02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动固有频率
02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
燕山大学
Yanshan University
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
燕山大学
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x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
燕山大学
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初始条件：
x (0) x0 x (0) v0
无阻尼固有频率
mx kx 0
2 n
k m
x
2 n
x
0
x C1 cosnt C2 sin nt C1,C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
x Asin( nt )
A——振幅； n——固有频率； （n + ）——相位； ——初相位。
1.自由振动微分方程
l0——弹簧原长； k——弹簧刚性系数； st——弹簧的静变形；
l0
k
l0 k F
W kst st W / k
m
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
st
O
x
m
d2x dt 2
W
F
W
k(x
st
)
kx
W x
mx kx 0 单自由度无阻尼自由振动方程
安装设备振动分析
主讲教师：徐向阳
重庆大学网络教育学院 2014年11月8日
目录
一、机械振动基础 二、振动测量及频谱分析 三、安装设备典型振动案例分析
一、机械振动基础
一 机械振动基础
※1 引 言 ※ 2 单自由度系统的自由振动 ※ 3 计算固有频率的能量法 ※ 4 单自由度系统的有阻尼自由振动 ※ 5 单自由度系统的无阻尼受迫振动 ※ 6 单自由度系统的有阻尼受迫振动
k EA 2.312 106 N/m l
v m
l
设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为 初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广 义坐标，则系统的振动方程为
mx kx 0
方程的解为
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
4、根据相频特性的测试数据，在同一图上绘出几条相位差频率（ 特性曲线，由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线，试分析对于不同阻尼的振动系统，几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先，在水平振动台面上不加任何重物，测量系统在自由衰减振动时的固有频率；之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码，再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率，并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性：
撤去水平振动台面上的砝码，调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同，但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据，以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中，水平振动台面的等效质量为 ，系统的等效刚度为 ，在无阻尼或阻尼很小时，系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得，我们将其记作 ；此时在水平振动台面上加一个已知质量 ，测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到： 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说， 的值表示单位电流产生的激振力大小，称为力常数，由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备：
在计算机内部，插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求，进行专门编程，完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后，原始数据记录纸在实验课上提供，必须每人交一份，可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号，不得使用铅笔记录。
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
《机械振动》课程期终考试卷-答案
一、填空题1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。
2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。
3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。
4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。
5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。
6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。
2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能 )，惯性元件储存（动能 ），（阻尼 ）元件耗散能量。
4、叠加原理是分析（线性 ）系统的基础。
5、系统固有频率主要与系统的（刚度 ）和（质量 ）有关，与系统受到的激励无关。
6、系统的脉冲响应函数和（频响函数 ）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数 ）函数是一对拉普拉斯变换对。
7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性 ）运动。
1．振动基本研究课题中的系统识别是指 根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。
（本小题2分）2．振动按激励情况可分为 自由振动 和 强迫振动 两类。
（本小题2分）。
3．图（a ）所示n 个弹簧串联的等效刚度=k ∑=ni ik111；图（b ）所示n 个粘性阻尼串联的等效粘性阻尼系数=e C ∑=ni ic 111。
（本小题3分）（a ） （b ）题一 3 题图4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x 51=和cm x 102=时的速度分别为s cm x 201= 和s cm x 82= ，则其振动周期=T 2.97s ；振幅=A 10.69cm 。
（本小题4分）5．如图（a ）所示扭转振动系统，等效为如图（b ）所示以转角2ϕ描述系统运动的单自由度系统后，则系统的等效转动惯量=eq I 221I i I +，等效扭转刚度=teq k 221t t k i k +。
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
第二章 单自由度系统
M x + c x + kx = meω 2 sin ω t
方程稳态响应可表示为:
M m
x ( t ) = X s in ( ω t )
式中:
m 2 eγ meω M X= = (k ω2M )2 + ω2c2 (1 γ 2 )2 + (2ξγ )2
2
系统的放大因子为:
MX γ2 = me (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
单自由系统
M
自由振动微分方程
m x + c x + kx = 0
K
无阻尼自由振动方程:
2 x+ ωn x = 0
Hale Waihona Puke C方程解:A=
x x + ωn
2 0 2 0
2
x = A sin (ωn t + ψ )
固有圆频率: 固有圆频率:
ψ = arctan
ω n x0
x0
固有频率: 固有频率:
式中,等效静位移 X 0 = F k 频率比 γ = ω / ωn 振幅放大因子 M = X =
X0
1 (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
简谐激励下的强迫振动
M= X 1 = X0 (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
γ = ω / ωn
等效静位移
X0 = F k
简谐激励下的强迫振动
隔振
T 令 TF = TD = TR ,R 叫做传递系数,随 ξ 和 γ 的变化曲线如下图.
位移传递系数 TD和力传递系数 TF 的表达式是完全相同的.
