位移变分法与位移变分法应用于平面问题

u
V
V v
v

V w
w

u m Am m
u m Am
m


m
V V V Am Bm Cm Bm C m Am
(b)
显然，形变势能的变分也是只由Am、Bm、Cm的变分来实现！
2
u x
) (
2
v y
) (
2
w z
）
2
V V ( u , v , w )

1 w u 2 1 u w 2 1 v u 2 ( ) ( ) ( ) ] d xd yd z 2 y z 2 z x 2 x y
V

V u
B
m
m
vm
w w0
C
m
m
wm
(11-9)
u v w
Am、Bm、Cm为互不依赖的3m个待定位移系数； u0、v0、w0 为设定函数，在给定的边界上等于已知位移，即 um、vm、wm为在该边界上等于0的设定函数。 位移分量的变分： u
u
u0 v0 w0
s
s
s
A
m
m
um
1
内容回顾：基本方程
最小势能原理：在满足位移边界条件的所有各位移中，实际存在一组位
移应使总势能成为极值，即 (V V ) 0 。
V ( f x u f y v f z w )dxdydz ( f x u f y v f z w )dS 0
y

yx y zy z xz x

zx z xy x yz y
f x )u m dxdydz f y )v m dxdydz f z )w m dxdydz 0

m

m
[(
xy y zx x
Am V f y v m d xd yd z f y v m d S Bm V f z w m d xd yd z f z w m d S C m （ m 1, 2, 3, ） f x u m d xd yd z f xu m dS
?
u
m
m
Am
v
v
m
m
Bm
w
w
m
m
Cm
(a)
位移的变分只由Am、Bm、Cm的变分来实现，至于其他各个设定函数，仅随 坐标而变，与位移的变分无关。
5
2 里茨法
形变势能的变分：
V E 2 (1 )
[

1 2
(
u x

v y

w z
) (

zx z zy y
f x ) u (
y
y

yz z

xy x
f y ) v 0

(
(11-8)
12
f z ) w ] dxd yd z
3 伽辽金法
因为变分 Am， B m， C m 是完全任意的，且不相互依赖，所以上式中 的系数必须等于0，即：

( f
x
u m Am f y v m B m f z w m C m ) d S
7
2 里茨法
移项归并得：

m
V Am V Bm V C m

f x u m d xd yd z f y v m d xd yd z
）
2
1 w u 2 1 u w 2 1 v u 2 ( ) ( ) ( ) ] dxdydz 2 y z 2 z x 2 x y
(11-3)
9
2 里茨法
由于各个系数互不依赖，所以可由(11-10)方程求得各个系数，从而由(11-9)
求得位移，很多文献把这种方法称为——里茨法。
x
f y v f z w )dxdydz
( f u
x
f y v f z w )dS
(11-6)
得：

m
V V V Am Bm Cm Bm C m Am
x

( f
m m
u m Am f y v m B m f z w m C m ) dxdydz
8
2 里茨法
即：
Am V f y v m d xd yd z f y v m d S Bm V f z w m d xd yd z f z w m d S C m （ m 1, 2, 3, ） f x u m d xd yd z f xu m dS V
(11-10)
由形变势能的性质(见(11-3)式)可知， 是系数Am、Bm、Cm的二次函数，所 V
以(11-10)是各个系数Am、Bm、Cm的一次方程。
V E 2(1 )
[

1 2
(
u x

v y

w z
) (
2
u x
) (
2
v y
) (
2
w z
上式中的所有的应力分量用形变分量来表示。
13
3 伽辽金法
将上式中的应力分量通过物理方程(8-20)，用形变分量表示为
x 2G x y 2G y z 2G z
其中：
E (1 )(1 2 )
xy G xy yz G yz zx G zx
V
( f
x
u f y v f z w )dxdydz
( f x u f y v f z w )dS

f x u m d xd yd z

系数Am、Bm、Cm的 一次线性方程组
求出Am、Bm、Cm。
11
3伽辽金法
同样选择(11-9)中的位移函数，使其满足位移边界和应力边界。
u u 0 Am u m
m
v v0 Bm vm
m
w w0
C
m
m
wm
(11-9)
将位移变分(a)式代入伽辽金变分方程(11-8)得：

m
Am ( B m ( C m (
x x z z
x x y z z
(2)令这组位移分量表达式满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程； (3)最后求出待定系数，便可得出实际的位移表达式。
3
§11-3 位移变分法
林国昌
2011-10-31
哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所
1 位移分量函数的设定
试取位移分量的表达式：
u u 0 Am u m
m
v v0

