一次函数与三角形面积问题
一次函数与反比例函数求三角形面积
一次函数与反比例函数求三角形面积
要求三角形的面积，首先要知道三角形的底和高。
对于一次函数，可以表示为y=ax+b。
设两个点的坐标为
（x1,y1）和（x2,y2），则可以通过这两个点求得直线的斜率
a和截距b。
斜率a即为直线的导数，表示直线的倾斜程度。
然后通过求两点间的距离|x2-x1|作为三角形的底d。
反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个常数。
对于反比例函
数来说，由于分母x不能为0，所以不能计算出具体的斜率。
在求三角形面积时，我们可以假设x的值很小，可以无限接近于0，此时y的值趋于无穷大。
这时我们可以通过取两个非常
小的点（x1,y1）和（x2,y2）求出直线斜率的极限值，即为0。
我们同样通过|x2-x1|计算出三角形的底d。
对于一次函数和反比例函数，计算出底d之后，我们还需要计算出三角形的高h。
通过已有的函数表达式，可以在直线上取
两个点（x,y1）和（x,y2），计算出点到直线的距离即可，即
为三角形的高h。
最后，根据底d和高h，可以计算出三角形的面积S = 1/2 * d
* h。
一次函数与x轴y轴围成的三角形面积公式
一次函数与x轴y轴围成的三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，一次函数可是个重要的角色。
今天，咱们就来好好聊聊一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式这个有趣的话题。
还记得我上初中那会，有一次数学考试，最后一道大题就考到了这个知识点。
当时我拿到试卷，心里还美滋滋的，想着前几天刚认真复习过，这题肯定能拿下。
题目是这样的：已知一次函数 y = 2x + 4 ，求它与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积。
我一开始信心满满，先求出了与 x 轴、y 轴的交点坐标。
当 y = 0 时，2x + 4 = 0 ，解得 x = -2 ，所以与 x 轴的交点坐标是（-2，0）；当 x = 0 时，y = 4 ，与 y 轴的交点坐标就是（0，4）。
然后我就按照老师教的方法，算出了三角形的底和高。
以与 x 轴的交点到原点的距离为底，长度是 2 ；以与 y 轴的交点到原点的距离为高，长度是 4 。
最后用三角形面积公式 S = 1/2 ×底 ×高，算出面积是4 。
做完这道题，我心里那个得意呀，觉得自己肯定能拿高分。
可等到试卷发下来，我傻眼了，居然因为粗心，计算过程中少写了一个负号，扣了好几分。
那叫一个懊悔啊！好了，言归正传，咱们来说说一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式到底是怎么回事。
对于一次函数 y = kx + b （k≠0），它与 x 轴的交点坐标为（ -b/k ，0 ），与 y 轴的交点坐标为（0，b）。
那这个三角形的底就是与 x 轴交点的横坐标的绝对值，也就是 | -b/k | ；高就是与 y 轴交点的纵坐标的绝对值，即 | b | 。
所以，这个三角形的面积 S 就可以表示为：S = 1/2 × | -b/k | × | b | 。
为了更好地理解这个公式，咱们再来看几个例子。
比如一次函数 y = 3x - 6 ，它与 x 轴的交点，令 y = 0 ，3x - 6 = 0 ，解得 x = 2 ，交点坐标就是（2，0）；与 y 轴的交点，令 x = 0 ，y = -6 ，交点坐标是（0，-6）。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
在微积分计算中，我们更了解到运用三角形面积公式可以解决许多分段运算的
面积问题，而一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式便是利用这种方法的一个用例。
一次函数与坐标轴围成的三角形的面积公式为：S＝y（x2-x1）/2 。
公式中，
S表示面积，y为所求三角形的另外两个顶点与y轴之间的距离或高度，x2表示该
三角形另外两个顶点的横坐标，x1表示该三角形最低点的横坐标。
因此，我们可以利用一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式来解决各种被一
次函数围成的三角形的面积问题。
特别是在微积分课程中，大学生们可以利用这个公式来解决许多常见的分段积分问题，事半功倍。
此外，这个公式也可以解决高校考试中经常出现的“求某一段函数的积分面积”类型的试题，从而帮助考生了解到其可视化后图像所围成的三角形的线性特性，让考生更清晰地理解它们之间的联系以达成有效的求解。
总之，通过掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式，大学生们可以更加
熟练地解决分段函数的面积问题，且可以更进一步地加深理解这些函数间的关系，从而更好地应对学业中各种考据。
一次函数中的三角形面积问题.docx
北京师范大学出版社八年级上册小专题一次函数中的三角形面积问题数学组周琼2016.11.23一．教学目标：1．通过本节课的学习，了解一次函数中与三角形面积有关的常见的基本图形，掌握在一次函数中求三角形面积的解题策略、基本方法．2．指导学生进一步利用图形直观，学会观察、分析，利用“割补法”有意识地将平面直角坐标系内一般的斜三角形的面积问题转化成“有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形”，或将图形补成一个矩形或梯形并通过有关计算解决问题，进一步体会数形结合思想、建模思想、割补法等数学思想方法．3．通过学生的合作、交流、展示、分享，进一步激发学生学习数学的兴趣和积极性，享受学习的过程，感受成功的快乐，增强学习的自信心与合作学习意识．二．教学重点：教学重点：建模以及“割补法”的灵活运用．教学难点：对较难的图形进行合理的割补，选择最佳解题途径．四．教法与学法学法：自主探究、合作交流、成果分享教法：老师指导下以学生探究学习为主的分享交流、总结提升五．课前准备收集整理周末学生《好题集锦》、多媒体课件、学案．六．教学过程设计教学 教师活动学生活动设计意图环节分享 （板书课题）学生代表 展示学习成 展示1. 图片引入新课，四个学生展示周末自主学习成果，提炼出四 投影并讲 果，培养学生种常见图形．（白板板书，图略）解．能力 ．2. 引导学生观察图形特征，总结解题思路3. 过手练习如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32总 与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y2x2 相交于结点 E （-10,-14） y33提（1）S AOBB升 （ 2）S ACEAOC， x变（ 3）过 A 做 AF//y 轴交 EC 于 F ，DF则 SE式AFE探究4. 挑战自我（一题多解，选择最优解题途径板书解题过程）如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y 2x 2 相交于点1014）33独立思考，检查基础过自主完成，关情况，了解交流评价。
