函数的周期性常见结论归类

函数的周期性和对称性常用结论

函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称（3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。

函数的周期性常用定理、结论

函数的周期性⑴ 概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T 是函数的一个周期.T 的整数倍也是函数的一个周期. ⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8 _6 _4 _2 _- 2 _- 4 _- 5 _5 _ 10 _b _ = _2 . 01 _a _ = _0 . 50_8_6_4_2_b_= _3.00_-5_5_10_a_= _0.33_-2_-4友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

函数周期性的几个重要结论

函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=抽象函数的对称性1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±)(1x f T=2a ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b| 证明：令x=x-b 得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)?因为关于x=a 对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a 所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a 得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b(当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=f[a-(x+a-2b)]=f(2b-x)=f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x) 关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称。

函数的周期性常见结论归类

函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==） (12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-=若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。

函数的周期性常用定理、结论

. 函数的周期性⑴概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。

1.周期函数的定义：对于()f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()f x T f x+=恒成立，则称函数()f x具有周期性，T叫做()f x的一个周期，则kT（,0k Z k∈≠）也是()f x的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x=满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①()()f x f x a=+，则()y f x=是以T a=为周期的周期函数；②()()f x a f x+=-，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；③()()1f x af x+=±，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；④()()f x a f x a+=-，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；⑤1()()1()f xf x af x-+=+，则()x f是以2T a=为周期的周期函数.⑥1()()1()f xf x af x-+=-+，则()x f是以4T a=为周期的周期函数.⑦1()()1()f xf x af x++=-，则()x f是以4T a=为周期的周期函数.⑧函数()y f x=满足()()f a x f a x+=-（0a>），若()f x为奇函数，则其周期为4T a=，若()f x为偶函数，则其周期为2T a=.⑨函数()y f x=()x R∈的图象关于直线x a=和x b=()a b<都对称，则函数()f x是以()2b a-为周期的周期函数；⑩函数()y f x=()x R∈的图象关于点()0,A a y、()0,B b y()a b<都对称，则函数()f x是以()2b a-为周期的周期函数；⑾函数()y f x=()x R∈的图象关于()0,A a y和直线x b=()a b<都对称，则函数()f x是以()4b a-为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8_6_4_2_-2_-4_-5_5_10_b_= _2.01_a_= _0.50._8_6_4_2_- 2 _- 4_- 5 _5 _ 10 _b _ = _3 . 00 _a _ = _0 . 33。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)]=f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)) f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结 ① fx+a=-fx T=2a② fx+a=±)(1x f T=2a ③ fx+a=fx+b T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 fx-b+a=fx-b+b fx-b+a=fx 根据公式fx=fx+T=fx+nT 得 T=-b+a 即a-b④fx 为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a证明：fx+2a =f-x=fx证明：因为偶函数,所以 f-x=fx 因为关于x=a 对称所以 fa+x=fa-x 对称性质设 x=x+a 所以 fx+2a=fx 所以周期T=2a ⑤fx 为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a证明：fx+2a =f-x=-fx 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以fa+x=fa-x 令x=x+a 得：fx+2a=f-x 又fx= - f-x 故fx= - fx+2a 代换x=x+2a 得：fx+2a= - fx+4a 即得fx=fx+4a 于是函数fx 的周期为4a⑥fx=fx+a+fx-a 有三层函数,用递推的方法来证明;fx+a=fx+2a+fxfx+2a=-fx-a 换元：令x-a=t 那么x=a+tft+3a=-ft 根据①可知T=6a⑦fx 关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b|证明：fa+x=fa-xfb+x=fb-x假设a＞b 当然假设a ＜b 也可以同理证明出T=2a-b现在只需证明fx+2a-2b=fx 即可fx+2a-2b=fa+x+a-2b =fa-x+a-2b=f2b-x=fx⑧fx 的图像关于a,0 b,0对称,T=2a-2ba ＞b证明：根据奇函数对称中心可知：fa+x=-fa-xfb+x=-fb-x fx+2a-2b=fa+x+a-2b=-fa-x+a-2b=-f2b-x=fx 关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称。

函数的周期性常用定理、结论

函数的周期性⑴ 概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T 是函数的一个周期.T 的整数倍也是函数的一个周期. ⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8 _6 _4 _2 _- 2 _- 4 _- 5 _5 _ 10 _b _ = _2 . 01 _a _ = _0 . 50_8_6_4_2_b_ = _3.00_-5_5_10_a_ = _0.33_-2_-4。

函数的周期性常见结论归类

函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-= 若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。

49.函数的周期性结论大全(高考)