隔振
由图可得到两点结论: 1)无论阻尼比为多少, 只有在 γ > 2 时才有隔振 效果; 2)对于某个给定的 γ > 2 值,当阻尼比减小时,传 递系数也减小.
第二章单自由度系统自由振动)
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
2 ( I Mu ) 0
2 I M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
2 2 1 - m m 1 1 1 1 2 2 0 2 2 21m -22m 1 1 2
展开整理
1 m m 1 1 1 2 22 2 m m ( )0 12 1 1 2 2 1 2 2 1 4
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前 提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但 振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数 情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。 例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
其点矩阵形式的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图434扭转振动单元状态向量表示gigd第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法的计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动算法流程图图435a所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动其中材料的切变模量为g密度为用传递矩阵法计算一阶固有频率
02-振动系统的力学模型及参数
7
基于以上简化及其它假设，最终复杂 结构系统为： 无弹性的质量、无质量的弹簧，以及 纯粹阻尼组成的简单力学模型（系统）。 e.g.汽车车身，前后桥为质量，悬挂及 轮胎为弹簧，所有耗能环节视为阻尼。 形成比较理想的结构振动系统。
哈尔滨工业大学 航天学院
8
结构振动系统三元素（件） 机械系统或工程结构之所以产生振动， 是由于系统本身具有质量和弹性，而阻尼 则使振动受到抑制。 从能量的角度：质量存贮动能，弹性 存储势能，阻尼则消耗能量。
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12
（3）质量元件 质量元件在力学模型中抽象为刚体。根据 Newton 第二定律，当质量上作用有载荷时，力 与加速度存在如下关系：
F m x
m —为刚体质量，单位 kg 。
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13
单自由度系统 单自由度无阻尼自由振动系统 一个无质量的弹簧和一个无弹性的质 量即组成一个单自由度系统的力学模型。 （如图）该模型的参数为质量和刚度，系 统受到初始扰动后，产生振动，若在相对 较短的时间内研究其振动状态时，可认为 是一种无阻尼的自由振动。
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5
（2）时不变（TI）系统假设 诸多系统在工作过程是时变的（比如 大型运载火箭）。但为了分析方便，在所 取的分析时段内，对系统作固化处理，从 工程角度视为时不变系统，从面使描述振 动的微分方程简化。 形成LTI线性定常系统 。
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6
（3）非耦合假设 实际结构系统往往存在耦合现象，因 耦合引起的量值相对于主要分析的量值在 工程容差之内，可视为非耦合系统。从而 大简化分析（当然，专门研究耦合振动的 情况除外）。 大型运载火箭，液体贮箱流固耦合。
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
第2章 单自由度系统的自由振动
25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。
工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。
例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。
于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。
2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。
取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。
当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。
当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。
由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设0=t 时，x x xx ==00，&&。
可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
单自由度系统无阻尼振动讲义
单自由度系统无阻尼振动
单自由度系统的自 由振动——简谐振
动
1 运动微分方程的建立
弹簧—质量系统放在竖直方向，质量运动方向有重力。
重力只影 响质量块 的平衡位 置，并不 影响其振 动规律。
以系统的静平衡位置o为坐标原点，以垂直向下为轴 正向，建立如图所示的坐标系。
在静平衡位置有：
当物体在任意位置x时：
当质量块m在某一瞬时的速度为 弹簧在x处的微段d x的相应速度为
设r为弹簧单位长度的质量，则弹簧的动能为：
单自由度系统无阻尼振动
弹簧质量 弹簧的等效质量
例7 在长为l，抗弯刚度为EJ的简支梁的中点放一重量为W的物 体，梁的单位长度的质量为r，当考虑梁的分布质量时，求系 统的固有频率。
解：首先假定梁的振型。假设梁在自由振 动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载 荷作用下的静挠度曲线一样。
B点的等效刚度：
N个弹簧串联：
两个弹簧并联，在B端施加力F后，两个弹簧均伸长xB: 两个弹簧受力不同，分别为：
并联弹簧的等效刚度是原来弹簧刚度的总和， 比原来各弹簧单自的由刚度系度统无都阻要尼振大动 。
混联弹簧
等效刚度：
单自由度系统无阻尼振动
设计系统时：若需要减小刚度，采用串联弹性元件； 若需要增大刚度，采用并联弹性元件。
平面运动的刚体 T12mvc2 12Jc2
常见物体的势能计算
拉伸弹簧
扭转弹簧
U x kxdx 1 kx2
U
x
0
Kd
2 1
K2
0
2
刚体的重力势能 U mgzc 单自由度系统无阻尼振动
K 为抗扭弹簧系数
例1 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤（直杆的重量和 锤的体积都可以不计），组成单摆，杆长为l，锤重为mg，试 求摆的运动微分方程。
单自由度系统固有频率的计算方法
=
Hale Waihona Puke ������ሶ���2��������������� 2
������������ (3)
显然，系统的全部动能应该是质量块的最大动能与弹簧的最大 动能之和：
������max
=
1 2
m������ሶ���2���������������
+
������ሶ ���2��������������� 2
������������ 3
以弹簧质量系统为例
假设弹簧上距固定端为h处的位移为： x
xh = h ������ 式中 L-处于平衡位置时弹簧的长度；
x-弹簧在联结质量块一端的位移。
单自由度系统固有频率的计算方法
当质量块在某一瞬时的速度为xሶ 时，弹簧在h处的微段dh的速度
