.三维目标：1.知识与技能：了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
2.过程与方法：培养学生观察、联想以及作图能力，渗透化归、数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
重点与难点：重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识。
难点：求线性目标函数的最值问题。
知识链接：1.直线的斜截式方程： ，其中直线的斜率是 ，直线在纵轴上的截距是2.分别指出下列直线的斜率和在y 轴上的截距：y=2x-3 x-3y+6=0 b=2x+3y3.解方程组：4.画出不等式组：的平面区域⎩⎨⎧<+>+1222y x y x 问题导学：设满足以下条件：，求的最小值和最大值。
问：（1）观察问题有几个变化的量？让我们解决什么问题？如何解决？（2）在上述问题中，什么是约束条件？为什么又叫线性约束条件？什么是目标函数？为 什么又叫线性目标函数？（3）能否做出不等式组表示的平面区域？（4）如何求的最小值和最大值？（5）在上述问题中，什么是可行解？什么是可行域？什么是最优解？什么是线性规划问 题？课后巩固1.下列目标函数中，Z表示在y轴上截距的是（）A. B. C. EMBED Equation.3D. EMBED Equation.3，则 EMBED Equation.3 的最大值为2.若 EMBED Equation.3（）A.－1B.1C.2D.－23.已知EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4满足约束条件EMBED Equation.DSMT4 ，则EMBED Equation.DSMT4的最小值为（）A．EMBED Equation.DSMT4B．EMBED Equation.DSMT4C．EMBED Equation.DSMT4D．EMBED Equation.DSMT4，则目标函数 EMBED Equation.3 的4．若 EMBED Equation.3最优解为（）A．（0，1），（1，0） B.（0，1），（0，－1）C.（0，－1），（0，0）D.（0，－1），（1，0）总结：（你发现了什么规律？）。
《简单线性规划问题》导学案
高一数学必修5 3.3-02《简单的线性规划问题》导学案 湖北洪湖贺龙中学 崔先湖班级 组别 姓名【学习目标】1、了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2、从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力 【学习重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解【学习难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解【知识链接】1. 线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x 、y 组成的 ；线性约束条件：由变量x 、y 的 不等式(或方程)组成的不等式组． ②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 ； 线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 .③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ，y ）叫 ；由所有可行解组成的集合叫做 ；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的 ． 2．用图解法解决线性规划问题的一般步骤： （1）审题，分析数据，选取变量； （2）列出线性约束条件，线性目标函数； （3）画出可行域；（4）在可行域内求目标函数的最优解（实际问题需要求整数解时，应适当调整，以确定最优解）．阅读教材P80到P85，完成尝试完成下面练习1．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）2.若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 ，3．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A. [2，6]B. [2，5]C. [3，6]D. （3，5）【学习过程】知识点一：目标函数的最值例1、求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x变式1 (1).求y x z -=大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x(2) 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.A. 3-B. 3C. 1-D.1知识点二：线性规划问题例1产品安排问题 某工厂生产甲、乙两种产品。
高中数学《简单的线性规划问题》导学案
第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题一、学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.【重点、难点】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
二、学习过程【创设情景】意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克) 400 600 400维生素B(单位/千克) 800 200 400成本(元/千克) 7 6 5布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.【导入新课】1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z= ,像z这样的关于x、y的函数叫作,关于x、y的一次函数叫作,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作;由所有可行解组成的集合叫作;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的.2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤:(1)画出;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0的直线系或平移直线l0;(4)找到;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.3:图解法可概括为“画、移、求、答”(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移: 移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在处取得.(2)线性目标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有.【典例分析】线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.【变式拓展】线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.三、学习总结经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识四、随堂检测(2014年·广东卷)若变量x,y满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( ).A.5B.6C.7D.8。
线性规划总复习导学案
