锐角三角函数_课件
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锐角三角函数课件
$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
锐角三角函数-PPT课件
BC
tanB= 10 （对） 7
图2
2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和 邻边同时扩大100倍，tanA的值 （C ）
A、扩大100倍 C、不变
B、缩小100倍 D、不能确定
3.如图，△ABC是等腰三角形， AB=BC,你能根据图中所给数据 求出tanC吗？
三角函数一般用于计算三角 形中未知长度的边和未知的角度 在导航、工程学以及物理学方面 都有广泛用途。
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
教学目标 知识技能 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义 和与现实生活的联系 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物 体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。 过程与方法 1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力， 能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分 析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精 神. 情感态度与价值观 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
3、数形结合的方法；构造直角三角形的意 识。
教师总结
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习 惯省去“∠”号；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺 序,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三 角形的边长无关.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的 比叫做∠A的正切,记作tanA,即
B ∠A的对边
tanB= 10 （对） 7
图2
2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和 邻边同时扩大100倍，tanA的值 （C ）
A、扩大100倍 C、不变
B、缩小100倍 D、不能确定
3.如图，△ABC是等腰三角形， AB=BC,你能根据图中所给数据 求出tanC吗？
三角函数一般用于计算三角 形中未知长度的边和未知的角度 在导航、工程学以及物理学方面 都有广泛用途。
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
教学目标 知识技能 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义 和与现实生活的联系 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物 体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。 过程与方法 1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力， 能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分 析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精 神. 情感态度与价值观 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
3、数形结合的方法；构造直角三角形的意 识。
教师总结
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习 惯省去“∠”号；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺 序,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三 角形的边长无关.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的 比叫做∠A的正切,记作tanA,即
B ∠A的对边
锐角三角函数的基本概念优秀课件
随堂练习 18
相信自己 9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°.
（1）AC=25，AB=27，求 tan A 和 tan B； （2）BC=3，tan A=0.6，求 AC 和 AB； （3）AC=4，tan A=0.8，求 BC.
第二十一页，共二十六页。
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC= 13，AD=8，BC=18. 求 tan B.
第二十六页，共二十六页。
第十二页，共二十六页。
B1 B2
C2
C1
例题欣赏 12
行家看“门道”
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
13 m α
甲
5m ┌
6m ┐β 8m 乙
第十三页，共二十六页。
解：甲梯中， tan 5 5 . 乙梯中， tan 6 3 . 132 52 12 ∵tan β >tan α， 8 4
A. 扩大 100 倍
B. 缩小 100 倍
C. 不变
D. 不能确定
4. 已知∠A，∠B为锐角.
（1）若∠A=∠B，则 tan A
tan B；
（2）若 tan A=tan B，则∠A
∠B.
第十八页，共二十六页。
随堂练习 16
八仙过海，尽显才能
5. 如图，分别根据图（1）和图（2）求 tan A 的值. 6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°. （1）AC=3，AB=6，求 tan A 和 tan B； （2）BC=3，tan A= ，5求 AC 和 AB.
12
第十九页，共二十六页。
随堂练习 17
八仙过海，尽显才能
7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=15，tan A= ， 3
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
26.2 锐角三角函数的计算课件(共16张PPT)
例1 用计算器求三角函数值：(精确到0.000 1)．(1)sin 10°； (2) cos 50°18' ．
例题示范
解：（1） ∴ sin 10°≈ 0.173 6．（2） ∴ cos 50°18' ≈ 0. 638 8．
例2 用计算器求下列各锐角的度数：（结果精确到1"）（1）已知cosα=0.523 7，求锐角α.
第二十六章 解直角三角形
26.2 锐角三角函数的计算
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.会用计算器求锐角的三角函数值．2.会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角．
会用计算器求锐角的三角函数值．
正确使用计算器求锐角的三角函数值．
回顾复习
根据前面学习的特殊角的三角函数值，完成下面的表格．
问题引入
我们已经知道30°，45°，60°的三角函数值，那么，怎样计算任意锐角的函数值呢？反过来，已知一个锐角的三角函数值，怎样求出这个锐角呢？如何求它的三角函数值呢？
新知引入
思考 如何用计算器求锐角的三角函数值呢？
计算器上只要有sin,cos,tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
不同计算器的按键方法各有不同，现在介绍一种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
拓展练习
1.用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″的值.
