有限状态自动机
有限状态自动机
具有离散 输入 输出系统的一种数学模型 (可以没有输出，比较特殊的也可以没有输 入).
有限的状态 状态+输入状态转移 每次转换的后继状态都唯一 DFA 每次转换的后继状态不唯一 NFA
College of Computer Science & Technology, BUPT
定义: δ’(q,ωa)=δ(δ’(q,ω),a)
对于DFA:δ’(q,a)=δ(δ‘(q, ),a)=δ(q,a)，即对 于单个字符时δ和δ'是相等的。为了方便，以后在 不引起混淆时用δ代替δ'
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11
扩展转移函数适合于输入字符串
L(M) = ω ( q0 , ω) F
例：T = {0，1}
1
0
Start
1
2
1
0
接收含有奇数个0的任意串
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6
有限自动机的五要素
有限状态集 有限输入符号集 转移函数 一个开始状态 一个终态集合
Start
1
q0
0
0
q2 1
1 q1
0
0
q3
1
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7
三、DFA的形式定义
定义: DFA是一个五元组 M=(Q,T,δ,q0,F) Q: 有限的状态集合 T: 有限的输入字母表 δ: 转换函数(状态转移集合): Q×T Q q0: 初始状态， q0 Q F: 终止状态集, F Q
《有限状态自动机》课件
的基础。
设计状态转移图
根据需求，设计状态转移图， 确定各个状态之间的转移关系 。
编写代码实现
根据状态转移图，使用编程语 言编写代码实现有限状态自动 机。
测试与调试
对实现的有限状态自动机进行 测试和调试，确保其正确性和
稳定性。
有限状态自动机的应用场景
02
它由一组状态、一组输入符号 和一个转换函数组成，根据输 入符号的刺激，在有限个状态 之间进行转换。
03
有限状态自动机可以用于描述 和分析各种复杂系统的行为， 如计算机硬件、电路、程序等 。
有限状态自动机的分类
确定有限状态自动机（Deterministic Finite State Machine, DFSM）：在确定有限状态自动 机中，对于任何输入符号，都只有一个状态转换 。
01
文本处理
用于识别和提取文本中的特定模式 和信息。
模式匹配
用于在大量数据中快速查找和匹配 特定模式。
03
02
语法分析
在编译器和解释器设计中，用于识 别和解析语法结构。
人工智能
用于构建智能系统和机器人的行为 模型。
04
有限状态自动机在现实生活中的应用案例
01
02
03
交通信号控制
用于控制交通信号灯的自 动切换，保障交通安全和 顺畅。
故障诊断
用于识别和诊断机械设备 或电子设备的故障模式。
语音识别
用于识别和分类语音信号 ，实现语音控制和交互。
05
总结与展望
有限状态自动机的优缺点
高效性
有限状态自动机在处理离散事件或模 式匹配时非常高效。
简洁性
有限自动机算法
有限自动机算法
有限自动机算法是一种常见的计算机科学算法，也称为状态机算法或有限状态自动机算法。
它是一种用来识别字符串的算法，通常被用于文本处理、编译器设计、自然语言处理等领域。
有限自动机算法基于有限状态自动机的理论，将一个字符串视为一个字符序列，通过状态转移来确定字符串是否符合特定的语法规则。
有限自动机算法通常分为两种类型：确定有限自动机（DFA）和非确
定有限自动机（NFA）。
DFA是一种状态转移图，其中每个状态都有一个唯一的出边，对于一个输入字符，只有一种可能的转移路径。
NFA则允许一个状态拥有多个出边，每一条出边代表一个可能的转移路径，同时，NFA还可以在不确定的情况下选择一条转移路径。
有限自动机算法的核心思想是将一个字符串逐个字符地输入到
状态机中，根据状态转移的规则，判断当前字符是否满足预定的语法规则。
如果符合规则，状态机将进入下一个状态，直到整个字符串被处理完毕。
如果最终状态符合预定要求，那么这个字符串将被认为是合法的。
总的来说，有限自动机算法是一种高效的字符串处理算法，它可以用来判断字符串是否符合特定的语法规则。
在文本处理、编译器设计、自然语言处理等领域中有广泛的应用。
- 1 -。
确定有限状态自动机
确定有限状态⾃动机⽬录思路确定有限状态⾃动机确定有限状态⾃动机（以下简称「⾃动机」）是⼀类计算模型。
它包含⼀系列状态，这些状态中：有⼀个特殊的状态，被称作「初始状态」。
还有⼀系列状态被称为「接受状态」，它们组成了⼀个特殊的集合。
其中，⼀个状态可能既是「初始状态」，也是「接受状态」。
起初，这个⾃动机处于「初始状态」。
随后，它顺序地读取字符串中的每⼀个字符，并转移到下⼀个状态。
当字符串全部读取完毕后，如果⾃动机处于某个「接受状态」，则判定该字符串「被接受」；否则，判定该字符串「被拒绝」。
