高考数学全国一卷选做题汇编(2011-2019)

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2011年—2019历年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编9.三角函数与解三角形

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编9．三角函数与解三角形一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③(2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（）A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │(2019·全国卷Ⅱ，理10)已知(0)2πα∈，，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（）A ．15B C D (2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数()sin(0)f x x ωω=+>，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是1229[,)510．其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④（2018·新课标Ⅱ，6）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =（）A ．BCD ．（2018·新课标Ⅲ，理4）若1sin 3α=，则cos2α=（）A ．89B ．79C ．79-D ．89-（2018·新课标Ⅲ，理9）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π（2017·新课标Ⅰ，9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2（2017·新课标Ⅲ，6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减（2016·新课标Ⅰ，12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．5（2016·新课标Ⅱ，7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·新课标Ⅱ，9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2016·新课标Ⅲ，5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） A.6425 B. 4825 C. 1 D. 1625（2016·新课标Ⅲ，8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A.31010 B. 1010 C.1010- D. 31010- （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=（）A ．32-B ．32C ．12-D ．12（2015·新课标Ⅰ，8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z（2014·新课标Ⅰ，6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）（2014·新课标Ⅰ，8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=（2014·新课标Ⅱ，4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =2，则AC =（）A ．5B ．5C ．2D ．1（2012·新课标Ⅰ，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]（2011·新课标Ⅰ，5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·新课标Ⅰ，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增二、填空题(2019·全国卷Ⅱ，理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________．（2018·新课标Ⅰ，理16）已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .（2018·新课标Ⅲ，理15）函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．（2018·新课标Ⅱ，理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．（2017·新课标Ⅱ，14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．（2016·新课标Ⅱ，13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2016·新课标Ⅲ，14）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.（2015·新课标Ⅰ，16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .（2014·新课标Ⅰ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 . （2014·新课标Ⅱ，14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·新课标Ⅰ，15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.（2013·新课标Ⅱ，15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.（2011·新课标Ⅰ，16）在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．(2019·全国卷Ⅲ，理18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin =sin 2A Ca b A +．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，o ADC 90=∠，oA 45=∠，2=AB ，5=BD .（1）求ADB ∠cos ；（2）若22=DC ，求BC .（2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长（2017·新课标Ⅱ，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2017·新课标Ⅲ，17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A +=，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．（2016·新课标Ⅰ，17）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆周长．（2015·新课标Ⅱ，17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin B C ∠∠；（Ⅱ）若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·新课标Ⅰ，17）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ，17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编9．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 解析：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确；因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误，画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误，结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. (2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（）A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=c os│x │D ．f (x )= sin │x │【答案】A 解析：f （x ）＝sin|x |不是周期函数，可排除D 选项； f （x ）＝cos|x |的周期为2π，可排除C 选项；f （x ）＝|sin2x |在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B ．方法2：对于A ，如图，以()1cos4cos22x f x x +==12T π=，且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；A 对.对于B ，如图，以()1cos4sin 22x f x x -==12T π=，且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B 错. 对于C ，()cos cos f x x x ==，2T π=，C 错对于D ，()()()sin 0sin sin 0x x f x x x x ≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩，如图，不是周期函数， D 错；故选A.(2019·全国卷Ⅱ，理10)已知(0)2πα∈，，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（）A ．15B ．5 C ．3 D ．25【答案】B 解析：24sin cos 2cos ααα=()cos 2sin cos 0ααα⇒-= ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 2α∴=，5sin α=.(2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是1229[,)510．其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【基本解法】令05wx π+=，得05x wπ=-<，令52wx ππ+=，得3010x wπ=>，设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +∈由图可知（1）正确；极小值个数可能是2个或3个，故（2）错误令555wx ππ+=，解得5245x πω=令665wx ππ+=，解得6295x πω=，解不等式562x x π≤<，得1229510ω≤<，（4）正确 010x π<<时，(,)55105w wx ππππ+∈+29(,)(0,)5101052ππππ⊆⨯+⊆故()f x 在(0,)10π单调递增，故（3）正确。

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——6.数列

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——6.数列一、选择题【2019，9】.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（）A.25n a n =-B.310n a n =-C.228nS n n =- D.2122n S n n=- 【2018,4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （） A ．12- B ．10-C ．10D ．12【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （）A ．100B ．99C ．98D ．97【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________．【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2019，14】记nS 为等比数列{}n a的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = .【2018,14】记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________．三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——5.平面向量

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——5.平面向量一、选择题【2019，7】已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π 【2018，6】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r （）A ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r 【2015，7】设D 为ABC ∆错误!未找到引用源。

所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r ，则（）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r C ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦ 其中的真命题是（）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P二、填空题【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2012，13】已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|10a b -=r r ||b =r _________．5．平面向量（解析版）一、选择题【2019，7】已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π 【解析】设a r 与b r 的夹角为θ，∵()a b b -⊥r r r ∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-r r r r r r =0∴1cos =2θ ∴=3πθ.选B【2018，6】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r （）A ．3144AB AC -uu u r uu u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344AB AC +u u u r u u u r【解析】选A【2015，7】设D 为ABC ∆错误!未找到引用源。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——7

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——7.二项式定理XXX整理，欢迎研究交流。

本文是2011年至2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编之二项式定理部分。

以下为选择题和填空题。

一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ，理4) (1+2x)(1+x)的展开式中x^3的系数为（）A。

12 B。

16 C。

20 D。

242.(2018·新课标Ⅲ，理5) (x^2+1)的展开式中x^4的系数为（）A。

10 B。

20 C。

40 D。

803.(2017·新课标Ⅰ，6) (1+x)(1+2x)/(2x)^5的展开式中的系数为（）A。

15 B。

20 C。

30 D。

354.(2017·新课标Ⅲ，4) (x+y)(2x-y)的展开式中xy的系数为（）A。

-80 B。

-40 C。

40 D。

805.(2015·新课标Ⅰ，10) (x^2+x+y)的展开式中xy的系数为（）A。

10 B。

20 C。

30 D。

606.(2013·新课标Ⅰ，9) 设m为正整数，(x+y)的展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)^2的展开式的二项式系数的最大值为b。

若13a=7b，则m=()A。

5 B。

6 C。

7 D。

87.(2013·新课标Ⅱ，5) 已知(1+ax)(1+x)^5的展开式中x^2的系数为5，则a=（）A。

-4 B。

-3 C。

-2 D。

-1/58.(2011·新课标Ⅰ，8) (x+2)(2x-1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A。

-40 B。

-20 C。

20 D。

40二、填空题1.(2016·新课标Ⅰ，14) (2x+a/x+x^2)^5的展开式中，x^3的系数是_______。

（填数字）2.(2015·新课标Ⅱ，15) (a+x)(1+x)^4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_______。