按键顺序
显示结果
sin 16°
0.275 637 355
cos 42°
0.743 144 825
tan 85°
11. 430 052 3
sin72°38′25″
例题示范
解：（1） ∴ sin 10°≈ 0.173 6．（2） ∴ cos 50°18' ≈ 0. 638 8．
例2 用计算器求下列各锐角的度数：（结果精确到1"）（1）已知cosα=0.523 7，求锐角α.
第二十六章 解直角三角形
26.2 锐角三角函数的计算
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.会用计算器求锐角的三角函数值．2.会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角．
会用计算器求锐角的三角函数值．
正确使用计算器求锐角的三角函数值．
回顾复习
根据前面学习的特殊角的三角函数值，完成下面的表格．
问题引入
我们已经知道30°，45°，60°的三角函数值，那么，怎样计算任意锐角的函数值呢？反过来，已知一个锐角的三角函数值，怎样求出这个锐角呢？如何求它的三角函数值呢？
新知引入
思考 如何用计算器求锐角的三角函数值呢？
计算器上只要有sin,cos,tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
不同计算器的按键方法各有不同，现在介绍一种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
拓展练习
1.用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″的值.
按键顺序
显示结果
sin 16°
0.275 637 355
cos 42°
0.743 144 825
tan 85°
11. 430 052 3
sin72°38′25″
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
1.1.2锐角三角函数(公开课课件)
B
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．sinA的值越大，梯子越陡
┌
A
C
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
随堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
那么AB的长为 _______ 20 3
，AC＝4，
随堂练习
5 ． 如图，点P（6，a）在反比例函数的图象上，PH⊥x轴于点H， 连接OP，则sin∠OPH的值为________．
注意
sinA，cosA中常省去角的符号“∠”。但∠BAC的正弦和 余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC。∠1的正弦和余弦表 示为: sin∠1，cos∠1.
sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三 角形的边长没有必然的关系。
2 三角函数的定义
• 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.当 锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之 变化.
随随单堂堂练击练习习此处编辑母版标题样式
4.AD是△ABC的中线，tanB＝1
求•：单（•击二1此级）处B编C辑的母长版；文本样式 5
，cosC＝2
2
（2）∠A• D三•级C四的级正弦值．
• 五级
，A2C＝
正弦、余弦和正切之间的关系
拓展提升
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA= 4 ，AC = 8，
当堂小结 1. 在 Rt△ABC 中
sin A cos B，tan A sin A cos A
2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 ：sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.
则
cosA
25
=____5__.
┌
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．sinA的值越大，梯子越陡
┌
A
C
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
随堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
那么AB的长为 _______ 20 3
，AC＝4，
随堂练习
5 ． 如图，点P（6，a）在反比例函数的图象上，PH⊥x轴于点H， 连接OP，则sin∠OPH的值为________．
注意
sinA，cosA中常省去角的符号“∠”。但∠BAC的正弦和 余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC。∠1的正弦和余弦表 示为: sin∠1，cos∠1.
sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三 角形的边长没有必然的关系。
2 三角函数的定义
• 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.当 锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之 变化.
随随单堂堂练击练习习此处编辑母版标题样式
4.AD是△ABC的中线，tanB＝1
求•：单（•击二1此级）处B编C辑的母长版；文本样式 5
，cosC＝2
2
（2）∠A• D三•级C四的级正弦值．
• 五级
，A2C＝
正弦、余弦和正切之间的关系
拓展提升
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA= 4 ，AC = 8，
当堂小结 1. 在 Rt△ABC 中
sin A cos B，tan A sin A cos A
2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 ：sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.
则
cosA
25
=____5__.