本题使⽤有限状态⾃动机。
根据字符类型和合法数值的特点，先定义状态，再画出状态转移图，最后编写代码即可。
按照字符串从左到右的顺序，定义以下 9 种状态：0. 开始的空格1. 幂符号前的正负号2. ⼩数点前的数字3. ⼩数点、⼩数点后的数字4. 当⼩数点前为空格时，⼩数点、⼩数点后的数字5. 幂符号6. 幂符号后的正负号7. 幂符号后的数字8. 结尾的空格结束状态：合法的结束状态有 2, 3, 7, 8 。
代码class Solution {public boolean isNumber(String s) {Map[] states = {new HashMap<>() {{ put(' ', 0); put('s', 1); put('d', 2); put('.', 4); }}, // 0.new HashMap<>() {{ put('d', 2); put('.', 4); }}, // 1.new HashMap<>() {{ put('d', 2); put('.', 3); put('e', 5); put(' ', 8); }}, // 2.new HashMap<>() {{ put('d', 3); put('e', 5); put(' ', 8); }}, // 3.new HashMap<>() {{ put('d', 3); }}, // 4.new HashMap<>() {{ put('s', 6); put('d', 7); }}, // 5.new HashMap<>() {{ put('d', 7); }}, // 6.new HashMap<>() {{ put('d', 7); put(' ', 8); }}, // 7.new HashMap<>() {{ put(' ', 8); }} // 8.};int p = 0;char t;for(char c : s.toCharArray()) {if(c >= '0' && c <= '9') t = 'd';else if(c == '+' || c == '-') t = 's';else if(c == 'e' || c == 'E') t = 'e';else if(c == '.' || c == ' ') t = c;else t = '?';if(!states[p].containsKey(t)) return false;p = (int)states[p].get(t);}return p == 2 || p == 3 || p == 7 || p == 8;}}。
有限自动机的原理及示例
计算机组成原理与结构期末论文有限自动机的原理及示例学院：专业：姓名：学号：有限自动机的原理及示例本文将介绍几种重要有限自动机的基本原理，并通过例子说明它们的运行过程。
一． 语言的基本概念一张字母表是一个非空有限集合∑，字母表∑中的每个元素x 称为∑中的一个字母，也称符号、终止符或者字符。
∑中有限个字符1,,n a a 有序地排列起来12n x a a a =就称为∑上的一个字符串，n 称为它的长度。
其中有一个特殊的串ε，它的长度为零。
若1∑和2∑都是字母表，则它们的乘积12∑∑定义为{}12121122,a a a ∑∑=∈∑∈∑：a ，特别地， 0121{}n n ε-∑=∑=∑∑=∑∑∑=∑∑令*01kk k k ∞=∞+=∑=∑∑=∑若*,,x y z ∈∑，且z xy =则称,x y 是z 的子串。
字母表∑上的一种语言是*∑的一个子集L 。
二． 有限状态自动机的原理和运算实例1.基本原理一个有限状态自动机的物理模型通常包括两部分：（1）一个输入存储带，带被分解为多个单元，每个单元存放一个输入符号（字母表上的符号），整个输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可以无限扩充。
（2）一个有限状态控制器（FSC ）,该控制器的状态只能是有限个；FSC 通过一个读头和带上单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。
初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个字符，读头向右移动一个单元。
有限状态自动机的一个动作为：读头读出带上当前单元的字符；FSC 根据当前FSC 的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头右移一个单元。
接着给出有限状态自动机的数学模型。
字母表∑上的一个有限状态自动机(FSAM)是一个五元组()0,,,,,FSAM Q q F δ=∑ 其中，i)Q 是一个有限状态的集合；ii)∑是字母表，它是输入带上的字符的集合；iii)0q Q ∈是开始状态；iv)F Q ⊂是接收状态（终止状态）集合；v):Q Q δ⨯∑→是状态转换函数，(,)q x q δ'=表示自动机在状态q 时，扫描字符x 后到达状态q '。
