高中数学北师大版必修4《平面向量的基本定理》word导学案
北师大版数学高一-必修4学案 2.3平面向量基本定理
3.2 平面向量基本定理问题导学1．用基底表示向量活动与探究1 如图所示，在ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →．迁移与应用设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．用基底表示向量的方法技巧(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算； (2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化； (3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等； (4)充分利用首尾相接的各向量之和为0； (5)注意a ，b 不共线，则0＝0·a ＋0·b 是唯一的；(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解． 2．平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ；BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2)证明：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分．迁移与应用如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b ．(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．利用平面向量基本定理解决几何问题：(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等． 当堂检测1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( )．A ．3B ．－3C ．0D ．22．已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )． A ．b ＋12a B ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列向量表达式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0． 其中正确的序号为________．5．已知O 是直线AB 外一点，存在实数x ，y 使得OC →＝xOA →＋yOB →，且x ＋y ＝1．求证：A ，B ，C 三点共线．课前预习导学 【预习导引】 a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流2 提示：可能不同．预习交流3 B 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 于是有⎩⎨⎧ c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d ).即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．迁移与应用 解：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →) ＝13a ＋13b .活动与探究2 解：(1)如题图， ∵OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )，∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )． 同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c )．(2)设线段EL 的中点为P 1， 则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )． 设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )．∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→.即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分． 迁移与应用(1)解：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE →，BF →有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线． 【当堂检测】 1．A 2．B 3．A 4．①②③④5．证明：由x ＋y ＝1，OC →＝xOA →＋yOB →， 得OC →＝xOA →＋(1－x )OB →，所以OC →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BC →＝xBA →. 所以A ，B ，C 三点共线．。
高中数学必修四导学案-平面向量基本定理
2. 3.1 平面向量基本定理教学目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.四、课堂练习：见教材五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、教学反思2.3.1平面向量的基本定理课前预习学案一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.二、预习内容（一）复习回顾1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向 ；λ<0时λa 与a 方向 ；λ=0时λa =2．运算定律 结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b )= .3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .(二)阅读教材,提出疑惑:如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?课内探究学案一、学习目标 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点：1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用二、学习过程（一）定理探究：平面向量基本定理： 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）例题讲解 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例2、如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4（1）如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ，OB 表示OP .（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.（三）反思总结课后练习与提高1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知向量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).。
高中数学 第二章 平面向量 3 第2课时 平面向量基本定理教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4
第2课时平面向量基本定理[核心必知]平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[问题思考]1．零向量可以作为基底的一个向量吗？提示：不能．因为零向量与任何向量都是共线向量．2．平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．3．为什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共线？提示：假设e1∥e2，那么e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1故a∥e1，即用e1，e2只能表示与之共线的向量．讲一讲1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ∈R，那么以下说法中不．正确的选项是( )①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③平面α内的任意一个向量a都可以分解为a＝λe1＋μe2的形式，且这种分解是唯一的；④假设λe1＝μe2，那么λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②[尝试解答] 由平面向量基本定理知，①，③正确；对于④，假设λe1＝μe2，那么0＝λe1＋(－μ)e2，因为e1，e2不共线，所以必有λ＝μ＝0，④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．[答案] D1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一组基底中的两向量不共线；②平面内的任意向量a都可在给出的基底下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一确定的一对实数．2．解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念．练一练1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：选B ∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．2．设e 1，e 2是平面α内的两个不共线的向量，a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )，有以下结论： ①假设a 与e 1共线，那么λ＝0； ②假设a 与e 2共线，那么λ＝0； ③假设a ＝0，那么λ＝μ＝0.以上结论正确的选项是________(填序号)．解析：假设a 与e 1共线，那么a ＝λe 1＝λe 1＋0×e 2，∴μ＝0，故①不正确，②正确；假设a ＝0，那么λe 1＋μe 2＝0， ∴λ＝μ＝0，故③正确． 