┌
锐角三角函数(18张PPT)
13 5
解：如图（2）在Rt△ABC中，
BC 5 sin A , AB 13
C
(2)
A
AC AB2 BC 2 132 52 12
AC 12 因此sin B AB 13
小试牛刀
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B 3
解：如图（1）在Rt△ABC中，
C
B 13
5
A
AB AC BC 4 (1)
4
2 2
2
C 3
2
5
B
(2)
A
13
BC 3 AC 4 因此sin A , sin B AB 5 AB 5
5
C
(2)
A
试一试
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
小试牛刀
2倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
B
a
c
C
b
A
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即 a ∠A的对边 sinA= = 斜边 c
解：如图（2）在Rt△ABC中，
BC 5 sin A , AB 13
C
(2)
A
AC AB2 BC 2 132 52 12
AC 12 因此sin B AB 13
小试牛刀
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B 3
解：如图（1）在Rt△ABC中，
C
B 13
5
A
AB AC BC 4 (1)
4
2 2
2
C 3
2
5
B
(2)
A
13
BC 3 AC 4 因此sin A , sin B AB 5 AB 5
5
C
(2)
A
试一试
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
小试牛刀
2倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
B
a
c
C
b
A
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即 a ∠A的对边 sinA= = 斜边 c
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)
观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C
沪科版数学九年级上册2.2锐角三角函数课件
简：
1 2sin Acos A
和余弦的关系：sin2 A cos2 A 1
（6）请你利用图示的三角形，说明你的结 论，相信你能给出简单的推理过程。
如果 为锐角，且 sin2 cos2 46 1，那么 的
度数为（A）
A. 46 B. 54 C. 44 D. 34
课堂作业：
教材122页 1.(1)(3) 5
选做题:在 RtABC 中，C 90 ，化
❖ 在数学领域中, 提出问题的一
α sinα cosα tanα
30° 1
这里的角
2
指的是锐 45°
2
角
2
60°
3
2
3
3
2
3
2
1
2
1
3
2
从以上的表格你能发现每一种三角函数随角度的变 化函数值是怎样变化的吗？
归纳：正弦和正切都是随角度的增大函数值 增大的；
sin A a , cos A b ,sin B b , cos B a .
c
c
c
c
sin A cos B,cos A sin B
A B 90
B 90 A
sin A cos B co（ s 90 A），
cos A sin B sin（90 A）。
结论：任意锐角的正（余）弦的值，等于它们的余角的余 （正）弦的值。
余弦值是随角度的增大而减小。
思考： 二
α sinα cosα tanα
30° 1
3
3
2
2
3
45°
2
21
2
2
60°
3
1
3
2
2
从以上的表格你还能发现什么规律？
1 2sin Acos A
和余弦的关系：sin2 A cos2 A 1
（6）请你利用图示的三角形，说明你的结 论，相信你能给出简单的推理过程。
如果 为锐角，且 sin2 cos2 46 1，那么 的
度数为（A）
A. 46 B. 54 C. 44 D. 34
课堂作业：
教材122页 1.(1)(3) 5
选做题:在 RtABC 中，C 90 ，化
❖ 在数学领域中, 提出问题的一
α sinα cosα tanα
30° 1
这里的角
2
指的是锐 45°
2
角
2
60°
3
2
3
3
2
3
2
1
2
1
3
2
从以上的表格你能发现每一种三角函数随角度的变 化函数值是怎样变化的吗？
归纳：正弦和正切都是随角度的增大函数值 增大的；
sin A a , cos A b ,sin B b , cos B a .
c
c
c
c
sin A cos B,cos A sin B
A B 90
B 90 A
sin A cos B co（ s 90 A），
cos A sin B sin（90 A）。
结论：任意锐角的正（余）弦的值，等于它们的余角的余 （正）弦的值。
余弦值是随角度的增大而减小。
思考： 二
α sinα cosα tanα
30° 1
3
3
2
2
3
45°
2
21
2
2
60°
3
1
3
2
2
从以上的表格你还能发现什么规律？
锐角三角函数PPT示范课市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
第9页
解：(1)在图1中 sin A BC AB
A 45 (2)在图2中，
3 2 62
tan a AO 3OB 3 OB OB
a 60
第10页
本节课你学习了什么知识？
第11页
1?
sin 2 30 +tan 2 45 cos 2 45 +tan 30
+sin 2 60 cos30
解：原式=
1 2
2
3 2
2
1
(2)
cos45 sin45
-tan45
解： 2 2 -1 22
0
第8页
例4、(1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6 ,BC= 3 。求∠A度数。
(2)如图,已知圆锥高AO等于圆锥底面半径
OB 倍,3 求α. A
B
(2)
63
AC
(1)
O B
B
∠A对边
sinA
斜边
斜边
A
∠A邻边
∠A对边 cosA
∠A邻边 斜边
∠A对边
C
tanA
∠A邻边
第2页
1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A三角函数值。
① a=9 b=12
② a=9 b=12
2、已知∠A为锐角，sinA＝ 15 ，求cosA、tanA值。 17
第3页
第4页
Hale Waihona Puke 第5页特殊角三角函数值
2、已知：α为锐角，且满 足 3tan2-4ta+ n3 =0，求α度数。
第12页
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
1-2s i
第13页
4、操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高 度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆顶部， 视线与水平线夹角为30度，并已知目高为1.65米．然
锐角三角函数--课件
D
A
F
E
C
B
哪个轨道更陡？
你是如何判断的？
问题1：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
问题2：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
E
(1)
B
(2)
4m
6m
A
2m C
D
3m
F
问题3：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
(1)
B
(2)
E
4m
A
3m C
3m
D
2m F
（2）若AC=9，AB=15，求
tanA和tanB
B
C
如图，某人从小山坡下的B点走了15米到达坡顶的A， 已知点A到坡脚的垂直距离为9m，求坡的坡度.