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——1.集合与常用逻辑用语

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——1.集合与常用逻辑用语一、选择题【2019，1】已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M I （）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC. }22|{<<-x xD. }32|{<<x x【2018，2】已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C R ( )A.{}21|<<-x xB.{}21|≤≤-x xC.{}{}2|1|>-<x x x x YD.{}{}2|1|≥-≤x x x x Y【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（）A ．{|0}AB x x =UD ．A B =∅I【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （）A ．)23,3(-- B ．)23,3(- C ．)23,1( D ．)3,23( 【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( ) A ．[-2,-1] B ．[-1,2） C ．[-1,1] D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．101．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2019，1】已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M I （）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC. }22|{<<-x xD. }32|{<<x x【解析】由题知,}32|{<<-=x x N ,又}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M I ，故选C .【2018，2】已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C R ( )A.{}21|<<-x xB.{}21|≤≤-x xC.{}{}2|1|>-<x x x x YD.{}{}2|1|≥-≤x x x x Y 【解析】因为2{20}=-->A x x x ，所以2{|20}=--R ≤A x x x ð{|12}=-≤≤x x ，故选B ．【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（）A ．{|0}AB x x =UD ．A B =∅I【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，∴{}0A B x x =-=x x B ，则A B =I （）A ．)23,3(-- B ．)23,3(- C ．)23,1( D ．)3,23( 【解析】{}13A x x =<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ．【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( ) A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）【解析】∵{|13}A x x x =≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A.【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D ．。

数学试卷201911年高考试题理)含答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011-2019年新课标I卷选填习题汇编

2011—2018年新课标I 卷选填习题汇编一、(一)集合小题：8年8考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与解不等式交汇，新定义运算题型也有较小可能，但是难度较低，属于送分题，相信命题组对集合题进行大幅变动的决心不大.1.（20181）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（） A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D.{}21012--，，，， 2.(20171) 已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（） A ．3|2AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．3|2AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B R =3.(20161)设集合{}1,3,5,7A =，{}|25x x B =≤≤，则A B =（）A.{}1,3B.{}3,5C.{}5,7D.{}1,74.（20151）已知集合A ={x|x=3n+2,n ∈N }，B={6,8,12,14},则集合A B 中元素的个数为（）A.5B.4C.3D.25.（20141）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D.)3,2(- 6.（20131）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（）A.{}0B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,0,1- 7.（20121）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则( )A.AB B.BA C.AB = D.A B =∅8.（20111）已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5M =，P MN =，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（二）、简易逻辑小题：8年1考，只有2013年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”.难点：否定与否命题.冷点：全称命题与特称命题.思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．已经4年没考，该回归了吧？9.（20135）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧D.p q ⌝⌝∧二、复数小题：8年8考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难点涉及考察概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面上的点坐标等. 10.(20182)设121iz i i-=++，则z =( )A ．0B ．12C ．1D 11.(20173)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i +D ．(1)i i +12. (20162)设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 3 13.(20153) 已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）A. 2i --B.2i -+C.2i -D.2i +14.(20143)设i iz ++=11，则=||z ( ) A.21B.22C.23D.215.(20132)212(1)ii +=-（） A.112i --B.112i -+C.112i +D.112i -16.(20122) 复数32iz i-+=+的共轭复数是（） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --17.(20112) 复数512ii=-( )A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+18.(20103)已知复数z =z =( ) A.14 B.12C.1D.2 三、平面向量小题：8年8考，每年1题，向量题考得比较基础，突出向量的几何运算与坐标公式运算，并不侧重于与其他知识的交汇，难度不大（与其他省份比较而言），我认为这样有利于考察向量的基本运算，符合考试说明的要求.19.（20187）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +20.（201713）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______. 21.（201613）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .22.（20152）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（）A. (7,4)--B.(7,4)C.(1,4)-D.(1,4)23.(20146)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则EB FC +=( )A.ADB.12AD C. 12BC D. BC 24.(201313)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____.25.(201215) 已知向量a ,b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =______. 26.(201113)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量k a-b 垂直，则k =_____． 27.(2010)未考四、线性规划小题：8年8考，每年1题，全国I 卷线性规划习题考得比较基础，一般不与其他知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇，我觉得这种交汇的意义不大，不利于考察基本功.由于线性规划的计算量相对较大，我觉得得比较基础，我认为这样有利于考察向量的基本运难度不一太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形”的考查力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，还有近些年线性规划的应用题较少考察，今年高考是否会出现，也是值得期待的。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——8.函数与导数