应为hxሶ 。令������表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段dh的质量为
所以系统的固有圆频率为：
kg wn = m = λs
由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形λs，就可以计算出 系统的固有频率。
单自由度系统固有频率的计算方法
(3)能量法 在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量损失，所以振幅始终保 持为一常数，我们将这样的系统称为保守系统。 根据能量守恒定律，保守系统动能变化量等于势能变化量
U=12 k x + ������������������ 2 − ���������2��������� − ������������������ 在静平衡位置处有：k������������������=mg
势能： 动能：
U=12
kx2
=
1 2
k������2������������������2(������������������
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
机械振动公式总结
4 周期激励下系统的解 （1） 激励力 f（t）的傅里叶级数表示 （2） 系统的解 5 非周期激励下系统的解 （1） 单位脉冲响应 （2）非周期激励的解
Байду номын сангаас
机械振动公式总结： 一单自由度有阻尼系统 1 系统的基本参数： 无阻尼系统固有频率ω������ = 系统的周期 T = 系统的频率 f = 系统的圆频率ω = 系统的阻尼比ξ = 系统的临界阻尼系数c������ = 有阻尼系统固有频率ω������ = 阻尼比的对数衰减率δ = 2 自由振动的解： 系统振动方程：mx + ������x + kx = 0 系统初始响应：x 0 = x0 , x 0 = ������0 系统的响应为： 3 简谐强迫振动的解： 系统振动方程： 系统初始响应： 系统的响应为：
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
单自由度振动系统固有频率.
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验报告臧崇晓2005010150建管五班单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验报告一、实验目的1、掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法2、掌握常用振动仪器的正确使用方法二、实验内容1、记录水平振动台的自由衰减振动波形2、测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性3、 测定水平振动台在简谐激励下的相频特性4、 根据上面测得的数据，计算出水平振动台的固有频率、阻尼比三、实验原理具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，自由振动微分方程的标准形式为022=++q p q n q，式中q 为广义坐标，n 为阻尼系数，eq eq m C n /2=，eq C 为广义阻力系数，eq m 为等效质量；p 为固有的圆频率，eq eq m K p /2=，eq K 为等效刚度。
在阻尼比1/<=p n ζ的小阻尼情况下，运动规律为)sin(22α+-=-t n p Ae q nt ，式中A ，α由运动的起始条件决定，d f n p π222=-。
具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，在广义简谐激振力t H t s ωsin )(=作用下，系统强迫振动微分方程的标准形式为t h p q n qωsin 22=++ ，式中eq m H h /=。
系统稳态强迫振动的运动规律)sin(ϕω-=t B q ，式中振幅22220222224)1(4)(λζλωω+-=+-=B n p hB相位差22212arctg 2arctgλζλωωϕ-=-=p n 其中eq k H ph B ==20，p ωλ=。
由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台（见图四），可视为单自由度系统，它在瞬时或持续的干扰力作用下，台面可沿水平方向振动。
1、 衰减振动：用一橡皮锤沿水平方向敲击振动台，系统获得一初始速度而作自由振动，因存在阻尼，系统的自由振动为振幅逐渐减小的衰减振动。
阻尼越大，振幅衰减越快。
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F x ) d f(
线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。 即： ，c为阻尼系数，N· s／ m 。 F x d c
非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼 (1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼 在振动过程中，质块与平面之间产生库 仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质 块运动速度方向相反。
k eq
k
i 1
n
i
结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。
并联弹簧比各组成弹簧都要硬。
串联弹簧的等效刚度
串联弹簧上各点的作用力Fs相等： Fs= k1 (x0-x1) Fs= k2 (x2-x0) 将以上两式联立，消去x0，得到：
k1k2 1 1 1 keq k1 k2 keq k1 k 2 n 1 1 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) k eq 的串联弹簧系统，等效刚度： i 1 k i
x(t) Asin nt x(t) Acos nt
无阻尼自由振动：x () t A s i nn t 1、固有角频率
x(t)振动的角 频率为ωn。
n
k m
无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。
2、固角频率与振动周期 固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1／s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。
n 1 k fn 2 2 m
m T 1 fn 2 k
3、振幅与初相角
运动微分方程：
x(t ) A1 cos nt A2 sin nt x(t ) Asin nt x(t ) Acos nt
v 2 A x0 1 n x 0 tg v0 v0 1 tg n x0
0 n
2
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
简谐振动
矢量A与垂直轴 x的夹角为 nt- ，A在x轴上的投影就 表示解 x(t)=Acos(nt-) 。当 nt- 角随时间增大时 ， 意 味着矢量 A 以角速度 n 按逆时针方向转动，其投影呈谐 波变化。
静位移对系统运动微分方程的影响 当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。 系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。
运动微分方程： m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k 取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
弹簧串并联等效刚度实例 例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。 阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： 阻尼力的方向和速度方向相反。 假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
