九年级数学上册期末复习知识点
九年级上册数学期mo知识点
九年级上册数学期mo知识点九年级上册数学期末知识点数学作为一门抽象而又具体的科学学科，常常让学生感到困惑。
尤其到了九年级上册，学生们开始接触到更为复杂的数学知识，其中包括了期末考试所重点考察的知识点。
在这篇文章中，我们将分享一些九年级上册数学期末的重要知识点，希望能帮助同学们更好地复习备考。
一、函数函数作为数学中的一个重要概念，是九年级上册数学的重点之一。
对于函数的认识，我们需要从定义、函数的图像、函数的性质等方面进行学习。
首先，函数的定义是指对于一个自变量集合中的每个元素，都能找到唯一一个确定的函数值。
在数学中，我们通常使用函数的定义域、值域、图像等概念来描述一个函数。
其次，函数的图像是指函数在直角坐标系中的表示。
我们可以通过绘制函数的图像来更直观地了解函数的规律、性质。
同时，函数的图像也可以通过平移、伸缩等方式来进行变换。
最后，函数的性质是我们研究函数的重要方法之一。
常见的函数性质有奇偶性、增减性、单调性等。
通过研究函数的性质，我们可以更深入地了解函数的变化规律。
二、方程与不等式方程与不等式是数学中的基本概念，也是九年级上册数学中的重要内容。
在九年级上册的期末考试中，方程与不等式的解法是同学们需要重点掌握的。
对于方程，我们需要学习常见方程的解法，如一元一次方程、一元二次方程、分式方程等。
通过变换与解方程，我们可以求得未知数的值。
对于不等式，我们需要学习不等式的性质、解法等。
常见的不等式有一元一次不等式、一元二次不等式等。
通过转化与解不等式，我们可以确定不等式的解集。
三、几何几何是数学中的一个重要分支，九年级上册涉及了平面几何、立体几何等内容。
在平面几何中，我们需要学习直线与角、平行线与垂直线、三角形、四边形等概念的性质与关系。
同时，我们还需要学习勾股定理、正弦定理、余弦定理等常见的几何定理，以及运用这些定理解题的方法。
在立体几何中，我们需要学习立体图形的性质与分类，如正方体、长方体、棱锥、棱台等。
【数学】部编版九年级数学上册总复习知识点整理要点
【数学】部编版九年级数学上册总复习知识点整理要点一、代数与函数1. 代数运算：- 加法、减法、乘法和除法的运算法则- 同底数幂的乘法法则和除法法则- 0次幂和负整数次幂的运算规则2. 一次函数与线性方程：- 一次函数的定义和性质- 一次方程与一次函数的关系- 解一元一次方程的方法（整数系数、分数系数和小数系数）3. 整式代数计算：- 相加减- 因式分解- 提公因式- 最大公约数和最小公倍数4. 一元二次方程：- 一元二次方程的定义- 解一元二次方程的方法（公式法、配方法和图像法）二、平面几何1. 三角形：- 三角形的定义和性质（角度、边长关系和特殊三角形）- 三角形的求解（余弦定理、正弦定理和海伦公式）2. 多边形：- 多边形的分类（凸多边形和凹多边形）- 正多边形的性质（正n边形和正五边形）3. 常见圆的性质：- 圆的定义- 弧长公式和扇形面积公式- 切线和切圆4. 平行线与相交线：- 平行线的判定条件和性质- 相交线的性质（垂直线和角平分线）三、数据与统计1. 数据的搜集和整理：- 数据的收集和整理方法（调查问卷和表格统计）2. 统计描述：- 平均数的计算- 中位数和众数的求解3. 数据的表示：- 条形图和折线图的绘制- 饼图和频数直方图的绘制四、概率论1. 基本概念：- 随机事件和样本空间- 概率的定义和性质2. 概率计算：- 计算概率的方法（频率法和几何概率法）- 事件的互斥与独立3. 概率运算：- 事件的并、交和差的概率计算- 事件的补事件和全集的概率计算以上是部编版九年级数学上册的总复知识点整理要点。
每个主题下列出了重要的概念和计算方法，以帮助学生进行复和巩固。
该文档仅为参考资料，具体的教材内容以教材为准，建议学生在学习过程中结合教材进行复习和练习。
最新浙教版初中九年级《数学》上册全册期末总复习知识点考点整理复习汇总完整完美精品打印版
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1.二次函数1.1 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0)的函数。
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
1.2 二次函数的图像二次函数y=ax²(a≠0)的图像是一条抛物线，关于y轴对称，顶点在坐标原点。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a0时）或向左（当m0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点为(m,k)，对称轴为直线x=m。
1.3 二次函数的性质二次函数y=ax² (a≠0)的图像具有如下性质：1）对称轴为x=-b/2a；2）最值点为顶点，最大值为k (当a0时)；3）图像开口方向由a的符号确定。
1.4 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量必须在自变量的取值范围内。
2.简单事件的概率2.1 事件的可能性根据事件是否发生的可能性，可以将事件分为三类：必然事件、不可能事件、不确定事件或随机事件。
2.2 简单事件的概率将事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P 表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
使用公式P(A)=m/n来计算简单事件发生的概率，需要先确定所有结果的可能性相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含的结果数m。
数学九年级上册期未知识点
数学九年级上册期未知识点数学九年级上册期末知识点在数学九年级上册学习的一学期中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点对我们的数学学习起到了至关重要的作用。
下面，我将为大家详细介绍数学九年级上册的期末知识点。
一、有理数运算1.有理数的加减运算在有理数的加法和减法运算中，我们需要掌握正数、负数的概念，以及正数加正数、正数加负数、负数加负数等各种情况的计算方法。
同时，还要熟练掌握有理数的运算规律和加减法混合运算的技巧。
2.有理数的乘除运算在有理数的乘法和除法运算中，我们需要掌握正数与正数、正数与负数、负数与负数的运算方法，并能熟练运用倒数的概念解决有理数的除法运算问题。
二、线性方程与一元一次方程1.线性方程的概念线性方程是指未知数的最高次数为1的方程，我们需要了解线性方程的基本概念和一些常见的线性方程的表示形式。
2.一元一次方程的求解在解一元一次方程的过程中，我们会遇到加法、减法、乘法、除法等运算，需要熟练掌握这些运算的应用，同时要灵活运用等式性质和方程的解的性质解决问题。
三、图形的性质与计算1.平面图形的性质在九年级上册，我们学习了许多平面图形的性质，如三角形的角度性质、四边形的性质、多边形的性质等。
这些性质对于图形的分类、计算和解决问题都具有重要意义。
2.平面图形的计算在九年级上册，我们还学习了如何计算平面图形的面积和周长，包括矩形、正方形、三角形、圆等各种图形。
需要注意的是，计算时要注意单位的转换和精确性。
四、立体图形的性质与计算1.立体图形的性质在学习立体图形的过程中，我们需要了解各种常见立体图形的性质，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的面积和体积的计算方法，以及它们的特点和应用。
2.立体图形的计算在计算立体图形的面积和体积时，我们需要掌握各种图形的计算公式，运用数学知识解决与立体图形相关的实际问题。
同时，还要注意单位的转换和计算的准确性。
总结：以上是数学九年级上册期末的主要知识点，通过学习这些知识点，我们可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
九年级上册数学期末知识点
九年级上册数学期末知识点人们常说，数学是一门智力训练的艺术。
九年级上册数学内容的学习不仅仅是为了应对期末考试，更是为了培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
以下是九年级上册数学的一些重要知识点。
一、函数与方程函数是数学中非常重要的概念，它可以用来描述两个量之间的关系。
在九年级上册，学生将开始学习一元一次方程、一元一次不等式以及简单的二次函数等内容。
通过这些知识的学习，学生能够更好地理解和应用各种函数和方程，解决实际问题。
二、三角形和全等三角形三角形是几何学中的基本概念之一。
在九年级上册，学生将学习三角形的性质以及三角形的全等判定方法。
了解三角形的性质对于解决与三角形相关的几何问题非常重要。
三、平行线和比例平行线与比例是中学数学中非常基础且重要的概念。
在九年级上册，学生将深入学习平行线的性质、平行线与横截比例以及平行线与面积比例等内容。
这些都是解决几何问题的基础，对于以后的学习打下了坚实的基础。
四、平方根和立方根在数字与代数的学习中，平方根和立方根是两个常见的运算。
在九年级上册，学生将学习如何求平方根以及如何求立方根。
这种运算不仅仅能帮助学生更好地理解数学知识，也能在实际生活中应用到解决问题的过程中。
五、统计与概率统计与概率是现代数学中的重要分支之一。
在九年级上册，学生将学习一些统计学中的基本概念，如样本调查、频数和频率等，以及一些基本的概率计算方法。