函数的周期性结论大全（高考）定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．结论一、||2a T =或||4a 型1．若)()(a x f a x f -=+，则||2a T =．即每经过||2a ，函数值就重复出现一次．例1 若)(x f 是定义在R 上的奇函数且)2()2(-=+x f x f ，且2)1(=f ，则=+)7()6(f f ．解：由)2()2(-=+x f x f 得)(x f 是周期函数，周期4=T ，所以)3()2()7()6(f f f f +=+．又因为)2()2()42()2(f f f f -==+-=-，所以0)2(=f ；2)1()1()43()3(-=-=-=-=f f f f ，所以2)7()6(-=+f f ．2．若)()(x f a x f -=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =++)()(（C 为常数），则||2a T =．若)()(a x f a x f --=+，则||4a T =；一般地，若C a x f a x f =-++)()(（C 为常数），则||4a T =．证明：由C x f a x f =++)()(可得C x f a x f +-=+)()(，则-=++-=+C C a x f a x f )()2()(])([x f C x f =+-，所以||2a T =．令t a x =-，可得t a x +=，代入)()(a x f a x f --=+得)()2(t f a t f -=+，所以)()2()4(t f a t f a t f =+-=+，所以||4a T =．例2 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)1()1(--=+x f x f ，若1)1(>-f ，42)5(2--=a a f ，则实数a 的取值范围是（） A ．)3,1(- B ．),3()1,(+∞--∞C ．)1,3(-D ．),1()3,(+∞--∞ 解：由)1()1(--=+x f x f 得)(x f 的周期4=T ，1)1()1()5(-<--==f f f ，所以1422-<--a a ，解得31<<-a ．选A ．例3 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足0)()8(=++x f x f ，且5)5(=f ，则=+)2024()2019(f f ．解：由0)()8(=++x f x f 得)()8(x f x f -=+，所以)(x f 的周期16=T ，所以5)0()5()8()3()2024()2019(=---=+=+f f f f f f ．3．若)(1)(x f a x f ±=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =∙+)()(（C 为常数），则||2a T =．证明：由C x f a x f =∙+)()(，可得)()(x f C a x f =+，则)()()()2(x f x f C C a x f C a x f ==+=+．4．若)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则||2a T =；若)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，则||4a T =．证明：因为)()(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f =+-++--=+++--=+，所以||2a T =．因为)(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f -=-+--++=+-++-=+，由3可知||4a T =．例4 对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=+)2023()2022(f f ．解：由1()(1)1()f x f x f x ++=-得)(x f 的周期4=T ，所以213131)2023(,3)2()2022(-=+-=-==f f f ，所以27213)2023()2022(-=--=+f f ．例5 若函数)(x f 对于任意的x R ∈，都有)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，当10≤<x 时，x x f 3)(=，则=)5.101(f ．解：由)(1)(1)1(x f x f x f +-=+得)(x f 的周期2=T ，所以==)5.1()5.101(f f 51)5.0(1)5.0(1-=+-f f ．结论二、||b a T +=型5．若)()(b x f a x f -=+，则||b a T +=．每经过||b a +，函数值就重复出现一次．例6 （多选题）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()3(-=+x f x f ，若当]2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则下列结论正确的是（）A ．当]0,2[-∈x 时，12)(-=-x x fB ． 1)2019(=fC ．)(x f 的图象关于点(2,0)对称D ．函数x x f x g 2log )()(-=有3个零点解：A 正确；由)1()3(-=+x f x f 得)(x f 的周期4)1(3=--=T ，1)1()1()2019(==-=f f f ，所以B 正确；因为312)(2=-=x f ，所以)(x f 的图象不关于点(2,0)对称，所以C 错误；画出图象可知D 正确．选ABD ．结论三、周期性与对称性综合型6．若函数)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =都对称，即)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则||2a b T -=．证明：由)()(x a f x a f -=+得)2()(x a f x f -=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=．例7 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=．若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f（）A ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间上是减函数，在区间上是增函数D ．在区间上是减函数，在区间上是增函数解：由)2()(x f x f -=可得)(x f 图象关于直线1=x 对称，又因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 的周期2)01(2=-=T ，画出)(x f 的图象草图如图，观察图形，可知选B ．7．若函数)(x f y =的图象关于点),(),,(c b c a 都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)(2)(x b f c x b f --=+，则||2a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)(2)(x b f c x b f --=+得)2(2)(x b f c x f --=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=．例8 （多选题）已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 是周期函数C ．0)1(=fD ．)1(+x f 是奇函数解：由0)1()1(=-++x f x f 可得)1()1(x f x f --=+，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称，由)1(-x f 是奇函数可知)(x f 图象关于点)0,1(-对称，所以)(x f 的周期4)]1(1[2=--=T ，所以BCD 正确，A 错误．8．若函数)(x f y =的图象关于点),(c a ，b x =都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)()(x b f x b f -=+，则||4a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=．所以)2(2x a f c --)2(x b f -=*，令t x a =-2，则t a x -=2，代入*式得)(2t f c -)22(t a b f +-=，所以-=+--=+-+-=+-c t a b f c t a b a b f t a b f 2)22(2))22(22()44()()(2t f t f c =+，所以||4a b T -=．例9 （多选题）已知)(x f 是R 上的奇函数，)2(+x f 是R 上的偶函数，且当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2+=，则（） A ．3)5(=-f B ．3)3(=-f C ．0)2020(=f D ．3)2021(-=f解：由)2(+x f 是R 上的偶函数可得)(x f 图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期8)02(4=-=T ，所以3)1()3()5(===-f f f ，所以 A 正确；3)1()1()5()3(-=-=-==-f f f f ，所以错误；0)0()4()2020(===f f f ，所以C 正确；3)5()2021(-==f f ，所以D 正确．选ACD ．[2,1]--[3,4][2,1]--[3,4]例10 （2021年全国新高考Ⅰ卷）设函数)(x f 的定义域为R ，)1(+x f 为奇函数，)2(+x f 为偶函数，当]2,1[∈x 时，b ax x f +=2)(．若6)3()0(=+f f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛29f （） A ．49- B ．23- C ．47 D ．25 解：由)1(+x f 为奇函数可得)(x f 的图象关于点)0,1(对称，)2(+x f 为偶函数可得)(x f 的图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期4)12(4=-=T ．由634)1()2()3()0(=-=++---=+-=+a b a b a f f f f ，解得2-=a ，又由0)1(=+=b a f 得2=b ，所以22)(2+-=x x f ．所以25232223211221292=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ．选D ． 9．周期为T 的奇函数一定关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2T 对称，周期为T 的偶函数关于直线2T x =对称．小结：函数周期等于对称轴之间距离的2倍，等于对称中心之间距离的2倍，等于对称轴与对称中心之间距离的4倍．可联想x x f sin )(=理解记忆．定义在R 上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在．例11 （多选题）已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（） A ．函数)(x f 的周期为4B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，)(x f 的最小值为21- 解：由)3()1(-=+x f x f 可得)(x f 的周期4)3(1=--=T ，所以A 正确；由)3()1(x f x f -=+可得)(x f 的图象关于2231=+=x 对称，所以B 正确；画出草图，可知当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为222)(2=-=x f ；当68x ≤≤时，)(x f 的最小值等于4121215-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．选ABC ． 10．若)()()2(x f a x f a x f -+=+，则||6a T =证明：因为)()()2(x f a x f a x f -+=+①，所以)()2()3(a x f a x f a x f +-+=+②，把①代入②得)()()()()3(x f x f a x f a x f a x f -=-+-+=+，所以)()3(x f a x f -=+，由2可知||6a T =．例12 （2022年新高考Ⅱ卷）若函数)(x f 的定义域为R ，且)()()()(y f x f y x f y x f =-++，1)1(=f ，则∑==221)(i k f （） A ．3- B ．2-C ．0D ．1 解：因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．选A ．。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结57669(总1页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2 函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对关于直线x=b 对称。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