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编8．函数与导数一、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理3)已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <，则（）A ．ln()0a b ->B ．33a b <C ．330a b ->D ．a b >(2019·全国卷Ⅱ，理12)设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线ln xy ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2019·全国卷Ⅲ，理7) 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ． (2019·全国卷Ⅲ，理11)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>(2018·新课标Ⅰ，理5)设函数()32(1)f x x a x ax =+-+，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =(2018·新课标Ⅰ，理9)已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，（2018·新课标Ⅱ，3）函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）（2018·新课标Ⅱ，10）若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．2πB ．2π C ．34π D ．π（2018·新课标Ⅱ，11）已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（） A ．50-B ．0C ．2D ．50（2018·新课标Ⅲ，理7）函数422y x x =-++的图像大致为（）（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+（2017·新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[2,2]- B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]（2017·新课标Ⅰ，11）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z （2017·新课标Ⅱ，11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 （2017·新课标Ⅲ，11）已知函数()()2112ee x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．12-B ．13C ．12D ．1（2016·新课标Ⅰ，7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（）C ．D ．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <（2016·新课标Ⅱ，12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2016·新课标Ⅲ，6）已知4213332,3,25a b c ===，则（）A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<（2015·新课标Ⅰ，12）设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2015·新课标Ⅱ，5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12（2015·新课标Ⅱ，10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）A．B．C．D．（2015·新课标Ⅱ，12）设函数()f x'是奇函数()()f x x R∈的导函数，(1)0f-=，当x>0时，()()0xf x f x'-<，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)-∞-B．(1,0)(1,)-+∞C．(,1)(1,0)-∞--D．(0,1)(1,)+∞（2014·新课标Ⅰ，3）设函数()f x，()g x的定义域都为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()f x()g x是偶函数B.|()f x|()g x是奇函数C.()f x|()g x|是奇函数D.|()f x()g x|是奇函数（2014·新课标Ⅰ，11）已知函数()f x=3231ax x-+，若()f x存在唯一的零点x，且x＞0，则a的取值范围为（）A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）（2014·新课标Ⅱ，8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3（2014·新课标Ⅱ，12）设函数()3xf xmπ=，若存在()f x的极值点x满足22200[()]x f x m+<，则m 的取值范围是（）A．(,6)(6,+)-∞-∞B．(,4)(4,+)-∞-∞C．(,2)(2,+)-∞-∞D．(,1)(4,+)-∞-∞（2013·新课标Ⅰ，11）已知函数f(x)＝220ln(1)0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]（2013·新课标Ⅱ，8）设3log6a=，5log10b=，7log14c=，则（）A.c b a>> B.b c a>> C.a c b>> D.a b c>>（2013·新课标Ⅱ，10）已知函数32()f x x ax bx c=+++，下列结论中错误的是（）A.00,()0x f x∃∈=RB.函数()y f x =的图像是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= （2012·新课标Ⅰ，10）已知函数1()ln(1)f x x=+，则()y f x =的图像大致为（）（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（） A ．3y x = (B) 1y x =+ C ．21y x =-+ (D) 2xy -=（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 （2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理13)曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．(2019·全国卷Ⅱ，理14)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e a x f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．（2018·新课标Ⅱ，理13）曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．（2018·新课标Ⅲ，理14）曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．（2017·新课标Ⅲ，15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，，，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是________.（2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = . （2016·新课标Ⅲ，15）已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处A ．B ．D ．的切线方程是______（2015·新课标Ⅰ，13）若函数f (x )=x ln （x a =（2014·新课标Ⅱ，15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. （2013·新课标Ⅰ，16）若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为_____．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数()11ln x f x x x -=-+．（1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线e xy =的切线．(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数32()2f x x ax b =-+．（1）讨论f (x )的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．（2018·新课标I ，理21）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.（2018·新课标Ⅱ，理21）已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞，只有一个零点，求a ．（2018·新课标Ⅲ，理21）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（2017·新课标Ⅰ，21）已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2017·新课标Ⅲ，）21.已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1，求m 最小值.（2016·新课标Ⅰ，12）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．（2016·新课标Ⅱ，21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.（2015·新课标Ⅰ，12）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.（2016·新课标Ⅲ，21）设函数()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+，其中0a >，记()f x 的最大值为A .(1)求()'f x ；(2)求A ；(3)证明：()'2f x A ≤.（Ⅰ）证明：f (x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤ e-1，求m的取值范围．（2014·新课标Ⅰ，21）设函数1(0lnxxbef x ae xx-=+，曲线()y f x=在点（1，(1)f处的切线为(1)2y e x=-+.(Ⅰ)求,a b；（Ⅱ）证明：()1f x>.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.（2013·新课标Ⅰ，理21）设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，21）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．（1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编8．函数与导数（解析版）一、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理3)已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <，0.300.21c <=<，得a c b <<. (2019·全国卷Ⅰ，理5)函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 解析：因为()2(sin )()cos x x f x f x x x -+-==-+故函数为奇函数，排除A ；又2()01f πππ=>-，排除B ，C 。