答案：②③讲一讲2．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，＝d ，试用c ，d 表示.将②代入①得a ＝d －12(c －12a )．∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入②得b ＝c －12×23(2d －c )＝23(2c －d )．利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识和向量共线定理及平面向量基本定理解决．练一练3. 如图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，假设＝b ，试以a ，b 为基底表示.＝－13(a ＋b )．讲一讲3．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB边上的中点．试用向量法证明：AD、BE、CF交于一点．1．利用向量证明几何问题是其工具性的表达．操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底．2．就此题而言，充分利用三点共线和基底表示向量的唯一性来构建方程(组)求解，是解决此类问题的关键所在．练一练4．O ，A ，B ，P 是平面内的四点，且O ，A ，B 三点不共线，假设(λ，μ∈R )，试求当λ，μ满足什么条件时，A ，B ，P 三点共线．解：由向量共线定理知，假设A ，B ，P 三点共线，那么存在唯一由平面向量基本定理可知λ，μ唯一．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－t ，μ＝t ，∴λ＋μ＝1.故当λ＋μ＝1时，A ，B ，P 三点共线.e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，那么a 与b 共线的条件为( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0[错解] 假设λ＝0，那么a ＝e 1，又b ＝2e 1， ∴a ＝12b ，∴a 与b 共线，应选A.[错因] 错解之处在于考虑问题不全面，在应用平面向量基本定理时要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件，假设没有指明，应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．[正解] 假设e 1∥e 2时，∵e 1≠0，∴e 2＝t e 1(t ∈R )．∴a ＝e 1＋λe 2＝(1＋λt )e 1＝1＋λt2b ，∴a 与b 共线，假设e 1与e 2不共线，要使a 与b 共线，那么a ＝t b (t ∈R )， 即e 1＋λe 2＝2t e 1，亦即(1－2t )e 1＋λe 2＝0，∴λ＝0. [答案] D1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，以下向量组：，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B ①③中两向量不共线，由基底的定义知，可以作为基底． 2．以下结论中正确的选项是( ) ①a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使a ＝λb②a ∥b ⇔存在不全为零的实数λ1和λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0 ③a 与b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝0⇔λ1＝λ2＝0 ④a 与b 不共线⇔不存在实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选B 对于①，假设b ＝0，那么a ∥b ，但当a ＝0时，使a ＝λb 成立的λ有无数个，所以①不正确；根据向量共线的判定及性质定理知②正确；根据平面向量基本定理知③正确，④不正确，因为a ，b 不共线时，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a ＋λ2b ＝0.3. 如图，在矩形ABCD 中，假设＝5e 1，＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)4．向量i ，j 不共线，实数λ，μ满足等式3λi ＋(10－μ)j ＝2λi ＋(4μ＋7)j ，那么λ的值为________，μ的值为________．解析：由3λi ＋(10－μ)j ＝2λi ＋(4μ＋7)j 得λi ＋(3－5μ)j ＝0.∵i ，j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0，3－5μ＝0，得λ＝0，μ＝35.答案： 0 355．假设a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1－12e 2，那么向量a 写为λb ＋μc 的形式是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1－12e 2得，⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝2e 1＋e 2，－c 3＝e 1＋4e 2.∴－b 2－c 3＝－e 1＋3e 2＝a ，即a ＝－12b －13c .答案： －12b －13c一、选择题1．e 1，e 2是不共线向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ等于( ) A ．－1 B ．0 C ．－12D ．－2解析：选D 当a ∥b 时，a ＝t b (t ∈R )，那么 2e 1＋e 2＝t (λe 1－e 2)，即(2－t λ)e 1＋(1＋t )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－tλ＝0，1＋t ＝0，得λ＝－2.2．a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，假设A 、B 、C 三点共线，那么λ，μ满足的条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝13．在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，假设，那么λ＋μ的值为( )A.12B.23C．－12D．－234．设起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点分别为A，B，C，那么( )A．A，B，C是一个三角形的三个顶点B．A，B，C三点共线二、填空题5．如图，每个小正方形方格的长度为单位1，以向量e1，e2作为基底，那么a－b＝________．解析：a －b ＝＝2e 2－e 1. 答案：2e 2－e 16．e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为表示平面内所有向量的一组基底，那么实数λ的取值X 围是________．解析：假设a ∥b ，那么λ＝4，故a ，b 能作为基底的条件为λ≠4.答案：{λ|λ∈R 且λ≠4}7. 如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，假设＋，那么λ＝________.∴λ＝23. 答案：238．△ABC 中，，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，假设＝ (x ，y ∈R )，那么x ＋y ＝________解析：如图，∵DE ∥BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 14－λ＝x ，λ＝y ，得x ＋y ＝14. 答案：14三、解答题9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：设a ＝λb (λ∈R )，那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23， ∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1， ∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3.⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ、μ的值分别为3和1.10．在平面上给定一个△ABC ，试推断平面上是否存在这样的点P ，使线段AP 的中点为M ，BM 的中点为N ，的中点为P ？假设存在，这样的点P 有几个；假设不存在，说明理由．解：假设存在符合要求的点P ，如下图，∵M 是AP 的中点，∵N 是BM 的中点，由平行四边形法那么，。
北师大版数学4(必修)第二章 《平面向量基本定理》优质课教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
练习：。
高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
高中数学 第二单元 平面向量 2.2.1 平面向量基本定理