二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题复习课（导教案）【复习指导】1.线性规划是高考的要点和热门，本节复习过程中，解题时要侧重目标函数的几何意义及应用；2. 正确作图是正确解题的基础，解题时必定要认真认真作图，这是解答正确的前提. 一．【基础梳理】1.线性规划问题的有关看法：线性拘束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．2.确立平面地域的方法：（1）直线定界（ 2 ）定域①特殊点定域② A>0 时，Ax By C 0 表示直线Ax By C 0 侧的地域； Ax By C 0 表示直线 Ax By C 0 侧的地域。
3.常有的目标函数有：(1) 截距型：形如z＝ ax＋ by.将函数z＝ax＋ by 转变成直线的斜截式：a zy＝－ bx＋ b，经过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如 z＝( x－ a)2＋( y－ b)2.借助距离公式（两点间距离）及（点到直线的距离），类比领会非线性目标函数所表示的几何意义。
y－ b(3) 斜率型：形如z＝x－ a.借助斜率公式，类比领会非线性目标函数所表示的几何意义。
二．【课内研究案】x 2y 2例：已知变量 x， y 满足拘束条件2x y 4 ，完成以下研究和变式：4x y 1研究一：求目标函数z 2x y 的最值变式一：若目标函数 z ax y （a0 ）取得最大值的最优解不唯一，则 a 的值为。
研究二：求变式二：求z x -1 2y2的取值范围z x22x y 2+1的取值范围研究三：目标函数y 1。
z 的取值范围是x 1变式三：（ 1）目标函数y 1。
z 的取值范围是x - 1（2）目标函数x 2 y 3。
z 的取值范围是x 1x y 0思虑：在不等式组x y 0 确立的平面地域中，若z＝ x＋ 2y 的最大值为3，则 a 的值是y a()A ． 1B ． 2C． 3 D． 4x 4 y 3 0牢固练习：已知变量x, y 满足3x 5y 25 0x 1（1）求z 4x 3y 的最大值（2）求z y的最小值x三．【总结提高】1、知识方面2、数学思想方面。
《线性规划》导学案
高中必修2 第7章 第3节 《线性规划》 导学案高三年级数学 编写：马国红 审定：全组时间：2009-12-25 主任签字： 评价等级：【温馨寄语】好的决心必须以行动来贯彻，没有行动，好的决心没有任何意义。
【使用说明】1、导学案课前独立、规范完成，牢记基础知识。
2、课上小组合作探讨，答疑解惑。
【学习目标】掌握一元二次不等式表示平面区域的方法：直线定界，代点定域；线性规划问题的图解法及其应用。
【学习重点、难点】图解法求解线性规划问题的步骤知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域.()1一般地，二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式0Ax By C ++≥所表示的平面区域（半平面）包括边界线．()2判定不等式0>++C By Ax （或0<++C By Ax ）所表示的平面区域时，只要在直线0=++C By Ax 的一侧任意取一点),(00y x ，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域。
()3由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．另外：规律总结：0>++C By Ax ，(视“>”为“+”,“<”为“-”)，分别 计算：A 的符号与“>”或“<”的积；B 的符号与“>”或“<”的积； “左下负,右上正”.2.线性规划问题的图解法：()2用图解法解决线性规划问题的一般步骤①设出所求的未知数；②列出约束条件（即不等式组）；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图解法求出最优解.3.解法归类：()1图解法；()2列表法；()3待定系数法；()4调整优值法；()5打网格线法.()6交点定界法.4.注意运用线性规划的思想解题.一、预习反馈1、在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0下，x=3x+4y的最大值是（）A、9B、10C、11D、122、设R为平面上以A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y的最大值与最小值分别为：（）A、最大值14，最小值－18B、最大值－14，最小值－18C、最大值18，最小值14D、最大值18，最小值－143、曲线x=y2与y=x2的交点个数是：（）A、1B、2C、3D、4二、合作、探究、展示例1、设x、y满足约束条件5,3212,03,0 4.x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y=+的最大的点(,)x y是 .小结：例2、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
简单线性规划导学案含答案
简朴线性规划（导学案）【知识梳理】1.鉴别不等式)0(0<++>++C By Ax C By Ax 或表达旳平面区域时，只要在直线0=++C By Ax 旳一侧任取一点),(00y x （一般当直线不通过原点时，代入原点检查），将它旳坐标代入不等式，假如该点坐标满足不等式，不等式就表达该点＿＿＿＿＿旳平面区域，假如不满足不等式，就表达这个点所在区域旳＿＿＿＿＿旳平面区域。
由几种不等式构成旳不等式组表达旳平面区域是各个不等式所示旳平面区域旳公共部分。
2.不等式组是一组对变量x 、y 旳约束条件，由于这组约束条件都是有关x 、y 旳一次不等式，因此又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲到达最大值或最小值所波及旳变量x 、y 旳解析式，我们把它称为目旳函数.由于z =A x +B y 又是有关x 、y 旳一次解析式，因此又可叫做线性目旳函数.此外注意：线性约束条件除了用一次不等式表达外，也可用一次方程表达.3.一般地，求线性目旳函数在线性约束条件下旳最大值或最小值旳问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件旳解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解构成旳集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表达旳三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目旳函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题旳最优解.线性目旳函数旳最值常在可行域旳顶点处获得;而求最优整数解必须首先要看它们与否在可行4.用图解法处理简朴旳线性规划问题旳基本环节：（1）要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所示旳公共区域）.（2）设z =0，画出直线l 0.（3）观测、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.（4）最终求得目旳函数旳最大值及最小值.1.重点解法2.难点：怎样确定不等式0(Ax By C ++>或<0)域，怎样寻求线性规划问题旳最优解.课前预习：1．不等式240x y -->表达旳平面区域在直线2x y -()A 左上方 ()B 右上方 ()C 左下方2．表达图中阴影部分旳二元一次不等式组是（ ） ()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 21002x y xy -+⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 1002x y -≤⎨⎪≤≤⎩3.