有限状态自动机
有限状态自动机是正则表达式处理的基础，用于匹配字符串中的特 定模式。
05
有限状态自动机的优缺点
优点
简单易理解
有限状态自动机是一种简单直观的模型，其结构和行为都 可以很容易地理解和描述。
01
高效处理
由于其有限的状态集合，有限状态自动 机在处理某些类型的问题时非常高效。
02
03
可预测性
有限状态自动机的行为是确定性的， 也就是说，给定相同的输入，有限状 态自动机将始终产生相同的结果。
研究方向
并发有限状态自动机
研究并发有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在并发系统中的
应用。
模糊有限状态自动机
研究模糊有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在模糊系统和模
糊控制中的应用。
概率有限状态自动机
研究概率有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在随机系统和不 确定性处理中的应用。
03 FPGA实现
使用现场可编程门阵列（FPGA）实现有限状态自 动机，通过配置逻辑门实现状态转移。
软件实现
01 编程语言实现
使用高级编程语言（如Python、Java、C）编写 有限状态自动机的程序，通过编程语言语法实现 状态转移。
02 脚本语言实现
使用脚本语言（如Shell脚本、Python脚本）编写 有限状态自动机的程序，通过脚本语言执行状态 转移。
缺点
适用范围有限
01
有限状态自动机在处理复杂问题时可能会遇到困难，因为这些
问题可能需要无限的或连续的状态。
缺乏灵活性
02
由于其有限的状态集合，有限状态自动机在处理某些问题时可
能不够灵活。
无法处理非确定性问题
有限自动机实例
Page 5
DFA——实例 :
此有限自动机M = ( X , Y , Q ,δ,λ) 可表示如下: X = { x0 , x1} Y = { y0 , y1} Q = { q0 , q1 , q2 , q3} δ: Q ×X →Q λ: Q ×X →Y δ( q0 , x0) = q1 λ( q0 , x0) = y0 δ( q0 , x1) = q0 λ( q0 , x1) = y1 δ( q1 , x0) = q2 λ( q1 , x0) = y0 δ( q1 , x1) = q0 λ( q1 , x1) = y1 δ( q2 , x0) = q3 λ( q2 , x0) = y0 δ( q2 , x1) = q0 λ( q2 , x1) = y1 δ( q3 , x0) = q0 λ( q3 , x0) = y1 δ( q3 , x1) = q0 λ( q3 , x1) = y1
λ: Q ×X →Y λ( q0 , x0) = y1 λ( q0 , x1) = y1 λ( q1 , x0) = y0
δ( q1 , x1) = q1
λ( q1 , x1) = y1
Page 14
NFA——实例 :
实例3.为了搞清基因表达之间的相互制约关系，科学家采用了其有
正（positive）、负（negative）控制的基因网络的一个形式化模 型-有限状态自动机。具体地讲，基因被激活后，将在一段时间后
NFA——实例 :
状态转换图：
Page 17
Thank You!
Page 18
Page 13
DFA——实例 :
此有限自动机M = ( X , Y , Q ,δ,λ) 可表示如下:
X = { x0 , x1}
形式语言与自动机06章 有限状态自动机和有限状态语言-1
状态图形式
1
q0 0 1 0 q1
状态图
状态图是一个有向、有循环的图。 一个节点表示一个状态； 若有
(q, x)= q' ， 则状态q到状态q'有一条有向边，并 用字母x作标记。
一个圆圈代表一个状态， ‘→’指向的状态是开始状态， 两个圆圈代表的状态是接收状态。
6.2 FSAM识别的语言
L(M)表示被FSAM
定义6-8 FSAM的瞬时描述(格局)
瞬时描述是一个二元式：
(q, y)；或qy 其中： y ∈ ∑*， y是输入带上还没有被扫描到的字符 串，FSC当前状态为q，读头将马上扫 描y串的最左边第1个符号。
格局转换
格局可以发生转换(改变)，格局发生
转换的原因是由于函数的一次作用。 如果当前格局为：qar， 函数为：(q, a) = q'， 则下一格局为： q'r
另外，状态q3，可以扫描剩余的所有 字母。
状态转移图
1
1 q0 0,1
0 1
q1
0
q2
0
q3
思考:
开始状态的作用是什么?
如果需要语言
L∪{ε} 如何修改有限状态自动机?
状态图为
0,1 q0 1
0
1 0
q1
q2 1
0
q3 1
0
q4
例6-5
构造有限状态自动机M，识别{0，1}
有限状态自动机的物理模型
b r e a k t h r …
FSC
物理模型
一个输入存储带，带被分解为单元，