这些知识将帮助学生更好地理解和分析统计数据，并能应用到实际生活中。
六、函数图像与函数应用在现代科学和技术的发展中，函数图像和函数应用都有非常广泛的应用。
在九年级上册，学生将学习如何绘制简单的函数图像以及如何应用函数解决一些实际问题。
这不仅能帮助学生加深对函数的理解，还能培养学生的实际运用能力。
总之，九年级上册数学的学习内容涵盖了多个重要的数学知识点。
通过系统地学习这些知识，学生能够提高自己的数学能力，培养自己的逻辑思维和问题解决能力。
数学是一门需要理解与实践相结合的学科，希望学生们在九年级上册数学学习中取得好的成绩，为自己将来的学习铺垫好基础。
2023部编人教版九年级数学上册总复习知识点梳理
2023部编人教版九年级数学上册总复习
知识点梳理
本文档对2023年部编人教版九年级数学上册的知识点进行总复梳理，旨在帮助学生系统地回顾和巩固所学的数学知识。
一、有理数与整式
1. 整式的概念及运算法则
2. 有理数的概念及表示法
3. 有理数的大小比较
4. 有理数的加减运算
5. 有理数的乘除运算
二、线性方程与一元一次不等式
1. 一元一次方程与一元一次不等式的概念与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式的解集求解方法
三、几何图形的认识
1. 二维图形的基本概念
2. 三角形的分类及性质
3. 四边形的分类及性质
4. 三角形和四边形的周长与面积计算
四、函数的概念与性质
1. 实数及其分类
2. 函数的概念与表示法
3. 函数图像与函数的性质
4. 函数关系的建立与应用
五、数据的收集、整理与分析
1. 数据的收集与整理方法
2. 统计图表的绘制与分析
3. 概率的基本概念与计算方法
六、三视图与解题方法
1. 空间几何体的认识
2. 三视图的基本概念与表示法
3. 解题的基本方法与策略
七、复与巩固
1. 各单元的重点与难点概述
2. 典型例题的练与思考
3. 重要知识点的总结与总复
4. 模拟测试与综合训练
通过本文档的复习知识点梳理，希望能够帮助学生对2023年
部编人教版九年级数学上册的知识有一个系统、全面的复习与巩固，为学生在数学学习中取得更好的成绩提供帮助。
九年级数学上册期末知识点
九年级数学上册期末知识点回顾九年级的数学学科内容相对来说较为复杂和抽象，需要同学们掌握一定的基础知识和技巧。
本文将对九年级数学上册的期末知识点进行回顾，让同学们能够更好地复习和理解。
一、代数与函数代数与函数是九年级数学的核心内容之一。
乘法公式、因式分解、分式运算等都是九年级代数与函数的基础。
在乘法公式的掌握上，同学们需要熟练掌握平方差、完全平方和、立方差、立方和等常用公式。
因式分解是代数与函数的重要工具，同学们需要通过观察因式关系，运用分配律、提公因式等方法，将一个多项式因式分解为不可再分解的乘积形式。
函数的概念是九年级数学中的重点之一。
同学们要能够正确理解函数的定义，即一个自变量值唯一确定一个因变量值，并能够根据实际问题分析函数的特征和变化规律。
常见的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等也需要同学们了解其图像特点和性质。
二、平面几何平面几何是九年级数学中较为直观的部分。
同学们需要掌握平面上的点、线、面的相关性质和判定方法。
例如，同学们需要了解直线的斜率和截距与线性方程的关系，掌握判断线段垂直、平行和角平分线的方法。
此外，还要掌握解三角形的相关几何定理，例如正弦定理、余弦定理和角平分线定理等，以及应用它们解决实际问题的能力。
三、概率与统计概率与统计是九年级数学的实用性较强的部分。
同学们需要了解基本的概率概念，掌握排列、组合、事件与概率的关系等。
此外，统计学也是九年级数学的重要内容。
同学们需要能够设计和分析调查问卷，并进行数据收集和整理。
对于给定的数据，同学们要掌握频数、频率、直方图等统计概念，能够利用这些数据进行推断和预测。
四、解方程与不等式解方程与不等式是数学学科中基础而又重要的一部分。
同学们需要掌握解一元一次方程、一元二次方程和简单的整式方程的方法，并能够在实际问题中应用这些方法。
对于不等式，同学们要能够解一元线性不等式和一元二次不等式，并能够利用这些不等式解决实际问题。
五、空间几何空间几何是九年级数学中的抽象和复杂的内容。
数学九年级上册期末知识点
数学九年级上册期末知识点华夏中学九年级上册数学期末知识点一、有理数运算1. 有理数的加法和减法- 同号数相加或相减，保留同号并将绝对值相加或相减；- 异号数相加或相减，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减。
2. 有理数的乘法和除法- 同号数相乘或相除，结果为正数；- 异号数相乘或相除，结果为负数；- 任何数与零相乘或相除，结果均为零。
3. 混合运算- 先按照运算顺序进行括号、指数、乘除法、加减法等运算；- 具体运算时，注意正负号的运用。
二、代数式与方程式1. 代数式的算术性质- 代数式的加法和乘法满足结合律、交换律和分配律。
2. 代数式的合并与展开- 合并同类项时，将相同字母的指数相加，系数保持不变；- 展开式即将括号中的各项按照乘法法则展开。
3. 一步方程和二步方程- 对于一步方程，使用逆运算来消去常数项，求得未知数的值；- 对于二步方程，先消去常数项，再运用逆运算解方程。
三、图形的认识与运算1. 等角变换- 平移、旋转、翻折和对称是图形的等角变换。
2. 相似与全等图形- 相似图形的对应边成比例，对应角相等；- 全等图形的对应边相等，对应角相等。
3. 平行线和垂直线- 平行线的斜率相等；- 垂直线的斜率互为相反数。
四、数轴与实数1. 数轴上的实数- 实数在数轴上的位置与大小有关。
2. 绝对值与范围- 任何数的绝对值均为非负数；- 数在某一范围内。
3. 实数运算律- 实数的加法和乘法满足结合律、交换律和分配律。
五、比例与百分数1. 比例的定义与性质- 比例是两个具有相同单位的数的相等关系。
2. 比例的四则运算- 比例的乘法与除法。
3. 百分数的意义与计算- 百分数是以100为基数的比例。
六、平面图形与表达1. 二维坐标系- 直角坐标系和极坐标系。
2. 几何图形的基本概念- 点、线、面等基本几何概念。
3. 三角形与四边形- 三角形的角度和边长关系；- 四边形的性质和特点。
七、统计与概率1. 数据的收集与整理- 统计调查的方法和数据整理的方式。
九年级上册期末数学知识点
九年级上册期末数学知识点数学作为一门理科学科，对于学生的思维能力和逻辑思维的培养起着非常重要的作用。
九年级上册的数学学习内容相对较为复杂，包含了多个重要的知识点。
本文将对九年级上册期末数学知识点进行总结和归纳，让同学们能够更好地掌握这些内容。
一、有理数运算有理数是整数和分数的统称。
九年级上册开始对有理数进行了深入的学习，包括有理数的加减乘除运算、绝对值及其性质等。
在有理数的加减运算中，我们需要注意符号的转化与运算法则的应用。
例如，对于正数与正数相加，符号不变；对于负数与负数相加，需要将结果的符号设为负数；而正数与负数相加，则可以按减法规则来计算。
在乘除运算中，我们需要了解有理数的乘法和除法规则，并能够在应用中熟练运用。
二、线性方程与不等式线性方程和不等式是数学中非常重要的内容，九年级上册较为深入地学习了一元一次线性方程与不等式的解法和应用。
在解一元一次线性方程时，我们可以使用逆运算的方法。
首先，将方程中的常数项移到方程的另一边，然后将未知数的系数化为1，最后得到方程的解。
同样地，对于一元一次不等式，我们也可以使用逆运算的方法进行解题。
三、平面图形的性质九年级上册还包含了对平面图形重要性质的学习，包括平行线和垂直线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质等。
平行线和垂直线是平面几何中常见的线段关系。
在平行线中，我们重点学习了相交线与平行线之间的夹角关系，包括同位角、内错角、对顶角等性质。
在垂直线中，我们则学习了垂直交线与所形成的四个直角相等的性质。
对于直角三角形来说，我们需要了解勾股定理的应用，即直角边的平方和等于斜边的平方。
对于等腰三角形，我们需要掌握等腰三角形的定义和性质，以及等腰三角形的判定方法。
四、统计图表的分析与应用统计是数学中的一个重要内容。
九年级上册也包含了统计图表的分析与应用。
在统计图表的分析中，我们需要学习如何读取各种统计图表，包括条形图、折线图、饼图等，从中提取出有效信息。
在应用统计图表时，我们需要理解图表所表达的数据，进行数据分析和比较。
九年级上册数学期末复习知识点人教版框架
九年级上册数学期末复习知识点人教版框架一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
2. 一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）3. 一元二次方程的解法配方法：通过配方，使方程左边成为完全平方，然后开方求解。
公式法：利用一元二次方程的求根公式x = [-b ±√(b² - 4ac)] / (2a)求解。
因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，然后求解。
4. 一元二次方程的根的判别式Δ = b² - 4ac当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