A
坡角
B
C
练 如图:求tanC=( C
(A) 1 (B) 5 (C) 4
6
3
B
) (D) 5
3
5
5
4
构造直角三角形
A 3 D6 3 C
在非直角三角形中求角的正切值，要作辅助 线构造直角三角形来解决问题.
小组活动3：
探索30°，45°，60 ° 角的正切值.
小组活动4：
如图，△ABC是等腰直角三角形，
∠C=90°. 若 AD是BC边上的角平
分线， 求∠BAD的正切值.
B
D
A
C
将本堂课记录的角度及 它的正切值填入表格
（按角的度数从小到大排列）
1、谈谈本节课的收获. 2、说说团队合作的感受.
作业布置：
邻边的比值改变吗？
B
B1
A
C1
A
F
E
C
B
哪个轨道更陡？
你是如何判断的？
问题1：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
问题2：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
E
(1)
B
(2)
4m
6m
A
2m C
D
3m
F
问题3：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
(1)
B
(2)
E
4m
A
3m C
3m
D
2m F
（2）若AC=9，AB=15，求
tanA和tanB
B
C
如图，某人从小山坡下的B点走了15米到达坡顶的A， 已知点A到坡脚的垂直距离为9m，求坡的坡度.
A
坡角
B
C
练 如图:求tanC=( C
(A) 1 (B) 5 (C) 4
6
3
B
) (D) 5
3
5
5
4
构造直角三角形
A 3 D6 3 C
在非直角三角形中求角的正切值，要作辅助 线构造直角三角形来解决问题.
小组活动3：
探索30°，45°，60 ° 角的正切值.
小组活动4：
如图，△ABC是等腰直角三角形，
∠C=90°. 若 AD是BC边上的角平
分线， 求∠BAD的正切值.
B
D
A
C
将本堂课记录的角度及 它的正切值填入表格
（按角的度数从小到大排列）
1、谈谈本节课的收获. 2、说说团队合作的感受.
作业布置：
邻边的比值改变吗？
B
B1
A
C1
28章锐角三角函数全章ppt课件
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确 定，此时，其他边之间的比 是否也确定了呢？为什么？
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如图 10，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为 60°，看这栋高楼底部的俯角为 30°，热气球 与高楼的水平距离为 66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
图 10
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意，可得 ∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，AD＝66. 在Rt△ADB中，由tan∠BAD＝BADD， 得BD＝AD·tan∠BAD＝66×tan60°＝66× 3＝66 3. 在Rt△ADC中，由tan∠CAD＝CADD， 得CD＝AD·tan∠CAD＝66×tan30°＝66× 33＝22 3. ∴BC＝BD＋CD＝66 3＋22 3＝88 3≈152.2. 答：这栋楼高约为152.2 m.
＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越
_陡_______
定义
(3)方向角 (或方位
角) 图例
指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角叫做方向角
9.如图 5，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前
进 60 米到 C 点，又测得仰角为 45°，则该
高楼的高度大约为( A )
6．计算：12－1－2cos30°＋ 27＋(2－π)0.
解：21－1－2cos30°＋ 27＋(2－π)0 ＝2－2× 23＋3 3＋1 ＝2－ 3＋3 3＋1 ＝2 3＋3.
考点3 解直角三角形的基本关系
边的关系 角的关系 边角关系
面积 拓展
正弦 余弦 正切
勾股定理：a2＋b2＝c2
∴cosA＝AACB＝1157kk＝11`57.
tanA＝BACC＝185kk＝185.