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——8.立体几何

2011—2019年高考真题全国卷1理科数学分类汇编——8.立体几何一、选择题【2019.12】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【2018,7】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（） A ．172B ．52C ．3D ．2【2018，12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（） A ．334B ．233C ．324D ．32【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =，I α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为A ．23 B ．22 C ．33 D ．31 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（） A ．π17 B ．π18 C ．π20 D ．π28【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【2015年，11题】【2014年，12题】【2013年，6题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．62B．42C．6 D．4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．500π3cm3B．866π3cm3 C．1372π3cm3D．2048π3cm3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2013年，8】【2012年，7】【2011年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．15【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（） A ．26B ．36C ．23D ．22【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）二、填空题【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为．三、解答题【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值．【2018,18】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值．【2016，18】如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60．（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=o，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．ABCDE F（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．(Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．A 1【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：P A⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．C7．立体几何（解析版）一、选择题1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC Q △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=，又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 22122122x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.8．【2018年理新课标I 卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 334B. 233C. 324D. 32 【答案】A详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为S=6×34⋅(22)2=334，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.+【2018年理新课标I 卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A. 217B. 25C. 3D. 2 【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，点M 在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42+22=25，故选B.【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A ．10B ．12C ．14D ．16（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯，故选B ；【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =，I α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为A ．23 B ．22 C ．33 D ．31 【解析】如图所示：αAA 1B1DC1D 1∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D I 平面1ABCD m =，则1m m ∥ 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C I 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin CD B ∠=．故选A ．【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（）A ．π17B ．π18C ．π20D ．π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：284R π=，圆锥底面半径16R π=，米堆体积21320123V R h ππ==，堆放的米约有221.62V≈，选B ．.【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（）A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=-，解得2r =，故选B ．. 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A .62B .42C .6D .4【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，选C【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3cm 3解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ，底面△BCD 为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ， AO ⊥底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ．【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（） A ．26B ．36C ．23D ．22【解析】如图所示，根据球的性质，知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥．在直角C OO 1∆中，1=OC ，331=C O ， ODA所以36)33(122121=-=-=C O OC OO ．因此三棱锥S －ABC 的体积6236433122=⨯⨯⨯==-ABC O V V ，故选择A ．【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的．故选D 二、填空题【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为．解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=,OM=224(23)2-=，16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=.三、解答题【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）10. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，(1,3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(1,3,2)A M =--u u u u r，1(1,0,2)A N =--u u u u r ，(0,3,0)MN =-u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ，所以32040x y z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取(3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n 所以3020q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||25⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为10． 13．【2018年理新课标I 卷】如图，四边形ABCD 为正方形，E,F 分别为AD,BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF⊥BF . （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析.(2) 34.(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，利用线面角的定义，可以求得sinθ=|HP⋅DP|HP|⋅|DP||=343=34，得到结果. 详解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF∩EF=F ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE =3.又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得PH=32,EH=32.则H(0,0,0),P(0,0,32),D(-1,-32,0),DP=(1,32,32), HP=(0,0,32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sinθ=|HP⋅DP|HP|⋅|DP||=343=34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值．【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒，∴PA AB ⊥，PD CD ⊥，又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥，又∵PD PA P =I ，PD 、PA ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OEAB ，由（1）知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ，∴OE PO ⊥，OE AD ⊥，又∵PA PD =，∴PO AD ⊥，∴PO 、OE 、AD 两两垂直，∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2PA =，∴()002D -，、()220B ，、(002P ，，、()202C -，， ∴(022PD =-u u u r ，、222PB =u u u r，，、()2200BC =-u u u r，，设()n x y z =r ,,为平面PBC 的法向量，由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r ，得2220220x y z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(012n =r,,，∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴PD AB ⊥，又PA AB A =I ，∴PD ⊥平面PAB ，即PD u u u r是平面PAB 的一个法向量，(022PD =-u u u r ,,，∴3cos 23PD n PD n PD n ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r ,，由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为3．【2016，18】如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60．（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=︒，∴AF DF ⊥，∵=DF EF F I∴AF ⊥面EFDC ，AF ⊂面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒，∵AB EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =，()()000020E B a ，，，，()302202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ()020EB a =uu r ，，，322a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，，，()200AB a =-uu u r ，，，设面BEC 法向量为()m x y z =u r ，，，00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu r u r uu u r ，即1111203202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩，111301x y z ===-，，)301m =-u r ，ABCDE F设面ABC 法向量为()222n x y z =r，，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r .即2222320220a x ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，，，()034n =r，，，设二面角E BC A --的大小为θ.219cos 31316m n m n⋅===-+⋅+⋅u r r u r r θ，∴二面角E BC A --的余弦值为219-【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=o ，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥.（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.解：（Ⅰ）证明：连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=o ，可得3AG GC ==，由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =.又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥.在Rt EBG ∆中，可得2BE =,故22DF =.在Rt FDG ∆中，可得6FG =.在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，22DF =，可得322EF =.因为222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =I ，则EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AFC ⊥平面AEC . ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，2(1,0,)2F -，(0,3,0)E ，(1,3,2)AE =u u u r ，2(1,3,)2CF =--u u u r .故3cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r . 所以直线AE 与直线CF 所成的角的余弦值为33. ……12分【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC求二面角111A A B C --的余弦值.【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB =（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆ 故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1131,0,,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r 1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r 设(),,n x y z =r是平面的法向量，则11100n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u ur g ，即33030y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =r设m u r 是平面的法向量，则111100m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u u rg r u u u u rg，同理可取(1,m =u r 则1cos ,7n m n m n m ==r u rr u r g r u r g ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．证明：(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，3)，1BB u u u ＝1AA u u r ＝(－1，3，0)，1AC u u u r＝(0，3-，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即30,30.x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u ru u u r n n ＝10-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105. 【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒∠=，同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=，得：1DC DC ⊥．又DC 1⊥BD ，DC BD D =I ，所以1DC ⊥平面BCD ．而BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（2）解法一：（几何法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ADA 1B 1CABC 1BC AC ⇒⊥．取11A B 的中点O ，连接1C O ，OD ．因为1111AC B C =，所以111C O A B ⊥，因为面111A B C ⊥面1A BD ，所以1C O ⊥面1A BD ，从而1C O BD ⊥，又DC 1⊥BD ，所以BD ⊥面1DC O ，因为OD ⊂平面1DC O ，所以BD OD ⊥．由BD OD ⊥，BD ⊥DC 1，所以1C DO ∠为二面角A 1－BD －C 1的平面角．设12AA a =，AC BC a ==，则122aC O =，12CD a =，在直角△1C OD ，1C O OD ⊥，1112C O CD =，所以130C DO ︒∠=．因此二面角11C BD A --的大小为30︒．解法二：（向量法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．又1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．不妨设AA 1=2，则AC=BC=21AA 1=1，从而A 1（1，0，2），D （1，0，1）， B （0，1，0），C 1（0，0，2），所以1(0,0,1)DA =u u u u r ，(1,1,1)DB =--u u u r ， 1(1,0,1)DC =-u u u u r．设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，则11n DA ⊥u r u u u u r ，1n DB ⊥u r u u u r ，所以111100z x y z =⎧⎨-+-=⎩，即1110z x y =⎧⎨=⎩，令11y =，则1(1,1,0)n =u r ．设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤u u r ，则21n DC ⊥u u r u u u u r ，2n DB ⊥u u r u u u r，所以2222200x z x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，即22222x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，则2(1,2,1)n =u u r ．所以121212cos ,2||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 12,30n n <>=︒u r u u r ．因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30︒．【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．解：（I ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =.从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD . 故PA BD ⊥.（II ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P，()AB =-u u u r，()1PB =-u u u r，()1,0,0BC =-u u u r设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，则00AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n，即x z ⎧-⎪-=因此可取=n .设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m ，可取(0,1,m =-. cos ,〈〉==m n 故二面角A PB C --的余弦值为.。

2019年高考真题全国I卷数学(文)真题分类汇编专题11 数列(2)Word版含解析 10年真题

专题11：数列（2）数列大题：10年8考，若解答题考数列大题，则解三角形题一般考一道小题，若解答题考解三角形大题，则数列一般考两道小题．数列一般考查通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．1．（2019年）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝﹣a 5．（1）若a 3＝4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9＝﹣a 5，则S 9＝()1992a a +＝9a 5＝﹣a 5，变形可得a 5＝0，即a 1+4d ＝0，若a 3＝4，则d ＝532a a -＝﹣2，则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝﹣2n +10，（2）若S n ≥a n ，则na 1+()12n n -d ≥a 1+（n ﹣1）d ，当n ＝1时，不等式成立，当n ≥2时，有2nd ≥d ﹣a 1，变形可得（n ﹣2）d ≥﹣2a 1，又由S 9＝﹣a 5，即S 9＝()1992a a +＝9a 5＝﹣a 5，则有a 5＝0，即a 1+4d ＝0，则有（n ﹣2）14a -≥﹣2a 1，又由a 1＞0，则有n ≤10，则有2≤n ≤10，综合可得：n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．2．（2018年）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，设b n ＝n a n．（1）求b 1，b 2，b 3；（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n }的通项公式．【解析】（1）数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则：112n na n a n++=（常数），由于n n a b n=，故：12n nb b +=，数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．整理得：1112n n n b b q --==，所以：b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4．（2）数列{b n }是为等比数列，由于12n nb b +=（常数）；（3）由（1）得：12n n b -=，根据n n a b n=，所以：12n n a n -=⨯．3．（2017年）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解析】（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a 3＝S 3﹣S 2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a 1＝32a q ＝28q -，a 2＝3a q ＝8q -，由a 1+a 2＝2，28q -+8q-＝2，整理得：q 2+4q +4＝0，解得：q ＝﹣2，则a 1＝﹣2，a n ＝（﹣2）（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ，∴{a n }的通项公式a n ＝（﹣2）n ；（2）由（1）可知：S n ＝()111n a q q --＝()()21212n ⎡⎤---⎣⎦--＝13-[2+（﹣2）n +1]，则S n+1＝13-[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝13-[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2＝13-[2+（﹣2）n+2]13-[2+（﹣2）n+3]，＝13-[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝13-[4+2（﹣2）n+1]＝2×[13-（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．4．（2016年）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝13，a n b n+1+b n+1＝nb n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和．【解析】（1）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝13，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（2）由（1）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝113113n⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝()3132n--＝131223n--⨯．5．（2014年）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{2n na}的前n项和．【解析】（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a 2＝2，a 4＝3，可得2d ＝1，d ＝12，故a n ＝2+（n ﹣2）×12＝12n +1，（2）设数列{2n n a }的前n 项和为S n ， S n ＝3112123122222n n n n a a a a a --+++⋅⋅⋅++，① 12S n ＝3112234122222n n n n a a a a a -++++⋅⋅⋅++，② ①﹣②得12S n ＝123411*********n n n a a d +⎛⎫++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭＝1111311114222122212n n n -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+⨯--，解得S n ＝11311212222n n n -++⎛⎫+-- ⎪⎝⎭＝2﹣142n n ++． 6．（2013年）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝﹣5．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{21211n n a a -+}的前n 项和．【解析】（1）设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则()112n n n S na d -=+．由已知可得()11330551552a d a d +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，即11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得a 1＝1，d ＝﹣1，故{a n }的通项公式为a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+（n ﹣1）•（﹣1）＝2﹣n ；（2）由（1）知()()212111111321222321n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪----⎝⎭．从而数列{21211n n a a -+}的前n 项和S n ＝1111111211132321n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝11122112n n n⎛⎫--= ⎪--⎝⎭． 7．（2011年）已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13．（1）S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝12na-；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解析】（1）∵数列{a n}为等比数列，a1＝13，q＝13，∴a n＝13×113n-⎛⎫⎪⎝⎭＝13n，S n＝111 113331213n n⎛⎫--⎪⎝⎭=-，又∵12na-＝1132n-＝S n，∴S n＝12na-．（2）∵a n＝13n，∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）＝()12n n+ -，∴数列{b n}的通项公式为：b n＝()12n n+ -．8．（2010年）设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解析】（1）由a n＝a1+（n﹣1）d及a3＝5，a10＝﹣9得a1+9d＝﹣9，a1+2d＝5，解得d＝﹣2，a1＝9，数列{a n}的通项公式为a n＝11﹣2n．（2）由（1）知S n＝na1+()12n n-d＝10n﹣n2．因为S n＝﹣（n﹣5）2+25．所以n＝5时，S n取得最大值．。