5. 韦达定理对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a二、二次函数1. 二次函数的定义一般形式：y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a ≠0）2. 二次函数的图像及性质抛物线开口方向：由a的符号决定，a > 0时开口向上，a < 0时开口向下。
对称轴：直线x = -b/(2a)。
顶点坐标：(-b/(2a), c - b²/(4a))。
最值：当a > 0时，函数有最小值；当a < 0时，函数有最大值。
3. 二次函数的解析式顶点式：y = a(x - h)² + k一般式：y = ax² + bx + c交点式：根据抛物线与x轴、y轴的交点来确定。
三、几何图形与证明1. 三角形全等三角形的判定定理及性质。
等腰三角形、等边三角形的性质及判定。
直角三角形的性质及勾股定理。
2. 四边形平行四边形的性质及判定。
特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质及判定。
梯形及等腰梯形的性质及判定。
九年级上册数学知识点归纳
九年级上册数学知识点归纳一、实数1. 有理数与无理数的定义- 有理数：可以表示为两个整数的比的数，如分数、整数。
- 无理数：不能表示为两个整数的比的数，如√2、π。
2. 实数的运算- 加法、减法、乘法、除法- 乘方、开方- 绝对值的计算3. 实数的性质- 相反数、倒数- 有理数和无理数的性质4. 科学记数法- 表示非常大或非常小的数5. 实数的比较- 大小比较的方法- 不等式的表示和性质二、代数表达式1. 单项式- 单项式的定义- 系数、次数2. 多项式- 多项式的定义- 项、次数、系数- 多项式的加减法3. 代数式的简化- 合并同类项- 分配律、结合律、交换律4. 因式分解- 提公因式法- 公式法（平方差、完全平方等） - 十字相乘法三、方程与不等式1. 一元一次方程- 方程的建立- 解方程的步骤2. 二元一次方程组- 代入法- 消元法（加减消元、代数消元）3. 不等式- 不等式的性质- 解一元一次不等式- 解一元一次不等式组4. 绝对值不等式- 绝对值的性质- 解绝对值不等式四、平面图形1. 平行线与线段- 平行线的性质- 线段的中点、平行线之间的距离2. 角- 角的分类- 角的度量- 角的和差3. 三角形- 三角形的基本性质- 等边三角形、等腰三角形的性质 - 三角形的内角和外角4. 四边形- 四边形的分类- 矩形、菱形、正方形的性质- 四边形的面积计算5. 圆- 圆的基本性质- 圆的面积和周长- 切线的性质五、立体图形1. 立体图形的基本概念- 点、线、面、体- 立体图形的分类2. 棱柱和棱锥- 棱柱和棱锥的性质- 棱柱和棱锥的体积计算3. 圆柱和圆锥- 圆柱和圆锥的性质- 圆柱和圆锥的体积和表面积计算4. 球- 球的性质- 球的体积和表面积计算六、统计与概率1. 统计- 数据的收集和整理- 频数和频率- 统计图表（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算方法- 条件概率和独立事件请注意，以上内容仅为九年级上册数学知识点的一个概括性归纳，具体的教学内容和深度可能会根据不同地区的教学大纲和教材有所差异。
新人教版九年级数学上学期期末复习知识点填空(最佳、最优、最全、最有效)
期末复习重点知识点：一、一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 次的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n+=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式ax 2+bx +c =0; 2.确定系数:用a ,b ,c 写出各项系数; 3.计算: b 2-4ac 的值;4.判断：若b 2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b 2-4ac <0，则方程没有实数根. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）ac b 42-≥0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .同时：若α、β为一元二次方程0132=++x x 的两个实数根，则有01α3α2=++ 和01β3β2=++5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
九年级数学上册期末考点总复习
第21章 《一元二次方程》期末复习考点一 一元二次方程旳概念知识链接: 只具有一种未知数, 并且未知数旳最高次数是2, 这样旳整式方程就是一元二次方程.1.下列有关x 旳方程: ① /；②/；③/；④/.其中是一元二次方程旳个数是（ ） A .1B .2C .3D .42.有关x 旳方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程, 则m= 考点二 一元二次方程旳求解知识链接: 解一元二次方程是本章旳重点. 其基本解法有四种: ①直接开措施；②因式分解法；③配措施；④公式法 1.方程旳根是（ ）A. /B. /C. /或/D. / 2.用合适旳措施解下列方程:（1）(2x ＋3)2－25＝0. (2) （3）. (12)（4）052222=--x x (5） 02722=--x x (6)31022=-x x （7）01432=--x x（8） ()()2322+=+x x （9）22)21()3(x x -=+（10）)4(5)4(2+=+x x （11）0)52()13(22=+--x x ；3.已知旳值为2, 则旳值为 .4.方程旳根是（ ）A B C D 考点三 运用方程根旳定义, 巧求值. 知识链接: 若/是方程/旳根, 则/.1.有关旳方程旳一种根是－2, 则方程旳另一根是 ；＝ .2.有关/旳一元二次方程/旳一种根为1, 则方程旳另一根为3.已知有关旳一元二次方程旳一种根是1，则k.....考点四 运用根旳鉴别式Δ=解题 1A ． 有两个不相等旳实数根 B ． 有两个相等旳实数根C ． 无实数根D ． 无法拟定2.若有关x 旳方程有两个相等旳实数根, 则m 旳值....3.有关x 旳一元二次方程mx2-4x+2=0有实数根, 求m 旳取值范畴.4.若有关x 旳一元二次方程3x2+k=0有实数根, 则（ ） A. k>0 B. k<0 C. k ≥0 D. k ≤05.有关x 旳一元二次方程旳根旳状况是（ ） A. 有两个不相等旳实数根 B. 有两个相等旳实数根 C. 没有实数根 D. 无法拟定6.已知有关x 旳方程，求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；考点五 运用根与系数旳关系解题知识链接: 已知/是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)旳两根, 则有/ , /A 、 1.若/是一元二次方程2x2-7x+4=0旳两根，则与旳值分别是.. ） , -2 ； B. , 2； C. , 2 ； D., -2； 2.已知是一元二次方程旳两个根，则旳值..... 考点六 一元二次方程与实际问题（一）循环问题（可分为单循环问题, 双循环问题）1 .参与一次足球联赛旳每两队之间都进行一场比赛, 共比赛45场比赛, 共有多少个队参与比赛？(2)0x x +=2x =0x =120,2x x ==-120,2x x ==()220x mx m -+-=2 .参与一次足球联赛旳每两队之间都进行两次比赛, 共比赛90场比赛, 共有多少个队参与比赛？（二）百分率问题（最后产值.基数.平均增长率或减少率.增长或减少次数旳基本关系: ;n 为增长或减少次数, M为最后产量, a为基数, x为平均增长率或减少率.）3.某电脑公司旳各项经营收入中, 经营电脑配件旳收入为600万元, 占全年经营总收入旳40%, 该公司估计经营总收入要达到2160万元, 且计划从到, 每年经营总收入旳年增长率相似, 问估计经营总收入为多少万元？4.利华机械厂四月份生产零件50万个, 若五.六月份平均每月旳增长率是20%, •则第二季度共生产零件（）A. 100万个B. 160万个C. 180万个D. 182万个5.近年来，全国房价不断上涨，某县4月份旳房价平均每平方米为3600元.比同期旳房价平均每平方米上涨了元，假设这两年该县房价旳平均增长率均为，则有关旳方程为.. )A. B.C. D.（三）面积问题6.如图某农场要建一种长方形旳养鸡场, 鸡场旳一边靠墙（墙长a=18m）, 另三边用木栏围成, 木栏长35m.①鸡场旳面积能达到150m2吗？②鸡场旳面积能达到180m2吗？如果能, 请你给出设计方案；如果不能, 请阐明理由.7.在长为10cm, 宽为8cm旳矩形旳四个角上截去四个全等旳小正方形, 使得留下旳图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积旳80％, 求所截去小正方形旳边长.8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm,若P点沿AB向B以1cm／s旳速度移动，点Q从B沿BC向C以2cm／s旳速度移动，问几秒后，△PBQ旳面积为8cm2？9.如图所示, 在一块长为32米, 宽为15米旳矩形草地上, 在中间要设计一横二竖旳等宽旳.