分式函数求最值 班 班

分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿

在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】

1．函数(0,)ax b

y c ad bc cx d

+=≠≠+

（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d

c c

-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a

c c

-

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b

y ax a b x

=+

>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4

）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b

y ax a b x

=

+

><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

(0)b

y ax a x

=+

<的图象（如图所示）和性质（略）：

类型一：(

,,

,)

ax b

y a b c d R

cx d

+

=∈

+

（“一次比一次”型）

备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。

例1。函数

1

1

+

-

=

x

y的图象是（）

A B C D

例2、画出函数

21

1

x

y

x

-

=

-

的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】

212(1)11

2

111

x x

y

x x x

--+

===+

---

，即函数

21

1

x

y

x

-

=

-

的图像可以经由函数

1

y

x

=

的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

12

111

2

11

y y y

x x x

=−−→=−−→=+

--

右上

由此可以画出函数

21

1

x

y

x

-

=

-

的图像，如下：

单调减区间：(,1),(1,)

-∞+∞；

值域：(,2)(2,)

-∞+∞

U；

对称中心：(1,2)。

x

O

y

x

O

y

1

2

x

O

y

1

例3.不等式1

4x x

>

的解集为 （ ）

1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)

2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-U U U U

类型二：22,bx c dx ex f

y or y dx ex f bx c

+++==+++，（“一次比二次”或“二次比一次”型）

备注：处理这种分式函数时主要用换元法，即“照着低次配高次”，然后在分离变形。

例4、设1x >，求函数221

1

x x y x -+=-的最小值．

例5、 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

例6：1

43442122+-=⋅=∆k k PQ d S OPQ

，求面积函数的取值范围

例7、求函数22

4

y x =

+的值域。

例8.已知函数2()ax b

f x x c

+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为

（ ）

. . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>

类型三：22

ax bx c y dx ex f

++=++，（“二次比二次”型） 备注：处理这种分式函数时主要是先分离，再用类型二的方法去处理。

例9：函数221

x x

y x x -=-+的值域是

例10、求函数22

45

(),[0,2]43

x x f x x x x ++=∈++的值域．

类型四：“二次比四次型”

备注：处理这种分式函数时，若二次仅有二次项，则直接将其换元后分离，若二次项比较复杂时，则先将二次转化为完全平方因式，再用换元法拆分后变形 例11．求的值域

例12．求

242

2

2e e e λ-=-．的值域，

类型五：“四次比四次型”：

例13

：2()1)ABC S f k k ∆==>，求面积函数的取值范围

例14求四边形PMQN 面积S=)2()1(24222

2++k k k 的取值范围