一次函数动点中的三角形全等以及面积
A B C O y 2y1x yP例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分． （1）求△ABO 的面积；（2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。
例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。
①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.例2、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系内(O 为坐标原点),点A 在x 轴上,点C在y 轴上,点B 的坐标为(-2,32),点E 是BC 的中点,点H 在OA 上,且AH=21,过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G,现将矩形折叠,使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合,折痕为EF,点F 为折痕与y 轴的交点.(1)求∠CEF 的度数和点D 的坐标;(3分) (2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;(2分)(3)若点P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时,试问满足条件的点P 有几个,请求出点P 的坐标,并写出解答过程.(5分)xyF CE B GAHO Dxy FCE B GAH O D2、如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线x交于点C．平y3行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数与三角形面积问题教学设计
一次函数与三角形面积问题教学设计本教学设计旨在介绍一次函数与三角形面积问题的重要性和应用背景。
一次函数与三角形面积问题是数学中重要的概念，其应用广泛，能够帮助学生理解和应用数学知识。
一次函数是数学中最简单的一种函数，它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
一次函数可以描述线性关系，如直线的斜率和截距。
三角形面积问题是几何学中的经典问题，涉及到三角形的面积计算与相关性质。
通过解决三角形面积问题，学生不仅能够掌握计算面积的方法，还能加深对三角形的认识和理解。
在日常生活和实际工作中，一次函数与三角形面积问题有着重要的应用。
例如，建筑师需要计算房屋的地板面积；经济学家需要分析市场的需求曲线；物理学家需要测量三角形形状的物体的面积等等。
因此，通过研究一次函数和三角形面积问题，学生能够培养数学思维和解决实际问题的能力。
接下来，我们将介绍一次函数和三角形面积问题的基本概念，并设计教学活动帮助学生理解和应用这些概念。
教学目标明确学生在研究过程中应达到的目标，例如掌握一次函数与三角形面积问题的基本概念和计算方法。
本教学设计将详细列举教学内容和分步骤的教学方法，包括一次函数的定义、性质和常见例题，以及三角形面积计算公式和实际问题的解决方法。
一次函数的定义和性质一次函数的定义：介绍一次函数的定义，即形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数。
一次函数的性质：讲解一次函数的性质，如斜率 k 的含义、截距 b 的含义、函数图像的倾斜方向等。
一次函数的例题演练一次函数的图像绘制：给出几个一次函数的表达式，要求学生绘制出相应的函数图像，并分析图像的特征。
一次函数的斜率计算：给出一些一次函数的表达式，要求学生计算出相应函数的斜率，并解释其意义。
一次函数的解方程：提供一些一次函数的方程，要求学生解出方程的根，并用图像验证结果。
三角形面积的计算三角形面积的计算公式：介绍三角形面积的计算公式，即面积等于底边长乘以高的一半。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形面积要计算一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，我们首先需要明确一次函数的图像和坐标轴之间的关系。
一次函数的图像是一条直线，而坐标轴是由两条垂直于彼此的直线组成的。
当一次函数与x轴相交时，我们可以找到与x轴相交的两个点，然后通过这两个点和与它们连结的线段来计算三角形的面积。
我们用y = mx + b来表示一次函数的一般形式。
其中，m是斜率，b是y轴截距。
当这个函数与x轴相交时，我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标。
假设我们找到了两个相交点(x1, 0)和(x2, 0)。
接下来，我们可以计算通过这两个点的线段的长度。
线段的长度可以通过两点之间的距离公式来计算，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在我们的情况下，y1和y2都是零，所以这个式子简化为：d=√((x2-x1)²)这个线段的长度就是一次函数与x轴相交的两点之间的水平距离。
现在，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的形式是：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三条边的长度，而s是半周长，s=(a+b+c)/2在我们的情况下，三角形的两条边就是x轴和一次函数的图像，而我们已经计算出了这两条边的长度，记为d。
所以我们可以将这些值代入到海伦公式中来计算三角形的面积：A=√(s(s-d)(s-d)(s-d))由于两边的长度都是d，我们可以简化公式为：A=√((3d/2)(d/2)(d/2)(d/2))A=√((3d/2)(d/2)³)A=√((3d/2)*(d²/4)²)A=√((3d²/8)*d²)A=(d/2)*√(3d²/2)A=(d/2)*√(3)d因此，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是(d/2)*√(3)d。
让我们通过一个具体的例子来计算一下，假设一次函数是y=2x+3、我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标：0=2x+32x=-3x=-3/2所以，我们找到了与x轴相交的两个点(-3/2,0)和(0,0)。
一次函数求坐标三角形面积问题
（0，8）
P
o
6
A
（8，0）x
能力训练
3、点P(x,y)在第一象限，且在直线y=8-x上， 点A(6，0)，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式； （2）当点P横坐标为5时， 求△OPA的面积？ （3）当S=12时，求P点坐标?