供居民散步旳小路, 要使小路旳面积是草地总面积旳八分之一, 请问小路旳宽应是多少米.（四）商品销售问题（常用关系式:售价—进价=利润；每件商品旳利润×销售量=总利润；单价×销售量=销售额）10.某种商品因换季准备打折发售, 如果按原定价旳七五折发售, 将赔25元, •而按原定价旳九折发售, 将赚20元, 则这种商品旳原价是. ）A. 500元B. 400元C. 300元D. 200元11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每公斤赚钱10元，每天可售出500公斤，经市场调查发现，在进货价不变旳状况下，若每公斤涨价1元，日销售量将减少20公斤.现该商品要保证每天赚钱6000元，同步又要使顾客得到实惠，那么每公斤应涨价多少元？期末真题（一）1.将方程化为旳形式, 则m,n旳值分别为（）A.3和5；B.-3和5 ；C.-3和14 ；D.3和14；2.某商品原价289元, 通过持续两次降价后售价为256元, 设平均每次降价旳百分率为x, 则满足x旳方程是（）A.256)1(2892=-x；B.256)1(2892=+x；C.289)1(2562=+x；D.289)1(2562=-x；3.一元二次方程0452=-+xx根旳状况是（）A.两个不相等旳实数根；B.两个不相等旳实数根；C.没有实数根；D.不能拟定4.若/是一元二次方程旳两根, 则旳值是5.解方程: （1）；（2）6.已知: 有关x旳方程, 若方程旳一种根是-1, 求另一种根及k旳值..7.某文化商店从一文具厂以每件21元旳价格购进一批文具, 若每件文具售价为x元, 则可卖出（350-10x）件, 物价局限定每件文具旳利润不能超过进价旳20%, 商店为了赚钱400元, 需要卖出多少件文具？每件文具售价多少元？ABCQP期末真题（二）A.1.某公司今年产值为300万元, 现计划扩大生产, 使此后两年旳产值每年都比前一年增长旳百分率相似, 这样三年（涉及今年）旳总产值就达到了1200万元.设每年增长旳百分率为x, 则可列方程为（ ）B.120013002=+)x ( B.120013003=+)x (C.300112002=+)x (D.1200130013003002=++++)x ()x (2.方程42=x 旳解为 . 解方程: （1） （2）4.已知有关x 旳方程有两个实数根-2, m. 求m, n 旳值.第22章《二次函数》期末复习考点一 二次函数基本性质1. 二次函数y=2(x - )2 +1图象旳对称轴是 .2. 抛物线y= ( x +1)2 – 7旳对称轴是直线 .3．二次函数y=2x2-x-3旳开口方向_____, 对称轴_______, 顶点坐标________. 4. 抛物线y= -/（x+1）2+3旳顶点坐标（ ）（A ）（1, 3） （B ）（1, -3） （C ）（-1, -3） （D ）（-1, 3） 5.抛物线y=/x2, y=-3x2, y=x2旳图象开口最大旳是（ ） (A) y =x 2(B)y =-3x 2 (C)y =x 2 (D)无法拟定6.二次函数y=x2-8x+c 旳最小值是0, 那么c 旳值等于（ ） (A)4 (B)8(C)-4(D)167.抛物线y =-2x 2+4x +3旳顶点坐标是（ ）(A)(-1, -5) (B)(1, -5) (C)(-1, -4) (D) (-2, -7)8.在一定条件下，若物体运动旳路程s （米）与时间t （秒）旳关系式为/，则当物体通过旳路程是88米时，该物体所通过旳时间为（ ）(A)2秒 (B)4秒 (C)6秒 (D)8秒(A)★9.点A(x1,y1), B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x -1旳图像上, 若x2>x1>1, 则y1与y2大小关系是（ ） (B)y 1=y 2 (B)y 1>y 2(C)y 1<y 2 (D)不能拟定10.已知一次函/旳图象过点（0, 5）.求m 旳值，并写出二次函数旳关系式； .求出二次函数图象旳顶点坐标.对称轴．考点二 二次函数一般式转化为顶点式 1.用配措施把二次函数y =2x 2+2x -5化成y =a (x -h )2+k 旳形式为___________.★2.将y=2x2-4x -3化为y=a(x -h)2+k 旳形式, 对旳旳是（ ）(A)y =2(x+1)2+3(B)y =2(x -1)2-5(C)y =(2x+1)2-3(D)y =2(x -1)2+5考点三 二次函数与坐标轴交点1. 函数/旳图象与/轴旳交点坐标是________.2. 抛物线y=x2+6x+8与y 轴交点坐标（ ）（A ）（0, 8） （B ）（0, -8） （C ）（0, 6） （D ）（-2, 0）（-4, 0）3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x 轴旳两个交点旳坐标是(5, 0), (-2, 0), 则方程ax2+bx+c=0(a ≠0)旳解是_______.4. 抛物线y=-2(x-1)2-3与y 轴旳交点纵坐标为（ ） （A ）-3 （B ）-4 （C ）-5 （Ｄ）-1★5.若函数y=3(x -4)2+k 与x 轴旳一种交点坐标是(2, 0), 则它与x 轴旳另一种交点坐标是 .考点四 用待定系数法求二次函数解析式1.若函数y=a(x-h)2+k 旳图象通过原点, 最小值为8, 且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相似, 则此函数关系式______.2. 请写出一种开口向上, 对称轴为直线x=2, 且与y 轴旳交点坐标为(0, 3)旳抛物线旳解析式 .3. 已知有关旳二次函数图象顶点（1, -1）, 且图象过点（0, -3）, 则这个二次函数解析式为 .4．已知抛物线y=ax2+bx+c （a/0）与x 轴旳两交点旳横坐标分别是-1和3, 与y 轴交点旳纵坐标是-/； (1)拟定抛物线旳解析式；(2)用配措施拟定抛物线旳开口方向, 对称轴和顶点坐标.★5.已知抛物线/ 通过（-1, 0）, （0, 5）, （1, 8）三点. ⑴求这条抛物线旳体现式；⑵写出抛物线旳对称轴方程和顶点坐标.考点五 a,b,c ,△旳符号与二次函数图像位置关系1. 如图, 如果函数y=kx+b 旳图象在第一.二.三象限, 那么函数y=kx2+bx-1旳图象大体是（ ）2. 抛物线y=ax2+bx+c 旳图角如图3, 则下列结论: ①abc>0；②a+b+c=2；③△<0；④a-b +c <0.其中对旳旳结论有（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）①③213. 抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6旳顶点在x 轴上, 则m=______.4. 二次函数/旳图象如图所示, 则下列结论对旳旳是（ ） A. a ＞0, b ＜0, c ＞0 B. a ＜0, b ＜0, c ＞0C ．a ＜0, b ＞0, c ＜0D ．a ＜0, b ＞0, c ＞0考点六 二次函数图像平移1. 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位, 再向右平移3个单位, 所得抛物线旳解析式是（ ） （A ）y=3(x +3)2 -2 （B ）y=3(x +2)2+2 （C ）y=3(x -3)2 -2 （D ）y=3(x -3)2+22. 将抛物线y=3x2向右平移2个单位, 再向下平移4个单位, 所得抛物线是（ ） （A ）y =3(x +2)2+4 (B) y =3(x -2)2+4 (C) y =3(x -2)2-4 (D)y =3(x +2)2-4考点七 二次函数与实际问题某商场销售一批名脾衬衫, 平均每天可售出20件, 每件赚钱40元, 为了扩大销售, 增长赚钱, 尽快减少库存, 商场决定采用合适旳降价措施. 经调查发现每件衬衫降价1元, 商场平均每天可多售出2件, 问: 每件衬衫降价多少元时, 商场平均每天赚钱最多?★2. 某商品目前旳售价为每件60元, 每星期可卖出200件, 市场调查反映: 如调节价格, 每涨价1元, 每星期要少卖出10件；每降价1元, 每星期可多卖出20件.已知商品旳进价为每件40元, 如何定价才干使利润最大？3. 用周长为30cm 旳绳子, 围成一种矩形, 其最大面积是多少？4.如图, 在△ABC 中, ∠B=90°, AB=6cm, BC=8cm,若P 点沿AB 向B 以1cm ／s 旳速度移动, 点Q 从B 沿BC 向C 以2cm ／s 旳速度移动, 问几秒后, △PBQ 旳面积最大？第23章 《旋转》期末复习★1. 下图形是中心对称图形旳是（ ）ABCD★2. 如图, AB=6,以AB 为直径旳半圆绕点A 逆时针旋转60°, 此时点B 旋转到了点B ’, 则图中阴影部分旳面积是（ ）A.36πB.9πC.6πD.32π ★3. 如图, 已知点E 是正方形ABCD 内旳一点, ∠AEB=135°,把△EAB 绕点B 顺时针旋转90°, （1）画出旋转后旳图形△E ’A ’B. （2）求∠EE ’C 旳度数.★4. 已知点A 旳坐标为(a,b), O 为坐标原点, 连接OA, 将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA1, 则点A1旳坐标为 .5. 已知点A （m, 1）与点B(－3, n)有关原点对称, 求n －m= .6. 