高中数学周期性常用结论

高中数学周期性常用结论
1. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π；
2. 函数的周期性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T)=f(x)的最小正数；
3. 周期性的性质：函数的最大周期是其定义域的周期；
4. 周期性的极限：当x趋近于某一极限时，函数的周期性也会趋近于某一极限；
5. 周期性的对称性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T/2)=f(-x+T/2)的最小正数；
6. 周期性的积分：函数f(x)的周期T是满足∫f(x)dx=0的最小正数；
7. 周期性的微分：函数f(x)的周期T是满足f'(x+T)=f'(x)的最小正数；
8. 周期性的变换：函数f(x)的周期T是满足f(ax+b)=f(x)的最小正数。

函数的周期性的几个常用结论

函数的周期性的几个常用结论(1) )(x f y =对∈∀x R 时，若)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(≠=-a x f a x f 恒成立,则2a 是)(x f y =的一个周期；若()()x a f x f +=-，1()(0)()f x a a f x +=≠，1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2a 是)(x f y =的一个周期.(2) 若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 2为一个周期的周期函数；若)(x f y =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.(3) 若)(x f y =奇函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 4为一个周期的周期函数；若函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =是以b a -4为一个周期的周期函数.(4) 若)(x f y =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.例1：函数)(x f 对于任意实数x 满足条件=-==+))5((,5)1(,)(1)2(f f f x f x f 。

分析：5)1()5(),()2(1)4(-===+=+f f x f x f x f ；51)21(1)1()5())5((-=+-=-=-=f f f f f例2：定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为。

（答：(sin )(cos )f f αβ>)例3：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f 。

函数的周期性常见结论归类

函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-= 若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。