每个单元存放一个输入符号(字母表 上的符号)，整个输入串从带的左端 点开始存放. 带的右端可以无限扩充；
有限自动机理论章有限状态自动机
将状态转换函数改造为产生式
等价思绪
状态转换函数和产生式旳等价作用
δ(q, a)=q′
A→aB
接受a
产生a
状态变化
非终止符号变化
结论:DFA状态等价于文法非终止符
状态转换函数等价于产生式
构造文法旳基本思绪：
将旳DFA旳状态看成是RLG旳非终止 符(开始状态就是开始符号)
对于某个句子： DFA经过状态旳变化，逐渐（自左向 右）接受句子旳每个字母； RLG经过非终止符号旳变化，逐渐 （自左向右）产生句子旳每个字母。
思索
DFA旳接受状态旳作用
证明
假设L是字母表∑上旳FSL，则 L=L(DFA)
DFA=（Q，∑，δ，q0，F） 构造右线性文法G=(∑,Q,q0，P） 其中P为：
两类有限状态自动机
接受器 判断是否接受输入串；
转换器 对给定输入串产生输出。
FA还能够分为
拟定旳FA----DFA Deterministic Finite state Automaton 非拟定FA---- NFA
Non-deterministic Finite state Automaton
其中δ：
δ旳表达：函数形式
δ(q0，0)=q1 δ(q0，1)=q1 δ(q1，0)= q1 δ(q1，1)= q0
δ旳表达：状态矩阵
Q∑ 0
1
q0 q1
q1
q1 q1
q0
δ旳表达:状态图形式
状态图是一种有向、有循环旳图 一种节点表达一种状态； 若有δ(q，x)= q′，则 状态q到状态q′有一条有向边，并 用字母x作标识。
第三章
有限状态自动机
状态机分类
状态机分类
状态机是一种计算模型，它将计算过程看作状态的转换。
根据状态机的特性和实现方式的不同，我们可以将状态机分为以下几类：
1. 有限状态自动机（FSM）
有限状态自动机是最简单的状态机，它包含一组状态和一组转移条件。
在任何时候，状态机只能处于其中一个状态，而转移条件定义了从一个状态到另一个状态的转换。
有限状态自动机通常用于解决识别问题，例如正则表达式匹配。
2. 基于事件的状态机（EFSM）
基于事件的状态机扩展了有限状态自动机的转移条件，使其能够对事件做出响应。
事件可以是内部事件，例如超时或计数器溢出，也可以是外部事件，例如输入或输出。
基于事件的状态机通常用于实现协议或通信模型。
3. 层次状态机（HSM）
层次状态机是一种分层的状态机，它将状态和转移条件分组成层。
每一层都有自己的状态和转移条件，而底层状态机可以控制上层状态机的转换。
层次状态机通常用于处理复杂的控制流程，例如嵌入式系统或游戏引擎。
4. 反应式状态机（RSM）
反应式状态机是一种特殊的状态机，它可以对外部事件做出反应并改变其内部状态。
反应式状态机还可以将其状态和行为分成可
重用的模块，从而使状态机模型更加模块化和可扩展。
反应式状态机通常用于实现基于事件的系统和应用程序。
总之，状态机是一种强大的计算模型，可用于建模和实现各种计算问题。
通过了解不同类型的状态机，我们可以选择最适合特定问题的状态机实现方式。
离散数学中的有限状态机和图灵机
离散数学是数学的一个分支，它研究的是离散的、离散化的对象和其相关的结构和性质。
其中，有限状态机和图灵机是离散数学中非常重要的概念之一。
有限状态机（Finite State Machine，FSM）又称有限状态自动机，是一种能够自动地进行状态转换的数学模型，它由一组状态、一组输入符号和一组状态转移函数组成。
有限状态机具有有限个状态和可以改变状态的输入符号，它根据输入和当前状态来确定下一个状态以及所执行的动作。
有限状态机的基本组成包括：状态集合、输入符号集合、输出符号集合、状态转移函数和输出函数。
其中，状态集合是有限的，每个状态都有一个或多个输入符号和对应的动作，而状态转移函数表达了从一个状态到另一个状态的转变。
输出函数则定义了在状态转移过程中，输出的对应动作。
有限状态机广泛应用于各个领域，例如自动控制系统、电子电路的设计、编译器、自然语言处理等。
它们通过对输入符号的分析，根据当前状态确定下一个状态并执行相应的动作。
因此，有限状态机是一种简便而有力的数学工具，有助于解决实际问题。
与有限状态机相对应的是图灵机（Turing Machine），它是在理论计算机科学领域中提出的一种抽象模型。
图灵机由一条无限长的纸带、一个读写头和一套指令集组成。
纸带被划分为无限个格子，每个格子上可以写入一个符号，读写头可在不同格子间移动，并根据当前状态和读写头所指格子上的符号来确定下一步的动作。
图灵机具备了无限的纸带和可执行的指令集，在理论上能够实现任何计算过程。
它是经典计算机科学理论中最重要的抽象计算模型之一，对计算机科学的发展起到了巨大的推动作用。
有限状态机和图灵机在离散数学中的研究和应用，对计算理论、自动机理论和形式语言等领域都具有重要影响。
它们帮助我们理解计算机程序的运行原理、设计和分析自动化系统、解决问题等。