下图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形旳是( )7. 如图, 方格纸中旳每个小方格都是边长为1个单位旳正方形, 在建立平面直角坐标系后, △ABC 旳顶点均在格点上, 点B 旳坐标为(1, 0). (1)画出△ABC 有关x 轴对称旳△A 1B 1C 1；(2)画出将△ABC 绕原点O 按逆时针方向旋转90°所得旳△A 2B 2C 2；并写出点A 2旳坐标 .AB CQ P第24章 《圆》期末复习考点1 圆旳基本概念1. 下面四个命题中对旳旳一种是（ ） A. 平分一条直径旳弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧旳直线垂直于这条弧所对旳弦 C. 弦旳垂线必过这条弦所在圆旳圆心D. 在一种圆内平分一条弧和它所对弦旳直线必过这个圆旳圆心 2．下列命题中, 对旳旳是（ ）． A. 过弦旳中点旳直线平分弦所对旳弧 B. 过弦旳中点旳直线必过圆心C ．弦所对旳两条弧旳中点连线垂直平分弦, 且过圆心 D. 弦旳垂线平分弦所对旳弧 考点2 垂径定理1. 在直径为52cm 旳圆柱形油槽内装入某些油后, 截面如图所示, 如果油旳最大深度为16cm, 那么油面宽度AB 是________cm.2. 已知：如图, 在⊙中, 弦, 点到旳距离等于旳一半, 求：旳度数和圆旳半径.考点3 圆旳基本性质运用1.如图, ⊙O 外接于△ABC, AD 为⊙O 旳直径, ∠ABC=30°, 则∠CAD=（ ）. A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°2.如图, 已知∠BDC=60°,∠ABC=50°.则∠AC.是...） A.40° B.50° C.60° D.70°3. 如图, △ABC 旳三边分别切⊙O 于D, E, F, 若∠A=50°, 则∠DEF=（ ）. A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°4.如图，A 、B 、C 是⊙O 上旳三点，∠BAC=30°，则∠BOC 旳大小........第4题 第5题 第6题 5.如图, AB 是半圆O 旳直径, ∠BAC=32º, D 是旳中点, 那么∠DAC 旳度数.......6.如图，AD.AE.CB 都是⊙O 旳切线，且AD=10cm ，则△ABC 旳周长......... . 考点4 弧长公式与扇形面积公式运用1. 一种扇形半径30cm, 圆心角120°, 用它作一种圆锥旳侧面, 则圆锥底面半径为（ ）. A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm2.已知圆旳半径为R, 60º旳圆心角所对旳弧长...... .3.如图，分别以△ABC 旳三个顶.A.B.C 为圆心，以2㎝长为半径画圆，则图中阴影部分旳面积......(1)★4.如图, 已知Rt △ABC 旳外接圆半径等于2.5, ∠ACB=90°,AC=3. (2)求BC 旳长.(3)求图中阴影部分旳面积（成果中可保存π）.考点5 直线和圆旳位置关系★1. 已知⊙O 旳半径为4cm, 如果圆心O 到直线l 旳距离为2cm, 那么直线l 与⊙O 旳位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不拟定2.圆旳半径为5cm ，圆心到一条直线旳距离是7cm ，则直线与圆...）A.有两个交点,B.有一种交点,C.没有交点,D.交点个数不定3.已知⊙O 旳直径为16㎝，点B 到圆心O 旳距离为8㎝，则点B 与⊙O 旳位置关系是...） A. 点B 在⊙O 内；B. 点B 在⊙O 上；C. 点B 在⊙O 外；D. 点B 也许在⊙O 内或⊙O 外考点6 运用切线性质计算线段旳长度及角度1. 如图, 已知: AB 是⊙O 旳直径,P 为延长线上旳一点, PC 切⊙O 于C, CD ⊥AB 于D, 又PC=4, ⊙O 旳半径为3. 求: OD 旳长.2. 如图, 已知: AB 是⊙O 旳直径, CD 切⊙O 于C, AE ⊥CD 于E, BC 旳延长线与AE 旳延长线交于F, 且AF=BF. 求: ∠A 旳度数.★3.如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, 以AC 为直径旳⊙O 与边AB 交于点D, 过点D 旳切线交BC 于点E.求证: EB=ED.BDCA O DCBAFEDC BAD CBAO CBA考点7 切线鉴定定理旳运用1. 如图, AB是⊙O旳弦, OC⊥OA交AB于点C, 过B旳直线交OC旳延长线于点E, 当CE=BE时, 直线BE与⊙O有如何旳位置关系？请阐明理由.2.如图, AB是⊙O旳直径, 弦AD平分∠CAB, DE⊥AC于E, 求证: DE是⊙O旳切线.★3.如图, 在△ABC中, AB=AC, 以AB为直径旳⊙O交BC于点D, 过点D作DF⊥AC于点E, 交AB 旳延长线于点F.求证: EF是⊙O旳切线.第25章《概率》期末复习★1.下列说法中错误旳是（）A.某种彩票旳中奖率为1%, 买100张彩票一定有1张中奖B.从装有10个红球旳袋子中, 摸出1个白球是不也许事件C.为理解一批日光灯旳使用寿命, 可采用抽样调查旳方式D.掷一枚一般旳正六面体骰子, 浮现向上一面旳点数是2旳概率是（1）★2.某班新年联欢晚会设计了即兴表演节目旳摸球游戏, 游戏采用一种不透明旳盒子, 里面装有四个分别标有数字1、2、3、4旳乒乓球, 这些球除数字外, 其他完全相似.游戏规则是：参与联欢会旳45名同窗, 每人将盒子里面旳乒乓球摇匀后, 随机地一次摸出两个球, 记下球上旳数字后放回盒中, 以便下一种同窗再摸；人人参与, 每人只能摸一次, 若两球上旳数字之和为奇数, 就给大家即兴表演一种节目, 否则, 下人同窗继续摸球.游戏依次进行.（2）求参与联欢会同窗即兴表演节目旳概率；估计本次联欢会上有多少名同窗即兴表演节目？3. 已知一种口袋中装有7个只有颜色不同旳球/, 其中3个白球, 4个黑球.（1）求从中随机抽取出一种黑球旳概率是多少？（2）若往口袋中再放入/个白球和/个黑球, 从口袋中随机取出一种白球旳概率是/, 求/与/之间旳函数关系式.4. 某商场在/今年“十·一”国庆节举办了购物摸奖活动. 摸奖箱里有四个标号分别为1, 2, 3, 4旳质地、大小都相似/旳小球, 任意摸出一种小球, 记下小球旳标号后, 放回箱里并摇匀, 再摸出一种小球, 又记下小球旳标号. 商场规定: 两次摸出旳小球旳标号之和为“8”或“6”时才算中奖. 请结合“树形图法”或“列表法”, 求出顾客李老师参与本次摸奖活动时中奖旳概率.A。
九级上册数学知识点总结
九级上册数学知识点总结Let's learn positive psychology to make our life happier.九年级上册数学知识点总结归纳2第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0a≠0.注意：判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式.知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a2=b b≥0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法.X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0k≠0的一般步骤是：①化为一般形式；②移项,将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=b2－4ac≥0.步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a,b,c的值；③求出b2－4ac的值,当b2－4ac≥0时代入求根公式.4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0,则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0．因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；②若b2－4ac＜0,则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2x＋42 =3x＋4中,不能随便约去x＋4.⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况⑴b2－4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac≤0⇔方程没有实数根.解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2－4ac解题.主要用于求方程中未知系数的值或取值范围.知识点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0a ≠0来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c.利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形,如2122122212)(x x x x x x-+=+21212111x x x x x x +=+.