这是物理方程的又一种形式， 和G是拉梅常数（材料常数）。
14
附 空间物理方程的第二种形式

x

1 E 1 E 1 E
[ [ [
x
( (
y
z )] x )]


xy
1 G 1

xy
y
y
z

yz
G
1 G
(2-13)
yz zx
z
( z
y )] x

zx

由：体应变 x y z
( x y z )
1 2 E E
( x y z )
1 2

1 E [(1 ) x ( x y z )]
( ( (
x x y z z
y

yx y zy z xz x

zx z xy x yz y
f x )u m dxdydz 0 f y )v m dxdydz 0 f z )w m dxdydz 0
6
2 里茨法
将(a)和(b)代入位移变分方程(11-6)中：
u
u
m
m
Am
v
v
m
m
Bm
w
w
m
m
Cm
(a) (b)
V

m
V V V Am Bm Cm Bm C m Am
V
( f u
表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移使总势能的变分为0。 伽辽金变分方程：当位移分量满足位移边界及应力边界条件时，位移变 分所应满足的方程。
[( x x z z xy y zx x zx z zy y f x ) u ( y
程中，外力在虚位移上所做的虚功 等于 应力在相应虚应变上所做的虚功。
( f u
x
f y v f z w )dxdydz
( f
x
u f y v f z w )dS
(11-7)
xy

(
x
x y y z z yz yz zx zx xy )dxdydz
B
m
m
m
m
vm
wm
Leabharlann Baiduw
Cm

C
v
m m
m
位移变分 形变势能变分
代入
u
V
u
m
m
m
Am
v
V
Bm
V C m
w
m
m
Cm
A

V
Am
m
Bm
Bm
位移变分方程
f xu m dS V f y v m d xd yd z f y v m d S Bm V f z w m d xd yd z f z w m d S C m （ m 1, 2, 3, ） Am V
y

yz z

xy x
f y ) v 0

(
(11-8)
f z ) w ] dxd yd z
2
内容回顾：基本方程
说明：四种变分方程都是同一方程的不同表现形式，其本质是相同的，
都是能量守恒原理在平衡体系上的应用。
位移只满足： 位移变分方程
V

( f
x
u f y v f z w )dxdydz
f y v f z w ) dS
① 位移边界条件 等价
( f u
x
① 用位移表示的平衡微分方程； ② 用位移表示的应力边界条件。 求解弹性力学问题的新方法：位移变分法
(1)假设一组位移分量表达式，表达式中含有若干待定系数；

f x u m d S Am f y v m d S B m f z w m d S C m 0

m

m
f z w m d xd yd z
(m=1、2、3……) 因为变分 Am， B m， C m 是完全任意的，且不相互依赖，所以上式中 的系数必须等于0。
内容回顾：基本方程
位移变分方程：在实际平衡状态发生位移变分时，所引起的形变势能的变分
等于外力功的变分。
V
( f u
x
f y v f z w )dxdydz
( f u
x
f y v f z w )dS
(11-6)
虚功方程：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，则在虚位移过

x

1 E
[
( x
z )] y
x
x
E
1 1 2
u u 0 Am u m
m
V
Am
Bm
(11-10)
Cm
一次线性方程
v v0
B
m
m
vm
w w0
C
m
m
wm
(11-9)
10
2 里茨法
位移边界条件 由待定系数Am 、 Bm、Cm的变分来 实现。 构造位移函数
u u 0 Am u m
v v0
w w0