2.2.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3 若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么该平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝________.(2)基底把________向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.知识点二直线的向量参数方程式思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理 (1)直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上________一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝____________，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有________的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝________叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称________. (2)线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝________，这是线段AB 的中点的向量表达式.类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.②反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练 1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2类型二 平面向量基本定理的应用例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③2.如图，已知A B →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A.a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.答案精析问题导学 知识点一思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．思考3 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 梳理 (1)不平行 任一 a 1e 1＋a 2e 2 (2)不共线 知识点二思考1 若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 利用直线的向量参数方程可证明三点共线． 梳理 (1)任意 (1－t )OA →＋tOB →唯一 (1－t )OA →＋tOB →参数 (2)12(OA →＋OB →) 题型探究 例1 B 跟踪训练1 D例2 解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究解 取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b . 又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC → ＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 跟踪训练2 OP →＝15a ＋25b .当堂训练1．C 2.B 3.－15 －12 4.a ＋b 2a ＋c5．解 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形． 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD → ＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE → ＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .。
北师版数学高一北师大版必修4学案 2.3.2 平面向量基本定理
3．2 平面向量基本定理明目标、知重点 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？ 探究点一 平面向量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观察，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a 的表示式不相同． 不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何知识．要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二 平面向量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． 答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ， 过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →， ∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对 答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有无数对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________. 答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)． 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、能力提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.打印版高中数学 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。
当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。
对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。
高中数学必修四(北师大版)第二章学案 平面向量基本定理
ADBCEF430【导学案】 平面向量基本定理班级 姓名 组号 编写人：金晓青 审核人：王松涛【学习目标】1、了解平面向量基本定理及意义；2、会用任意一组基底表示指定的向量；3、能应用平面向量基本定理解决一些实际问题。
【学习重点】平面向量基本定理【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用【知识链接】1、、向量的加法运算（平行四边形法则） 2、数乘向量a λ的意义3、向量共线的性质定理 【学习过程】一、预习自学（自主阅读课本85—86页的内容，完成下列问题）问题1：什么叫做基底？问题2：平面向量基本定理是什么？二、合作探究（深化理解） 探究一：画出两个不共线的向量→1e ，→2e ，试作出下列向量 （1）→1e +→2e （2）→1e +2→2e （3）→1e -2→2e ？探究二：如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F分别是BC 、DC 的中点，,AB a AD b ==用向量→→ba ,表示BF DE 和。
探究三：若将探究二中的“E 、F 分别是BC 和DC 的中点”，改为CF=CD 31,CE=CB 31，其余条件不变，试用向量→→b a ,表示BF DE 和。
ABCD探究四：如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，=a,,AB AC b = （1）试用→→b a ,表示AD ； （2）若点G 是ABC ∆的重心，能否用→→b a ,表示AG ； （3）若点G 是ABC ∆的重心，那么?GA GB GC ++=三、达标检测1、课本86页练习第2题2、课本87页习题A 组第6题3、课本87页习题A 组第7题。
【新导学案】高中数学人教版必修四：231《平面向量的基本定理》.doc
2. 3. 1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】1、知道平面向量基木定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重占聊占】1.教車重兀平面向量基本定理2.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】：通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺梨.【知识链接】（一）复习回顾1.实数与向量的积：实数入与向量刁的积是一个向量，记作：x a（1）| _________ 5 |= ；____________________________ （2）入＞0时入方与方方向 ___ ；入＜0时入力与力方向；入=0时入2.运算定律结合律：入（卩方）= ______ ；分配律：（入+p）N= _____ , ^（a+b）= _________ .3•向量共线定理向量方与非零向量万共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入, 使 .（二）阅读教材，提出疑惑：如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量？【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：____________________________________________________________________ 探究：⑴ 我们把不共线向量6、°叫做一表示这一平面内所有向量的______________________ ；（2）_______________________ 基底不惟一，关键是；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e】、£.2的条件下进行分解；⑷ 基底给定时，分解形式_________ .即X,入2是被石唯一确定的数量（二）例•题讲解■ • - » •例1己知向量引，e2求作向量2.5勺+3e2 .例2、如图占B0的两条对角线交于点M,且AB=a. AD=b ,用万，方表示胚4, MB ,D C例3己知AB£p的两条对角线AC与BD交于E, O是任意一点，求证:OA + OB-^OC + OD=4OE例4 （1）如图，OA, 0B 不共线，AP=xAB（t 04,方表示0?.（2）设刃、西不共线，.点P在O、A、B所在的平面内，且OP = （l-t）OA + tOB（te R）.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e r3e2f b= 2ei+3e2,其中引，血不共线,向量c=2e l-9e2f问是否存在这样的实数2、"，使2 =航+加与c共线.【学习反思】【拓展提升】1.设°、02是同一平面内的两个向量，则有（）A.®、02—定平行B©、02的模相等C.同一平面内的任一向量a都有。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
北师大版高中数学必修四教学案平面向量基本定理
练2.若 ，且 ，且 ，求 与 的夹角.