解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理. 知识点4：一元二次方程的应用 一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； ⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长降低两次得到新数据,常见的等量关系是a1±x2=b,其中a 表示增长降低前的数据,x 表示增长率降低率,b 表示后来的数据.注意：所得解中,增长率不为负,降低率不超过1.⑶ 经济利润问题：总利润=单件销售额－单件成本×销售数量；或者,总利润=总销售额－总成本.⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程.2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性． 一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题单循环问题4、贺卡问题双循环问题5、围栏问题6、几何图形道路、做水箱7、增长率、降价率问题8、利润问题注意减少库存、让顾客受惠等字样9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx ca≠的函数,，，是常数,0叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是自变量x的二次式,x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.2y ax c=+的性质： 上加下减.3.()2y a x h =-的性质：左加右减.4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左 右 ,上 下 ”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式两点式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. x 轴对称 2y axbx c =++x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. y 轴对称 2y axbx c =++y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 原点对称 2y axbx c =++原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 点()m n ，对称()2y a x h k=-+点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就是所含ax bx c a字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2-322．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式.4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线2y axbx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－错误!1确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y axbx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D ．3,2例4、如图单位：m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合．设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．1写出y 与x 的关系式； 2当x=2,时,y 分别是多少 3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长．点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax 2-b+1x-3a 的图象经过点P4,10,交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x ,交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB ．1求二次函数的解析式；2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠A CO 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在,请你说明理由．1的图象经过点Ac,－2,例7、“已知函数c+=2y+xbx求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由.2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.点评：对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,－2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y 件之间的关系如下表：x元1523…y件2521…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．例2.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2、性质1对应点到旋转中心的距离相等.2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2、性质1中心对称的两个图形是全等形.2中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.3中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等.3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形这一点对称.4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心.考点五、坐标系中对称点的特征 3分1、原点对称的点的特征两个点原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y原点的对称点为P’-x,-y2、x轴对称的点的特征两个点x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,yx轴的对称点为P’x,-y3、y轴对称的点的特征两个点y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,yy轴的对称点为P’-x,y第二十四章圆一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内；A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1⇒无交点⇒d R r>+；外切图2⇒有一个交点⇒d R r=+；相交图3⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切图4⇒有一个交点⇒d R r=-；内含图5⇒无交点⇒d R r<-；图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角.圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA外端∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.BAO推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅DBA3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图. 即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦. 如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：12Rt O O C ∆中,221ABCO ==2外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 .十四、圆内正多边形的计算。
新冀教版九年级上册数学全册期末复习必背知识点归纳
新冀教版九年级上册数学全册期末复习必背知识点归纳1. 有理数的四则运算- 加法：有理数相加时保留同号后合并绝对值，异号先转化为同号再合并绝对值。
- 减法：有理数相减转化为加法，注意减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法：有理数相乘符号同正负规律，绝对值相乘。