总之，离散数学中的有限状态机和图灵机是两个重要的概念，它们分别对应了离散系统和通用计算机。
有限状态机可以方便地描述和分析各种状态转换的问题，而图灵机则提供了一种抽象的计算模型，帮助我们理解计算的本质和计算机的工作机制。
自动机理论与编译原理
自动机理论与编译原理自动机理论和编译原理是计算机科学中重要的研究领域，旨在研究和设计能够自动执行特定任务的机器模型以及将高级语言转换为低级可执行代码的技术。
一、自动机理论自动机理论是计算机科学中的一个重要分支，主要研究机器模型的行为和性能。
自动机可以被视为在不同状态之间进行转换的抽象模型，常用于解决字符串匹配、语言识别、编译器和自然语言处理等问题。
1. 有限状态自动机（Finite Automaton）有限状态自动机是一种能够处理有限个输入字符并根据预定义规则进行状态转换的计算模型。
它由一组状态、字母表、转移函数和初始状态组成。
有限状态自动机可以表示正则语言和正则表达式，被广泛应用于字符串匹配和模式识别。
2. 非确定有限状态自动机（Non-deterministic Finite Automaton）非确定有限状态自动机是一种具有多个可能状态转换路径的自动机模型。
在输入字符的情况下，非确定有限状态自动机可能存在多个下一状态的选择。
这种模型常用于正则表达式的匹配和找出所有的匹配结果。
3. 图灵机（Turing Machine）图灵机是一种具有无限长带子和可执行状态的理论计算设备。
它可以模拟任何可计算的算法，并被认为是现代计算机理论的基础。
图灵机理论对于解决计算问题的可计算性和复杂性有着重要的意义。
二、编译原理编译原理是研究将高级语言转化为机器语言的原理和方法。
主要包括词法分析、语法分析、语义分析、中间代码生成、代码优化和目标代码生成等阶段。
1. 词法分析（Lexical Analysis）词法分析是将源代码分割为一系列标记（Token）的过程。
标记是语言中的基本单位，如关键字、标识符、常量和运算符等。
词法分析器通常使用正则表达式和有限状态自动机来实现。
2. 语法分析（Syntax Analysis）语法分析是分析源代码中的语法结构，根据语法规则构建语法树的过程。
常用的语法分析方法有自顶向下的递归下降分析和自底向上的移进-归约分析。
词法分析与有限状态自动机
2011-1-5
华东师大计算机科学技术系
6
FA的形式描述 的形式描述
1. 对q, q1 ∈Q a ∈VT δ(q,a)={q1}的含义为：当 的含义为： 的含义为 前状态为q，若输入头所指符号为a， 前状态为 ，若输入头所指符号为 ，则转向下一 状态q 输入头右移。 状态 1，输入头右移。 2. ∵ δ是Q×VT × 2Q上的一个单射 一般地δ ∴一般地δ(q,a)={q1,q2,……qn} qi ∈Q i=1,2,…n 因此称FA M为不确定的 ，记为 为不确定的 因此称 为不确定的FA，记为NFA。 。 Q，即对任何 ∈Q，ai∈ 3. 若映射δ是Q×VT 若映射δ ，即对任何q∈ ， × VT，δ(q,ai)至多只有一个元素 ，称FA M是确 至多只有一个元素q’ 至多只有一个元素 是确 定性的FA，记为DFA。 定性的 ，记为 。
2011-1-5 华东师大计算机科学技术系 15
FA的确定化 的确定化
• 定义 ：对FA M与FA M’，若L(M)=L(M’)则 定义3： 与 ， 则 等价。 称M与M’等价。 与 等价 • 3.1.4 FA的确定化 的确定化 • 定理 定理3.1 对任一给定的 对任一给定的NFA M存在一个 存在一个DFA M’ 存在一个 使L(M)=L(M’)。 。 • 分析： 分析： 由定理3.1 L(DFA) ⊇ L(NFA) 由定理 由FA的定义 L(DFA) ⊆ L(NFA) 的定义 L(DFA) ＝ L(NFA) 得到
第三章 词法分析与有限状态自动机
• 词法分析程序的主要功能是识别单词，这将涉及 词法分析程序的主要功能是识别单词， 3型文法、正则表达式和有限状态自动机。本章 型文法、 型文法 正则表达式和有限状态自动机。 将讨论这三者间的关系。 将讨论这三者间的关系。 • 3.1 有限状态自动机(Finite-state Automate 有限状态自动机 machine FA)
有限自动机例题
有限自动机例题有限状态自动机（FSA）是计算机科学中的一种重要数学模型，它在字符串匹配、语言解析和编译器设计等领域都有广泛应用。
本文将围绕一道有限自动机例题进行分析和讲解，以帮助读者深入理解有限自动机的本质和应用。
例题描述：假设有一个字符串集合S = {“hello”, “world”, “cherry”, “come”, “back”}，请设计一个DFA（确定性有限状态自动机）匹配这些字符串。
其中，该DFA应该包含5个终止状态，也就是说，只有当输入符串是S中的某一个字符串时，该DFA才能停机并进入终止状态。
解题步骤：根据题目描述，我们需要设计一个DFA，能够匹配给定字符串集合S中的任意一个字符串。