考纲要求：C（掌握） 教学目标： 1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交 点坐标的求法，会求出两直线交点坐标， 进一步体会函数、坐标、几何图形之间的 相互转化，在解决函数相关问题中的重要 作用. 2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的 面积的计算方法，体会一次函数的有关面 积问题的解决思路.
1、一次函数的图象是一条直线, 如何画出一次函数的 图象? 两点作图法
直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积是__8___.
B (2)直线经过点P(3，a)，求△OAP的面积?
P（3，1）
如何求△OBP
A
的面积?
二、由面积关系求点坐标
例2.已知直线y=kx+b与y轴交于点A（0，4），与x轴交于 点B,且△OAB的面积为4，求B点坐标。
解:∵直线与y轴交于点A（0，4）
y=2x-4
DA
O
2
x
EC
-4 B
这节课你学到了什么？
1、由一次函数解析式求面积
函数解析式
与坐标轴的 交点坐标
2、由面积关系求点的坐标
线段长
三角形面积
三角形面积 底或高 的长度
与坐标轴的 交点坐标
3.要掌握分类讨论，数形结合，转化的数学思想。
专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)
1专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数3知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB=①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，5①OD ＝AD ＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO 时，①ADC ＝①AOB ＝90°，AD ＝OB ＝2，①OD ＝OA ＋AD ＝1＋2＝3． 综上所述，OD 的长为31． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（ ） A ．4 B ．6C ．D ．12【答案】A 【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案． 【详解】解：设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k ）＝3x+3k ．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k ，0）、（0，3k ） 所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：12k •3k ＝24， 解得：k ＝4或﹣4（舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键． 7．已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ） A ．y=1.5x+3 B ．y=1.5x -3 C ．y=-1.5x+3 D ．y=-1.5x -3【答案】C 【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0），根据三角形的面积公式即可求得a 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0）， ①一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，3）， ①b=3，①这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3， ①12×3×|a|=3， 解得：a=2，把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x 轴的交点坐标是解题的关键．8．如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（ ）7A ．﹣2B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得到M （1，3），求得l 2的解析式为y=3x ，根据l 1，l 2，l 3能围成三角形，l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3），于是得到结论． 【详解】解：把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1， ①M （1，3），设l 2的解析式为y=ax ， 则3=a ， 解得a=3，①l 2的解析式为y=3x ， ①l 1，l 2，l 3能围成三角形，①l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3）， ①k≠3，k≠-2，k≠1， ①k 的值能取的是2， 故选C ． 【点睛】本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，一次函数26y x =-+与坐标轴围成的三角形面积是：（ ） A ．6 B ．9 C ．15 D ．18【答案】B 【分析】根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】根据题中的关系式，可画出函数图像当0x =时，6y =，所以点A 的坐标为()06， 当0y =时，3x =，所以点B 的坐标为()30，12OABS OB OA =⨯ 1362=⨯⨯ 9=故答案为B. 【点睛】解题的关键是能够根据函数关系式求出函数与坐标轴的交点坐标．10．如图，在Rt①ABO 中，AB①OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分 的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S=t (0＜t ≤3)B ．S=12t 2 (0＜t ≤3) C ．S=t 2 (0＜t ≤3) D ．S=12t 2 -1(0＜t ≤3)【答案】B 【分析】由AB 、OB 的长度求出点A 、点B 的坐标，进而求出OA 所在直线的解析式，令x =t ，求出y ，确定t 的范围，利用三角形面积公式表示出S 即可. 【详解】 ①AB =OB =3， ①A （3，3），①OA 所在直线解析式为y =x ， 当0＜t ≤3时，令x =t ，则y =t ， ①S =12t 2（0＜t ≤3）.故选B.9【点睛】本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解. 二、填空题11．直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积为__________． 【答案】2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式可求出直线与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：当0x =时，4044y =⨯-=-，①直线44y x =-与y 轴的交点坐标为()0,4-； 当0y =时，440x -=，解得：1x =， ①直线44y x =-与x 轴的交点坐标为()1,0．①直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积14122=⨯⨯=．故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是把求线段的长的问题转化为求函数的交点．12．