三巩固练习
1.设 是平行四边形 两对角线 与 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）
① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与
A.①②B.③④C.①③D.①④
2.已知向量 、 不共线，实数 、 满足 ，则 的值等于（）
2.设 、 不共线，点 在 、 、 所在的平面内，且 ，求证： 、 、 三点共线.
A. B. C. D.
3.若 、 、 为平面上三点， 为线段 的中点，则（）
A. B.
C. D.
4.若 、 不共线，且 ，则 ， .
5.已知两向量 、 不共线， ， ，若 与 共线，则实数 =.
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知向量 ， ，其中 、 不共线，向量 ，问是否存在这样的实数 、 ，使 与 共线？
3.平面向量基本定理：
4 在不共线的两个向量中， ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力 和对斜面的压力 .
二师生互动
例1已知梯形 中， ，且 ， 、 分别是 、 的中点，设 ，
试用 为基底表示 、 .
例2已知 是坐标原点，点 在第一象限， ， ，求向量 的坐标.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
平面向量基本定理
授课时间
撰写人
时间
学习重点
平面向量基本定理；
学习难点
平面向量基本定理的应用
学习目标
1.掌握平面向量基本定理；
2.了解平面向量基本定理的意义；
高中数学 第二章 平面向量 3.2 平面向量基本定理学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案
3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解 由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB→＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三 平面向量基本定理的应用【例3】 如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a )＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】 设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明 设a ＝λb (λ∈R )， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解 设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14b D.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析 如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 如图，MN →＝CN →－CM → ＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析 由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底． 答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形． 答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析 若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案 不共线 不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________． 解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c .(2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 131－m ＝n ，121－n ＝m ⇒n ＝15，m ＝25， ∴OP →＝15a ＋25b . 13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG GE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
陕西省西安市田家炳中学高中数学北师大版必修四平面向量基本定理学案
研卷知古今；藏书教子孙。
3.2平面向量基本定理【教学目标】1掌握平面向量基本定；2.了解平面向量基本定理的意义；【重点、难点】重点： 平面向量基本定理难点： 平面向量基本定理的应用【学法指导】1借助课本、资料独立完成。
画出疑难，组内合作探究。
2组内解决不了的问题由课代表汇总课前交任课老师。
一、自主学习1 给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e +、122e e -.2，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量a 都可以表示成1122e e λλ+.3.平面向量基本定理：4在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力1F 和对斜面的压力2F .二 新知探究例1 已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，AB b =试用,a b 为基底表示DC 、BC .例2设1e ,2e 是两个不共线向量，已知−→−AB =21e +k 2e , −→−CB =1e +32e , −→−CD =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值.解：例3 如图，在△ABC 中，−→−AB =a , −→−BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG三 巩 固 练 习1. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ）①AD 与AB ②DA 与BC ③CA 与DC ④OD 与OBA.①②B.③④C.①③D.①④2. 已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y e x y e e e -+-=+，则x y -的值等于（ ）A.3B.3-C.0D.23. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中点，则（ ）A.OC OA OB =+B.()12OC OA OB =+ C.2AB OC = D.()12OC OA OB =- 4. 若a 、b 不共线，且()0,a b R λμλμ+=∈，则λ= ，μ= . 5. 已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+，1232b e e λ=-，若a 与b 共线，则实数λ= ..5 已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e 、2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ、μ，使d a b λμ=+与c 共线？6. 设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且()()1OP t OA tOB t R =-+∈，求证：A 、B 、P 三点共线.四、归纳小结：通过这节课的学习。