2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含答案)专题：第2章集合与常用逻辑用语

第2章集合与常用逻辑用语1.（2011全国1文1）已知集合，，，则的子集共有（）.A.个B.个C.个D.个2.(2012全国文1)已知集合，，则（）.A. B. C. D. 3.（2013全国I 文1）已知集合，则（）. A. B. C. D. 4.（2013全国II 文1）已知集合，，则（）. A. B. C. D.5（2014新课标Ⅰ文1）已知集合，，则（）A. B. C. D.6.（2014新课标Ⅱ文1）已知集合，，则（）A. B. C. D.7. (2015全国I 文1)已知集合，则集合中元素的个数为（）.A. 5B. 4C. 3D. 28. (2015全国II 文1)已知集合，，则（）.A. B. C. D.9. (2016全国I 文1)设集合，，则（B )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7} 10.(2016全国II 文1)已知集合，则(D ) （A ）（B ）（C ）（D ）11．(2017全国I 文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 ( A ){}0,1,2,3,4M ={}1,3,5N =P MN =P 2468{}220A x x x =<－－{}11B x x =<<－A B ⊂≠B A ⊂≠A B =A B =∅{}{}21234A B x x n n A ===∈，，，，，A B ={}14，{}23，{}916，{}12，{}|31M x x =-<<{}3,2,1,0,1N =---MN ={}2,1,0,1--{}3,2,1,0---{}2,1,0--{}3,2,1---{|13}M x x =-<<{|21}N x x =-<<MN =(2,1)-(1,1)-(1,3))3,2(-{}2,0,2A =-{}2|20B x x x =--=A B =∅{}2{}0{}2-{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n B ==+∈=N A B {|12}A x x =-<<{}03B x x =<<=B A ()13,-()10,-()02,()23,{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B ={123}A =，，，2{|9}B x x =<A B ={210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B=R12(2017全国II 文1设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则=A B （A ） A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，，13.【2018全国一文1】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（A ） A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--，，，， 14.【2018全国二文2】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．15.【2018全国三1】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．16.（2014新课标Ⅱ文3）函数在处导数存在，若；是的极值点，则（）A.是的充分必要条件B.是的充分条件，但不是的必要条件C.是的必要条件，但不是的充分条件D.既不充分也不必要17.（2013全国I 文5）已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）.A. B. C. D.18.（2014新课标Ⅰ文14）甲.乙.丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.19．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则=A C B UA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,720．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B ={}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B ={}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}()f x 0x x =0:()0p f x '=0:q x x =()f x p q p q q p q q :2<3x x p x ∀∈R ，32:1q x x x ∃∈=-R ，p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝A B C B CA ．(-1，+∞)B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅ 21．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 22．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面第2章答案BBACB BDABD AAACCCBA C C AB。

高考数学全国卷1选做题汇编(2011~2019)

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线 : 圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求 , 的极坐标方程。
（2）若直线C3的极坐标为 = （）,设与的交点为 ,求的面积.
（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数，且
高考选做题汇编
2019年
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．
（I）证明：C，B，D，E四点共圆；
（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，分别为边的中点，直线交
的外接圆于两点，若，证明：
（1）；
（2）
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——15.不等式选讲

