第13章三角形中的边角关系命题与证明总复习

考点一：数三角形的个数
例1 图中三角形的个数是（ B ） A．8 B．9 C．10 D．11
考点二：三角形三边关系
例2 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，
能组成三角形的是( C)
A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10
例3：下列各组条件中，不能组成三角形的是( C )
注意： 1：三边关系的依据是：两点之间线段是短 2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小
的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形. 3:三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
3．三角形的高、中线、角平分线、
(1 )三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对
3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4:三角形的外角和为360°。
考点四：三角形内角和定理及其推论：
例1
△ABC中，∠B=
1 3
∠A=
14∠C，求
△ABC的三个内角度数.
解：设∠B=xº，则∠A=3xº，∠C=4xº，
从而:x+3x+4x=180º，
解得x=22.5º．
即：∠B=22.5º，∠A=67.5º，∠C=90º．
3．三角形的高、中线、角平分线、
(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：
A
① AD是△ABC的BC上的中线.
② BD=DC=½BC.
注意：
B
D
C
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
3．三角形的高、中线、角平分线、
(3)三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与
它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。
A
表示法：
① AD是△ABC的∠BAC的平分线.
12
② ∠1=∠2=½∠BAC.
B
D
C
注意：
①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
O 1
图1
2 C
例3如图，在△ABC中， ∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于点 D，求∠ABD的度数。
答案∠ABD=30°
例4如图，AC∥BD，AE平分∠BAC 交BD于点E，若∠1=64°，则 ∠2= .
4．三角形的分类：
1：按边分类
不等边三角形
三角形
等腰三角形
腰与底不相等的等腰三角形 腰与底相等的等边三角形
2：按角分类
直角三角形
三角形
斜三角形
锐角三角形 钝角三角形
5． 对“定义”的理解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。
注意：明确界定某个对象有两种形式： ①揭示对象的特征性质 例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ② 明确对象的范围 例如：整数和分数统称为有理数
明”。
（6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上
添画的线段或直线。
8．三角形的内角和定理：三角形的 内角和等于180°．
（1）从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180º (2) 从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180º
(3) 由推理证明可知：∠A+∠B+∠C=180º
证明三角形内角和定理的方法
添加辅助线思路：1、构造平角
A
B
图1
D
E
12
C DB
A
E
1
2
CB 图2
A
F E
12
D
C
图3
添加辅助线思路:2、构
造同旁内角
E
A
E
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A
F
12 3 4
B
C
B
D
C
图1
图2
9．三角形的外角
三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三角形的外角.
三角形的外角与内角的关系：
1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线
表段示．法：① AD是△ABC的BC上的高线.
A
② AD⊥BC于D.
③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：
B
DC
① 三角形的高是线段；
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；
直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
第13章三角形中的边角关 系、命题与证明
总复习
1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成 的图形叫做三角形．
注意： 1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺
次相接； 2:三角形是一个封闭的图形； 3:△ABC是三角形ABC的符号标记，单独
的△没有意义
2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.
A. a+1、a+2、a+3 (a>3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a>1)
考点三：三角形的三线
例4：下列说法错误的是（ B ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。
例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边 上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最
短的是（ B ）
A:中线
B:高线。
C:角平分线
D:不能确定。
6．有关“命题”的概念
命题的定义：用来判断它是真（正确）、假 （错误）的语句或式子。
命题的分类
命题的结构
命题的逆命题 如何说明一个命题是真命题？
7．有关“基本事实、定理、证明、推论、 演绎推理、辅助线”等概念
考点四：三角形内角和定理及其推论：
例2 如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°， ∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A. 95° B. 120° C. 135° D. 650
A
分析与解： ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB） B =180°-【180°-（∠1+∠2+∠A）】 =∠1+∠2+∠A=135°．
（1）基本事实：从长期实践中总结出来的，不需
要再作证明的真命题。
（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证
明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命 题
（3）推论：由公理、定理直接得出的真命题。
（4）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公
理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。
（5）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证