高级中学高中数学(北师大版)必修四2.3.2平面向量基本定理教案word版
信息技术应用分析
知识点 课程导 入 学习目标 情感、态度与价值观 媒体内容与形式 PPT 使用方式 教师播放 媒体 来源 制作
创设情 境，揭 示课题 归纳出 公式 课堂练 习
知识与技能 过程与方法 知识与技能 过程与方法 知识与技能 过程与方法
电子白板 （时钟计时器） 电子白板 （特效交互功能） 电子白板 （特效交互功 能、钢笔）
②向量 DA 与向量 BC 是什么关系？说明理由。
作业布 置定理探究 板书设 平面向量基本定理的内容 计 例 1：解题过程
例 2：解题过程 知识点归纳
要注重数形结合思想的培养.在做和向量有关的计算题时，可以动 手画出一个或几个向量，并找出它们之间的关系，比如平行，或者构 成一定的夹角，这些用图形表示出来会更直观。当然教师需要给学生 教学反 引导， 特别是说到基底问题时， 很多学生总是把他和单位向量分不开。 思 要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想. 在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来 进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识 解题，所以很难找到思路。
教师演示
教师 制作 教师 制作 教师 制作
教师演示
学生操作
师生活动 1、情境引入
设计意图
批 注
教 学 活 动 设 计
从最简单 的问题入 已知平面内一向量 a 是该平面内两个不共线向量 手，以提高 学生学习 b ， c 的和， 怎样表达？ 的积极性。 问题 1： 学生已经 如果向量 b 与 e1 共线、c 与 e2 共线， 上面的表达式 学习过共 发生什么变化？ 线向量定 理，运用共 根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式： 线 向 量 定 理解决这 a = 1 e1 2 e2 里的问题 引入课题：平面向量基本定理 应该不难。 问题 2： 在教学中， 对平面向量基本定理的理解，我们应注意些什 应 基 于 学 么？ 生的知识 2、探究定理 生长点。 注意： （1） e1 , e2 是不共线的； （为什么？） 让同桌之 间相互讨 底； 论，经过讨 论后，提问 （3）向量 a 是任意的，但一经确定后， 1 , 2 是唯 不同的学 一的； 生，给出评 （4）基底具有不唯一性。 价，让学生 （5）对这一式子： 们自己归 纳出理解 a = 1 e1 2 e2 称为用 e1 , e2 线性表示 a 。 平面向量 3、例题讲解 理时应注 意的问题。 （2） e1 , e2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基
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2015高中数学北师大版必修4《平面向量的基本定理》w o r d导学
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4课时平面向量的基本定理
1.掌握平面向量的基本定理及其意义,理解基底的含义,会运用基底表示任意向量.
2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题.
3.通过对平面向量基本定理的运用,增强学生向量的应用意识,让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一.
北京时间2007年10月24日18时05分左右,嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火箭成功发射.卫星发射后,将有8天至9天时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段飞行.经过8次变轨后,于11月7日正式进入工作轨道.11月18日卫星转为对月定向姿态,11月20日开始传回探测数据.
假设火箭在飞行过程沿仰角为α的方向起飞时的速度大小为v,在某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平方向的两个速度.
问题1:向量共线定理:
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个,
使.
问题2:如图,已知向量e1、e2是平面内的两个不共线的向量,a是平面内任一向量,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a,过点C分别作平行于OB,OA 的直线,交直线OA于点M,交直线OB于点N,则实数λ1,λ2,使得
=λ
1e
1
,=λ2e2.因为=+,所以a=.
问题3:平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
问题4:平面向量的基底
(1)只有不共线的两个向量e1,e2才能当基底,在同一个向量平面内的基底,有无穷多组,即可选择不同的基底来表示这个向量在平面内的同一向量.
(2)选定基底后,这个平面内的任何向量都可以用这组基底来表示,并且
a=λ
1e
1
+λ
2
e
2
中的实数对(λ1,λ2)是确定的.
(3)若向量e1,e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2,b=λ1'e1+λ2'e2,如果a=b,那么
(4)e1,e2是一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则==.
1.设e1,e2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是().
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
2.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于().
A.-+
B.--
C.-
D.+
3.如图,已知M、N分别是矩形ABCD的边BC、CD的三等分点,MN与AC相交于点G,若=a,=b,则=.
4.如图,▱ABCD的两条对角线交于点M,且=a,=b,用a,b表示,,和
.
平面向量的几何表示
如图,设BO是△ABC中AC边上的中线,=a,=b,试用a、b表示、.
向量共线的性质定理的应用
已知△OAB,若=x+y,且点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?
平面向量基本定理的综合应用
已知A、B、C三点共线,且=,用表示.