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编15．不等式选讲(2019·全国卷Ⅰ，理23) [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．(2019·全国卷Ⅱ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．(2019·全国卷Ⅲ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）设x ，y ，z ∈R ，且x+y +z =1．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．（2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.（2018·新课标Ⅱ，23）设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．（2018·新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．(1)出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空，求m 的取值范围．（2016·新课标Ⅰ，24）已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x 的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1a bab .（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．（2015·新课标Ⅰ，24）已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（2015·新课标Ⅱ，24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >>||||a b c d -<-的充要条件.（2014·新课标Ⅰ，24））若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.（2014·新课标Ⅱ，24）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2；（Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.（2013·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．（2013·新课标Ⅱ，24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=.证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥.（2012·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.（2011·新课标Ⅰ，24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编15．不等式选讲（逐题解析版）(2019·全国卷Ⅰ，理23) [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.(2019·全国卷Ⅱ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 23．解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．(2019·全国卷Ⅲ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）设x ，y ，z ∈R ，且x+y +z =1．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 23．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．解法2：由柯西不等式，可得()()()()222222[(1)(1)(1)1111111]3x y x y z z ⎡⎤=--++++++++++⎣⎦()()()()221141111111333x y z x y z ≥-⨯++⨯++⨯=+++=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当111x y z -=+=+时，即511,,333x y z ==-=-时，等号成立，所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．解法2：由()()()22222221111213[(2)(1)()]x y z x y z a a ⎡⎤⎡⎤=++-+-+-+--⎣⎦-⎣+⎦ ()()()21211113x y z a ≥-⨯+-⨯+-⨯⎡⎤⎣⎦ ()()221121233x y z a a ≥-+-+-=--当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【方法总结与拓展】本题的背景是柯西不等式设n a a a ,,,21⋅⋅⋅,n b b b ,,,21⋅⋅⋅为两组实数，则))(()(222222212221121n b b b a a a b a b a b a n n n +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++，①当且仅当nn b a b a b a =⋅⋅⋅==2211时取等号．（约定n i a i ⋅⋅⋅=≠,2,1,0）推论1 设R a i ∈，0>i b ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则nn n n b b b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++212212222121)(，当且仅当i i a b λ=时等号成立，推论2 设i a ，i b 不同时为零),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则nn b a b a b a +⋅⋅⋅++2211 nn n b a b a b a a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥2211221)(,等号成立当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21时成立．（2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 解析：（I ）依题意，111x x +-->，该不等式等价于1,111,x x x <-⎧⎨--+->⎩11,111,x x x -≤≤⎧⎨++->⎩或1,111,x x x >⎧⎨+-+>⎩ 解得12x >，即等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（II ）依题意，11x ax x +-->；当()0,1x ∈时，该式化为 11x ax x +-->，即11ax -<，即111ax -<-<，即02ax <<，故0,2,ax ax >⎧⎨<⎩在()0,1上恒成立，故02a <≤，即a 的取值范围为(]0,2.（2018·新课标Ⅱ，23）设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．（2018·新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．(1)出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．解析：（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，如下图：（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥，当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．解析：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12x =的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=，解得171x -=，()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴此时()()f x g x ≥解集为1711⎛- ⎝⎦，．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥解集1711⎡--⎢⎣⎦，．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．解析：（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a b ab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b+-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b ++-≥，即55()()4a b a b ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2323()()()()44a b a b a b a b ⎡⎤++≥+⋅+-=⎢⎥⎣⎦所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-.又0,0a b >>，所以: ()()230a b a b -+-≤，所以，()38a b +≤，即2a b +≤．解法四：因为33113,113a a b b ++≥=++≥=，所以3311113()a b a b +++++≥+，即63()a b ≥+，即2a b +≤（当且仅当1a b ==时取等号）．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空，求m 的取值范围．解析：（1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩.由()1f x 可得：①当1x -时显然不满足题意； ②当12x -<<时，211x -，解得1x ；③当2x 时，()31f x =恒成立.综上，()1f x 的解集为{}1x x .⑵不等式()2f x x x m -+等价为()2f x x x m -+，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m 解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦.而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩.①当1x -时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x 时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m .（2016·新课标Ⅰ，23）已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．解析：⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ,()1f x >, ①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤ ②312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x 的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1a bab .解析：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．解析：(1)当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分(2)当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分（2015·新课标Ⅰ，24）已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<. （方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. -11x-1 1 x（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.（2015·新课标Ⅱ，24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd>>||||a b c d -<-的充要条件.解析：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设,a b c d ab cd+=+>得22>>（Ⅱ）（i ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-，因为a b c d +=+，所以ab cd >>（ii>22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此||||a b c d -<->||||a b c d -<-的充要条件.（2014·新课标Ⅰ，24））若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 解析：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分（2014·新课标Ⅱ，24）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2；（Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.解析：（Ⅰ）∵111()|||||()()|||f x x x a x x a a a a a=++-≥+--=+，∵0a >， ∴1()2f x a a≥+≥，当且仅当1a =时，取“=”号. 故()2f x ≥. （Ⅱ）∵(3)5f <，0a >，∴11(3)|3||3|3|3|5f a a a a =++-=++-<，即：13|3|5a a ++-<，∴31335a a a ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩或031335a a a<<⎧⎪⎨++-<⎪⎩，52a +<<. 故a的取值范围是5)2.（2013·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2013·新课标Ⅱ，24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=.证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥.解析：（Ⅰ）由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222()a b c a b c b c a +++++≥2(a ＋b ＋c )，即222a b c b c a ++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a++≥1.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.解析：（Ⅰ）当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323x x x ≤⎧⎪⇔⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥. 所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.（Ⅱ）()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.故a 的取值范围为[]3,0-.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．解析：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-. （II ）由()0f x ≤得30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩.由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩.由题设可得12a-=-，故2a =.。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——10.数列

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编10．数列一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理9)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- (2019·全国卷Ⅲ，理5)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项为和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A ． 16B ． 8C ．4D ． 2(2018·新课标Ⅰ，理4)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a （）A ．12- B. 10- C. 10 D. 12（2017·新课标Ⅰ，4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．8（2017·新课标Ⅰ，12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A ．440B ．330C ．220D ．110（2017·新课标Ⅱ，3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏（2017·新课标Ⅲ，9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8（2016·新课标Ⅰ，3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （）A ．100B ．99C ．98D ．97（2016·新课标Ⅲ，12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个（2015·新课标Ⅱ，4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（）A ．21B ．42C ．63D ．84（2013·新课标Ⅰ，7）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 （2013·新课标Ⅰ，12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列（2013·新课标Ⅱ，3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（）A .13B .13-C .19D .19-（2012·新课标Ⅰ，5）已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．(2019·全国卷Ⅲ，理14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，213a a =，则105S S =_____________． (2018·新课标Ⅰ，理14) 14.记n S 为数列}{n a 的前n 项和，若12+=n n a S . 则=6S . （2017·n（2017·（2016·2n a 的最大值为（2015·（2013·的通项公式是a ＝__________. （2013·（2012·三、解答题(2019·（1（2）求{a n（2018·新课标Ⅱ，17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．（2018·新课标Ⅲ，理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．（2016·新课标Ⅱ，17）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1 000项和.（2016·新课标Ⅲ，17）(本小题满分12分)已知数列{}n a的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．a(1) 证明{（2015·新课标Ⅰ，17）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.（2014·新课标Ⅰ，17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.（2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1.（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅱ）设b2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编10．数列（解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理9)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，24n S n n =-.(2019·全国卷Ⅲ，理5)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项为和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A ． 16B ． 8C ．4D ． 2【答案】C 解析：利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——1.集合