已知点(),P x y 旳坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22x y +旳最大值为（ A ）B. 8C. 16D. 104.360112p 自主学习1，114p 自主学习1、2考点一：不等式（组）表达旳平面区域旳求法例1.360112p 示范1，113p 展示1，变式：1. .不等式组5000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表达旳平面区域旳面积为__4121______ 2.课时作业364p 1、7考点二：求最值问题例2.（07福建）已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-旳取值范围是__________；例3. 示范2，展示2变式：1. 已知,x y 满足约束条件,03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++旳最小值是（ ）A ．25B ．21-C ．2425D ．12.360112p 自主学习2，113p 示范2考点三：最优解问题例3．(北京市崇文区3月高三统一考试文)在如下图所示旳坐标平面旳可行域内（阴影部分且包括边界），若目旳函数 z ＝x ＋ay 获得最小值旳最优解有无数个，则a 等于 ( )A ．1B ．1-C ．3D ．3-变式．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目旳函数(0)z ax y a =+>获得最大值旳最优解有无穷多种，则a 旳值为（ ）()A 14 ()B 35 ()C 4 ()D 53考点四：可转化为线性规划处理旳不等式问题例4.360 114p 示范2 变式：1.设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 旳最小值、最大值以及获得最小值、最大值时,a c 旳值．2. 课时作业364p 4(5,2)A xy O (1,1)B 22(1,)5C考点五：线性规划处理应用问题例5. 114p 示范1，展示1变式：（四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
线性规划导学案
线性规划问题【学习目标】1.了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2．理解二元一次不等式的几何意义3．会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 【学习重点】理解二元一次不等式（组）的几何意义 【学习难点】掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法 【学习过程】 一、课前预习 二、自主学习一家银行信贷部计划年初投入2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？我们分两步求解上述问题：第一步：研究问题中的约束条件，确定数对（x ，y ）的范围；第二步：在第一步得到的数对（x ，y ）的范围中，找出使P 达到最大的数对（x ，y ）． 本节内容先来讨论第一步．1．二元一次不等式的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是______的 不等式叫做二元一次不等式．3．二元一次不等式如何表示平面区域：直线l ：104=+y x 将平面分成上、下两个半平面区域，直线l 上的点的坐标满足方程104=+y x ，即x y 410-=， 直线l 上方的平面区域中的点的坐标满足不等式__________________， 直线l 下方的平面区域中的点的坐标满足不等式__________________．因此，_______________在平面上表示的是直线l 及直线l 下方的平面区域（包括边界直线l ）． 一般地，直线l ：b kx y +=把平面分成个区域： _____________________表示直线上方的平面区域； _____________________表示直线下方的平面区域．3. 思考：对于二元一次不等式()0022≠+++B A C By Ax ＞， 如何确定它所表示的平面区域？【注】1．确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点（若直线不过原点，通常选择原点），检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．2．应注意不等式所表示的区域是否包含边界．若不包括边界，边界应画成虚线，若不便于画成虚线（如坐标轴），应通过文字加以补充说明．三、问题探究b+Ｏ x例1． 画出下列不等式所表示的平面区域： （1）12+->x y（2）02>+-y x（3）32+-≤x y例2．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来．（图（1）中不包括y 轴）：（1）（3）例3.若,x y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 四、随堂检测1．若0>B ，不等式0>++C By Ax 表示的区域是直线0=++C By Ax 的_______，不等式0<++C By Ax 表示的区域是直线0=++C By Ax 的_______；若0<B ，不等式0>++C By Ax 表示的区域是直线0=++C By Ax 的_______，不等式0<++C By Ax 表示的区域是直线0=++C By Ax 的_______．2．（1）已知点)21( ，A 是二元一次不等式032≥+-By x 所对应的平面区域内的一点，求实数B 的取值范围；（2）点)3( ，m P 在直线0432=--y x 的下方，求实数m 的取值范围．3．已知直线l ：0=+-a y x ，点)53()21(21 - ，，，P P 分别位于直线l 的两侧， 试求实数a 的取值范围．五、课后反思：1：二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2；画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 当C=0,常取（0,1）或（1,0） 作为特殊点。
线性规划上交导学案
线性规划问题导学案 班级_______姓名_______【学习目标】：1、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数。
2、培养学生“建模”和解决实际问题的能力 【学习重难点】：1.学习重点：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
2.学习难点：线性约束条件的建立。
【讲授新课】： 一、 引入新课：问题1、元旦联欢会，需要甲、乙两种不同的气球来布置班级，要求甲、乙两种气球的比例为2：3，且它们的和不小于30只，不多于60只。
若甲种气球每只0.5元，乙种气球每只0.3元，问应买甲、乙两种气球各多少只，才能使花费最省？解：设甲种气球需x 只,乙种气球需y 只,总的费用z 由题意得y x z 3.05.0+=y x 、满足的条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤=N y N x y x y x ,603032问题 2、为使联欢会上的气氛更有节日感，有人提出再做一个“中国结”，经研究发现做“中国结”需要甲、乙两种彩绳，并需将其截成A 、B 、C 三种规格的彩绳段，其中每根甲种彩绳可同时截得A 规格的彩绳段2根，B 规格的彩绳段1根，C 规格的彩绳段1根，每根乙种彩绳可同时截得A 规格的彩绳段1根，B 规格的彩绳段2根，C 规格的彩绳段3根。