如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,设=a,=b,试以a、b为基底表示、、.
如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,求实数m的值.
已知向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3,问:a能否表示成
a=λb+μc的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由.
1.已知a、b不共线,=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,下列说法错误的是().
A.、可以作为一组基底
B.、可以作为一组基底
C.、可以作为一组基底
D.、可以作为一组基底
2.设O为▱ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于().
A.B.C.D.
3.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=a+ b.
4.如图,已知=3a,=3b,若C,D是AB的三等分点,求,.
(2010年·全国Ⅱ卷)△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若
=a,=b,|a|=1,|b|=2,则等于().
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
考题变式(我来改编):
答案
第4课时平面向量的基本定理
知识体系梳理
问题1:非零实数λb=λa
问题2:有且只有一对λ1e1+λ2e2
问题3:不共线唯一
问题4:(1)不唯一(2)唯一(3)λ1'λ2'(4)λ1λ20
基础学习交流
1.B在B中,3e1-2e2=-(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,故不能作为基底.
2.A=+=-+.
3.(a+b)连接BD交AC交于点O,
∵M、N分别是边BC、CD的三等分点,
∴MN∥BD,且=,
∴==,可知=,
又=+=a+b,∴=(a+b).
4.解:在▱ABCD中,=+=a+b,
=-=a-b,
所以=-=-(a+b)=-a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
=-=-=-a+b.
重点难点探究
探究一:
【解析】(法一)由=-=b-a.
如图,作▱ABCD,则=+=a+b.
∵点O是AC的中点,
∴与共线,且||=||,
∴==(a+b).
(法二)如图,=-=b-a.
∵BO是△ABC边AC上的中线,
∴=,又=+=2,
∴==(b-a).
=+=a+(b-a)=a+b-a=(a+b).
【小结】在用基底向量表示其他向量时,要充分利用图形中的三角形,找到所求向量与基底向量的关系,共线向量可根据方向及模的比值来确定实数λ.
探究二:【解析】由=x+y,且点P在直线AB上,知存在实数λ使得=λ=λ(-),而=-,故=(1-λ)+λ.
在△OAB中,,不共线,所以x=1-λ,y=λ,故有x+y=(1-λ)+λ=1.
【小结】如果A,B,C三点共线,点O在直线外,则有=λ+μ,其中λ+μ=1.反之也成立,这一结论应记住并灵活运用.
探究三:【解析】由已知A、B、C三点共线,且=,
∴==,∴AB=BC,∴=.
[问题]B、C两点一定在点A的同侧吗?
[结论]B、C两点不一定在点A的同侧,还可能在点A的异侧.
于是,正确解答如下:
(1)当B、C两点在点A的同侧时,如图,
有==,∴AB=BC,
又∵与同向,
∴=.
(2)当B、C两点在点A的异侧时,如图,
有==,∴AB=BC,
又∵与反向,∴=-.
综上所述,当B、C两点在点A的同侧时,=;当B、C两点在点A的异侧时,=-.
思维拓展应用
应用一:连接DN,∵DC∥AB,AB=2CD,
M、N分别是DC、AB的中点,
∴DC=NB,
∴四边形DCBN为平行四边形,
∴===b,
==-=a-b,
=-=--
=-(a-b)-×b=b-a.
应用二:由图可知=m+μ=m+,所以=,所以μ=.又B,P,N三点共线,所以m+μ=m+=1,即m=.
应用三:假设a=λb+μc,将a、b、c代入a=λb+μc中得,-
e 1+3e
2
+2e
3
=(4λ-3μ)e
1
-(6λ-12μ)e
2
+(2λ+11μ)e
3
, 则解得
即能,且a=-b+c.
基础智能检测
1.A∵=+=-2a+8b+(3a-3b)=a+5b=,∴、不可以作为一组基底.
2.B2e1-3e2=(4e1-6e2)=(-)=(-)==.
3.-由题意得,设e1+e2=ma+nb.
又∵a=e1+2e2,b=-e1+e2,
∴e
1+e
2
=m(e
1
+2e
2
)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.
由平面向量基本定理得, 所以4.解:∵C,D是AB的三等分点,
∴====(-)=(3b-3a)=b-a.∴=+=3a+b-a=2a+b;
=+=3a+2=3a+2b-2a=a+2b.
全新视角拓展
B因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得,==,所以D为AB的三等分
点,且==(-),所以=+=+=a+b,故选B.
思维导图构建
不共线唯一的a=λ1e1+λ2e2
11。