02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动固有频率
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解：取为广义坐标，运动微分方程为：
k m
ml mgl sin
2
微幅振动时，sin， 上式简化为： 固有频率：
g 0 l
g l
n
例2 质量为M、半径为r的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内作无滑
动滚动，如图所示。 (1)取θ为广义坐标，应用Lagrange方程建立系统运动微分方程； (2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。
x(t) Asin nt x(t) Acos nt
无阻尼自由振动：x () t A s i nn t 1、固有角频率
x(t)振动的角 频率为ωn。
n
k m
无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。
2、固角频率与振动周期 固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1／s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。
k eq
k
i 1
n
i
结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。
并联弹簧比各组成弹簧都要硬。
串联弹簧的等效刚度
串联弹簧上各点的作用力Fs相等： Fs= k1 (x0-x1) Fs= k2 (x2-x0) 将以上两式联立，消去x0，得到：
k1k2 1 1 1 keq k1 k2 keq k1 k 2 n 1 1 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) k eq 的串联弹簧系统，等效刚度： i 1 k i
F x ) d f(
线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。 即： ，c为阻尼系数，N· s／ m 。 F x d c
非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼 (1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼 在振动过程中，质块与平面之间产生库 仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质 块运动速度方向相反。
弹性元件——弹簧
阻尼元件——阻尼器
2.1.1 弹簧
弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响 应为其端点产生一定的位移。 弹簧所受外力Fs是位移x的函数： Fs = f(x) 式中：Fs——弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。 线性弹簧： Fs = kx ，k为弹簧刚度系数，N/m。 假设与说明： (1)一般假设弹簧无质量 实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则 可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量; (2)假设为线性弹簧 工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。 (3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。
解： k1、k2为并联，再与k3串联：
1 1 1 keq k1 k2 k3
k3(k 1 k 2) keq k1 k2 k3
弹簧串并联等效刚度实例 例3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
串联弹簧
弹簧串并联等效刚度实例 例4 求等效弹簧刚度。
0 n
2
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
简谐振动
矢量A与垂直轴 x的夹角为 nt- ，A在x轴上的投影就 表示解 x(t)=Acos(nt-) 。当 nt- 角随时间增大时 ， 意 味着矢量 A 以角速度 n 按逆时针方向转动，其投影呈谐 波变化。
等效刚度系数
弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。
F k x
同一弹性元件，根据所要研究振 动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。
以一端固定的等直圆杆为例加以说 明，如图所示。
当确定沿 x 方向的刚度时，在 B 处沿 x 方向加一垂直 力F。 根据材料力学知，B点在x方向的 位移为
Fl xB EA
k m
m x ( t ) k x ( t ) 0
2 x ( t ) x ( t ) 0 n
运动微分方程的通解：
x ( t ) A c o s t A s i n t 1 n 2 n
由初始条件确定！ 式中，A1、A2——待定系数； A、 ——待定系数； A、φ——待定系数。
等效弹簧：对于复杂组合形式的弹 性元件，用一个与其具有相同刚度
的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹 簧。
简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚 度记为keq。
并联弹簧的等效刚度
设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有： Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 则： keq=k1+ k2 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) 的并联弹簧系统，等效刚度：
n 1 k fn 2 2 m
m T 1 fn 2 k
3、振幅与初相角
运动微分方程：
x(t ) A1 cos nt A2 sin nt x(t ) Asin nt x(t ) Acos nt
v 2 A x0 1 n x 0 tg v0 v0 1 tg n x0
F mg sgn( x ) c
(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，
由流体介质所产生的阻尼。 流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。
2 F x sgn( x ) L
(3)结构阻尼
材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。 滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。 结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。 试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线成一 个滞后曲线。
根据牛顿第二定律，得：
m x ( t ) F ( t ) F ( t ) F ( t ) d s
单自由度线性系统运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
运动微分方程的特点及所解决的问题
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
杆件作转扭，产生扭角，根据材 料力学知，B点沿x轴的扭角为
Ml B GJ
B点绕x轴转动方向的刚度系数为
M GJ k B l
弹簧串并联与等效弹簧
在机械结构中，弹性元件往往具 有比较复杂的组合形式。例如：并 联弹簧、串联弹簧。 为简化分析，可以用一个“等 效弹簧”代替整个组合弹簧。
静位移对系统运动微分方程的影响 当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。 系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。
运动微分方程： m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k 取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
F x ( t) m m
假设：质块为刚体，不消耗能量。
2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程 如图所示的单自由度弹簧—质量振动系统，质块m受到外界激 励力F(t)的作用。
取质块m取脱离体，质块m受力如图所示。
x(t)——质块位移，静平衡位置为位移起点； Fs(t)——作用在质块上的弹簧力； Fd(t)——作用在质块上的阻尼力。
曲线所围图形面积的物理意义：一个循环 中，单位体积材料所消耗的能量。这部分 能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动 产生阻尼。 试验表明，多数金属结构的材料阻力在 一个周期内所稍耗的能量 ΔEs 与振幅的平 方成正比：
Es x
2
2.1.3 质块