2011年—2019年全国卷(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷)理科数学试题分类汇编1．集合与简易逻辑一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（） A ．}{43x x -<，{|10}B x x =-<，则A ∩B =（）A ．(,1)-∞B ．(2,1)-C ．(3,1)--D ．(3,)+∞(2019·全国卷Ⅲ，理1)已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|1B x x =≤，则AB =（） A ．{1,0,1}- B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{0,1,2} (2018·新课标Ⅰ，理2)已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C U （） A ．{}21|<<-x x B. {}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>-<x x x x D. {}{}2|1|≥-≤x x x x (2018·新课标Ⅱ，理2)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4 （2018·新课标Ⅲ，理1）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012，，（2017，新课标Ⅰ，1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（）A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅（2017·新课标Ⅱ，2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 （2017·新课标Ⅲ，1）已知集合A ={}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 （2016，新课标Ⅰ，1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（） A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(（2016·新课标Ⅱ，2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}（2016·新课标Ⅲ，1）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =（） A. []2,3 B. (][),23,-∞+∞ C. [)3,+∞ D. (][)0,23,+∞（2015·新课标Ⅰ，3）设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = （2015·新课标Ⅱ，1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}（2014·新课标Ⅰ，1）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( ) A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）（2014·新课标Ⅱ，1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则MN =（） A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2} （2013·新课标Ⅰ，1）已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B（2013·新课标Ⅱ，1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}（2012·新课标Ⅰ，1）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10（2012·新课标Ⅱ，1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 10（2011·新课标Ⅱ，10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b 3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a b A ． P 1，P 4 B ．P 1，P 3 C ．P 2，P 3D ．P 2，P 42011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编1．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（） A ．}{43x x -<，{|10}B x x =-<，则A ∩B =（）A ．(,1)-∞B ．(2,1)-C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【答案】A 解析：{}23A x x x =<>或，{}1B x x =<，则(),1A B =-∞-.故选A.(2019·全国卷Ⅲ，理1)已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|1B x x =≤，则A B =（） A ．{1,0,1}- B ．{0,1} C ．{1,1}- D ．{0,1,2}【答案】A 解析：因为{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-．(2018·新课标Ⅰ，理2)已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C U （） A ．{}21|<<-x x B. {}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>-<x x x x D. {}{}2|1|≥-≤x x x x 【答案】B 解析：21022>-<⇒>--x x x x 或，即{}21|>-<=x x x A 或，∴=A C U {}21|≤≤-x x 故选B.(2018·新课标Ⅱ，理2)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4 【答案】A 解析：① 当1x =-时，101y =-共有三个解；② 当0x =时， 101y =-共有三个解 ③ 当1x =时， 101y =-共有三个解；综上所述：共有9个整数点，分别为()()()()()()()()()-1,1-1,0-1,10-10,00,11-11,01,1、、、，、、、，、、，选A.（2018·新课标Ⅲ，理1）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012，，【答案】C 解析：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}AB =.故选C.（2017，新课标Ⅰ，1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（）A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅【答案】A 解析：{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，∴{}0AB x x =<，{}1A B x x =<，选A. （2017·新课标Ⅱ，2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 解析：∵ {}1AB =， ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴ {}2430B x x x =-+=，故{}1,3B =，选C.（2017·新课标Ⅲ，1）已知集合A ={}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 解析 A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2.故选B.（2016，新课标Ⅰ，1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（） A ．)23,3(-- B ．)23,3(- C ．)23,1( D ．)3,23(【答案】D 解析：{}13A x x =<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2016·新课标Ⅱ，2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}【答案】C 解析：()(){}120Z B x x x x =+-<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（2016·新课标Ⅲ，1）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =（） A. []2,3 B. (][),23,-∞+∞ C. [)3,+∞ D. (][)0,23,+∞【答案】D 解析：易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞，选D（2015，3）设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =【答案】C 解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.（2015·新课标Ⅱ，1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】A 解析：由已知得{}21B x x =-<<，故，故选A.（2014·新课标Ⅰ，1）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( ) A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）【答案】A 解析：∵{|13}A x x x =≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A. （2014·新课标Ⅱ，1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则MN =（）A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2} 【答案】D 解析：∵2={|320}{|12}N x x x x x -+≤=≤≤，∴{1,2}M N =.（2013·新课标Ⅰ，1）已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B 解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. （2013·新课标Ⅱ，1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}【答案】A 解析：解不等式(x -1)2<4，得-1<x <3，即M ＝{x |-1<x <3}．而N ＝{-1, 0, 1, 2, 3}，所以M ∩N ＝{0, 1, 2}，故选A.（2012·新课标Ⅰ，1）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【答案】D 解析：由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D ．（2012·新课标Ⅱ，1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 10【答案】D 解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.（2011·新课标Ⅱ，10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b 3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a b A ． P 1，P 4 B ．P 1，P 3 C ．P 2，P 3 D ．P 2，P 4【答案】A 解析：由||1+=>a b 得1cos 2θ>-2[0,)3πθ⇒∈.由||1-=a b 得1cos 2θ<(,]3πθπ⇒∈，故选A.。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += (2019·全国卷Ⅱ，理8)若抛物线22y px =(0)p >的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（） A ．2B ．3C ．4D ．8(2019·全国卷Ⅱ，理11)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）A B C ．2 D (2019·全国卷Ⅲ，理10)双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（）A B C ． D ．(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5B ．6C ．7D ．8(2018·新课标Ⅰ，理11)已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（）A ．32B ．3C ．D ．4（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = （2018·新课标Ⅱ，理12）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，A ．23B ．12C ．13D ．14（2018·新课标Ⅲ，理6）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ （2018·新课标Ⅲ，理11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（）A B ．2 C D（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BC D（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= （2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）.A B C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（）AB ．32CD ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）（A ）( （B ）( （C ）( （D ）( （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x （2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（）AB ．C ．4D ．8（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）（A （B （C ）2 （D ）3二、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理16)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________． (2019·全国卷Ⅲ，理15)设F 1，F 2为椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为______________．（2018·新课标Ⅲ，理16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理19)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．(2019·全国卷Ⅱ，理21)已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为12 -．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值．(2019·全国卷Ⅲ，理21)已知曲线C：22xy=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．（2018·新课标Ⅰ，理19）设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．⑴当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； ⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．（2018·新课标Ⅱ，理19）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点，8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程．（2018·新课标Ⅲ，理20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 解析：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+b y a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x . (2019·全国卷Ⅱ，理8)若抛物线22y px =(0)p >的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（） A ．2 B ．3 C ．4D ．8【答案】D 解析：抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2231x y p p +=的焦点坐标为()，2p=，则8p =. (2019·全国卷Ⅱ，理11)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）ABC ．2 D【答案】A 解析：由题意，把x代入x 2+y 2＝a 2，得PQ，再由|PQ |＝|OF |，得，即2a 2＝c 2，∴，解得e ．方法2：由题意知： 222222224a x y a x c c c abx y y c ⎧⎧+==⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎩，又2abc c=，所以2220a b ab +-=，即a b =，e =(2019·全国卷Ⅲ，理10)双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（）A．4B．2C． D．【答案】A 解析：一条渐近线方程为y x =，则设()P x x，双曲线的方程得焦点坐标F ，则PO PF ==，由PO PF =得一个坐标P ，即112224PFO OF y ∆==⨯=(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 解析：焦点F (1,0)，直线l , 2224(2)(2)3333y x x x =+=+=+，242433y xy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2540x x -+=，解得121214,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以M (1，2),N (4，4). (0,2)(3,4).8FM FN FM FN ===，故选D.(2018·新课标Ⅰ，理11)已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（） A ．32B ．3 C． D ．4【答案】B 解析：因为双曲线221,(2,0)3x y F -=，所以渐近线方程为3y x =±，倾斜角分别为30,150，所以60MON ∠=，不妨设90MNO ∠=，所以30,30OMN FON ∠=∠=，因为2OF =，所以在Rt FON ∆中，cos3022ON OF =⋅=⨯=，所以在Rt MON ∆中，tan 6033MN ON =⋅==．【基本解法2】由题意可得渐近线方程为y x=±，可分别求出M 和点N 的坐标；32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3(,2M ．2)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，可得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M ．所以在MN=3=，故选B（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 【答案】A 解析：由于()2222100x y a b a b -=>>，可知：该双曲线的渐近线方程为by x a =±.已知离心率e =（ce a=），设a t =，则c =，由222c a b =+可知：b =，故双曲线的渐近线方程为y =。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——7.二项式定理