下面是解题的详细步骤：1. 首先，我们需要确定该DFA的状态集合Q。
由于该DFA需要包含5个终止状态，所以我们可以将状态集合分为6个部分，其中5个部分分别对应于集合S中的5个字符串，另一个部分表示该DFA的非终止状态。
2. 接下来，我们需要确定该DFA的输入字母表，即该DFA可以接受哪些字符作为输入。
由于题目中给出的字符串集合只包含小写字母，所以我们将该DFA的输入字母表设为Σ = {a, b, c, ..., z}，即从小写字母表中取任意一个字母作为输入。
3. 确定该DFA的转移函数δ。
对于这个例题，我们需要根据提供的字符串集合S，为每一个状态和每一个输入字符都分别指定一个转移关系。
例如，对于初始状态S0，若输入字符是“h”，则它应该转移到状态S1，若输入字符是其它字符，则应该一直停留在S0状态。
4. 建立该DFA的起始状态和终止状态集合。
由于该DFA需要同时接受集合S中的5个字符串，所以我们需要将对应的5个状态都设为该DFA的终止状态。
同时，我们将状态S0设为该DFA的起始状态。
5. 最后，我们需要测试该DFA的性能和有效性，确保它能够实现对给定字符串集合的匹配操作。
可以考虑用几个测试用例来验证该DFA的工作状态，例如输入hello、world、cherry等字符串，检查DFA是否能够正确识别这些字符串并停机。
离散数学中的有限状态自动机和正则表达式
离散数学是计算机科学中的基础课程，其中有限状态自动机（Finite State Automaton, FSA）和正则表达式（Regular Expression, RegExp）是重要的概念和工具。
有限状态自动机是一种抽象的计算模型，用于描述在给定的输入序列下系统的行为。
它由一组有限个状态和一组转移函数组成，根据输入字符的不同，自动机在状态之间转移。
有限状态自动机被广泛应用于编译器设计、自然语言处理、模式匹配等领域。
在正则表达式中，有限状态自动机通常用于实现模式匹配操作。
正则表达式是一种描述字符串模式的语言。
它提供了一种简洁而强大的方式来匹配、查找和替换文本中的模式。
正则表达式由字母表、操作符和一组规则构成，可以用来描述具体的字符串。
正则表达式可以在编程语言（如Python、Perl、Java等）中实现，也可以在文本编辑器和命令行工具中使用。
有限状态自动机和正则表达式之间有一种密切的联系：正则表达式可以被转换为等价的有限状态自动机，有限状态自动机可以被转换为等价的正则表达式。
这种等价关系在理论上被称为“Kleene定理”，可以用于证明正则语言和有限自动机的等价性。
对于给定的正则表达式，可以通过构造等价的有限状态自动机来实现模式匹配。
在自动机的转移函数中，每个字符对应于一个状态转移，并根据正则表达式的规则选择相应的转移。
通过遍历自动机的状态转移路径，可以检测输入字符串是否与正则表达式相匹配。
另一方面，有限状态自动机可以通过反向构造来生成等价的正则表达式。
该过程被称为“状态消除”，通过消除自动机中的状态，并将其转换为正则表达式的形式。
最后，将所有状态消除为一个正则表达式，就得到了等价的正则表达式。
有限状态自动机和正则表达式在计算机科学中有着广泛的应用。
正则表达式可以用来进行文本的查找、分割和替换操作，提供了一种便捷的方式来处理复杂的字符串模式。
有限状态自动机则被广泛应用于编译器设计、模式匹配等领域，用于解析和分析文本数据。
《有限状态自动机》课件
2 自动机到正则表达式
通过状态合并和消除，可以将自动机转换为 等价的正则表达式。
有限状态自动机的应用领域
1
计算机科学
在编译器设计、正则表达式匹配和模式
通信技术
信息的
可靠性和准确性。
3
自动控制系统
应用于机器人、交通信号灯和智能家居 等自动控制领域。
总结和展望
总结当前成果
有限状态自动机是描述状态转换的强大工具，已在众多领域取得卓越成就。
研究领域的挑战
仍有待深入研究的问题包括复杂性分析、优化算法和自动机的形式化验证。
未来的发展方向
将有限状态自动机与人工智能、机器学习和量子计算等前沿技术结合，进一步拓展应用领域。
《有限状态自动机》PPT 课件
有限状态自动机（Finite State Machine）是一种能够读取一串输入符号并根 据预设的规则进行状态转换的数学模型。
有限状态自动机的基本概念和定义
状态和转移
有限状态自动机由一组状态 和转移函数组成，通过输入 触发状态之间的转移。
输入和输出
自动机根据输入符号的序列 执行状态转换，并可以产生 相应的输出。
确定性与非确定性
确定性自动机有唯一的下一 个状态，而非确定性自动机 可以有多个可能的下一个状 态。
有限状态自动机的类型
Mealy机
输出与状态转移同时发生，适用于输入输出直接相 关的情况。
Moore机
输出与状态转移分离，适用于输入输出之间有延迟 的情况。
有限状态自动机与正则表达式的关系
1 正则表达式到自动机
离散数学有限状态自动机模型解析
离散数学有限状态自动机模型解析在离散数学中，有限状态自动机（Finite State Automaton）是一种用来描述计算机程序、电路系统、语言识别等问题的数学模型。