质块的性质：质块在外力作用下的响应 为其端点产生一定的加速度。 根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：
2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动
单自由度系统的运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动：当F(t)＝0、 c ＝0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动微分方程： 设： n
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
由运动微分方程所要解决的问题： (1)由m、c、k所决定系统的固有特性； (2)在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？
弹簧串并联等效刚度实例 例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。 阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： 阻尼力的方向和速度方向相反。 假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
m x ( t ) F ( t ) mg c x ( t ) k [ x ( t ) ( t )] s t
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略 作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。
解： 图中，弹簧刚度分别为k1和k2； 质量m1、 m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。 是并联弹簧，还是串联弹簧？ 并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。
串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。
图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。 是并联弹簧？
系统的等效刚度：keq=k1+ k2
还是串联弹 簧？
k k 1 2 F ( x x ) k ( x x ) s 2 1 eq 2 1 k k 1 2
结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。 串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹 簧较其任何一个组成弹簧都要“软”
弹簧串并联等效刚度实例
例1 求图示系统的等效弹簧刚度。
B点在x方向的刚度系数为
F EA kx xB l
当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。
杆作弯曲变形，根据材料力学知，B 点沿y方向的位移
Pl 3 yB 3EJ
B点沿y方向的刚度系数为
P 3EJ ky 3 yB l
当确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转 动方向加一扭矩M。
2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法
求无阻尼自由振动固有频率的方法：
(1)运动微分方程方法; (2)静变形方法; (3)能量法。
2.4.1 根据运动微分方程求固有频率
运动微分方程：m n 固有频率： x ( t ) k x ( t ) 0
例1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆重量和锤的体 积忽略不计)，组成单摆。杆长为l，摆锤质量m，求摆振动的固 有频率。
0 n
初始条件：
x (0 ) x0 x (0 ) v0
A1 x0 v0 A 2 n
2
结论：
x () t A s i n t n
n
T 2
k m
m k
1 fn 2
k m
v 2 A x 0 1 n x 0 t g v 0 v 0 1 t g n x 0
第2章 单自由度线性系统的自由振动
振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的
往复性机械运动。
自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度) 的激励而引起的振动。
强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。
2.1 振动系统的理想元件 图示单自由度系统： m表示质块 c表示阻尼器 k表示弹簧
组成振动系统的理想元件： 质量元件——质块
k m
ml mgl sin
2
微幅振动时，sin， 上式简化为： 固有频率：
g 0 l
g l
n
例2 质量为M、半径为r的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内作无滑
动滚动，如图所示。 (1)取θ为广义坐标，应用Lagrange方程建立系统运动微分方程； (2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。
x(t) Asin nt x(t) Acos nt
无阻尼自由振动：x () t A s i nn t 1、固有角频率
x(t)振动的角 频率为ωn。
n
k m
无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。
2、固角频率与振动周期 固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1／s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。
k eq
k
i 1
n
i
结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。
并联弹簧比各组成弹簧都要硬。
串联弹簧的等效刚度
串联弹簧上各点的作用力Fs相等： Fs= k1 (x0-x1) Fs= k2 (x2-x0) 将以上两式联立，消去x0，得到：
k1k2 1 1 1 keq k1 k2 keq k1 k 2 n 1 1 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) k eq 的串联弹簧系统，等效刚度： i 1 k i
F x ) d f(
线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。 即： ，c为阻尼系数，N· s／ m 。 F x d c
非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼 (1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼 在振动过程中，质块与平面之间产生库 仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质 块运动速度方向相反。
弹性元件——弹簧
阻尼元件——阻尼器
2.1.1 弹簧
弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响 应为其端点产生一定的位移。 弹簧所受外力Fs是位移x的函数： Fs = f(x) 式中：Fs——弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。 线性弹簧： Fs = kx ，k为弹簧刚度系数，N/m。 假设与说明： (1)一般假设弹簧无质量 实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则 可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量; (2)假设为线性弹簧 工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。 (3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。
解： k1、k2为并联，再与k3串联：
1 1 1 keq k1 k2 k3
k3(k 1 k 2) keq k1 k2 k3
弹簧串并联等效刚度实例 例3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
串联弹簧
弹簧串并联等效刚度实例 例4 求等效弹簧刚度。
0 n
2
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
简谐振动
矢量A与垂直轴 x的夹角为 nt- ，A在x轴上的投影就 表示解 x(t)=Acos(nt-) 。当 nt- 角随时间增大时 ， 意 味着矢量 A 以角速度 n 按逆时针方向转动，其投影呈谐 波变化。
等效刚度系数
弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。
F k x
同一弹性元件，根据所要研究振 动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。
以一端固定的等直圆杆为例加以说 明，如图所示。