一个“中国结”共需要A 规格的彩绳段15根，B 规格的彩绳段18根，C 规格的彩绳段27根，若甲绳每根8元，乙绳每根6元，问应买甲、乙两种彩绳各多少根，才能使花费最省 ？解：需甲种彩绳 y x z 68+=y x 、满足的条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,273182152（1）二、线性规划的有关概念：①线性约束条件： ②目标函数：③线性规划问题：三、课堂巩固练习：1、央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？分析：将已知数据列成下表解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人．2、某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？试建立此问题的线性规划模型分析：将已知数据列成下表。
高中数学《简单的线性规划问题》导学案
3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题名称意义约束□01由变量x，y组成的不等式条件线性约□02由x，y的一次不等式组成的不等式组束条件目标□03欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式函数线性目□04如果目标函数是关于x，y的一次解析式，则称为线性目标函数标函数可行解□05满足线性约束条件的解(x，y)可行域□06所有可行解组成的集合最优解□07使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规□08在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题划问题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)约束条件是关于变量的不等式，其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)将目标函数z＝2x－y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于________．(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(3)(教材改编P 89例6)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎨⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．(4)若x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 (1)－z (2)－3 (3)90 (4)3探究1 求线性目标函数的最值 例1设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．解作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一组平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3. 拓展提升解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【跟踪训练1】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2≤2x －y ≤4，x ≤3，y ≥－3，求下列目标函数的最大值，以及此时x ，y 的值． (1)z ＝x －y ； (2)z ＝x ＋3y ＋1.解 (1)在平面直角坐标系中画出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝x －z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3时，直线在y 轴上的截距－z 最小，为－72，所以当x ＝12，y ＝－3时，z 取得最大值72.(2)当直线y ＝－13x ＋z －13经过点B (3,4)时，直线在y 轴上的截距z －13最大，所以当x ＝3，y ＝4时，z 取得最大值16.探究2 求非线性目标函数的最值 例2变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0， 解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.拓展提升求非线性目标函数最值的方法对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的目标函数有三类：(1)形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数，对于该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间的距离的平方的最值问题．特别地， x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离．(2)形如z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，对于该类型的目标函数可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线斜率的a c 倍的取值范围、最值等．特别地，yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |(A 2＋B 2≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．【跟踪训练2】 实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，x －2≤0，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．4答案 B解析 由题意，易知x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示已知约束条件的可行域内的点到点(－1，－1)距离的平方与2的差，如下图所示，结合图形可知点A 与B ，C 两点连线段的斜率的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，而过点A 的直线与BC 垂直时其斜率为1，故点A 与可行域内点的最小距离即为点A 到直线x ＋y －2＝0的距离，从而(x 2＋y 2＋2x ＋2y )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1－1－2|22－2＝6.探究3 已知目标函数的最值求参数例3 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．答案 a >1解析 由约束条件画出可行域(如右图)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1. 拓展提升求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题已知目标函数的最值求参数是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的大小关系．【跟踪训练3】记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4解析 满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故12≤a ≤4.探究4 线性规划的实际应用例4 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域为如图所示阴影部分中的整数点．