华师一附中2020年自主招生(分配生)数学试题(word版附答案)
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华中师大一附中2020年自主招生(分配生)
数学试题
考试时间:90分钟卷面满分:100分
说明:所有答案一律书写在答题卡上,写在试卷上作答无效,其中,将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的)
1.在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示,有下列四个结论:
①a2﹣a﹣2<0;②|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|;③(a+b)(b+c)(c+a)>0;
④|a|<1﹣bc.其中正确的结论有()个
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知a,b,c分别是Rt△ABC的三条边长,c为斜边长,∠C=90°,我们把关于x的形如y=x+的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(﹣1,)在“勾股一次函数”的图象上,且Rt△ABC的面积是4,则c的值是()
A.2B.24 C.2D.12
3.5G时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如图统计图:
根据该统计图,下列说法错误的是()
A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多
B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
4.已知函数y=x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1,最小值是﹣,则m的取值范围是()
A.m≥﹣2 B.0≤m≤C.﹣2≤m≤﹣D.m≤﹣
5.如图,△AOB中,∠AOB=90°,AO=4,BO=8,△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处,此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点,则线段B'E的长度为()
A.3B.C.D.
第5题图第6题图
6.如图1,在矩形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C方向运动,当点M到达点C时停止运动,过点M作MN⊥AM交CD于点N,设点M的运动路程为x,CN=y,图2表示的是y与x的函数关系的大致图象,则矩形ABCD的面积是()
A.24 B.20 C.12 D.10
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7.2020年某校将迎来70周年校庆,学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会,并随机地从中抽取2位老师主持晚会,则最后确定的主持人是一男一女的概率为________.
8.在△ABC中,AB=AC,若cosA=,则=________.
9.如图1是个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏,两两相扣,相互不留空隙,那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是________.(结果用m,n表示)
10.如图,以正六边形ABCDEF的对角线BD为边,向右作等边三角形BDG,若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6,则五边形ABDEF的面积为________.
第10题图第11题图第12题图
11.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,点E、F分别是边AB、BC边上的动点,沿EF折叠△BEF,使点B的对应点B′始终落在边CD上,则A、E两点之间的最大距离为________.
12.如图,点A 是反比例函数y =k
x 的图象上位于第一象限的点,点B 在x 轴的正半轴上,
过点B 作BC ⊥x 轴,与线段OA 的延长线交于点C ,与反比例函数的图象交于点D ,若直线AD 垂直OC ,且使得AC=2OA ,则sinC =________.
三、解答题(本大题共4小题,共52分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13.(本小题满分12分)(1)已知关于x 的方程x 2﹣(2k ﹣1)x+k 2=0有两个实根x 1,x 2,且满足x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|=2,求实数k 的值;
(2)已知a <b <0,且+=6,求()3
的值.
14.(本小题满分14分)如图,在ABC ∆中,BA BC =,90ABC ∠=︒,以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ,点E 是弧BD 上不与点B ,D 重合的任意一点,连接AE 交BD 于点F ,连接
BE 并延长交AC 于点G .
(1)求证:ADF BDG ∆≅∆;
(2)取弧AE 的中点H ,若四边形OBEH 为菱形,求EAB ∠的大小;
(3)若4AB =,且点E 是弧BD 上靠近点B 的一个三等分点,求线段DG 的长.
15.(本小题满分12分)习总书记强调,实行垃圾分类,关系广大人民群众生活环境,关系节约使用资源,也是社会文明水平的一个重要体现.为改善城市生态环境,某市决定从6月1日起,在全市实行生活垃圾分类处理,某街道计划建造垃圾初级处理点20个,解决垃圾投放问题.有A、B两种类型垃圾处理点,其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表:类型占地面积可供使用幢数造价(万元)
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2,如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量,才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求,且使得建造方案最省钱?
(2)当建造方案最省钱时,经测算,该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数
关系可以近似的表示为:y=,若每个B型处理点的垃
圾月处理量是A型处理点的1.2倍,该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时,才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低?(精确到0.1)
16.(本小题满分14分)如图①,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点
A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,),点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求a,c的值;
(2)求线段DE的长度;
(3)如图②,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少?