7．二项式定理一、选择题(2019·全国卷Ⅲ，理4)24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（）A ．12B ．16C ．20D ．24（2018·新课标Ⅲ，理5）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．20C ．40D ．80（2017·新课标Ⅰ，6）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35（2017·新课标Ⅲ，4）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）.A ．80-B ．40-C ．40D ．80（2015·新课标Ⅰ，10）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）A ．10B ．20C ．30D ．60（2013·新课标Ⅰ，9）设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8（2013·新课标Ⅱ，5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）A .4-B .3-C .2-D .1-（2011·新课标Ⅰ，8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A ．-40B ．-20C ．20D ．40 二、填空题（2016·新课标Ⅰ，14）5(2x 的展开式中，3x 的系数是_______．（用数字填写答案）（2015·新课标Ⅱ，15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______．（2014·新课标Ⅰ，13）8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为．(用数字填写答案) （2014·新课标Ⅱ，13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.7．二项式定理（解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅲ，理4)24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A 解析：()41x +的通项公式为kk n k k x C T -+=141，利用通项公式求出x x C T 4131411==+，331341341x x C T ==+，24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数：12424=+⨯，故选A法二：利用组合的性质，()()42121x x++展开式中x 3的系数为1211211133311411334=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯C C C C（2018·新课标Ⅲ，理5）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C 解析：25103552()()2rrr r r r C x C x x--=⋅⋅，当2r =时，1034r -=，此时系数22552240r r C C ==.故选C.（2017·新课标Ⅰ，6）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯==，对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15，∴2x 的系数为151530+=，故选C ；（2017·新课标Ⅲ，4）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）.A ．80-B ．40-C ．40D ．80解析由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.（2015·新课标Ⅰ，10）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）A ．10B ．20C ．30D ．60解析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为21253230C C C =.另解：5252()()x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，含2y 的项223235()T C x x y =+，其中23()x x +中含5x 的项为141533C x x C x =，所以52x y 的系数为215330C C =，故选C ．（2013·新课标Ⅰ，9）设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm ，b ＝21C mm +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. （2013·新课标Ⅱ，5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）A .4-B .3-C .2-D .1-（2013·5）D 解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1. 故选D.（2011·新课标Ⅰ，8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A ．-40B ．-20C ．20D ．40 解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 二、填空题（2016·新课标Ⅰ，14）5(2x 的展开式中，3x 的系数是_______．（用数字填写答案）【解析】：设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈，∴()5552155C 2C 2k kkkkkk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==，故答案为10．（2015·新课标Ⅱ，15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______．（2015·15）3解析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．（2014·新课标Ⅰ，13）8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为．(用数字填写答案) 【解析】：8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==，∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y -=-，故系数为-20．（2014·新课标Ⅱ，13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________. （2014·13）12解析：∵10110r r r r T C x a -+=，∴107r -=，即3r =，∴373741015T C x a x ==，解得12a =.。

高考全国I卷(2011-2019)选填题压轴汇总

11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 sin B sin A(sin C cos C) 0 ，a=2，c= 2 ，
则 C=（）
π
A．
12
π
B．
6
【答案】B
π
C．
4
π
D．
3
12．设 A，B 是椭圆 C： x2 y2 1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范 3m
答案：16
2013·文 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 答案 A
（12）已知函数
f
(x)
x2 2x,
ln( x
1),
x 0, ，若 | f (x) | ax ，则 a 的取值范围是（ x0
____________．【2】
2019·文
1b 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则 =（A）
4c
A．6
B．5
C．4
D．3
12．已知椭圆 C 的焦点为 F1(1, 0), F2 (1, 0) ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 | AF2 | 2 | F2B | ，
【答案】 36π
3
2016·理
（11）平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, //平面 CB1D1, I 平面 ABCD=m, I 平面 AB B1A1=n,
则 m、n 所成角的正弦值为（）
（A） 3 2
（B） 2 2
（C） 3 3

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历年高考选做题汇编
2019年
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）
222111
a b c a b c
++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．
2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，2cos sin 110ρθθ+=
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
⑴求的直角坐标方程；
⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
⑴当时，求不等式的解集；
⑵若时不等式成立，求的取值范围．
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
3cos,
sin,
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），直线l的参数方
程为
4,
1,
x a t
t
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（为参数）
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{
x=acost，
y=1+asint，
（t为参数，a＞0）。

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=cosθ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为，学.科网其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =2-,圆2C ：2
2
(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求1C ,2C 的极坐标方程。

（2）若直线C 3的极坐标为θ=4
π
（ρ∈R ）,设C 2与C 3的交点为M ，N ,求△C 2MN 的面积.
（24）（本小题满分10分）选修4−5：不等式选讲已知函数f(x)=|x +1|−2|x −a|，且a >0. （1）当a =1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：
22
149
x y +=，直线l ：222x t
y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值
与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且
11
a b
+=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程式⎩
⎨
⎧+=+=t y t
x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.
（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数a x x x f ++-=212)(，3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a ，且当)2
1
,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨
⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=⎧⎨
=+⎩
为参数）
，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r
，点P 的轨迹为曲线2C ．
（I ）求2C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点
的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．
（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．。

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