已知点A （7，0），B （0，m ），且直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28，则m 的值是__________． 【答案】8± 【分析】先分别求出点A 、点B 到坐标轴的距离即OA 、OB ，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：①点A （7，0），B （0，m ）， ①OA =7，OB =｜m ｜，①直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28， ①12×7×｜m ｜=28， 解得：m =±8， 故答案为：±8． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．13．已知直线1l ：23y x =-+，和直线2l ：6y x =-，若直线3l ：2y kx =-与1l 、2l 不能围成三角形，则k =_________．【答案】2-或1或13-【分析】由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线123,,l l l 不能围成三角形，有三种情况：①l 1①l 3，①l 2①l 3，①三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案． 【详解】解：若l 1①l 3则2k =-； 若l 2①l 3，则1k =； 若三条直线交于一点，236y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， 即1l 与2l 交于一点(3,3)-， 则3l 过该点，代入： 332k -=-，解得13k =-，综上所述，k 为2-或1或13-，故填：2-或1或13-．【点睛】本题考查一次函数图像和性质，两直线平行k 相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法．14．已知一次函数4y kx =-的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k 的值为________． 【答案】43±【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的周长列出方程求得k 即可． 【详解】解：令x ＝0，有y ＝0−4＝−4， 令y ＝0，有kx −4＝0，x ＝4k，①直线4y kx =-与坐标轴的交点坐标为（0，−4）和（4k，0），①一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的周长等于12，①|−4|+|4 k①k＝43±，经检验：k＝43±是方程的解，故答案是：43±．【点睛】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据三角形的周长列出方程是解答此题的关键．15．将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y轴分别交于点,,A B那么ABO为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x=-+的坐标轴三角形的面积是_____．【答案】16【分析】求出点A，点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：对于142y x=-+，当x=0时，y=4，当y=0时，x=8①A（8，0）B（0，4），所以OA=8，OB=4，①S①AOB＝12×8×4＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．三、解答题1116．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标分别()2,0A -，()2,0B ，(0,C ，直线l 过点B ，且与x 轴的正半轴成60︒角，将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．解答下列问题：（1）填空：ABC 为________三角形（选择“等腰”或“等边”一种），直线l 的函数表达式为_______；（2）若0180α<<︒，在ABC 的旋转过程中，当ABC 的一边与直线l 互相垂直时，记A 点的对应点为A '，求点A '的坐标；（3）当210α︒=时，记旋转后顶点A ，C 的对应点分别为M ，N PQ 在直线l 上移动，连结MQ ，NP ，试求四边形MQPN 周长的最小值．【答案】（1）等边，y -（2）A ´（2-2）或（2，4）或（2）；（3）．【分析】（1）利用点的坐标，求出OA =OB =2，OC ，利用勾股定理得出边长即可；设l ：y =kx +b ，把B 、E 点的坐标代入即可；（2）分'A B l ⊥，''A C l ⊥，'BC l ⊥三种情况分别画出符合的图形，然后再分别求解即可；（3）由题意先确定出点N 坐标，在四边形MQPN 中，MN=4，则只需要MQ +PN 的值最小即可，如图，过点M 作MH //BE ，然后取MF =PQ 作出点M 、F 关于直线l 的对称点M ′，F ′，再分别过点M ′、F ′作x 轴、y 轴的垂线，两垂线交于点G ，连接NF ′，则NF ′的长就是MQ +PN 长的最小值，求出NF ′的长即可． 【详解】（1）①x 轴①y 轴，13①OC ①AB ，又①A （-2，0），B （2，0），C （0，）， ①OA =OB =2，OC， ①OC 是AB 的垂直平分线， ①BC =BA ，在Rt OBC 中，BC4= ， AB =OA +OB ， ①AB =BC =AC =4， ①ABC 为等边三角形；设直线l 与y 轴的交点为E ，在Rt OBE 中，①OBE =60°，OB =2 ①OE. ①E （0，-， 设l ：y=kx +b ，代入B (2，0)，E （0，-，① 20k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，①y-(2)如图，当'A B l ⊥时，过点'A 作'A F x ⊥轴于点F ，①'90A BE ∠=︒，'90A FB ∠=︒， ① ①OBE =60°，①α=①A′BF =90°-60°=30°， ①A′F =1'22A B =，BF=， ①OF =BF -OB =A´B -OB-2，①A ´（2-2）；如图，当''A C l ⊥时，垂足为F ，①1'''302A BF A BC ∠=∠=︒，'90A FB ∠=︒，① ①OBE =60°，①α=①A′BA =180°-30°-60°=90°， ①'A B AB ⊥，即'A B x ⊥轴， ①A ´（2，4）；如图，当'BC l ⊥时，''A C 交x 轴于点F ，①'90EBC ∠=︒， ① ①OBE =60°，①①FBC ′=180°-90°-60°=30°，①①A′BF =①A′BC ′-①FBC ′=60°-30°=30°， ①α=①A′BA =180°-30°=150°，①A′FB =90°， ①''A C AB ⊥，即''A C x ⊥轴，①A′F =2，BF =①OF=OB+BF①A´（2）；综上，A′的坐标为：（2-2）或（2，4）或（2）；（3）α=210°时，①ABM=360°-210°=150°，①①ABN=①ABM-①MBN=90°，①N（2，-4）在四边形MQPN中，MN=4，MQ+PN的值最小即可，如图，过点M作MH//BE，然后取MF=PQ分别作出点M、F关于直线l的对称点M′，F′，再分别过点M′、F′作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点G，连接NF′，则NF′的长就是MQ+PN长的最小值，①''M F=由对称性可知点①M′BA=30°，又（1）可知M′（2-2），在①M′F′G中，1'''2F G M F==3'4M G=，①3'224F⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，即5'24F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，①'F N①15【点睛】本题考查了旋转，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：43y x =与直线2l ：y kx b =+相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴负半轴于点B ，且OB OA =． （1）求点B 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）过点B 作31//l l 交x 轴于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．