它由一组有限的状态、输入字符集合、转移函数和初始状态组成。
本文将对有限状态自动机的定义、特性以及应用进行解析。
一、有限状态自动机的定义有限状态自动机包含以下几个要点：1. 状态集合：有限状态自动机的状态是相互独立的，即在任意时刻，有限状态自动机处于某一个状态。
2. 输入字符集合：输入字符集合包含了有限状态自动机可以接受的输入字符。
在有限状态自动机的运行过程中，每次都接受一个输入字符。
3. 转移函数：转移函数定义了有限状态自动机状态间的转移关系。
对于当前状态和输入字符，转移函数确定了下一个状态。
4. 初始状态：初始状态是有限状态自动机开始运行时的起始状态。
二、有限状态自动机的特性有限状态自动机具有以下几个特性：1. 确定性：在有限状态自动机的转移函数中，对于给定的当前状态和输入字符，只能有一个下一个状态。
确定性保证了有限状态自动机在运行时的唯一性。
2. 非确定性：有限状态自动机还可以具有非确定性，即在转移函数中，对于给定的当前状态和输入字符，可以有多个下一个状态。
非确定性使得有限状态自动机具有更强大的计算能力。
3. 等价性：两个有限状态自动机在接受相同的输入字符序列时，若最终处于相同的状态，则它们是等价的。
4. 完全性：有限状态自动机是完全的，当且仅当对于任意状态和输入字符，转移函数中都存在定义的下一个状态。
完全性保证了有限状态自动机在任意时刻都有明确的状态。
三、有限状态自动机的应用有限状态自动机在计算机科学和工程领域有着广泛的应用，下面以两个具体的例子来说明：1. 词法分析器：编译器中的词法分析器主要负责将源代码转换为标记序列。
有限状态自动机可以用来描述词法分析器，不同的状态对应不同的标记。
2. 文本搜索：在文本搜索引擎中，有限状态自动机可以用来匹配模式串。
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三、不确定有限自动机(NFA)(续)
不确定有限自动机所接收的语言
自动机的等价
两个自动机能够接收相同的语言,则称这两个自 动机等价.
四、NFA与DFA的变换
1. 实例
NFA与DFA的变换实例
例:AN=(S,,’,K,F) 其中: S={S0, S1, S2}; ={a,b} K= {S0, S1}; F={S2}; 转换函数: ’(S0,a)= S1; ’(S0,b)= {S0, S2}; ’(S1,b)= S2; ’(S2,b)=S1;
终止状态
b
aa,aaa,aab,aaabb,...
二、确定有限自动机(DFA)(续3)
确定有限状态机:确定有限状态机定义为一个五元 组:AD=(S,,,K,F) 其中: S:状态的非空集; :输入字母表 :状态转换函数. S Ｓ的单值映射； (Si,a)=Sj, Si, SjS K:初始状态;KS F:终止状态; FS
2.在状态之间插入一些状态,使得任意两个状态之间至多 产生一个符号.
3.按下面的方法构造状态图;
语法图与自动机(续)
3.按下面的方法构造状态图; 如 si a sj 则 Si 则 Si
a
Sj Sj
如
si
sj
4.消除空串边,从而得到状态图
实例P71
语法图与自动机(续)
正则表达式 自动机
二、确定有限自动机(DFA)(续5)
状态转换矩阵:
输入 状态
a S1 S0 S2 S1
b
c
S0 S1 S2 S3
S2 S1 S3
S3
二、确定有限自动机(DFA)(续6)
状态转换图:
a
a b
S1 S2
S0
a
b c
a
b
S3
AD所接收的语言:(P57) ab abaa ac acab acbbbb
语法图:
<标识符> <字母>
<字母>
<数字>
语法图与自动机(续)
文 法：G=({字母,a,b,…z}，{a,b,…z}，字母，P) P： <字母>::= a|b|c|d|….|z
语法图:
<字母>
a
b
c
d
...
z
语法图与自动机(续)
文 法：G=({数字,0,1,2,…9}，{0,1,2,…9}，数字，P) P： <数字>::= 0|1|2|3|….|9
aa
aaa
aca
acabb
二、确定有限自动机(DFA)(续7)
状态机所接收的语言:(符号串的集合)
S0 S0 S0
a
a a
a
S1 S1
L(DFA)={,a,aa,aaa...}
a L(DFA)={a,aa,aaa...}
a
S1
a
S2
L(DFA)={aa,aa,aaa,aab,aaabbab...}
1.至少存在一个初始结点 2.存在一些终止结点(可空) 3.在每个边上有字母表上的符号串(也可以是 空串)
约定:初始结点:
终止结点:
一、转换图（TG）(续1)
转换图:
01
2
00
1 10
3
11
路:转换图中从某一初始结点到某一终止结点的序列. 对于某一符号串a,在转换图中如存在一条路产生a,则称 转换图接收(或识别)符号串a,否则符号串a不能被接收. 例如字符串0111为该自动机接收(红色路径表示).