当确定沿 x 方向的刚度时，在 B 处沿 x 方向加一垂直 力F。 根据材料力学知，B点在x方向的 位移为
Fl xB EA
k m
m x ( t ) k x ( t ) 0
2 x ( t ) x ( t ) 0 n
运动微分方程的通解：
x ( t ) A c o s t A s i n t 1 n 2 n
由初始条件确定！ 式中，A1、A2——待定系数； A、 ——待定系数； A、φ——待定系数。
等效弹簧：对于复杂组合形式的弹 性元件，用一个与其具有相同刚度
的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹 簧。
简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚 度记为keq。
并联弹簧的等效刚度
设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有： Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 则： keq=k1+ k2 对于n个刚度分别为ki (i＝l,2,…, n) 的并联弹簧系统，等效刚度：
n 1 k fn 2 2 m
m T 1 fn 2 k
3、振幅与初相角
运动微分方程：
x(t ) A1 cos nt A2 sin nt x(t ) Asin nt x(t ) Acos nt
v 2 A x0 1 n x 0 tg v0 v0 1 tg n x0
F mg sgn( x ) c
(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，
由流体介质所产生的阻尼。 流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。
2 F x sgn( x ) L
(3)结构阻尼
材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。 滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。 结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。 试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线成一 个滞后曲线。
根据牛顿第二定律，得：
m x ( t ) F ( t ) F ( t ) F ( t ) d s
单自由度线性系统运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
运动微分方程的特点及所解决的问题
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
杆件作转扭，产生扭角，根据材 料力学知，B点沿x轴的扭角为
Ml B GJ
B点绕x轴转动方向的刚度系数为
M GJ k B l
弹簧串并联与等效弹簧
在机械结构中，弹性元件往往具 有比较复杂的组合形式。例如：并 联弹簧、串联弹簧。 为简化分析，可以用一个“等 效弹簧”代替整个组合弹簧。
静位移对系统运动微分方程的影响 当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。 系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。
运动微分方程： m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k 取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
F x ( t) m m
假设：质块为刚体，不消耗能量。
2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程 如图所示的单自由度弹簧—质量振动系统，质块m受到外界激 励力F(t)的作用。
取质块m取脱离体，质块m受力如图所示。
x(t)——质块位移，静平衡位置为位移起点； Fs(t)——作用在质块上的弹簧力； Fd(t)——作用在质块上的阻尼力。
曲线所围图形面积的物理意义：一个循环 中，单位体积材料所消耗的能量。这部分 能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动 产生阻尼。 试验表明，多数金属结构的材料阻力在 一个周期内所稍耗的能量 ΔEs 与振幅的平 方成正比：
Es x
2
2.1.3 质块
质块的性质：质块在外力作用下的响应 为其端点产生一定的加速度。 根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：
2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动
单自由度系统的运动微分方程：
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动：当F(t)＝0、 c ＝0时，系统所产生的振动。
无阻尼自由振动微分方程： 设： n
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
由运动微分方程所要解决的问题： (1)由m、c、k所决定系统的固有特性； (2)在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？
弹簧串并联等效刚度实例 例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。 阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： 阻尼力的方向和速度方向相反。 假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
m x ( t ) F ( t ) mg c x ( t ) k [ x ( t ) ( t )] s t
m x ( t ) c x ( t ) kx ( t ) F ( t )
结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略 作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。
解： 图中，弹簧刚度分别为k1和k2； 质量m1、 m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。 是并联弹簧，还是串联弹簧？ 并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。
串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。
图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。 是并联弹簧？
系统的等效刚度：keq=k1+ k2
还是串联弹 簧？
k k 1 2 F ( x x ) k ( x x ) s 2 1 eq 2 1 k k 1 2
结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。 串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹 簧较其任何一个组成弹簧都要“软”
弹簧串并联等效刚度实例
例1 求图示系统的等效弹簧刚度。
B点在x方向的刚度系数为
F EA kx xB l
当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。
杆作弯曲变形，根据材料力学知，B 点沿y方向的位移
Pl 3 yB 3EJ
B点沿y方向的刚度系数为
P 3EJ ky 3 yB l
当确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转 动方向加一扭矩M。
2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法
求无阻尼自由振动固有频率的方法：
(1)运动微分方程方法; (2)静变形方法; (3)能量法。
2.4.1 根据运动微分方程求固有频率
运动微分方程：m n 固有频率： x ( t ) k x ( t ) 0
例1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆重量和锤的体 积忽略不计)，组成单摆。杆长为l，摆锤质量m，求摆振动的固 有频率。
0 n
初始条件：
x (0 ) x0 x (0 ) v0
A1 x0 v0 A 2 n
2
结论：
x () t A s i n t n
n
T 2
k m
m k
1 fn 2
k m
v 2 A x 0 1 n x 0 t g v 0 v 0 1 t g n x 0
第2章 单自由度线性系统的自由振动
振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的
往复性机械运动。
自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度) 的激励而引起的振动。
强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。
2.1 振动系统的理想元件 图示单自由度系统： m表示质块 c表示阻尼器 k表示弹簧
组成振动系统的理想元件： 质量元件——质块