【答案】（1）35y x =-；（2）758【分析】（1）利用直线1l 的解析式求出点A 的坐标，再根据勾股定理求出OA 的长度，从而可以得到OB 的长度，根据图象求出点B 的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线2l 的函数表达式；（2）根据题意易求得直线3l 为453y x =-，即可求得15(4C ，0)，根据直线2l 的解析式求得与x 轴的交点D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】解：（1）点A 的横坐标为3， ①将x ＝3代入43y x =，得：4343y =⨯=，∴点A 的坐标是(3,4)，5OA ∴=，OA OB =，5OB OA ∴==，17∴点B 的坐标是(0,5)-，把A 、B 的坐标代入y kx b =+得：345k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得35k b =⎧⎨=-⎩，∴直线2l 的函数表达式是35y x =-；（2）①31//l l 且点B 的坐标是(0,5)-，∴直线3l 为453y x =-， 令0y =，则154x =， 15(4C ∴，0)，设直线2l 与x 轴的交点为D ， 将y ＝0代入35y x =-，得：53x =，5(3D ∴，0)，155254312CD ∴=-=， ABC ∴的面积12575(45)2128=⨯⨯+=．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．18．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知ABC ，请用尺规作出ABC 的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上、OC 在y 轴的正半轴上，6,4OA OC ==． ①请判断直线4833y x =-是否为矩形OABC 的面积等分线，并说明理由； ①若矩形OABC 的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在ABC 中，点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3，点C 的坐标为()2,0，点D 的坐标()0,2-，求过点D 的一条ABC 的面积等分线的解析式．（4）在ABC 中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()0,1，直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线，请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线；①y =2x −4或y =29x +43；（3）22y x =-；（4）01b ＜＜ 【分析】（1）作出线段BC 的垂直平分线，找到BC 中点D ，连接AD ，AD 即所求的ABC 的一条面积等分线．（2）①连接AC ，OB 交于点M ，根据6,4OA OC ==求出点M 的坐标，然后由矩形性质可知形OABC 的面积等分线必过点M ，将M 点的坐标代入4833y x =-判断M 点不在一次函数图像上，即可判断出直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可； （3）根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线AB 的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可； （4）根据图像结合面积等分线的性质即可求出b 的取值范围．19【详解】解：（1）如图1所示，作出BC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ， ①AD 是三角形ABC 的中线，①AC 所在直线即要求的ABC 的一条面积等分线．（2）①如图2所示，连接AC ，OB 交于点M ．①OA =6，OC =4， ①()6,0A ，()0,4C ， ①()3,2M ，①四边形OABC 是矩形，①矩形OABC 的面积等分线必过点M ， 将x =3代入4833y x =-中，得： 48432333y =⨯-=≠，①直线4833y x =-不过点M ， ①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①如图所示，由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，①3k+b=2，①b=2−3k，①矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2−3k，令x=0，y=2−3k，①F(0，2−3k)，①OF=|2−3k|，令y=0，①x=32kk-，①E(32kk-，0)，①OE=32kk-，①矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，①142OE OF•=，①OE①OF=8，①|2−3k|①|32kk-|=8，①k=2或k=29，①矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x−4或y=29x+43．（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为y kx b=+，交x轴于点F，交AB 于点E．21①三角形ABC 面积的等分线y kx b =+过点D ， ①将D ()0,2-代入表达式得：b =-2， ①表达式为2y kx =-．将y =0代入2y kx =-得：x =2k ，①F 20k ⎛⎫⎪⎝⎭，． ①AF =22k+． ①点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3， 利用待定系数法可得AB 的表达式为112y x =+， ①DE 和AB 交于点E ， ①联立表达式得：1122y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：6216221x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩．①14362ACB S =⨯⨯=△，①132AEF ACB S S ==△△， ①132E AF y ⨯⨯=， 代入得：126223221k k k ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 整理得：24720k k --=，解得：12124k k ==-，（舍去），①三角形ABC 面积的等分线的表达式为22y x =-． （4）如图所示，①直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线， 由图像可知，当1b ≥或0b ≤时，无论a 取何值，直线()0y ax b a =+>都不能把ABC 的面积平分， ①01b ＜＜． