函数的周期性常见结论归类

函数的周期性常见结论归类

四川省苍溪实验中学校周万勇

一.周期函数的定义：

设函数y = f(x)的定义域为D,若存在常数 T M 0,使得对一切x € D,且x+T € D时都有f(x T)二f(x)，则称y二f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫这个函数的周

期。

二.常见结论(约定a>0)

(1)f(x) f(x a)，则f(x)的周期T =a ;

(2) f (x a)二一f (x)，或f (x a)二f (x-a)或f (x a)二f1x)(f (xp= 0)，或

f(x a) =-fxj(f(x) = 0),则f(x)的周期T =2a ；f(x a) = ： _ f(：)，则f(x)是

以T =2a为周期的周期函数.

(3)f(x a) = - f(x)，则f(x)是以T =4a为周期的周期函数•

1 + f (x)

(4)f(x a) = 1 f(x)，贝V f(x)是以T =4a为周期的周期函数•

1 - f (x)

(5)函数y = f(x)满足f(a + x) = f(a - x) ( a A0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T =4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T =2a.

(6 )若f(a • x) f(a -x)且f(x)是偶函数,则y二f(x)是周期为4a的周期函数；若f(x) 是奇函数，则y二f(x)是周期为2a的周期函数。

(7) 若函数f x在R上满足f(a，x)=fa「x，且f(b，x)=fb「x (其中a^b)，则函数

y=f(x 以2(a — b)为周期.

(8) 若函数f x 在 R 上满足f(a，x) fa-x，且f(b，x)二-fb-x (其中a式b),则函数y = f (x 以2(a - b)为周期.

(9) 若函数f x 在 R 上满足f(a •x) = fa-x，且f (b • x)二- f b「x (其中a式

b)，则函数y=f(x 以4(a—b)为周期.

(10) f(x) =1 _ f^1a)(f(x) =0)，则f(x)的周期T =3a ；

(11) f(X1 xd =序仁)；、：2))且f(a) =1(f(xd f(X2) = 1,0 IX1-X2I 2a)，或

f (x a^ f(x- a)则f(x)的周期 T=4a；(证明方法：令x^x, x^a )

(12) f(x) f(x a) f(x 2a) f(x 3a) f(x 4a) f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),则f(x)的周期T =5a ;

证明：f(x) f(x a) f(x 2a) f(x 3a) f(x 4a) = f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a) 令x = x a，贝U f (x a) f(x 2a) f (x 3a) f(x 4a) f(x 5a)

二f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a)f(x 5a)

两式做差得：

f(x 5a) - f (x) =[f (x 5a) - f(x)] [f(x a)f(x 2a)f (x 3a) f(x 4a)] 整理[f(x 5a) 一f(x)] [f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a)-1] = 0 若f (x 5a) - f (x) = 0 贝U f (x 5a)二f (x)证毕

否则f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a) =1，这不可能。

举个反例：分段函数f(x)Wa：監I)，X的定义域是一系列的点,

f (x)也是符合题意的。

(13) f(x a) = f (x) - f(x a)，则f (x)的周期T = 6a .

(14) 周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)=a(x・R)；

(15) 周期函数的定义域是无界的；

(16) 若T为y = f(x)的周期，贝y nT(n・Z且n = 0)也是y=f(x)的周期

(17) 若函数f(x)恒满足f(x+a)= f(x + b)，贝U f(x)是周期函数，2 a —b是它的一个周期；

推论：若函数f(x)恒满足f (x - a)二-f (x - b) (a = b)，贝U f (x)是周期函数，

2 a — b是它的一个周期；

三、主要方法：

1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(x TH f(x);二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义

域均为无限集•

2 •解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。