第2章 单自由度线性系统的自由振动
振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的
往复性机械运动。
自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度) 的激励而引起的振动。
强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。
2.1 振动系统的理想元件 图示单自由度系统： m表示质块 c表示阻尼器 k表示弹簧
组成振动系统的理想元件： 质量元件——质块
等效弹簧：对于复杂组合形式的弹 性元件，用一个与其具有相同刚度
的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹 簧。
简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚 度记为keq。
并联弹簧的等效刚度
设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有： Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 则： keq=k1+ k2 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) 的并联弹簧系统，等效刚度：
F mg sgn( x ) c
(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，
由流体介质所产生的阻尼。 流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。
2 F x sgn( x ) L
(3)结构阻尼
材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。 滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。 结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。 试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线成一 个滞后曲线。
k m
m x ( t ) k x ( t ) 0
2 x ( t ) x ( t ) 0 n
运动微分方程的通解：
x ( t ) A c o s t A s i n t 1 n 2 n
由初始条件确定！ 式中，A1、A2——待定系数； A、 ——待定系数； A、φ——待定系数。
F x ( t) m m
假设：质块为刚体，不消耗能量。
2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程 如图所示的单自由度弹簧—质量振动系统，质块m受到外界激 励力F(t)的作用。
取质块m取脱离体，质块m受力如图所示。
x(t)——质块位移，静平衡位置为位移起点； Fs(t)——作用在质块上的弹簧力； Fd(t)——作用在质块上的阻尼力。
k k 1 2 F ( x x ) k ( x x ) s 2 1 eq 2 1 k k 1 2
结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。 串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹 簧较其任何一个组成弹簧都要“软”
弹簧串并联等效刚度实例
例1 求图示系统的等效弹簧刚度。
解：取为广义坐标，运动微分方程为：
k m
ml mgl sin
2
微幅振动时，sin， 上式简化为： 固有频率：
g 0 l
g l
n
例2 质量为M、半径为r的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内作无滑
动滚动，如图所示。 (1)取θ为广义坐标，应用Lagrange方程建立系统运动微分方程； (2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。
根据牛顿第二定律，得：
m x ( t ) F ( t ) F ( t ) F ( t ) d s
单自由度线性系统运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
运动微分方程的特点及所解决的问题
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
解： 图中，弹簧刚度分别为k1和k2； 质量m1、 m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。 是并联弹簧，还是串联弹簧？ 并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。
串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。
图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。 是并联弹簧？
系统的等效刚度：keq=k1+ k2
还是串联弹 簧？
曲线所围图形面积的物理意义：一个循环 中，单位体积材料所消耗的能量。这部分 能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动 产生阻尼。 试验表明，多数金属结构的材料阻力在 一个周期内所稍耗的能量 ΔEs 与振幅的平 方成正比：
Es x
2
2.1.3 质块
质块的性质：质块在外力作用下的响应 为其端点产生一定的加速度。 根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：
2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法
求无阻尼自由振动固有频率的方法：
(1)运动微分方程方法; (2)静变形方法; (3)能量法。
2.4.1 根据运动微分方程求固有频率
运动微分方程：m n 固有频率： x ( t ) k x ( t ) 0
例1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆重量和锤的体 积忽略不计)，组成单摆。杆长为l，摆锤质量m，求摆振动的固 有频率。
2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动
单自由度系统的运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动：当F(t)＝0、 c ＝0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动微分方程： 设： n
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
m x ( t ) F ( t ) mg c x ( t ) k [ x ( t ) ( t )] s t
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略 作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。
0 n
初始条件：
x (0 ) x0 x (0 ) v0
A1 x0 v0 A 2 n
2
结论：
x () t A s i n t n
n
T 2
k m
m k
1 fn 2
k m
v 2 A x 0 1 n x 0 t g v 0 v 0 1 t g n x 0
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。
解： k1、k2为并联，再与k3串联：
1 1 1 keq k1 k2 k3
k3(k 1 k 2) keq k1 k2 k3