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解．19．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2）且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴正半轴交于点C ． （1）求直线n 的函数表达式；（2）若①ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若①ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC ，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝423x -；（2）C （0，4）；（3）y ＝463x -+．【分析】（1）用待定系数法求直线n 的函数解析式；23（2）根据①ABC 的面积为9可求得AC 的长，可得出结论；（3）过点B 作BD ①y 轴于点D ，则CD ＝AD ＝4，得C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ，将B ，C 代入即可． 【详解】解：（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，①直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2），点B （3，2），①232b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①直线n 的函数解析式为：y ＝423x -； （2）①若①ABC 的面积为9， ①9＝132AC ， ①AC ＝6， ①OA ＝2，①点C 在y 轴正半轴， ①C （0，4）；（3）当AB ＝BC 时，过点B 作BD ①y 轴于点D ，①CD ＝AD ＝4， ①C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ， 将B （3，2），C （0，6）代入得：326k b b +=⎧⎨=⎩， 解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①直线l 的解析式为：y ＝463x -+．【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． 20．如图，直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点，连接OA 、OB ．（1）求m 、n 、k 的值； （2）求AOB 的面积；（3）直接写出12y y <时，x 的取值范围．【答案】（1）11,,33m n k ==-=；（2）356；（3）02x << 或13x <-【分析】（1）根据题意可先出m ，n ，可得()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，再代入反比例函数解析式求出即可；（2）先求出直线与y 轴的交点坐标，可得AOB 的面积AODBODSS=+，即可求解；（3）观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x 的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点， ①当2x = 时，2351m =⨯-= ，当6y =- 时，635n -=- ，解得：13n =- ，①()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，将()2,1A 代入反比例函数21k y x -=，得：112k -=， 解得：3k = ，（2）设直线AB 与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ，25当0x = ，15y =- ， ①()0,5D - ， 即OD =5， ①AOB 的面积1112223AODBODSSOD OD =+=⨯⨯+⨯⨯ 111352552236=⨯⨯+⨯⨯= ； （3）①直线135y x =-与反比例函数21k y x -=的图象交于点()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ， ①由图象可知，当12y y <时，02x << 或13x <- ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，利用反比例函数与一次函数的交点解答是解题的关键． 21．如图直线l 1＝kx +5与y 轴交于点A 直线l2＝﹣x +1与直线l 1交于B ，与y 轴交于C ，已知点B 的纵坐标为2．（1）确定直线l 1的解析式；（2）直线l 1、l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 ；（3）垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于M 、N ，若线段MN 的长为2，求a 的值．【答案】（1）35y x ==；（2）2；（3）12a =-或32a =-【分析】（1）根据B 点的纵坐标为2且B 是两直线的交点，先把B 纵坐标代入l 2求出B 点坐标，然后代入l 1解析式即可求解；（2）分别求出A 、C 两点的坐标，然后求解面积即可得到答案；（3）把x a =代入两直线解析式分别求出M 、N 的坐标，然后根据MN =2求解即可得到答案. 【详解】解：（1）解：把2y =代入1y x =-+中 得1x =-①B 点坐标为（-1，2）把1x =-时2y =代入5y kx =+中 得25k =-+3k =直线l 1的解析式为35y x =+（2）①直线l 1的解析式为35y x =+ 与y 轴交于A 点 ①A （0，5）①直线l 2的解析式为1y x =-+ 与y 轴交于C 点 ①C （0，1）27①两直线与y 轴围成的面积=14122⨯⨯=（3）把x a =分别代入21y x =-+，和135y x =+中 得21y a =-+ 135y a =+①M （a ，3a +5），N （a ，-a +1） ①1352a a -+--= 112a +=①12a =-或32a =-【点睛】本题主要考查了两一次函数的交点问题，与坐标轴围成的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识点.22．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数12y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求①AOB 的面积．【答案】（1）y＝-x-1；（2）7 2【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）把x＝3代入12yx=-，得y＝-4，故A（3，-4），把y＝3代入12yx=-，得x＝-4，故B（-4，3），把A，B点代入y＝kx+b得：34 43k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得：11kb=-⎧⎨=-⎩，故直线解析式为：y＝-x-1；（2）由（1）知：当y＝0时，x＝-1，故C点坐标为：（-1，0），则①AOB的面积为：12×1×3+12×1×4＝72．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键．23．