考点2 特殊角的三角函数值
2 2
3 2
3
5.计算：tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是( C )
A．2
B. 3 C. 2
D．1
6．已知a为锐角，且sin(a－10°)＝ 23，则a等于( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
图8
解：∵AB为南北方向， ∴△AEP和△BEP分别为直角三角形． 在Rt△AEP中， ∠APE＝90°－60°＝30°，
AE＝21AP＝12×100＝50(海里)，
∴EP＝100×cos30°＝50 3(海里)． 在Rt△BEP中， BE＝EP＝50 3海里， ∴AB＝(50＋50 3)海里． 答：测量船从A处航行到B处的路程为(50＋50 3)海里.
锐角三角函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 锐角三角函数
锐角三角函数
a
b
正弦 sinA＝___c__，sinB＝__c___
b
a
余弦 cosA＝__c___，cosB＝__c___
a
b
正切 tanA＝__b___，tanB＝__a___
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值 是( A )
形，则cos∠AOB＝OOAB＝2
10＝ 5
2 2.
4．如图 2 所示，已知∠A 为锐角，sinA＝187，求 cosA，tanA 的值．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝ABBC＝187，
图2
故设BC＝8k，AB＝17k，由勾股定理，得： AC＝ AB2－BC2＝ 17k2－8k2＝15k，
┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 如图 9，大楼 AD 高 30 m，远处有一塔 BC，某人在 楼底 A 处测得塔顶的仰角为 60°，爬到楼 顶 D 测得塔顶的仰角为 30°.求塔高 BC 为 多少？
[解析] 用AC表示出BE、BC长，根据BC－
BE＝30得方程求AC，进而求得BC长．
图9
么他所在位置到公路的距离 AB 为( C )
A．300 2米
B．300 3米
C．300 米
D．200 3米
图7
12．[2012·南通]如图 8，某测量船位于海岛 P 的北偏西 60° 方向，距离海岛 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于海岛 P 的西南方向上的 B 处，求测量船从 A 处 航行到 B 处的路程(结果保留根号)．
2 2 BD
图4
考点4 解直角三角形的应用
(1)仰角和 仰角 俯角 俯角
坡度 (2)坡度和
坡角 坡角
在视线与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的叫仰角
视线在水平线下方的叫俯角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡面的坡度(或坡比)，记作i＝__h_∶_l____ 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i
∠A＋∠B＝90°
a
b
sinA＝___c___， sinB＝__c____
b
a
cosA＝___c___，cosB＝__c____
a
b
tanA＝___b___，tanB＝__a____
SRt△ABC＝12ab＝12chc，hc为斜边上的高 非直角三角形要构造直角三角形
7.如图 3，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝
A．82 米
B．163 米
C．52 米
D．30 米
图5
[解析] 设楼高 AB 为 x.在 Rt△ADB 中有：DB＝tanx30°＝ 3x；
在 Rt△ACB 中有：BC＝tanx45°＝x. 而 CD＝BD－BC＝( 3－1) x＝60， 解得：x≈82.
10．如图 6，梯形护坡石坝的斜坡 AB 的坡度 i＝1∶3，坡高 BC 为 2 米，则斜坡 AB 的长是( B )
10，则 BC 的长为( B )
A．10tan50°
B．10cos50°
C．10sin50°
D.cos1500°
图3
8．已知：在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°， AD 为 BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B )
A．AD＝
3 2 AB
B．AD＝12AB
C．AD＝BD
D．AD＝
解：根据题意得BC＝
3 AC，BE＝
3 3
AC.∴大楼高AD＝BC
－BE＝
3－ 33AC＝30.解得AC＝15
3.
∴BC＝ 3AC＝45.
答：塔高BC为45 m.
[方法归纳] 解直角三角形在实际应用中非常广泛， 注意先将实际问题抽象成数学模型，然后借助锐角三角 函数的知识来研究角和边的关系．
A．2 5米 B．2 10米 C．4 5米 D．6 米
图6
[解析] 因为斜坡AB的坡度i＝BC∶AC＝1∶3，BC＝2， 所以AC＝6. ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 22＋62＝2 10(米)．
11．如图 7，小惠家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，
测得一水塔(图中点 A 处)，在她家北偏东 60°方向 600 米处，那
1
2
A.2
B. 2
3 C. 2
D．2
2．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进了m米，那么他上升的
高度是( A )
A．m·sinα米
B．m·cosα米
C．m·tanα米
D.tamnα米
3．如图 1，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 cos ∠AOB 的值是___2_2____．
图1
[解析] 的逆定理可得△AOB是以OB为斜边的直角三角