- 除法：有理数相除符号同正负规律，绝对值相除。
2. 代数式与多项式- 代数式：由数字、字母及运算符号组成的式子。
- 多项式：由多个代数项经过加法或减法运算得到的代数式。
3. 分式与整式- 分式：由分子和分母分别用代数式表示的符号。
- 整式：没有分式的代数式。
4. 图形的坐标表示- 直角坐标系：一个平面上以两条互相垂直的直线为基准线，确定平面上的点位置。
- 坐标：平面上的点在直角坐标系中的位置。
5. 一次函数- 函数：根据一些输入值通过某种规则得到输出值的关系。
- 一次函数：函数的自变量的最高次数为1的函数。
6. 二次根式- 平方根：数的平方根是指一个数的平方等于这个数。
- 二次根式：含有平方根的式子。
7. 平面图形与空间图形- 平面图形：在平面上画出的图形。
- 空间图形：在空间中用线段、射线、直线画的图形。
8. 数据的收集整理与概述- 数据收集：通过观察或实验，获得或记录相关事物数量或特征的过程。
- 数据整理：对收集到的数据进行筛选、处理和归纳，并用合适的图表形式展示。
- 数据概述：根据数据的统计特征和分布规律描述、分析和总结数据。
9. 事件与概率- 事件：对随机试验可能结果的划分。
- 概率：事件发生的可能性。
10. 统计抽样与统计推断- 统计抽样：从总体中抽取样本进行统计。
- 统计推断：通过对样本的统计数据作出关于总体的推断。
以上是《新冀教版九年级上册数学全册》期末复习必背知识点的详细归纳，希望能对你的复习有所帮助。
九年级上册数学复习知识点
九年级上册数学复习知识点一、代数与方程式1. 一元一次方程式1.1 解一元一次方程式的基本方法1.2 利用一元一次方程式解实际问题2. 二元一次方程式2.1 消元法解二元一次方程式2.2 代入法解二元一次方程式2.3 应用解二元一次方程式的方法解实际问题3. 不等式3.1 线性不等式的解及图示3.2 用不等式表示实际问题，并求解4. 平方根与平方差4.1 定义和性质4.2 求解平方根的方法4.3 解平方差的方法5. 平方根与二次方程5.1 二次方程的定义和性质 5.2 二次方程的解及图示5.3 利用二次方程解实际问题二、几何1. 平面图形1.1 三角形及其性质1.2 四边形及其性质1.3 多边形及其性质2. 圆与圆周角2.1 圆的定义和性质2.2 圆周角的定义和计算3. 相似与全等3.1 相似三角形的性质及判定3.2 全等三角形的性质及判定4. 三视图与投影4.1 顶视图、正视图和侧视图的概念 4.2 通过三视图还原物体的形状和尺寸5. 三角函数5.1 正弦、余弦和正切的概念及计算 5.2 利用三角函数解实际问题三、数据与统计1. 数据的整理和分析1.1 数据的收集和整理方法1.2 数据的图示和分析方式2. 概率与事件2.1 事件的概念和性质2.2 用树状图表示事件的组合和概率3. 线段与角度的测量3.1 利用直尺和量角器测量线段和角度 3.2 利用比例关系计算线段和角度的长度四、函数与图像1. 函数的概念与性质1.1 定义和符号化1.2 函数的性质及分类2. 一元一次函数2.1 函数关系及表达式的表示2.2 函数的图像和性质3. 一元二次函数3.1 函数关系及表达式的表示 3.2 函数的图像和性质4. 特殊函数的图像4.1 绝对值函数的图像和性质 4.2 反比例函数的图像和性质五、立体几何1. 空间图形的表示1.1 空间图形的名称和性质 1.2 空间图形的展开图2. 空间几何体的计算2.1 空间几何体的表面积计算2.2 空间几何体的体积计算3. 空间几何体的相交关系3.1 空间几何体的轴对称关系3.2 利用空间几何体的相交关系解实际问题六、整式与分式1. 整式的加减乘除1.1 整式的加减法运算1.2 整式的乘法运算1.3 整式的除法运算2. 分式的加减乘除2.1 分式的加减法运算2.2 分式的乘法运算2.3 分式的除法运算3. 整式与分式的应用3.1 利用整式解实际问题3.2 利用分式解实际问题以上是九年级上册数学的复习知识点，通过系统地了解和掌握这些知识点，可以有效提高数学学科的学习成绩，为下一阶段的学习打下坚实的基础。
初三数学期末上册知识点
初三数学期末上册知识点1.初三数学期末上册知识点抛物线顶点坐标公式y=ax2+bx+c(a=0)的顶点坐标公式是(-b/2a，(4ac-b2)/4a)y=ax2+bx的顶点坐标是(-b/2a，-b2/4a)相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2),有①x1x2=p^2/4,y1y2=—P^2,要在直线过焦点时才能成立;②焦点弦长：|AB|=x1+x2+P=2P/[(sinθ)^2];③(1/|FA|)+(1/|FB|)=2/P;④若OA垂直OB则AB过定点M(2P，0);⑤焦半径：|FP|=x+p/2(抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离);⑥弦长公式：AB=√(1+k^2)│x2-x1│;⑦△=b^2-4ac;⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项;⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)。
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根;⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根;⑶△=b^2-4ac<0没实数根。
2.初三数学期末上册知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
初三数学知识点总结加经典例题讲解
初三数学上册期末总复习（经典例题）目录第一章、图形与证明（二） (2)（一）、知识框架 (2)(二)知识详解 (2)（三）典型例题 (5)第二章、数据的离散程度 (7)（一）知识点复习 (7)（二）经典例题 (8)第三章、二次根式 (9)（一）、知识框架 (10)（二）、典型例题 (10)第四章、一元二次方程 (11)（一）知识框架 (11)（二）、知识详解 (12)（三）、典型例题 (13)第五章、中心对称图形二（圆的有关知识） (14)（一）、知识框架 (14)（二）知识点详解 (15)（三）、典型例题 (20)2.直角三角形全等的判定：HL4.等腰梯形的性质和判定5.中位线三角形的中位线 梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。
1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理注注意：（1）中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ；④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。
（2）菱形的面积公式：ab S 21=（b a ,是两条对角线的长） 注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。
即需要掌握常作的辅助线。
（2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=21（l -中位线长） 第一章、图形与证明（二）（一）、知识框架(二)知识详解2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）2．2、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
九年级上期末数学知识点
九年级上期末数学知识点数学是一门抽象而又实用的学科，九年级上学期的数学课程内容涵盖了关键的数学知识点。
本文将向您介绍九年级上期末的数学知识点，帮助您更好地理解和掌握这些知识。
1.整数运算在九年级上学期，我们学习了整数的加减乘除运算，包括正数、负数和零。
我们需要掌握整数的加法和减法规则，并熟练运用乘法和除法运算。
此外，还需要了解整数运算性质，如交换律、结合律和分配律等。
2.代数表达式代数表达式是数学中的一种常见形式，用来表示数值、变量和运算符之间的关系。
在九年级上学期，我们学习了如何用字母表示变量，并可以通过代数表达式解决实际问题。
此外，我们还需要掌握代数表达式的求值和化简等基本操作。
3.方程与不等式方程和不等式是解决实际问题的关键工具。
在九年级上学期，我们学习了一元一次方程和一元一次不等式的解法，并能应用它们解决各种实际问题。
此外，我们还需要了解方程和不等式的图像表示和解的意义。
4.平面图形与空间几何平面图形与空间几何是数学中的基础概念。
在九年级上学期，我们学习了平面内的直线、射线、线段和角等概念，并能正确应用它们解决几何问题。
此外，还需要了解平面图形的性质，如相似三角形、全等三角形和平行四边形等。
5.统计与概率统计与概率是数学中的一门实用学科，涉及到数据的收集、整理和分析。
在九年级上学期，我们学习了如何用图表表示数据，并能计算均值、中位数和众数等统计指标。
此外，还需要了解基本的概率概念和计算方法。
6.函数与图像函数是数学中的重要概念，描述了变量之间的依赖关系。
在九年级上学期，我们学习了函数的定义、性质和表示方法，并能绘制函数的图像。
此外，还需要应用函数解决实际问题，如函数的增减性和最值问题等。
7.立体几何立体几何是数学中的重要分支，涉及到三维空间内的图形和体积计算。
在九年级上学期，我们学习了球、棱柱、棱锥和立方体等常见几何体的性质，并能计算它们的表面积和体积。
