功能原理完整版

0 引 言

在物理学中，如何选择适当的参照系是非常重要的，在力学中通常选用惯性系，但有时也可选用非惯性系。功能原理在惯性系中成立，在非惯性系中作适当处理后也成立，有时用它解题很方便。本文就给出这样的例题。关于非惯性系参照系中，在《理论力学》中只是研究动力学方程，缺少的是非惯性系中的功能原理。本文经过推导得出质点系非惯性系的功能原理。

1 功能原理的研究

1.1 质点系的动能定理

质点系也是实际物体的一种理想模型，它可以当作有限个质点组成的一个系统。设一个质点系有N 个质点组成，其中第i 个质点的质量为m i ，第j 个质点作用在m i 上的力（内力）为f ij ，这N 个质点以外的其他物体作用在m i 上的合力（外力）为f i ，则由牛顿运动定律

()1

1N

i i i ij ij j dv m f f dt ==+-∑δ （1-1）

式中i v 是i m 的速度，而

10ij i j

i j

=⎧=⎨

≠⎩， 当， 当δ （1-2）

当i m 的位移为i dr 时，以i dr 点乘上式便得

()(

)

212

1

1N

i i ij ij i i i j f dr f dr d

m v =+-=∑ δ （1-3）

将上式对所有的N 个质点求和，便得

()21211111N N N

N i i ij ij i i i i i j i f dr f dr d m v ====⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

∑∑∑∑ δ （1-4） 令

1

N

i

i

i dA f dr ==

∑ 外， （1-5）

()11

1N N

ij ij i i j dA f dr ===-∑∑ 内δ， （1-6）

分别代表外力和内力作的功，则（1-4）可写作：

2121N i i i dA dA d m v =⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

∑外内。 （1-7）

这就是质点系的动能定理。

1.2质点系统的功能原理

质点系的内力可以分为保守内力和非保守内力。例如，质点系内各质点的万有引力是保守内力；

质点间的摩擦力是非保守内力。因而，质点系内力的功A 内可以写成保守内力的功（用符号A 内保

表

示）和非保守内力的功（用符号A 内非保

表示）之和 A A A =+内内保内非保

（1-8） 由系统内保守内力所作的功，数量上等于相应势能增量的负值（或相应势能的减少量）。（李乃伯，1994）

21P P A E E =-内保（-） （1-9） 把（1-9）代入上式，得

21P P A E E A =-+内内非保

（-） （1-10） 再有在有限的路程上，一切外力和内力作功的代数和，在数量上等于质点系动能的增量。用符号A 外表示所有外力作的功的代数和，A 内表示所有内力作功的代数和，则：

21

K K A A E E +=-外内 （1-11） 把（1-10）代入（1-11）并整理得：

2211K P K P A A E E E E +=外内非保

（+）-（+） （1-12） 在上式中，1K E 和2K E 表示质点系初、末两状态的动能；1P E 和2P E 表示质点系初、末两状态的势能。系统内有几种保守力，P E 就包含有几种势能。

动能和势能是力学意义下的能量。通常把系统中所有动能和势能之和称为质点系的机械能，用

符号m E 表示：

m K P E E E =+ （1-13）

于是，式（1-12）可表示为：

21

m m A A E E +=-外内非保 （1-14）

式（1-12）和（1-14）表明，质点系中，所有外力和保守内力作功的代数和，在数量上等于质点系机械能的增量。这就是质点系的功能原理。

功能原理指出，质点系力学的范畴的能量——机械能的增多或减少，取决于系统外物体作功和系统中非保守力作功的代数和。外力作功，系统内机械能和系统外物体的某种能量发生相应的转换；非保守内力作功，在系统内则产生机械能和非机械能的转换。 1.3 系统在动惯性系中的功能原理

设地面参照系（静参照系）为s ，相对于s 以恒速U(U 《C)运动的动惯性系为s '，物体在s , 's 两系中的位矢分别r ,r ,s ''系的坐标原点在s 系中的位矢为0r ，则：

0r r r '=+ 0r r r '=+d d d (1-15)

(dr 可称为动惯性系的位移)设物体与地球这一系统内保守力为F 内保，非保守内力F 内非保并不受外力。

在s ，s '两系中分别运用有定理得到：

在s 系中有内保守力和非内保守力做功的下式：

21F r F r k k d d E E +=-⎰⎰ 内保

内非保 (1-16) 在's 系中有内保守力和非内保守力做功的下式：

21k

k d d E E ''+=-⎰⎰ 内保

内非保F

r F r (1-17) (1-15)式代入（1-16）式并考虑到（1-17）式得到:

212100k k k

k d d E E E E ''+=---⎰⎰ 内保

内非保F

r F r ()() (1-18) 讨论（1-16）式；若在s 系中非保守内力不做功，

0d =⎰ F r 内非保

即由保守内力作的功等于势能的减少，（程守洙、江之永，1998）即

12P P d E E =-⎰ 内保

F

r (1-19)

考虑到s ，s '两系中系统势能变化相同，（程守洙、江之永，1998）