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元． 拓展提升利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【跟踪训练4】 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：得最大利润？解 设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．由目标函数z ＝20x ＋10y ， 可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此，当x＝4，y＝1时，z取得最大值，此时z最大值＝20×4＋10×1＝90.答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9000元．[规律小结]1.线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．2.解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．[走出误区]易错点⊳忽略截距与目标函数值的关系而致错[典例]设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．[错解档案]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[误区警示] 直线y ＝43x －13z 在y 轴上的截距是－13z ，当截距－13z 最大即直线过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即直线过点B 时，目标函数值z 最大，此处容易出错．[规范解答] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18； z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.[名师点津] 由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距为zb .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反.1．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案 D解析作出约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2表示的可行域，如图所示．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0.平移l 0，在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 答案 D解析 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎨⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y ＜25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值 答案 D解析 画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值．4．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y －2≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 2解析 画出不等式组表示的可行域，根据目标函数可知y ＝－12x ＋12z ，得出最优解为(2,0)，则z 的最小值为2.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx 的最大值是________，最小值是________．答案 6 95解析 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；点B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝12×2a ×a ＝4，得a ＝2.所以A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即当y ＝2x －z 过A 点时z 取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.2．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0表示的平面区域，如图所示．当直线y ＝－12x ＋z2经过点B 时，目标函数z 达到最大值．∴z 最大值＝0＋2×1＝2.故选D.3．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15]答案 B解析 因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内，如图所示．因为点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)． ∴点P 到坐标原点距离的最小值为0.又|OA |＝10，|BO |＝5.因此，最大值为10，故所求取值范围是[0,10]．4．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为( )A ．65元B ．62元C ．60元D ．56元答案 B解析 设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y ，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图：由z ＝8x ＋10y 得y ＝－45x ＋z10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图象知当直线y ＝－45x ＋z10经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝11，x ＋2y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即B (4,3)， 此时z ＝8×4＋10×3＝32＋30＝62.故选B.二、填空题5．已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4，则OM→·ON →的最大值为________． 答案 12解析 画出所给不等式组表示的平面区域如图所示．令z ＝OM→·ON →＝3x ＋2y ，由目标函数的几何意义可知当z ＝3x ＋2y 过(4,0)点时，z 取最大值，即OM→·ON →的最大值＝3×4＋0＝12.6．若已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值是________．答案 21解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．解法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4＞0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 7．不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D上的点，则2x ＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．