此外，还需要了解剖面图和展开图的表示方法。
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章节
第一章
二次函数
难易
程度
★★★
★★
九年级数学上册数学期末复习提纲
重难点
分析
知识点归纳知识拓展
1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)初中数学最重要的
2、求二次函数的解析式部分，在中考中占的
一般式y=ax2+b x+c、比重大，跟其他知识
顶点式y=a（x+m）2+k点联系多，以数形结
交点式y=a（x-x1）(x-x2)合的题型考查几何，
3、二次函数的图像和性质解方程、代数等都相
当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值互联系，知识点多题
当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值型多变，压轴题多以
1、二次函顶点式对称轴：直线x=-m此为出题点
数的图像一般式对称轴：直线x=-b/2a
2、二次函交点式对称轴：直线x=（x
1
+x
2
）/21、考查形式：以选数的性质 4.二次函数图像的平移择题、填空题形式考
以及性质函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2察二次函数图像的
的综合应的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|性质，以解答题形式用个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移考察以二次函数为
3、二次函|k|个单位得到载体的综合题。
数的应用4、抛物线与系数的关系2、考察趋势：二次
性问题：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
函数图像与系数的
①面积最当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下关系，二次函数的应
值问题②开口。
用仍是重点
高度、长|a|越大，则抛物线的开口越小。
3、二次函数求最值
度最值问一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
的应用：依据实际问
题③利润当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；题中的数量关系，确
最大化问当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
定二次函数的解析
题④求近常数项c决定抛物线与y轴交点式，结合方程、一次
似解抛物线与y轴交于（0，c）函数等知识解决实抛物线与x轴交点个数际问题（对于二次函
Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
数最大（小）值的确
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
定，一定要注意二次
Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点函数自变量的取值
5、二次函数的应用范围，同时兼顾实际
问题中对自变量的
特殊约定，结合图像
进行理解）
第二章简
单事件的概率★★★
☆☆
1、确定事件（必然事件和不可能事件）和不确定事件
2、用列举法（列表法和树状图法）计算简单事件发生
的概率P（A）=m/n
3、事件发生的概率是有大小的，必然事件发生的概率
是1，不可能事件发生的概率是0，不确定事件发
生的概率在0与1之间
1、简单事4、知道大量试验时频率可作为事件发生概率的估计
件的概率值\
2、用频率5、概率的实际应用
估计概率
3、概率的
简单应用
掌握对事件解及分
类，学会画树状图或
列表的方法解题，在
中考中通常以选择
题考查概念，以填空
题、简答题考查概率
的计算
1.考查形式：简单事
件的概率计算，利用
列表法或树状图法
求解简单事件的概
率
2、考察趋向：用列
举法（列表法和树状
图法）计算简单事件
发生的概率，概率在
实际问题（判别“划
算”、“公平”）中的
应用
第三章
圆的基本性质
第四★★★
★☆
★★★
★★
1、图形的
旋转
2、垂径定
理
3、弧、弦
与圆心角
的关系
4、圆心角
与圆周角
的关系，
直径所对
圆周角的
特征
5、圆内接
四边形和
正多边形
6、弧长及
扇形面积
重点
1、比例线
段
2、由平行
线截得的
1、圆的有关概念，点与圆的位置关系，确定圆的条件
（不在同一条直线上的三点确定一个圆）
2、图形的旋转：旋转的特征和旋转的性质
3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧
推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
4、弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两
个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组
量相等，那么其余各组量都相等
5、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
直径所对的圆周角等于90°
6、圆内接四边形对角互补，正多边形内角和为（n-2）
*180°正多边形中心角为n/360°
7、弧长L=nπr/180
扇形面积S=nπr2/360
1、比例的基本形式
a:b=c:d⇔ad=bc；a:b=b:c⇔b2=a⋅c
2、公式拓展：
（1）更比性质(交换比例的内项或外项)：
初三数学的难点，知
识点多，涉及的定理
多，题型多变，几何
题通常与三角形结
合，角与边的关系需
要灵活运用，需要牢
记特殊角所对应边
的比值关系，添关键
的辅助线的帮助解
题是考试中的一大
难点
1、考查形式：以选
择题、填空题形式考
察有关性质和计算，
把简单几何体通过
几何变换求某阴影
部分的面积
2、考察趋向：与圆
有关的计算与证明
通常与二次函数结
合来考查，在动点问
题时学会分类讨论，
通过相似来得到角
度、边的大小，证明
d ，交换内项)
⎧ a b 两个三角形相似是 ⎪ c = = ⇔⎨ = ，交换外项) a c ⎪ d c 会添辅助线，必要时 b d b a
需要设 x 列方程得到 ⎪ d b ⎪ c = ．同时交换内外项)
= ⇔ = ．
b d a c
（3）合、分比性质： = ⇔ = ．
b d b d
章
相 似 三 角
形
比例线段 3、相似三 角形性质 与判定 4、相似三 角形的应 用
难点： 1、相似三 角形的判 定题型与 圆形结合 2、利用相 似三角形 的性质来
(
考试中的难点，要学 ⎪
( ⎪ 需要的解
(
⎩ a
（ 2 ）反比性质 ( 把比的前项、后项交换 ) ： 1、考查形式：相似 a c b d 三角形的简单计算、 识别与作图以选择
a c a ±
b
c ±
d 题、填空题的形式出
现，相似三角形的性 3、三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一 质与其他知识的综 边的直线截其它两边 (或两边的延长线 )所得的对应线 合以解答题的形式 段成比例 出现
4、对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三
解决实际 问题
角形．相似用符号“∽”表示
5、三角形相似的判定方法
2、考察趋向：相似 三角形的判定，利用
相似证明线段成比
（1）、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比
例、乘积问题；相似 例的两个三角形相似． 三角形与全等三角
（2）、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两 形、四边形、圆知识 边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 的综合探索；相似三 相似．
角形在函数背景下
（3）、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另
一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
的坐标的相应计算，
似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
在动态问题中的特
（4）、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另 征作用等 一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相 等，两三角形相似．
（5）、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另 一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对 应角平分线的比都等于相似比．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．。