4 二次函数与幂函数练习题

§2.4 二次函数与幂函数
一、选择题
1. 幂函数43
y x =的图象是（ ）
答案 A
2.已知幂函数()f x 的图象经过点(2,4),则()f x 的解析式为( ) A.()2f x x = B.2()f x x = C.()2x f x = D.()2f x x =+
答案 B
3．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －2
，x ≤2，
log 2x －1，x ＞2，
则f (f (5))＝( )．
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析 由于函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －2
，x ≤2，
log 2x －1，x ＞2，所以f (f (5))＝f [log 2(5－1)]＝f (2)＝2
2
－2
＝1.
答案 B
4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2
的最小值为( )． A ．2 B.34 C.2
3 D ．0
解析 由x ≥0，y ≥0
x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12
t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝
⎛⎭
⎪⎫
y －23
2＋23
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案 B
5．二次函数f (x )＝x 2
－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2
D ．2
解析：由题意f (x ＋1)＝(x ＋1)2
－a (x ＋1)＋4＝x 2
＋(2－a )x ＋5－a 为偶函数， 所以2－a ＝0，a ＝2. 答案：D
6.设232555
322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A.a ＞c ＞b
B.a ＞b ＞c
C.c ＞a ＞b
D.b ＞c ＞a
答案：A
7 .函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b
2a 对称．据此可推测，对任意的非
零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}
解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b
2a
对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x
＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642
.
答案 D 二、填空题
8．已知(0.71.3)m
<(1.30.7)m
，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵0<0.71.3
<0.70
＝1,1.30.7
>1.30
＝1， ∴0.71.3
<1.30.7
.而(0.71.3)m
<(1.30.7)m
，
∴幂函数y ＝x m
在(0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案：(0，＋∞)
9．若函数y ＝mx 2
＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．
解析 由已知条件当m ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
m >0－1
2m
≤－2时，函数y ＝mx 2
＋x ＋5在[－2，＋∞)上是
增函数，解得0≤m ≤1
4
.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，14 10．若方程x 2
＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．
解析：设f (x )＝x 2
＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
f 0>0， f 1<0，
f 2>0，
即
⎩⎪⎨⎪
⎧
2k －1>0， 3k －2<0， 4k －1>0，解得12<k <23
.
答案：(12，23
)
11．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.
解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β
，
得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2
＝x －2
，解得x ＝±1. 答案 ±1
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≥2，
x －13，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图．
则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．
答案 (0,1) 三、解答题
13．已知函数f (x )＝2x －x m 且f (4)＝－7
2，
(1)求m 的值；
(2)求f (x )的单调区间．
解析：(1)f (4)＝24－4m ＝－72，∴4m
＝4.
∴m ＝1.故f (x )＝2
x
－x .
(2)由(1)知，f (x )＝2·x －1
－x ，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数， 又y ＝x －1
，y ＝－x 均为减函数，
故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f (x )均为减函数． ∴f (x )的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)， 则f (x )＝ax 2
－4ax ＋3a －2x ，
f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0
16a 2
＋16a ＋4－36a 2
＝0,20a 2
－16a －4＝0 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－1
5
，或a ＝1舍去
因此f (x )的解析式为f (x )＝－1
5
(x －1)(x －3)．
15．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．
(1)求f (x )和g (x )的解析式；
(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解析：(1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2
＋2ax (a >0)． ∵f (x )图象的对称轴是x ＝－1，
∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2
＋2x .
又∵函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2
＋2x .
(2)由(1)得h (x )＝x 2
＋2x －λ(－x 2
＋2x ) ＝(λ＋1)x 2
＋2(1－λ)x .
①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1
λ＋1，
则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1
λ＋1≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
16．设函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
解 不等式ax 2
－2x ＋2>0等价于a >2x －2x
2，
设g (x )＝2x －2
x
2，x ∈(1,4)，则
g ′(x )＝2x 2
－2x －22x
x
4
＝－2x 2
＋4x x 4＝－2x x －2x
4
， 当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，
g (x )≤g (2)＝12
，
由已知条件a >12
，
因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.。