群的基本概念

时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许 多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、 代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而 起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、 代数群、算术群等，并在结晶学、理论物理、量子化学以 至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。
他考进了巴黎高等师范学校
• 伽罗瓦的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。 • 这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了
阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多 结论，他已经在被丢失的论文中提出过。 • 在1831年，伽罗瓦向巴黎科学院送交了第三篇论 文，题目是《关于用根式解方程的可解性条件》。 这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗瓦的论 文。
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
并且开创了数学的一片新的天地。
他坚信自己的理论正确
• 伽罗瓦自豪地写道：“你可以公开请求雅可比或 者高斯，不是对这些东西的正确性，而是对它的 重要性表示意见。”
• 我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并作 出恰当的解释。
• 1846年 法国数学家刘维尔首先“认识到这些东 西的奥妙”，将它们发表在自已主办的刊物上， 并撰写序言热情向数学界推荐。
• 在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满27岁 就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。比 如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如 何精确地判断这些方程呢？
• 他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校长 的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔
殒落的新星
• 1832年5月30日清晨，法国巴黎郊外进行了—场决 斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒下了。第 二天一早，他就匆匆离开了人间，死时还不到21 岁。死前这个青年沉痛地说： “请原谅我不是 为国牺牲。我是为一些微不足道的事而死的。”
2、交换群（阿贝尔群）： 群乘与群元的顺序无关 AB = BA
五、 群的实例（群元和群乘）
1, 数群: 以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群
例(1)：全部正负整数 ( 包括 0 ) 的集合，群乘为加法 E = 0， A = n, A -1= -n 这是离散的无限群、交换群
群论
（Group Theory）
群（Group）的概念开始于19世纪初叶。群论 （Group Theory）的早期发展归功于著名的数学家高斯 （Gauss）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）、哈密 顿（Hamilton）、伽罗瓦（Galois）等。但是直到1925年 出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。贝 特（Bethe）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论在 物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和光 谱。利用群论方法，可以直接对体系的许多性质作出定性 的了解，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发 展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论已 经成为不可缺少的工具。
站在巨人阿贝尔的肩膀上面
• 这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚 上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经 作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予 以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开 方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都 决不可能是一般五次方程的求根公式。
伽罗瓦向世纪难题发起了挑战
• 1828年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗瓦也向这 个数学难题发起了挑战。
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并
用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而 且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪 念他，人们称之为伽罗瓦理论。
正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学 的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数
学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数
学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数 学发展现代阶段的开始。
对称性
对称性分析
晶体结构
相似的物理性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
改变晶体的结构
提高材料的性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
参考书：
1、《群论及其在固体物理中的应用》 （徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）
2、《群论及其在物理学中的应用》 （谢希德、蒋平、陆奋 著）科学出版社
3、《物理学中的群论 》 （马中骐 编著，科学出版社）
第一章 群的基本知识
§1.1 群
一、 群的定义:
有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合{A, B, C,
D …}，其中有一个与次序有关的运算方法（群乘），具备下
列条件, 则构成群（G）。集合中的元素（A, B, C, D …）称为
群元 。
1, 封闭性,
AB = C （AA=D）
2, 结合律, A(BC) = (AB)C
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群论与对称性 群论是研究系统对称性质的数学工具。
物理学中的对称性和守恒定律
物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称 性质就可以推导出一种守恒定律：
①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）
动量守恒
②L在空间转动下对称 角动量守恒 ③L在时间平移下对称 能量守恒
④空间反演（ r r）对称 宇称守恒
4、《线性代数》
《群论及其在固体物理中的应用》
第一、二章：讨论有限群及其表示的基本数学理论； 第三、四章：讨论点群在分析晶体宏观性质中的应用； 第 五 章：讨论群论与量子力学的关系；
第六章：讨论空间群的不可约表示及其在能带理论中的应用； 第七、八章：介绍晶格动力学中的群论方法，色群及其表示理论。
第一部分 群论基础
不幸的挪威数学家阿贝尔
• 阿贝尔简介：
• （阿贝尔：Abel,1802—1829）任何一部数 学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大 的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大 的学者。……后人整理他的遗著花了150年。
代数学发展过程中：
• 三百多年弄不清楚的问题：五次及五次以上的 方程的公式解
• 法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类 的智慧挑战”。
⑤晶体平移对称性（平移晶格常数 的整数倍） Bloch定理 ⑥全同粒子交换对称性 玻色子，费米子 ⑦标度变换对称性 临界现象，非线性物理，生命起源……
对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用
今天，群论经常应用于物理领域。我们经常
用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出
在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理 方程联系在一起。
经常被老师斥为笨蛋
• 小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才 能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中 学后，还经常被老师斥为笨蛋。
• 伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学 校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他 对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直 很一般。
伽罗瓦遇到了数学教师里沙
• 在中学的第三年，伽罗瓦遇到了数学教师 里沙。里沙老师非常善于启发学生思维， 他把全部精力都倾注在学生身上，还常常 利用业余时间去大学听课，向学生传授新 知识。很快，伽罗瓦就对数学产生了极大 的兴趣。他在里沙老师的指导下，迅速学 完了学校的数学课程，自学了多名数学大 师的著作。
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
• 伽罗瓦恢复自由不到一个月，爱上了一个舞女，并 因此被迫与一个军官决斗。
• 决斗前夕,伽罗瓦预感到死亡即将来临，他匆忙将 数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己 的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。
他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一
个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，
• 他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成 论文，寄给法国巴黎科学院。
• 负责审查伽罗瓦论文的是柯西和泊松，他们都是当时 世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够 解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就 丢失了；
• 两年后，伽罗瓦再次将论文送交巴黎科学院。这次， 负责审查伽罗瓦论文的是傅立叶。不巧，也就是在这 一年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗瓦的论文 再一次给丢失了。
• 这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的奠基 人之一、历史上最年轻的著名数学家伽罗瓦。
• 1811年10月25日，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的 一个小镇上。
更加不幸的法国数学家伽罗瓦
• 伽罗瓦（1811.10.25—1832.5.30） 浪漫的法国人一直为他们早逝的、划时代的、
人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒霉的 数学家感到自责。……他留下了100页数学文稿， 被发展成一门艰深、应用广泛的学科----抽象代数 或称群论。
另外，晶体学中早期的Fra Baidu bibliotek于晶体的各种
结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的 研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同 的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）
通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料 的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看 可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以 获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。
• 1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程 根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念， 并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换 下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般 五次方程的代数方法可能不存在。
• 挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高 于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。
• 阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是， 由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物”， 他的发明创造竞没有引起数学界的重视。
2、 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 证： (A-1)-1 = (A-1)-1 E= (A-1)-1 （A-1 A )=[(A-1)-1 A-1 ]A=EA=A
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
群论历史
群论源于十九世纪初，起源于对代数方程的研究，它是 人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被公认为 十九世纪最杰出的数学成就之一。
群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年） 的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方 程问题。柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)， 阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论 的建立做了很多贡献。
= (AB)-1 (AB) B-1A-1 = EB-1A-1 = B-1A-1 ∴ (AB)-1 = B-1A-1
三、 群阶: 群元的数目（g）
有限群 h（g 为有限）
无限群 ∞
离散的无限群 （可数的无穷多）
连续群
（不可数的无穷多）
四, 可换群: ( Abel 阿贝尔群 )
1、 群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个 元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继 操作），也不一定满足交换律。