答案 14 4π5解析 作出区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过点(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0 相切时半径最大，此时半径r ＝25，面积S ＝4π5.三、解答题8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此，y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y－3≤0表示的可行域如下图所示：结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0. 所以z 的最大值为3，最小值为12.9．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x 亩水稻，y 亩花生，利润z 元，请写出约束条件及目标函数； (2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？ 解 (1)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y . (2)作出可行域如图所示，把z ＝960x ＋420y 变形为y ＝－167x ＋z 420，得到斜率为－167，在y 轴上的截距为z 420，随z 变化的一组平行直线；当直线y ＝－167x ＋z420经过可行域上的点B 时，截距z420最大，即z 最大．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5，即B 点的坐标是(1.5,0.5)，故当x＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650(元)．答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．10．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z 平方单位，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12，2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不等式组表示的可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12解得x ＝92，y ＝152，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，152不是可行区域内整点，在可行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位．B 级：能力提升练1．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A．－3 B．3C．－1 D．1答案A解析当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，z有最小值1，与题意不符；当a>0时，y＝－1a x＋za.斜率k＝－1a<0，仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，直线在y轴的截距最小，此时z也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾；当a<0时，y＝－1a x＋za，斜率k＝－1a>0，为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a＝k AC.即－1 a ＝13，得a＝－3.2．已知实数x，y满足⎩⎨⎧(x－y＋6)(x＋y－6)≥0，1≤x≤4，求x2＋y2－2的取值范围．解作出可行域如图阴影部分所示，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA|＝42＋102＝116，∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16，(x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x2＋y2－2≤114，即x2＋y2－2的取值范围为[16,114]．。
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【例5】已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()
A.B.C．1 D．2
练习5：.
若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()
A.a≥B. 0<a≤1 C. 1≤a≤D. 0<a≤1或a≥
角度四：线性规划的实际应用
【例6】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料。已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()
考点2：可行域的运用
【例2】.不等式组所表示平面区域的面积等于()
A.B.C.D.
【练习2】在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为()
A．3＋2B．－3＋2 C．－5D．1
考点3：目标函数的最值
角度1：线性目标函数的最值
【例3】变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为()
反思（收获）
福建宏翔高中16—17学年第一学期高三年X数学备课组 导学案2016-9-10
编制日期：2016年9月10日；使用日期：2016年9月13日编制人：林志刚
课题
一元二次不等式（组）及简单线性规划
课型
一轮复习
主备
林志刚
审核
林志刚
第周ห้องสมุดไป่ตู้节
学习目标
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
A．－2B．－4C．－6D．－8
练习3：
(1)变量x，y满足则z＝x＋y的最大值为.
(2)变量x，y满足则z=x＋2y最大值为,最小值为.
角度2：非线性目标函数的最值
【例4】实数x，y满足不等式组
（1）. 的取值范围；（2）. 的最值
练习4：
已知变量x，y满足约束条件求
（1） 的最大值；（2） 的最小值；
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；
③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
【例1】1.已知点 ,则在3x+2y-1≥0表示的平面区域内的点是()
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
重点
1.可行域的理解与作图；2.目标函数的几何意义及相关最值得求解
难点
运用可行域解决相关的目标函数的最值问题
学习过程
考点1二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足；
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元
练习：铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).
A. B. C. D.
2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是()
A．a＜－7，或a＞24B．－7＜a＜24
C．a＝－7，或a＝24 D．以上都不对
3.不等式组 表示的平面区域是()
(1)写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是.
(2)不等式组所表示的平面区域的面积为.