已知直线L1为y1＝x+1，直线L2为y2＝ax+b（a≠0），两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线L2与x轴的交点B的坐标为（2，0）．（1）求a、b的值．（2）求使y1、y2的值都大于0的x的取值范围．（3）求这两条直线与x轴所围成的①ABC的面积．【答案】（1）a＝12-，b=1；（2）-1＜x＜2；（3）32【分析】（1）首先根据直线l1的解析式可求得C点的坐标，进而可由B、C的坐标，利用待定系数法确定a、b的值．（2）根据两个函数的图象以及A、B点的坐标进行解答即可．（也可通过解不等式来求得）（3）根据（1）得到的直线l1的解析式，可求得点A的坐标，以AB为底、OC为高即可求得①ABC的面积．【详解】解：（1）由直线l1的解析式为y1=x+1，可求得C（0，1）；则依题意可得：201a bb+=⎧⎨=⎩，解得：a＝12-，b=1；（2）由（1）知，直线l2：112y x=-+，①y1=x+1＞0，①x＞-1；①y2＝112x-+＞0，①x＜2；①-1＜x＜2．（3）由题意知A（-1，0），则AB=3，且OC=1；①S①ABC=12AB•OC=12×3×1＝32．【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与一元一次不等式的联系以及三角形面积29的计算方法，难度适中．。
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积(教案)
举例：在求解一个三角形面积的问题时，首先要根据已知条件列出一次函数表达式，然后运用面积公式进行计算。如，给定三角形的一边长为x，这边上的高为kx+b，要求解该三角形的面积。
2.教学难点
-理解一次函数与三角形底边、高的关系：学生需要理解一次函数在三角形中的应用，如何表示底边与高的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与三角形面积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积：
1.理解一次函数与三角形面积的关系；
2.掌握利用一次函数求解三角形面积的方法；
3.应用一次函数与三角形面积的关系解决实际问题。
具体内容包括：
-利用一次函数表示三角形底边与高的关系；
-函数值与实际意义的对应：在应用一次函数求解三角形面积时，学生需要明白函数值在几何图形中代表的实际意义。
-实际问题的转化：将实际问题抽象成数学模型，特别是涉及一次函数与三角形面积结合的问题。
举例1：在三角形面积问题中，学生可能会对一次函数的斜率k和截距b在几何图形中代表的意义感到困惑。教师需要通过具体实例解释，如斜率k表示高的变化率，截距b表示高在y轴上的起点。
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题专题复习【精品】
专题：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.【教材母题】点P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，点A的坐标为(6，0)．设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？(3)△OPA的面积能大于24吗？为什么？解：(1)∵点A和点P的坐标分别是(6，0)，(x，y)，∴S＝12×6×y＝3y.∵x＋y＝8，∴y＝8－x.∴S＝3(8－x)＝24－3x.∴S＝－3x＋24.∵点P在第一象限，∴x＞0，y＞0，即x＞0，8－x＞0.∴0＜x＜8. 图象如图所示．(2)当x＝5时，S＝－3×5＋24＝9.(3)不能．理由：令S＞24，则－3x＋24＞24.解得x＜0.∵由(1)，得0＜x＜8，∴△OPA的面积不能大于24.针对练习：1．如图，直线l 1在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B(－3，3)也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．(1)求点C 的坐标和直线l 1的解析式；(2)已知直线l 2：y ＝x ＋b 经过点B ，与y 轴交于点E ，求△ABE 的面积．解：(1)由题意，得点C 的坐标为(－2，1)．设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋c ，∵点B(－3，3)，C(－2，1)在直线l 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋c ＝3，－2k ＋c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，c ＝－3.∴直线l 1的解析式为y ＝－2x －3.(2)把点B 的坐标代入y ＝x ＋b ，得3＝－3＋b ，解得b ＝6.∴y ＝x ＋6.∴点E 的坐标为(0，6)．∵直线y ＝－2x －3与y 轴交于点A ，∴A 的坐标为(0，－3)．∴AE ＝6＋3＝9.∵B(－3，3)，∴S △ABE ＝12×9×|－3|＝13.5.2．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)在y 轴上，点B (－8，0)在x 轴上．(1)求直线AB 的函数解析式；(2)若x 轴上有一点P 使得∠APO ＝2∠ABO ，求△ABP 的面积．解：(1)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (0，4)，B (－8，0)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－8k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝4，∴直线AB 的函数解析式为y ＝12x ＋4. 设点P 的坐标为(t ，0)，分两种情况考虑，如图所示．①点P 在x 轴上原点的左侧．当PB ＝AP 时，∠APO ＝2∠ABO .在Rt △APO 中，AP＝BP＝t－(－8)＝t＋8，AO＝4，PO＝－t，∵AP2＝AO2＋PO2，即(t＋8)2＝42＋(－t)2，解得t＝－3，∴BP＝8－3＝5.∴S△ABP＝12BP·AO＝12×5×4＝10.②点P在x轴上原点的右侧．由对称性，可得点P′的坐标为(3，0)，此时，BP′＝8＋3＝11，∴S△ABP′＝12BP′·AO＝12×11×4＝22.综上，△ABP的面积为10或22.3．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)，直线y＝12x－3与y轴交于点C、与x轴交于点D.(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，求直线AB与CD交点E的坐标；(2)四边形OBEC的面积是4．解：把A(0，2)，B(1，0)代入y＝kx＋b，得。
一次函数与面积综合运用(原卷版)
专题07 一次函数与面积综合运用（三大题型）【题型1 常规三角形面积】【题型2 铅垂法求面积】【题型3 等底转化】【题型1 常规三角形面积】【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。