3、重复2，直至1中所指出的边消除 4、如果还有边，则一定有闭路，如图1。此时把这个闭路中的状态合并为 一个结点。如图2。
S
a
A
B
图1
S
a
A
图2
语法图与自动机
语法图:文法中各个语法成分的图解表示. 方框----->语法成分 圆框----->单词. 例:文 法：G=({标识符,字母,数字}，{字母,数字}，标识符，P) P： <标识符>::=<字母>{<字母>|<数字>}
S0
S0
S1
S
S1
e e1 e2
e 1 |e 2
e
S
S1
e1
e1
S1
e2
S1
S2
S
e2
例:AD=(S,,,K,F) 其中: S={[S0,S1],[S1],[S0,S2],[S2],[S0,S1,S2]}; ={a,b} K= {[S0,S1]}; F={[S0,S2],[S2],[S0,S1,S2]};
NFA与DFA的变换实例(续)
状态转换矩阵:
输入 状态 [S 0 ,S 1 ] [S 1 ] [S 0 ,S 2 ] [S 2 ] [S 0 ,S 1 ,S 2 ] [S 1 ] [S 1 ] a [S 1 ] b [S 0 , S 2 ] [S 2 ] [S 0 ,S 1 ,S 2 ] [S 1 ] [S 0 ,S 1 ,S 2 ]
(三)
自动机
一、转换图 二、确定有限自动机(DFA) 三、不确定有限自动机(NFA) 四、NFA与DFA的变换 五、-自动机 六、语法图与自动机
引言
程序设计语言： 。生成系统：文 法 。识别系统：自动机
自动机：具有离散输入输出系统的一种数学模型。
一、转换图（TG）
转换图：字母表上的有向图。 条件:
NFA与DFA的变换实例(续)
状态转换矩阵:
输入 状态
a S1
b S 0, S 2 S2 S1
S0 S1 S2
NFA与DFA的变换实例(续)
状态转换图:
a
S0
b
a
S1
b
b
S2
b
NFA与DFA的变换实例(续)
[S1]
K=[S0 ,S1]
[S2]
[S0 ,S2]
[S0 ,S2, S2]
NFA与DFA的变换实例(续)
为另一状态,则改变后的状态被称为后继状态. 如果有限状态机每次转换后的状态是唯一的则称之 为确定有限状态机(DFA);如果转换后的后继状态不 是唯一的则称之为不确定有限自动机(NFA);
二、确定有限自动机(DFA始状态
a
S1
a
S2
a
S0的后继状态
b
三、不确定有限自动机(NFA)
不确定有限状态机:不确定有限状态机定义为一个五元
组:AD=(S,,,K,F) 其中: S:状态的非空集; :输入字母表 :状态转换函数. S Ｓ的映射； (Si,a)={Sj, Sk, Sm, Sn...} Si, Sj, Sk, Sm, Sn S K:初始状态集;KS F:终止状态集; FS DFA与NFA的区别:(1)NFA允许多个初始状态;(2)同一输入 字符可以有多个后继状态;
B
ai
图1
2、设状态B的直接后继状态为S1，S2，。。。Sk，如图2，其中ai
A
ai
B
Si
图2
则：1）消除边，引进新边，如图3
A
Si
图3
2）如果B为终止状态，则A即为终止状态 3）如果存在一条从初始状态到A的空路，则B为初始状态，即图4 ai 图4 B Si
由FA构造等价FA步骤：
语法图:
<数字>
0
1
2
3
...
9
语法图与自动机(续)
<字母>
<标识符> <字母>
<数字>
L L 正则表达式 L(L|D)* D
语法图与自动机(续)
正则表达式与自动机
对于任一正则表达式e,总存在一确定有限自动机A使 得L(A)=L(e),反之亦然. 语法图与自动机: 由语法图构造自动机步骤:
1.分别在语法图的入口与出口引进初始状态和终止状态.
NFA与DFA的变换实例(续)
S ,S
0
b
1
S0 ,S2
b
S0 ,S1 ,S2
a
S1
a
b
b
S2
b
五、-自动机
1、-自动机:边上有空符号串的自动机. FA
2、由FA构造等价FA。
由FA构造等价FA步骤：
1、在FA中寻找边，（图1）如果状态B没有边输出，则步骤2，否则步骤4
A
被转换图TG所接收的符号串集合记为L(TG)
二、确定有限自动机(DFA)
有限自动机(Finite Automata):
a b c d d e e f g ……..
输入带
控制器 有限自动机=有限控制器+字符输入带
二、确定有限自动机(DFA)(续1)
初始状态: 终止状态(接收状态): 后继状态:有限状态机在读入一个字符时,其状态改变
二、确定有限自动机(DFA)(续4)
例:AD=(S,,,K,F) 其中: S={S0, S1, S2, S3}; ={a,b,c} K= S0; F={S2, S3}; 转换函数: (S0,a)= S1; (S1,a)= S0; (S1,b)= S2; (S1,c)= S3; (S2,a)= S2; (S2,b)=S1; (S3,a)= S1; (S3,b)= S3;