【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB 的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BCE的面积；（3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y ＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB ＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【题型2 铅垂法求面积】【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题1一次函数y=kx+b与y=3x-5平行，且过点（-1,5）求一次函数表达式？2.求直线y=3x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积3.将直线 y=- 34x+3平移，使其经过（4,3)（1)、求平移后的函数解析式（2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积4.已知直线l经过点（-2，4），且与坐标轴围成一个等腰三角形，（1）求直线的函数的解析式（2）求所得三角形的周长及面积5.在直角坐标系中，一次函数的图像与直线y=2x-3平行，且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的解析式。
6.已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=12OB.求（1）正比例函数和一次函数解析式（2）三角形AOB的面积。
7.如图所示：直线y=kx+b经过点B (0, 32)与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线与OC平行，并且与直线y=kx+b交与点D, (1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）求四边形CDEO的面积。
xx如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数y=2x 的图象交于点M ，OB=6，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P （a ，0）（其中a 〉2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y=kx+b 和函数y=2x 于点C 、D 。
（1）求点M 的坐标（2）求直线AB 的表达式．（3）求△OAM 的面积（4）若OB=CD 求a 的值如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！PCB D。
一次函数背景下三角形面积问题
《一次函数背景下三角形面积问题》基于课程标准的教学方案设计【课题】《一次函数背景下三角形面积问题》【教材来源】义务教育教科书北京师范大学出版社 2014年版【内容】八年级数学上册（北师大版）75-101页【授课对象】八年级学生【设计者】董贝贝/新郑市正商外国语中学【目标确定的依据】1.基于课程标准的思考《数学课程标准（2011年版）》有关本课的要求是：能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能用一次函数解决简单实际问题.2.基于教材理解一次函数是北师大版教科书八年级（上）第四章内容．本节课为本章的专题课，安排1个课时完成．具体内容是：学生通过观察图形，能观察一次函数图象与坐标轴形成的图形的特点，从而将不同三角形的图形归类：（1）有一边在坐标轴上的三角形；（2）有一边平行于坐标轴的三角形；（3）三边与坐标轴没有特殊联系的一般三角形；学生会一次函数形成的不同三角形的面积的计算方法.一次函数与三角形面积的专题是又一个体现数与形结合的内容，它是将三角形放在坐标系中，学生根据函数表达式和点的坐标来完成三角形面积的计算，对学生的数学思维有很大提高.3.基于学情分析通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题．学生已经具备利用一次函数的图象解决实际问题，进一步去体会数形结合的思想方法.【学习目标】1.在一次函数背景下能归纳出求三角形面积的一般方法，并会计算三角形面积.2.经历分析图形、转化图形面积的过程，积累图形分析经验，发展直观想象能力.【学习重点】在一次函数背景下能归纳出求三角形面积的一般方法，并会计算三角形面积.【学习难点】能够通过转化解决较复杂的一次函数围成的三角形面积问题.【评价任务】1.借助小组讨论交流，能够归纳出求三角形面积的一般方法.2.通过学生展示，演板，规范几何语言，完成学以致用实现目标2。
已知三角形面积求一次函数解析式
《已知三角形面积求解析式》专题
班级姓名
所有欺骗中，自欺是最为严重的.
例：已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积
为4，求此一次函数的解析式？
练习1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；
练习2：已知一次函数的图像经过点A（2，0），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
练习3：一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.
例2：一次函数图像交于x轴于点A（6，0），与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4，若△ABO的面积等于12，求这个正比例函数和一次函数的解析式？
练习1：已知已知直线L1经过点A（-1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点p（m，0）若若△APB的面积等于3，求m值和L1、L2的解析式？
直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分成1：1两部分，求直线L的解析式；
直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式；
已知一次函数y=kx+b的图像经过M（-1，1）和B（0，2）设该图像与x轴交于点A，问在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出符
合条件得点P,若不存在说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数与三角形面积问题 一、课前热身：
1. 一次函数y = - 2x+ 4的图象与x 轴的交点坐标为______；与y 轴的交点坐标为_______；
2. 求过点（1,2）
，（3,0）的直线解析式
二、课堂练习：
❀变式1： 一次函数过点（2，1）和点（3，0）求它与坐标轴围成的三角形的面积.
❀练习1：如图，已知直线1l 经过点(1
0)A ，和点(23)B ，，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点(0)P m ，
．若APB △的面积为3，求m 的值．
x
y
B A
O
✿练习2：一个一次函数的图象经过点A （-3,0），且和y 轴相交于点B ，当函数图象与坐标轴围成的三角形面积为6时，求点Ｂ的坐标.
✿练习3：如图，在平面直角坐标系中，一次函数12
1
+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于
A 、
B 两点.
（1）求点A 、B 的坐标； （2）点C 在y 轴上，当2ABC AOB S S ∆∆=时，求点C 的坐标.
三、随堂检测
已知直线3y kx =-经过点M （2，1），且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
（1）求k 的值；
（2）求A 、B 两点的坐标；
（3）过点M 作直线MP 与y 轴交于点P ，且△MPB 的面积为2，求点P 的坐标．
四、家庭作业：
已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、 B ，点P 在x 轴上，若6ABP S ∆=,求直线PB 的函数解析式．。